湘教版（2024）七年级下册（2024）平方根优秀学案

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▉题型1 平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“−a”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
1．25的平方根是（ ）
A．5B．±5C．±5D．5
【答案】C
【解答】解：∵（±5）2＝25，
∴25的平方根是±5．
故选：C．
2．用等式表示“81的平方根等于±9”，正确的是（ ）
A．±9=81B．±81=±9C．81=±9D．±81=9
【答案】B
【解答】解：用等式表示“81的平方根等于±9”为±81=±9，
故选：B．
3．若一个正数的平方根分别是2m﹣2与m﹣4，则m为（ ）
A．﹣2B．1C．2D．﹣2或2
【答案】C
【解答】解：2m﹣2+m﹣4＝0，
3m﹣6＝0，
解得m＝2．
故选：C．
4．已知一个正数的平方根分别为2x+1和3﹣4x，则这个正数是（ ）
A．25B．16C．8D．2
【答案】A
【解答】解：根据题意得，2x+1+3﹣4x＝0，
解得x＝2，
∴2x+1＝5，
∴这个正数为52＝25，
故选：A．
5．如果a的平方根等于±2，那么a＝ 16 ．
【答案】16
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴a=4，
∴a＝（a）2＝16．
故答案为：16．
6．已知3a﹣2与6﹣5a均为正数n的平方根，则n的值为 16或1 ．
【答案】16或1．
【解答】解：由题意可知3a﹣2+6﹣5a＝0或3a﹣2＝6﹣5a，
解得a＝2或a＝1，
当a＝2时，
（3a﹣2）2＝16；
当a＝1时，3a﹣2＝1，n＝12＝1，
故答案为：16或1．
7．求下列各式中x的值：
（1）2x2=12；
（2）4（x﹣1）2＝9．
【答案】（1）x=±12；
（2）x=52或x=−12．
【解答】解：（1）由2x2=12得x2=14，
∵(±12)2=14，
∴x=±12；
（2）4（x﹣1）2＝9．
(x−1)2=94，
∵(±32)2=94，
∴x−1=±32，
解得x=52或x=−12．
▉题型2 算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
8．9的算术平方根为（ ）
A．3B．±3C．﹣3D．81
【答案】A
【解答】解：∵9=3，
∴9的算术平方根是3．
故选：A．
9．下列计算正确的是（ ）
A．(3)2=3B．±9=3
C．16=±4D．(−3)2=−3
【答案】A
【解答】解：A、（3）2＝3，故此选项正确；
B、±9=±3，故此选项错误；
C、16=4，故此选项错误；
D、(−3)2=3，故此选项错误；
故选：A．
10．设S1＝1+112+122，S2=1+122+132，S3=1+132+142，…，Sn=1+1n2+1(n+1)2，则
S1+S2+S3+⋯+S24的值为（ ）
A．2425B．245C．242425D．232324
【答案】C
【解答】解：S1=1+1+14=32=1+1−12，S2=1+14+19=76=1+12−13，S3=1+19+116=1312=1+13−14，S4=1+116+125=2120=1+14−15，…，
Sn=1+1n−1n+1，
∴S1+S2+⋯+S24
＝1+1−12+1+12−13+⋯+1+124−125
＝24+1−125
=62425
＝242425．
故选：C．
11．已知2.061≈1.435，20.61≈4.539，则20610≈（ ）
A．14.35B．143.5C．45.39D．453.9
【答案】B
【解答】解：∵2.061≈1.435，
∴20610=2.061×104=1002.061≈143.5．
故选：B．
12．100的算术平方根是（ ）
A．﹣10B．10C．±10D．10
【答案】B
【解答】解：∵102＝100，
∴100算术平方根是10；
故选：B．
13．大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是（ ）
A．1B．3C．5D．3
【答案】B
【解答】解：由题意可设正方形ABCD的面积为s，则其范围为1＜s＜5，
那么其边长在1到5之间，
则其边长为3，
故选：B．
14．已知：2a﹣7和a+4是某正数的平方根，b﹣7的算术平方根为2．
（1）求：a、b的值；
（2）求5a+b的算术平方根．
【答案】（1）a＝11，b＝11或a＝1，b＝11；
（2）5a+b的算术平方根是66或4．
