数学七年级下册（2024）乘法公式优质学案

这是一份数学七年级下册（2024）乘法公式优质学案，文件包含第一章第三节乘法公式2025-2026学年七年级下初中数学同步复习讲义北师大版2024原卷版docx、第一章第三节乘法公式2025-2026学年七年级下初中数学同步复习讲义北师大版2024解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共43页， 欢迎下载使用。

题型1.完全平方公式（共30小题）
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
1．已知（x+2y）2＝10，（x﹣2y）2＝18，那么xy的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【答案】A
【解答】解：∵（x+2y）2＝10，
∴x2+4xy+4y2＝10①，
∵（x﹣2y）2＝18，
∴x2﹣4xy+4y2＝18②，
②﹣①得：﹣8xy＝8，
∴xy＝﹣1．
故选：A．
2．已知x+y＝5，xy＝6，则x2+y2的值是（ ）
A．1B．13C．17D．25
【答案】B
【解答】解：将x+y＝5两边平方得：（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25，
将xy＝6代入得：x2+12+y2＝25，
则x2+y2＝13．
故选：B．
3．若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ）
A．﹣8B．±8C．16D．±16
【答案】D
【解答】解：∵4y2﹣my+16是一个完全平方式，
∴﹣my＝±4•y•4，
解得：m＝±16．
故选：D．
4．若（x+y）2＝（x﹣y）2+A，则A等于（ ）
A．2xyB．﹣2xyC．﹣4xyD．4xy
【答案】D
【解答】解：由题意可得：
原式＝x2﹣2xy+y2+A，
∴A＝4xy，
故选：D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a4+a3＝a7B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．（2a3b）2＝2a6b2D．a（2a+1）＝2a2+a
【答案】D
【解答】解：A．a4与a3不能合并，所以A选项不符合题意；
B． （a﹣1）2＝a2﹣2a+1，所以B选项不符合题意；
C． （2a3b）2＝4a6b2，所以C选项不符合题意；
D．a（2a+1）＝2a2+a，所以D选项符合题意．
故选：D．
6．下列运算：①（3x+y）2＝9x2+y2；②（a﹣2b）2＝a2﹣4b2；③（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2；④(x−12)2=x2−2x+14．其中，运算错误的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：①（3x+y）2＝9x2+6xy+y2，故①运算错误；
②（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，故②运算错误；
③（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2，故③运算正确；
④(x−12)2=x2−x+14，故④运算错误．
所以运算错误的有①②④，共3个．
故选：C．
7．若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个长方形的面积为（ ）
A．5B．10C．20D．30
【答案】A
【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，
由图1可知，（a+b）2﹣4ab＝40，即a2+b2＝2ab+40①，
由图2可知，（2a+b）（a+2b）﹣5ab＝100，即a2+b2＝50②，
由①﹣②得2ab+40﹣50＝0，
∴ab＝5，
即长方形的面积为5，
故选：A．
8．如图所示的图形由一个大正方形ABEF、一个小正方形ADGH和一个长方形ABCD不重合无缝隙得拼接在一起，已知长方形ABCD的面积是6，正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为69，那么长方形ABCD的周长是（ ）
A．12B．18C．16D．14
【答案】B
【解答】解：设AB＝a，AD＝b，
则ab＝6，a2+b2＝69，
那么（a+b）2＝a2+b2+2ab＝69+12＝81，
∵a+b＞0，
∴a+b＝9，
∴长方形ABCD的周长是2×9＝18，
故选：B．
9．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2，则中间一项的系数是（ ）
A．12B．﹣12C．12或﹣12D．36
【答案】C
【解答】解：由（2a±3b）2＝4a2±12ab+9b2，
∴染黑的部分为±12．
故选：C．
10．若a、b是某长方形的长和宽，且有（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，则该长方形面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解答】解：∵（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12，
∴ab＝3，
∴长方形的面积为3，
故选：A．
11．若a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b＝ 4 ．
【答案】4
【解答】解：∵a﹣b＝2
∴原式＝（a+b）（a﹣b）﹣4b＝2（a+b）﹣4b＝2a﹣2b＝2（a﹣b）＝4
故答案为：4
12．已知a−b=b−c=35，a2+b2+c2=1，则ab+bc+ca的值等于 −225 ．
【答案】−225．
【解答】解：根据题意，由a﹣b＝b﹣c=35可得：a﹣c=65，
由a2+b2+c2＝1可得2（a2+b2+c2）＝2，
再利用完全平方公式可得：2（a2+b2+c2）＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2+2（ab+bc+ca），
将a2+b2+c2＝1，a﹣b＝b﹣c=35，a﹣c=65代入可得：
