初中数学湘教版（2024）七年级下册（2024）整式的乘法精品导学案

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▉题型1 同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
1．计算x•x2的结果是（ ）
A．3xB．x2C．xD．x3
【答案】D
【解答】解：x•x2＝x1+2＝x3．
故选：D．
2．若am＝2，an＝5，则am+n等于（ ）
A．7B．10C．25D．32
【答案】B
【解答】解：∵am＝2，an＝5，
∴am+n＝am•an＝2×5＝10．
故选：B．
3．计算：（﹣a）2•a4的结果是（ ）
A．a8B．a6C．﹣a8D．﹣a6
【答案】B
【解答】解：（﹣a）2•a4＝a2•a4＝a6．
故选：B．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a3﹣a＝a2B．a3+a2＝a5C．a3•a3＝a9D．a2•a4＝a6
【答案】D
【解答】解：根据合并同类项的法则及同底数幂乘法的运算法则逐一分析判断如下：
A．a3和a不是同类项，不能合并，故原式计算错误，该选项不符合题意；
B．a3和a2不是同类项，不能合并，故原式计算错误，该选项不符合题意；
C．a3•a3＝a3+3＝a6，故原式计算错误，该选项不符合题意；
D．a2•a4＝a2+4＝a6，故原式计算正确，该选项符合题意．
故选：D．
5．计算3m•3n的结果是（ ）
A．3mnB．9mnC．3m+nD．6m+n
【答案】C
【解答】解：3m•3n＝3m+n,
故选：C．
6．若3x＝4，3y＝6，则3x+y的值是（ ）
A．24B．10C．3D．2
【答案】A
【解答】解：∵3x＝4，3y＝6，
∴3x+y＝3x•3y＝4×6＝24．
故选：A．
7．若2m＝5，22n＝3，则2m+2n＝ 15 ．
【答案】15．
【解答】解：∵2m＝5，22n＝3，
∴2m+2n＝2m×22n＝5×3＝15，
故答案为：15．
8．若ax＝2，ay＝3，则ax+y＝ 6 ．
【答案】6．
【解答】解：∵ax＝2，ay＝3，
∴ax+y＝ax•ay＝2×3＝6，
故答案为：6．
9．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）＝ 3 ，（4，1）＝ 0 （2，0.25）＝ ﹣2 ；
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（3，27）＝3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2，
故答案为：3，0，﹣2；
（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，
∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，
∴3a×3b＝30，
∴3a×3b＝3c，
∴a+b＝c．
▉题型2 幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
10．已知a＝212，b＝38，c＝74，则a，b，c大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．b＞c＞a
【答案】B
【解答】解：a＝212＝84，
b＝38＝94，
∵9＞8＞7，
∴94＞84＞74，
∴b＞a＞c，
故选：B．
11．计算：(−13m3)3=（ ）
A．−127m6B．−127m9C．127m6D．127m9
【答案】B
【解答】解：(−13m3)3=−127m9，
故选：B．
12．计算(−0.75)2025×(43)2024的结果为（ ）
A．﹣0.75B．0.75C．43D．−43
【答案】A
【解答】解：(−0.75)2025×(43)2024
=(−34)2024×(43)2024×(−34)
=(−34×43)2024×(−34)
=(−1)2024×(−34)
=1×(−34)
＝﹣0.75，
故选：A．
13．计算：（﹣8）2025×（﹣0.125）2024＝ ﹣8 ．
【答案】﹣8．
【解答】解：原式＝（﹣8）×（﹣8）2024×（﹣0.125）2024
＝（﹣8）×[（﹣8）2024×（﹣0.125）2024]
＝（﹣8）×[（﹣8）×（﹣0.125）]2024
＝﹣8．
故答案为：﹣8．
14．（﹣2a2b3）3（ ﹣2b5c2 ）＝4a6b14c2．
【答案】﹣0.5b5c2．
【解答】解：由题意得：4a6b14c2÷（﹣2a2b3）3
＝4a6b14c2÷（﹣8a6b9）
