北师大版（2024）七年级下册（2024）探索直线平行的条件精品导学案

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题型1．同位角、内错角、同旁内角（共15小题）
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
1．如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中不正确的是（ ）
A．∠1与∠2是邻补角B．∠2与∠4是同位角
C．∠1与∠4是内错角D．∠1与∠3是对顶角
【答案】C
【解答】解：根据对顶角、邻补角、内错角和同位角的定义逐项分析判断如下：
A、∠1与∠2是邻补角，该说法正确，不符合题意；
B、∠2与∠4是同位角，该说法正确，不符合题意；
C、∠1与∠4不是内错角，该说法不正确，符合题意；
D、∠1与∠3是对顶角，该说法正确，不符合题意；
故选：C．
2．若直线a，b，c相交如图所示，则∠1的内错角为（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
【答案】C
【解答】解：∠1的内错角是∠4．
故选：C．
3．如图，已知∠ABC与∠DEF，其中AB与EF相交，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角B．∠3与∠6是对顶角
C．∠2与∠5是内错角D．∠3与∠5是同位角
【答案】C
【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，原说法正确，不符合题意；
B、∠3与∠6是对顶角，原说法正确，不符合题意；
C、∠2与∠5不是内错角，原说法错误，符合题意；
D、∠3与∠5是同位角，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
4．下列判断错误的是（ ）
A．∠2与∠4是同旁内角B．∠3与∠4是内错角
C．∠5与∠6是同旁内角D．∠1与∠5是同位角
【答案】C
【解答】解：A、∠2与∠4是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、∠3与∠4是内错角，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、∠5与∠6不是同旁内角，原说法错误，故此选项符合题意；
D、∠1与∠5是同位角，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．如图，在所标识的角中，内错角是（ ）
A．∠1与∠2B．∠1与∠3C．∠1与∠4D．∠1与∠5
【答案】D
【解答】解：根据内错角的定义得∠1与∠5是内错角．
故选：D．
6．如图，有下列说法：①∠2与∠4是同位角；②∠3与∠4是同旁内角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是内错角．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的定义可得：
①∠2与∠4是同位角，正确，故①符合题意；
②∠3与∠4是同旁内角，正确，故②符合题意
③∠5与∠6是邻补角，不是同旁内角，故③不符合题意；
④∠1与∠4是内错角，正确，故④符合题意．
故选：C．
7．下列说法中正确的是（ ）
A．一个角的余角一定是锐角
B．因为∠1＝∠2，所以∠1 与∠2是对顶角
C．从直线外一点到这条直线的垂线段叫作点到直线的距离
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【答案】A
【解答】解：根据互余的定义、对顶角的定义、点到直线的距离的定义、平行线的性质来逐一判断如下：
A．若两角互余，和为90°，则其中一个角必然小于90°，即一定是锐角，故本选项说法正确，符合题意；
B．对顶角需满足顶点重合，两边互为反向延长线，仅∠1＝∠2不能判定是对顶角，故本选项说法错误，不符合题意；
C．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离，而非垂线段本身，故本选项说法错误，不符合题意；
D．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，缺少“平行”条件，故本选项说法错误，不符合题意．
故选：A．
8．如图，ED，CM与AO交于C点，OB，ON与AO交于O点，那么下列说法正确的是（ ）
①∠2和∠4是同位角 ②∠1和∠3是同位角 ③∠ACD和∠AOB是内错角
④∠1和∠4是同旁内角 ⑤∠ECO和∠AOB是内错角 ⑥∠OCD和∠4是同旁内角．
A．②③⑤B．①③⑤C．②③④D．①⑤⑥
【答案】D
【解答】解：由图可得，
①∠2和∠4是CM与ON被AO所截而成的同位角
②∠1和∠3不是同位角
③∠ACD和∠AOB是同位角，而不是内错角
④∠1和∠4不是同旁内角
⑤∠ECO和∠AOB是DE与OB被AO所截而成的内错角
⑥∠OCD和∠4是CD与OB被CO所截而成的同旁内角．