2×1＝（35）2+（35）2+（65）2+2（ab+bc+ca），
解得ab+bc+ca=−225．
13．在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值．
例如：求代数式x2+4x+5的最小值？总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1，∴当x＝﹣2时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．问：4x2﹣12xy+10y2+4y+9的最 小 值是 5 ．
【答案】小；5．
【解答】解：4x2﹣12xy+10y2+4y+9
＝（4x2﹣12xy+9y2）+（y2+4y+4）+5
＝（2x﹣3y）2+（y+2）2+5
∵（2x﹣3y）2≥0，（y+2）2≥0，
∴当x＝﹣3，y＝﹣2时，（2x﹣3y）2和（y+2）2能同时取值最小值0，
∴4x2﹣12xy+10y2+4y+9的最小值为5，
故答案为：小；5．
14．已知a+b＝5，a2+b2＝19，那么ab的值是 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵（a+b）2＝52，
∴a2+2ab+b2＝25，
∵a2+b2＝19，
∴2ab＝25﹣19，
∴ab＝3．
故答案为：3．
15．若一个整数能表示成a2+b2（a、b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为5＝22+12，所以5是一个完美数．已知M＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使M为“完美数”，则k的值为 13 ．
【答案】13．
【解答】解：M＝（x2+4x+4）+（4y2﹣12y+9）+k﹣13
＝（x+2）2+（2y﹣3）2+k﹣13，
∵M为完美数，
∴k﹣13＝0，
∴k＝13，
故答案为：13．
16．已知 x+1x=6，那么x2+1x2= 34 ．
【答案】34
【解答】解：∵x+1x=6，
∴＝x2+1x2=（x+1x）2﹣2＝36﹣2＝34．
故答案为：34．
17．观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是 112 ．
【答案】112．
【解答】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为：
1，6，15，20，15，6，1；
1，7，21，35，35，21，7，1；
1，8，28，56，70，56，28，8，1；
故含x2项的系数为：22×（﹣1）6×28＝112．
18．观察下列各式及其展开式：
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
（a﹣b）3＝a3﹣3a2b+3ab2﹣b3
（a﹣b）4＝a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4
（a﹣b）5＝a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5…
请你猜想（a﹣b）10的展开式第三项的系数是 45 ．
【答案】45
【解答】解：根据题意得：第五个式子系数为1，6，15，20，15，6，1，
第六个式子系数为1，7，21，35，35，21，7，1，
第七个式子系数为1，8，28，56，70，56，28，8，1，
第八个式子系数为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1，
第九个式子系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，
则（a﹣b）10的展开式第三项的系数是45，
故答案为：45．
19．阅读下列材料
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝x﹣1 ，DF＝x﹣3 ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
故答案为：x﹣1；x﹣3；
②（x﹣1）（x﹣3）＝48，
阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196，
∴a+b＝±14，
又∵a+b＞0，
∴a+b＝14，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
20．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴（a+b）2＝9，2ab＝2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝9，
∴a2+b2＝7，
根据左面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，xy＝12，求x2+y2的值；
类比应用：
（2）若x+y＝4，x2+y2＝10，求（x﹣y）2的值．
【答案】（1）40；
（2）4．
【解答】解：（1）∵x+y＝8，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝64，
∵xy＝12，
∴2xy＝24，
∴x2+y2＝64﹣24＝40；
（2）∵x+y＝4，
∴（x+y）2＝16，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝16，
∵x2+y2＝10，
∴2xy＝16﹣10＝6，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝10﹣6＝4．
21．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．
它有如下特点：
①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：
（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．
②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如1+2i的共轭复数为1﹣2i．