【解答】解：由题意得，
当2a﹣7＝a+4时，
解得a＝11；
当2a﹣7+a+4＝0时，
解得a＝1，
∵22＝4，
∴b﹣7＝4，
解得b＝11，
∴a＝11，b＝11或a＝1，b＝11；
（2）由（1）题得，当a＝11，b＝11，
∴5a+b＝5×11+11＝66，
∴5a+b的算术平方根是66，
当a＝1，b＝11时，
5a+b＝5×1+11＝5+11＝16，
5a+b的算术平方根是16=4，
即5a+b的算术平方根是66或4．
▉题型3 非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
15．若|x+2|+y+1+(z−3)2=0，则x+y+z的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A．
【解答】解：∵|x+2|+y+1+(z−3)2=0，
∴x+2＝0，y+1＝0，z﹣3＝0，
∴x＝﹣2，y＝﹣1，z＝3，
∴x+y+z＝﹣2﹣1+3＝0．
故选：A．
16．已知2a−18+|b−1|=0，则ab的算术平方根是（ ）
A．3B．±3C．﹣3D．13
【答案】A
【解答】解：∵2a−18+|b−1|=0，
∴2a﹣18＝0，b﹣1＝0，
解得a＝9，b＝1，
∴ab=9，
∴ab的算术平方根是3，
故选：A．
17．已知实数x、y满足x−2+|y+1|=0，则x+y等于（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
【答案】C．
【解答】解：∵x−2+|y+1|=0，
∴x﹣2＝0，y+1＝0，
∴x＝2，y＝﹣1，
∴x+y＝2﹣1＝1．
故选：C．
18．设x，y为实数，且|x﹣4|+(y−5)2=0，则|x﹣y|的值是（ ）
A．1B．9C．4D．5
【答案】A
【解答】解：由题意得，x﹣4＝0，y﹣5＝0，
解得x＝4，y＝5，
所以，|x﹣y|＝|4﹣5|＝1．
故选：A．
19．若实数a，b满足a+3+|b−4|=0，那么a+b的值是（ ）
A．1B．﹣1C．﹣7D．7
【答案】A
【解答】解：∵a+3+|b−4|=0，
∴a+3＝0，b﹣4＝0，
解得：a＝﹣3，b＝4，
则a+b＝﹣3+4＝1．
故选：A．
20．已知x，y为实数，且x−1+(y+2)2=0，则（x+y）2023的值为（ ）
A．±1B．0C．﹣1D．1
【答案】C
【解答】解：∵x−1+(y+2)2=0，
∴x﹣1＝0，y+2＝0，
解得x＝1，y＝﹣2，
当x＝1，y＝﹣2时，
（x+y）2023＝（1﹣2）2023＝﹣1．
故选：C．
21．若实数x，y满足|x+7|+y−6=0，则x﹣y的值为 ﹣13 ．
【答案】﹣13．
【解答】解：∵|x+7|+y−6=0，
∴x+7＝0，y﹣6＝0，
∴x＝﹣7，y＝6，
∴x﹣y＝﹣7﹣6＝﹣13．
故答案为：﹣13．
▉题型4 计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
22．如图，某同学利用计算器中的，，三个按键设置计算程序，以下是这三个按键的功能．
①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；
②：将荧幕显示的数变成它的倒数；
③：将荧幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，程序将按照以下步骤进行，依次按照从第一步到第三步循环计算．
若一开始输入的数据为10，那么第2021步之后，显示的结果是（ ）
A．1010B．100C．0.1D．0.01
【答案】B
【解答】解：由题意可知：第一步结果为102＝100，
第二步结果为1100=0.01，
第三步结果为0.01=0.1，
第四步结果为0.12＝0.01，
第五步结果为10.01=100，
第六部结果为100=10，
……
∴运算结果是以100、0.01、0.1、0.01、100、10六个数为一组周期循环的，
∵2021÷6＝336……5，
∴第2001步之后的显示结果为100，
故选：B．
23．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
根据以上规律，若1.69=1.30，16.9≈4.11，则1690=（ ）
A．13.0B．130C．41.1D．411
【答案】C
【解答】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位．
∵16.9×100＝1690，
∴1690=16.9×10＝41.1．
故选：C．
24．下列计算结果正确的是（ ）
A．0.43≈0.066B．895≈30