＝﹣0.5b5c2，
故答案为：﹣0.5b5c2．
15．计算：﹣b2•（﹣b）2（﹣b3）＝b7 ．
【答案】b7
【解答】解：原式＝﹣b2•b2（﹣b3）＝b2+2+3＝b7，
故答案为：b7．
16．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题；
（1）如果2x＝25，则x＝ 5 ；
（2）如果8x＝27，求x的值；
（3）如果3x+2﹣3x+1＝54，求x的值．
【答案】（1）5；
（2）x=73；
（3）x＝2．
【解答】解：（1）∵2x＝25，
∴x＝5，
故答案为：5；
（2）∵8x＝27，
∴（23）x＝27，
∴23x＝27，
∴3x＝7，
解得：x=73；
（3）∵3x+2﹣3x+1＝54，
∴3x+1•3﹣3x+1•1＝54，
∴3x+1•（3﹣1）＝54，
∴3x+1＝27，
∴3x+1＝33，
∴x+1＝3，
解得：x＝2．
▉题型3 单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
17．计算（ab2）（﹣3a2b）2的结果是（ ）
A．6a5b4B．﹣6a5b4C．9a5b4D．9a3b4
【答案】C
【解答】解：（ab2）（﹣3a2b）2＝ab2•9a4b2＝9a5b4，
故选：C．
18．□×ab＝2ab2，则□内应填的单项式是（ ）
A．2B．2aC．2bD．4b
【答案】C
【解答】解：∵2b×ab＝2ab2，
∴括号内应填的单项式是2b，
故选：C．
19．如果单项式﹣3m6﹣2bn2a+b与m1n18是同类项，那么这两个单项式的积是（ ）
A．﹣3m2n36B．﹣3m6n16C．﹣3m3n8D．﹣9m6n16
【答案】A
【解答】解：∵单项式﹣3m6﹣2bn2a+b与m1n18是同类项，
单项式﹣3m6﹣2bn2a+b与m1n18分别是单项式﹣3mn18与mn18，
则这两个单项式的积是﹣3mn18•mn18＝﹣3m2n36．
故选：A．
20．若（ ）•2a2b＝2a3b，则括号内应填的单项式是（ ）
A．aB．2aC．abD．2ab
【答案】A
【解答】解：2a3b÷2a2b＝a，
即括号内应填的单项式是a，
故选：A．
21．下列各式中，正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．3a•a＝4a
C．8xy﹣6xy＝2xyD．2xy2﹣2x2y＝0
【答案】C
【解答】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、3a•a＝3a2，故B不符合题意；
C、8xy﹣6xy＝2xy，故C符合题意；
D、2xy2与﹣2x2y不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：C．
22．下列四个算式：①2a3﹣a3＝1；②（﹣xy2）•（﹣3x3y）＝3x4y3；③（x3）3•x＝x10；④2a2b3•2a2b3＝4a2b3．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：①2a3﹣a3＝a3，错误；
②（﹣xy2）•（﹣3x3y）＝3x4y3，正确；
③x3）3•x＝x9•x＝x10，正确；
④2a2b3•2a2b3＝4a4b6，错误．
故选：B．
23．计算：2ab•a＝ 2a2b ．
【答案】2a2b．
【解答】解：2ab•a＝2a2b，
故答案为：2a2b．
▉题型4 单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
24．已知﹣x（3x2﹣2ax﹣1）﹣2x3+3x2+1中不含x2项，则a的值为（ ）
A．﹣3B．−32C．﹣2D．−12
【答案】B
【解答】解：﹣x（3x2﹣2ax﹣1）﹣2x3+3x2+1＝﹣3x3+2ax2﹣x﹣2x3+3x2+1＝﹣5x3+（2a+3）x2﹣x+1，
∵多项式不含x2项，
∴2a+3＝0，
∴a=−32，
故选：B．
25．下列运算正确的是（ ）
A．3x+y＝3xyB．﹣2（x﹣2）＝﹣2x+4
C．3x2y﹣3xy2＝0D．x（2y﹣1）＝x﹣2y+1
【答案】B
【解答】解：A、3x与y不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、﹣2（x﹣2）＝﹣2x+4，故B符合题意；
C、3x2y与﹣3xy2不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、x（2y﹣1）＝2xy﹣x，故D不符合题意；
故选：B．
26．一个长方体的长、宽、高分别3a﹣4，2a，a，它的体积等于（ ）