（1）填空：①（2+i）（2﹣i）＝ 5 ；②（2+i）2＝ 3+4i ；
（2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2的值；
（3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）的值．
【答案】（1）①5；②3+4i（2）（b﹣a）2＝1；（3）（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）＝5i．
【解答】解：（1）①原式＝4﹣i2＝4+1＝5，
②原式＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i．
故答案为：①5；②3+4i；
（2）∵（1+2i）2＝1+4i+4i2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，a+bi是（1+2i）2的共轭复数，
∴a＝﹣3，b＝﹣4，
∴（b﹣a）2＝（﹣4+3）2＝（﹣1）2＝1；
（3）由条件可知：ab+（a+b）i﹣1＝1﹣3i，即ab﹣1+（a+b）i＝1﹣3i，
∴ab﹣1＝1，a+b＝﹣3，
解得：ab＝2，a+b＝﹣3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝9﹣2×2＝5，
∵i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0，
i2+i3+i4+…+i2025有2024个加数，2024÷4＝506，
∴i2+i3+i4+…+i2025＝0，则i+i2+i3+i4+…+i2025＝i，
∴（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）＝5×i＝5i．
22．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定（a，b）☆（c，d）＝a2﹣bc+d2．
（1）填空：对于有理数x，k，若（x，k）☆（x，1）＝（x±1）2，则k＝ ±2 ；
（2）对于有理数x，y，若x+y＝12，（x+y，y）☆（2x+y，y）＝104．
①求xy的值；
②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，点E在边CD上，连接BD，BF．若AB＝2x，AD＝x，EF＝2y，FG＝y，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）±2；（2）①20；②94．
【解答】解：（1）∵（a，b）☆（c，d）＝a2﹣bc+d2，
∴（x，k）☆（x，1）＝x2﹣kx+1＝（x±1）2，
∴k＝±2．
故答案为：±2；
（2）①由题意知，
∵（x+y，y）☆（2x+y，y）＝104，
∴（x+y）2﹣（2x+y）y+y2＝x2+y2＝104，
∵x+y＝12，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝144，
∴2xy＝40，
∴xy＝20；
②由图可知，S阴影=2x2+2y2−12x⋅2x−12y⋅(x+2y)=x2+y2−12xy，
∵xy＝20，x2+y2＝104，
∴S阴影=104−12×20=94．
23．已知（a﹣b）2＝15，ab=−52，求a4+b4的值．
【答案】87.5．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝15，
∴a2﹣2ab+b2＝15，
∵ab=−52，
∴a2+b2＝15﹣5＝10，
∴a4+b4
＝（a2+b2）2﹣2a2b2
＝102﹣2×（−52）2
＝100﹣12.5
＝87.5．
24．已知a﹣b＝6，ab＝﹣7．求：
（1）a2+b2的值；
（2）（a+b）2+2（a﹣b）2的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵a﹣b＝6，ab＝﹣7，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝62+2×（﹣7）＝22；
（2）∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，a﹣b＝6，ab＝﹣7，
∴（a+b）2＝62+4×（﹣7）＝8，
∴（a+b）2+2（a﹣b）2＝8+2×62＝80．
25．如图中，图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你用一个等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系 （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ；
（2）运用你所得到的公式计算：若m，n为实数，且mn＝﹣35，m﹣n＝12，试求（m+n）2的值；
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）4；（3）192．
【解答】解：（1）由图可知：图中阴影部分的面积＝（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）由（1），知（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，
已知m﹣n＝12，mn＝﹣35，
所以（m+n）2＝144+4×（﹣35）＝4；
（3）设AC＝a，BC＝b，
∵AB＝8，S1+S2＝26，
∴a+b＝8，a2+b2＝26，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴64＝26+2ab，
解得ab＝19．
由题意，得∠ACF＝90°，
∴S阴影=12ab=192．
26．已知x+1x=3，求下列各式的值：
（1）（x−1x）2；
（2）x4+1x4．
【答案】（1）5；（2）47．
【解答】解：（1）∵(x+1x)2=x2+2⋅x⋅1x+1x2，
∴(x−1x)2=x2−2⋅x⋅1x+1x2
=x2+2x⋅1x+1x2−4x⋅1x
=(x+1x)2−4x•1x
＝32﹣4
＝5；
（2）∵(x−1x)2=x2−2+1x2，
∴x2+1x2