C．2536≈60.4D．3900≈96
【答案】B
【解答】解：A、0.43≈0.6557，故本选项错误；
B、895≈29.92≈30，故本选项正确；
C、2536≈50.4，故本选项错误；
D、3900≈9.65，故本选项错误．
故选：B．
25．在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据：
（1）通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 10 倍；
（2）已知7≈2.646，根据上述规律直接写出下列各式的值：0.07≈ 0.2646 ，700≈ 26.46 ；
（3）已知10404=102，x=10.2，y=1020，则x＝ 104.04 ，y ＝1040400 ；
（4）小明思考如果把平方根换成立方根，若30.3≈0.669，33≈1.442，则3300≈ 6.69 ，33000≈ 14.42 ．
【答案】（1）10；
（2）0.2646，26.46；
（3）104.04，1040400；
（4）6.69，14.42．
【解答】解：（1）被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍，
故答案为：10；
（2）0.07≈ 0.2646，700≈ 26.46，
故答案为：0.2646，26.46；
（3）∵10404=102，x=10.2，y=1020，
x＝104.04，y＝1040400，
故答案为：104.04，1040400；
（4）由（1）的规律可知：被开方数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，
∵若33≈0.669，33≈1.442，
∴3300≈6.69，33000≈14.42，
故答案为：6.69，14.42．
▉题型4 无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如2，3，35等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如16是有理数，而不是无理数．
26．下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣3.14159B．36C．0D．40
【答案】D
【解答】解：﹣3.14159是有限小数，36=6，0是整数，它们不是无理数，
40是无限不循环小数，它是无理数，
故选：D．
27．下列各实数中，无理数的是（ ）
A．2B．1517C．3.1415926D．0.6⋅7⋅
【答案】A
【解答】解：2是无限不循环小数，它是无理数；
1517，3.1415926，0.6⋅7⋅是分数，它们不是无理数；
故选：A．
28．在1.414，π，237，2−3，2.1010010001…（相邻两个1中间0的个数逐次加1），1.21，3−27中，无理数个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解答】解：无理数有π，2−3，2.1010010001⋯（相邻两个1中间0的个数逐次加1），共3个，
故选：B．
29．下列各数是无理数的是（ ）
A．4B．−227
C．1.010010001D．π
【答案】D
【解答】解：1.010010001，−227是分数，属于有理数；
4=2，是整数，属于有理数；
π是无理数．
故选：D．
30．下列各数不是无理数的是（ ）
A．5
B．33
C．0.1515515551…（每两个1之间依次增加一个5）
D．−27
【答案】D
【解答】解：5，33，0.1515515551…（每两个1之间依次增加一个5）是无限不循环小数，它们是无理数，
−27是分数，它不是无理数，
故选：D．
31．下列实数227、4、3.1415、8中，其中无理数是（ ）
A．227B．4C．3.1415D．8
【答案】D
【解答】解：实数227、4、3.1415、8中，
227、4=2、3.1415、是有理数，故A，B，C选项不符合题意；
8=22是无理数，故D选项符合题意．
故选：D．
题型1 平方根
题型2 算术平方根
题型3 非负数的性质：算术平方根
题型4 计算器—数的开方
题型5 无理数
…
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
…
…
0.25
0.7906
2.5
7.906
25
79.06
250
…
…
0.0324
0.324
3.24
32.4
324
3240
32400
…
…
0.18
0.569
1.8
5.69
18
56.9
180
…