A．3a3﹣4a2B．a2C．6a3﹣8a2D．6a2﹣8a
【答案】C
【解答】解：由题意知，V长方体＝（3a﹣4）•2a•a＝6a3﹣8a2．
故选：C．
27．计算：−2x2(12xy−2y3)= ﹣x3y+4x2y3 ．
【答案】﹣x3y+4x2y3．
【解答】解：原式＝﹣x3y+4x2y3，
故答案为：﹣x3y+4x2y3．
28．数学老师讲了单项式乘多项式后，请同学们自己编题，小圣同学编题如下：2x（2y+□x﹣1）＝4xy+6x2﹣2x．你认为□内应填写 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵2x（2y+□x﹣1）＝4xy+6x2﹣2x，
左边2x（2y+□x﹣1）＝4xy+2×□x2﹣2x，
右边＝4xy+6x2﹣2x，
∴□内应填写：3．
故答案为：3．
29．计算：−4x2(12xy+2y3)= ﹣2x3y﹣8x2y3 ．
【答案】﹣2x3y﹣8x2y3
【解答】解：−4x2(12xy+2y3)=−2x3y﹣8x2y3．
故答案为：﹣2x3y﹣8x2y3．
▉题型5 多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
30．若整式（2x+m）（x﹣1）不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．2
【答案】D
【解答】解：（2x+m）（x﹣1）＝2x2+（m﹣2）x﹣m．
由（2x+m）（x﹣1）不含x的一次项，得
m﹣2＝0．
解得m＝2，
故选：D．
31．如果（x﹣4）（2x﹣3）＝2x2+mx+n，那么m、n的值分别是（ ）
A．﹣11，12B．11，12C．﹣11，﹣12D．11，﹣12
【答案】A
【解答】解：原式＝2x2﹣8x﹣3x+12
＝2x2﹣11x+12，
∵（x﹣4）（2x﹣3）＝2x2+mx+n，
∴m＝﹣11，n＝12．
故选：A．
32．若（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n，则m，n的值分别为（ ）
A．m＝1，n＝﹣6B．m＝5，n＝6C．m＝1，n＝6D．m＝5，n＝﹣6
【答案】A
【解答】解：∵（y+3）（y﹣2）＝y2﹣2y+3y﹣6＝y2+y﹣6，
∵（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n，
∴y2+my+n＝y2+y﹣6，
∴m＝1，n＝﹣6．
故选：A．
33．如图，一个长为a、宽为b的长方形，它的周长为18，面积为17，则（a+1）（b+1）的值为（ ）
A．27B．30C．33D．36
【答案】A
【解答】解：由题意得：2（a+b）＝18，ab＝17，
∴a+b＝9，
∴（a+1）（b+1）
＝ab+a+b+1
＝17+9+1
＝27，
故选：A．
34．小明用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一边长为a+2b，一边长为2a+b的矩形，已知她用了A类卡片2张，C类卡片2张，那么他使用B类卡片 5 张．
【答案】5．
【解答】解：一张A类卡片的面积是a×a＝a2，
一张B类卡片的面积是a×b＝ab，
一张C类卡片的面积是b×b＝b2，
（a+2b）（2a+b）
＝2a2+ab+4ab+2b2
＝2a2+5ab+2b2，
所以矩形需要2张A类卡片，5张B类卡片，2张C类卡片．
故答案为：5．
35．已知（x﹣3）（x2+mx+n）的乘积展开式中不含x2和x项，则m﹣n的值为 ﹣6 ．
【答案】﹣6
【解答】解：（x﹣3）（x2+mx+n）
＝x3+mx2+nx﹣3x2﹣3mx﹣3n
＝x3+（m﹣3）x2+（n﹣3m）x﹣3n，
由条件可知m﹣3＝0，n﹣3m＝0，
∴m＝3，n＝9，
∴m﹣n＝3﹣9＝﹣6，
故答案为：﹣6．
36．若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx+n，则mn＝ 6 ．
【答案】6．
【解答】解：（x+2）（x﹣3）
＝x2+2x﹣3x﹣6
＝x2﹣x﹣6
＝x2+mx+n，
则m＝﹣1，n＝﹣6，
那么mn＝﹣1×（﹣6）＝6，
故答案为：6．
37．如果（3x﹣9）（x+m）的乘积中不含x的一次项，那么m＝ 3 ．
【答案】3
【解答】解：（3x﹣9）（x+m）
＝3x2+3mx﹣9x﹣9m
＝3x2+（3m﹣9）x﹣9m，
∵（3x﹣9）（x+m）的乘积中不含x的一次项，
∴3m﹣9＝0，
∴m＝3，
故答案为：3．
题型1 同底数幂的乘法
题型2 幂的乘方与积的乘方
题型3 单项式乘单项式
题型4 单项式乘多项式
题型5 多项式乘多项式