=(x−1x)2+2
＝5+2
＝7，
∵(x2+1x2)2=x4+2+1x4，
∴x4+1x4
=(x2+1x2)2−2
＝49﹣2
＝47．
27．化简：a（a﹣2）﹣（a﹣1）2．
【答案】﹣1．
【解答】解：原式＝a2﹣2a﹣（a2﹣2a+1）
＝a2﹣2a﹣a2+2a﹣1
＝﹣1．
28．已知x＝2y﹣6，求﹣3x2+12xy﹣12y2的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由x＝2y﹣6得x﹣2y＝﹣6，
∴﹣3x2+12xy﹣12y2
＝﹣3（x2﹣4xy+4y2）
＝﹣3（x﹣2y）2
＝﹣3×（﹣6）2
＝﹣108．
29．若x+y＝3，且（x+2）（y+2）＝12．
（1）求xy的值；
（2）求x2+3xy+y2的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵x+y＝3，（x+2）（y+2）＝12，
∴xy+2x+2y+4＝12，
∴xy+2（x+y）＝8，
∴xy+2×3＝8，
∴xy＝2；
（2）∵x+y＝3，xy＝2，
∴x2+3xy+y2
＝（x+y）2+xy
＝32+2
＝11．
30．在公式（a+b）2＝a2+2ab+b2中，如果我们把a+b，a2+b2，ab分别看作一个整体，那么只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值．
（1）已知a+b＝6，ab＝﹣27，求a2+b2的值；
（2）已知a+1a=5，试求a2+1a2的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵a+b＝6，
∴（a+b）2＝36，
即a2+2ab+b2＝36，
∵ab＝﹣27，
∴a2+b2＝36+2×27＝90；
（2）∵a+1a=5，
∴（a+1a）2＝25，
即a2+2+1a2=25，
∴a2+1a2=25﹣2＝23．
故答案为：（1）90，（2）23．
题型2．平方差公式（共30小题）
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
31．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣a+b）（﹣a﹣b）B．（a+b）（a+b）
C．（﹣a﹣b）（a+b）D．（a﹣b）（2a+b）
【答案】A
【解答】解：A、（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝（﹣a）2﹣b2＝a2﹣b2，能用平方差公式进行计算，选项符合题意；
B、（a+b）（a+b）＝（a+b）2，不能用平方差公式进行计算，选项不符合题意；
C、（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣（a+b）2，不能用平方差公式进行计算，选项不符合题意；
D、（a﹣b）（2a+b）中a与2a的系数不同，不存在相同的项，不能用平方差公式计算，选项不符合题意．
故选：A．
32．下列多项式的乘法中，可用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（a+2）（2+a）B．(12a+b)(b−12a)
C．（﹣a+b）（a﹣b）D．（a2+b）（a﹣b2）
【答案】B
【解答】解：A、（a+2）（2+a），不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符合题意；
B、(12a+b)(b−12a)=(b+12a)(b−12a)，满足平方差公式的形式，能用平方差公式计算，符合题意；
C、（﹣a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a﹣b），不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符合题意；
D、（a2+b）（a﹣b2），不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符合题意；
故选：B．
33．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）B．（a+3b）（a+3b）
C．（a﹣3b）（a+3b）D．（3a﹣4b）（4a+3b）
【答案】B
【解答】解：A、（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b），一项相同，一项互为相反数，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、（a+3b）（a+3b）＝（a+3b）2，能用完全平方公式计算，故此选项符合题意；
C、（a﹣3b）（a+3b），一项相同，一项互为相反数，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D、（3a﹣4b）（4a+3b），不能用平方差公式计算，也不能用完全平方公式计算，只能用多项式乘多项式法则计算，故此选项不符合题意；
故选：B．
34．下列计算正确的是（ ）
A．x2•x4＝x8B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．x+2x2＝3x2D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
【答案】D
【解答】解：x2•x4＝x6，则A不符合题意，
（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，则B不符合题意，
x与2x2不是同类项，无法合并，则C不符合题意，
（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，则D符合题意，
故选：D．
35．已知a2﹣b2＝27，a﹣b＝3，则a+b的值为（ ）
A．9B．10C．12D．15
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝27，
又∵a﹣b＝3，
∴a+b＝9．
故选：A．
36．已知m+n＝4，m2﹣n2＝﹣8，则m﹣n的值为（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
【答案】B
【解答】解：∵m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝﹣8，m+n＝4，
∴m﹣n＝﹣2．
故选：B．
37．若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝（ ）
A．3B．6C．±3D．±6
【答案】B
【解答】解：∵（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，
∴[（a2+b2）+1][（a2+b2）﹣1]＝35，
（a2+b2）2﹣1＝35，
（a2+b2）2＝36，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2＝6，
故选：B．
38．若x≠y，则下列各式不能成立的是（ ）
A．（x﹣y）2＝（y﹣x）2
B．（x﹣y）3＝﹣（y﹣x）3
C．（x﹣y）2＝（﹣x+y）2
D．（x+y）（y﹣x）＝（x+y）（x﹣y）
【答案】D
【解答】解：A、∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，（y﹣x）2＝y2﹣2xy+x2，
∴（x﹣y）2＝（y﹣x）2，
故此选项不符合题意；
B、（x﹣y）3＝[﹣（y﹣x）]3＝﹣（y﹣x）3，故此选项不符合题意；
C、（x﹣y）2＝[﹣（﹣x+y）]2＝（﹣x+y）2，故此选项不符合题意；
D、（x+y）（y﹣x）＝（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2，（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，
∵x≠y，
∴（x+y）（y﹣x）≠（x+y）（x﹣y），
故此选项符合题意；
故选：D．
39．若（2x+3y）（mx﹣ny）＝9y2﹣4x2，则m，n的值是（ ）
A．2，3B．﹣2，﹣3C．2，﹣3D．﹣2，3
【答案】B
【解答】解：∵（2x+3y）（mx﹣ny）＝9y2﹣4x2，
∴2mx2+3mxy﹣2nxy﹣3ny2＝9y2﹣4x2，
∴2m＝﹣4，﹣3n＝9，
∴m＝﹣2，n＝﹣3，
故选：B．
40．某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．请借鉴该同学的经验，计算：（1+12）（1+122）（1+124）（1+128）+1215=（ ）
A．2−1216B．2+1216C．1D．2
【答案】D
【解答】解：原式＝2（1−12）（1+12）（1+122）（1+124）（1+128）+1215
＝2（1−122）（1+122）（1+124）（1+128）+1215
＝2（1−124）（1+124）（1+128）+1215
＝2（1−128）（1+128）+1215
＝2（1−1216）+1215
＝2−1215+1215
＝2．
故选：D．
41．运用乘法公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1）时，下列变形正确的是（ ）
A．[x﹣（2y+1）]2B．[x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）]
C．[x+（2y+1）]2D．[（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1]
【答案】B
【解答】解：运用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），应变形为[x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）]．
故选：B．
42．数学兴趣小组发现：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
利用你发现的规律：求：62023+62022+62021+…+6+1＝ 15（62024﹣1） ．
【答案】15（62024﹣1）
【解答】解：∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
••••••
∴可以得到规律（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝xn﹣1，
当x＝6，n＝2024时：
（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝（6﹣1）（62023+62022+⋯+6+1）＝5（62023+62022+⋯+6+1）＝62024﹣1，
∴62023+62022+62021+…+6+1=15（62024﹣1）．
故答案为：15（62024﹣1）．
43．计算：2015220142+20162−2= 12 ．
【答案】12
【解答】解：2015220142+20162−2
=20152(2015−1)2+(2015+1)2−2
=2015220152−4030+1+20152+4030+1−2
=201522×20152
=12．
故答案为：12．
44．若x+y＝3，x﹣y＝7，则x2﹣y2的值为 21 ．
【答案】21
【解答】解：∵x+y＝3，x﹣y＝7，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3×7＝21，
故答案为：21．
45．一个长方体游泳池的长为（4a2+9b2）m，宽为（2a+3b）m，高为（2a﹣3b）m，则这个游泳池的容积是 （16a4﹣81b4） m3．
【答案】（16a4﹣81b4）．
【解答】解：（4a2+9b2）（2a+3b）（2a﹣3b）
＝（4a2﹣9b2）（4a2+9b2）
＝（16a4﹣81b4）m3，
故答案为：（16a4﹣81b4）．
46．若k为任意整数，则（3k+5）2﹣9k2的值能被 5 整除．（填符合条件的最大的整数）
【答案】5．
【解答】解：（3k+5）2﹣9k2的
＝（3k+5+3k）（3k+5﹣3k）
＝5（6k+5），
∴（3k+5）2﹣9k2的值能被5整除，
故答案为：5．
47．计算：（3y﹣2x）（3y+2x）＝ 9y2﹣4x2 ．
【答案】9y2﹣4x2．
【解答】解：（3y﹣2x）（3y+2x）
＝（3y）2﹣（2x）2
＝9y2﹣4x2，
故答案为：9y2﹣4x2．
48．计算：(1−122)(1−132)(1−142)(1−152)⋯(1−1n2)= n+12n ．
【答案】n+12n．
【解答】解：原式＝（1−12）（1+12）（1−13）（1+13）（1−14）（1+14）…（1−1n）（1+1n）
=12×32×23×43×34×54×⋯×n−1n×n+1n
=n+12n，
故答案为：n+12n．
49．观察：
22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+1=(1+2)×22=3；
42﹣32+22﹣12＝（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝4+3+2+1=(1+4)×42=10；
…
探究：
（1）82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12＝ 36 （直接写答案）；
（2）求（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+…+22﹣12的值；
应用：
（3）如图，10个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为10cm，向里依次为9cm，8cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留π）
【答案】（1）36；
（2）2n2+n；
（3）55πcm2．
【解答】解：（1）82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12=(1+8)×82=36，
故答案为：36；
（2）（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+…+22﹣12=(1+2n)⋅2n2=2n2+n；
（3）102π﹣92π+…﹣32π+22π﹣π
＝（102﹣92+…﹣32+22﹣1）π
＝（10+9+…+3+2+1）π
＝55π（cm2）．
50．【知识生成】
通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分的面积可表示为：（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【结论探究】
图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形．
（1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于（a+b）2，（a﹣b）2，ab的等式是 （a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 ．
（2）若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．
【类比迁移】
（3）如图5，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向上下两侧作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别记为S1和S2，若BG＝9，两正方形的面积和S1+S2＝47，求图中阴影部分的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）阴影部分的面积是：
（a+b）2﹣4ab
＝a2+2ab+b2﹣4ab
＝a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2；
阴影部分的面积是：
a2﹣ab﹣（a﹣b）×b
＝a2﹣ab﹣ab+b2
＝a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2；
即（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．
（2）若a+b＝7，ab＝5，
（a﹣b）2
＝（a+b）2﹣4ab
＝72﹣4×5
＝29；
（3）如图：延长AD、FG交于点H，
设正方形CEFG的边长为x，正方形ABCD的边长为（9﹣x），得：
x2+（9﹣x）2＝47，
x2+81﹣18x+x2＝47，
2x2﹣18x+34＝0，
即x2﹣9x+17＝0，
9x﹣x2＝17，
S阴影＝S梯AEFH﹣S△AGH﹣S正CEFG，
即（x+9）×9÷2﹣9×（9﹣x）÷2﹣x2
=92x+812−812+92x−x2
＝9x﹣x2
＝17．
答：图中阴影部分的面积是17．
51．乘法公式可以帮助我们对数进行简便运算，请用你学过的公式完成题目．
（1）1002﹣99×101；
（2）(9910)2．
【答案】（1）1；（2）981100．
【解答】解：（1）原式＝1002﹣（100﹣1）×（100+1）
＝1002﹣1002+1
＝1；
（2）原式＝（10−110）2
＝102﹣2+(110)2
＝981100．
52．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1： （a+b）2﹣4ab ，方法2： （a﹣b）2 ；
（2）由（1）可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是 （a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 ；
（3）若a﹣b＝5，ab＝2，则（a+b）2＝ 33 ；
【知识迁移】（4）如图5，正方形ABCD和正方形EFGH边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝6，ab＝6，E是AB的中点，则图中的阴影部分面积的和是 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）方法1：（a+b）2﹣4ab，方法2：（a﹣b）2，
故答案为：（a+b）2﹣4ab，（a﹣b）2；
（2）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，、
故答案为：）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（3）∵a﹣b＝5，ab＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝25+8＝33，
故答案为：33．
（4）阴影部分面积等于12S正方形ABCD−S△AHE−S梯形HEBC+14S正方形EFGH
=12a2−12×12a×b−12(a+b)×12a+14b2
=−ab2+a24+b24
=14(a−b)2，
∵a+b＝6，ab＝6，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×6＝12，
∴阴影部分面积等于14×12＝3．
故答案为：3．
53．简便运算：
（1）（﹣0.125）2024×82025；
（2）20242﹣2023×2025．
【答案】（1）8；
（2）1．
【解答】解：（1）原式＝（﹣0.125×8）2024×8
＝（﹣1）2024×8
＝8；
（2）原式＝20242﹣（2024﹣1）×（2024+1）
＝20242﹣20242+1
＝1．
54．用简便方法计算：
（1）(12)2021⋅(−2)2022；
（2）20252﹣2024×2026．
【答案】（1）2；
（2）1．
【解答】解；（1）原式=(12)2021⋅22022
=(12)2021⋅22021×2
=(12×2)2021×2
＝12021×2
＝2；
（2）原式＝20252﹣（2025+1）×（2025﹣1）
＝20252﹣（20252﹣12）
＝20252﹣20252+1
＝1．
55．小明遇到下面一个问题：
计算．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（28﹣1）（28+1）
＝216﹣1．
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）；
（2）（3+1）（33+1）（34+1）（38+1）（316+1）．
【答案】（1）232﹣1；（2）12(332−1)．
【解答】解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）
＝（216﹣1）（216+1）
＝232﹣1；
（2）原式=12(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
=12(32−1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
=12(34−1)(34+1)(38+1)(316+1)
=12(38−1)(38+1)(316+1)
=12(316−1)(316+1)
=12(332−1)．
56．简便运算：
（1）（﹣0.125）12×811．
（2）101×99．
【答案】（1）0.125；
（2）9999．
【解答】解：（1）原式＝（﹣0.125）11×811×（﹣0.125）
＝（﹣0.125×8）11×（﹣0.125）
＝0.125；
（2）原式＝（100+1）（100﹣1）
＝1002﹣12
＝9999．
57．下面是聪聪同学进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务．
计算：（3x+1）（3x﹣1）﹣（2x﹣1）2
解：原式＝9x2﹣1﹣（4x2﹣2x+1）…第一步
＝9x2﹣1﹣4x2+2x﹣1⋯第二步
＝5x2+2x﹣2．⋯第三步
任务一：①以上解题过程中，第一步需要依据 平方差公式 和 完全平方 公式进行运算．
②第 一 步开始出现错误，这一步出现错误的原因是 完全平方公式使用错误 ．
任务二：请直接写出本题的正确结果．
【答案】①平方差公式，完全平方；（2）一，完全平方公式使用错误，5x2+4x﹣2．
【解答】解：任务一：
①以上解题过程中，第一步需要依据平方差公式和完全平方公式进行运算．
故答案为：平方差公式，完全平方；
②第一步开始出现错误，这一步出现错误的原因是完全平方公式使用错误．
故答案为：平方差公式；完全平方；一；完全平方公式使用错误；
任务二：原式＝9x2﹣1﹣（4x2﹣4x+1）＝9x2﹣1﹣4x2+4x﹣1＝5x2+4x﹣2．
故答案为：一，完全平方公式使用错误．
58．利用整式乘法公式计算：
（1）399×401+1；
（2）1032．
【答案】（1）160000；
（2）10609．
【解答】解：（1）399×401+1
＝（400﹣1）×（400+1）+1
＝4002﹣1+1
＝160000；
（2）1032
＝（100+3）2
＝10000+2×100×3+9
＝10609．
59．阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，
整理得t2﹣1＝80，t2＝81，
∴t＝±9，
∵2m2+n2≥0，
∴2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）在（1）的条件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t，
则原方程变形为（t+3）（t﹣3）＝27，
整理得：整理得t2﹣9＝27，
∴t2＝36，
解得t＝±6，
∵2x2+2y2≥0，
∴2x2+2y2＝6，
∴x2+y2＝3；
（2）∵x2+y2＝3，xy＝1，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝3+2＝5，
（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝3﹣2＝1，
∴x﹣y＝±1．
60．用乘法公式进行简便运算：
（1）102×98；
（2）10032；
（3）20242﹣20232；
（4）20232﹣2023×4048+20242．
【答案】（1）9996；
（2）1006009；
（3）4047；
（4）1．
【解答】解：（1）102×98
＝（100+2）×（100﹣2）
＝1002﹣22
＝10000﹣4
＝9996；
（2）10032
＝（1000+3）2
＝10002+2×3×1000+32
＝1000000+6000+9
＝1006009；
（3）20242﹣20232
＝（2024+2023）×（2024﹣2023）
＝4047×1
＝4047；
（4）20232﹣2023×4048+20242
＝20232﹣2×2023×2024+20242
＝（2023﹣2024）2
＝1．
题型1 完全平方公式
题型2 平方差公式