故选：D．
9．若∠α与∠β同旁内角，且∠α＝50°时，则∠β的度数为（ ）
A．50°B．130°C．50°或130°D．无法确定
【答案】D
【解答】解：虽然α和β是同旁内角，但缺少两直线平行的前提，所以无法确定β的度数．
故选：D．
10．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，画射线ED．下列说法错误的是（ ）
A．∠B与∠2是同旁内角B．∠A与∠1是同位角
C．∠3与∠A是同旁内角D．∠3与∠4是内错角
【答案】B
【解答】解：A．∠B与∠2是BC、DE被BD所截而成的同旁内角，故本选项正确；
B．∠A与∠1不是同位角，故本选项错误；
C．∠3与∠A是AE、DE被AD所截而成的同旁内角，故本选项正确；
D．∠3与∠4是内错角AD、CE被ED所截而成的内错角，故本选项正确；
故选：B．
11．如图，能与∠1构成同位角的有 3 个．
【答案】3
【解答】解：如图所示：
图中的∠NGE，∠NHF，∠MIP均能与∠1构成同位角．
故答案为：3．
12．如图，给出下列结论：
①∠1与∠2是同旁内角；
②∠1与∠3是同位角；
③∠1与∠4是内错角；
④∠1与∠5是同位角；
⑤∠2与∠4是对顶角，
其中说法正确的是 ①②⑤ ．（填序号）
【答案】①②⑤．
【解答】解：两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的两个角即为同位角，
则∠1和∠3是同位角，∠1和∠5不是同位角，
那么②正确，④错误；
两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的两侧，且夹在被截两直线a，b之间的两个角即为内错角，
则∠1和∠4不是内错角，
那么③错误；
两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b之间的两个角即为同旁内角，
则∠1与∠2是同旁内角，
那么①正确；
如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角即为对顶角，
则∠2与∠4是对顶角，
那么⑤正确；
故答案为：①②⑤．
13．如图，图中同位角一共 6 对、内错角一共 3 对、同旁内角有一共 3 对．
【答案】6；3；3
【解答】解：图中同位角共6对：∠AME与∠CNE，∠FNC与∠FMA，∠FNC与∠FMG，∠EMG与∠CNE，∠BME与∠DNE，∠FND与∠FMB；
内错角共3对：与∠∠AMN与∠DNM，∠GMN与∠DNM，∠BMN与∠CNM；
同旁内角共3对：∠BMN与∠DNM，∠AMN与∠CNM，∠GMN与∠CNM．
14．如图1，对于两条直线l1，l2被第三条直线l3所截的同旁内角∠α，∠β满足∠β＝∠α+30°，则称∠β是∠α的关联角．
（1）已知∠β是∠α的关联角．
①当∠α＝50°时，∠β＝ 80 °；
②当2∠α﹣∠β＝45°时，直线l1，l2的位置关系为 平行 ；
（2）如图2，已知∠AGH是∠CHG的关联角，点O是直线EF上一定点．求证：∠DHG是∠BGH的关联角．
【答案】（1）①80；②平行；
（2）见解析．
【解答】（1）解：①由条件可知∠β＝∠α+30°＝50°+30°＝80°；
②由题意得2∠α−∠β=45°∠β=∠α+30°，
解得∠α=75°∠β=105°，
∵∠β+∠α＝75°+105°＝180°，
∴l1∥l2，
即直线l1，l2的位置关系为：平行；
故答案为：①80；②平行；
（2）证明：由条件可知∠AGH＝∠CHG+30°，
∴∠AGH﹣∠CHG＝30°，
∵∠DHG＝180°﹣∠CHG，∠BGH＝180°﹣∠AGH，
∴∠DHG﹣∠BGH＝180°﹣∠CHG﹣（180°﹣∠AGH）＝∠AGH﹣∠CHG＝30°，
∴∠DHG＝∠BGH+30°，
∴∠DHG是∠BGH的关联角．
15．如图，已知直线EF与AB交于点M，与CD交于点O，OG平分∠DOF，若∠COM＝120°，∠EMB=12∠COF．
（1）求∠FOG的度数；
（2）写出一个与∠FOG互为同位角的角；
（3）直接写出∠AMO的所有内错角，同旁内角的度数之和．
【答案】（1）60°；
（2）∠BMF；
（3）300°．
【解答】解：（1）因为∠COM＝120°，
所以∠DOF＝120°，
因为 OG 平分∠DOF，
所以∠FOG＝60°；
（2）与∠FOG互为同位角的角是∠BMF；
（3）∠AMO 的同旁内角是∠COM，
∠AMO 的内错角有∠MOG，∠MOD，
由条件可知∠DOF＝120°，∠DOG=12∠DOF，
∴∠DOG＝60°，
∵∠DOM＝180°﹣∠COM＝60°，
∴∠MOG＝∠DOM+∠DOG＝120°，
所以∠AMO的所有内错角，同旁内角的度数之和为120°+120°+60°＝300°．
题型2．平行线（共11小题）
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
16．下列说法中正确的是（ ）
A．不相交的两条直线是平行线
B．同一平面内，不相交的两条射线叫作平行线
C．同一平面内，两条直线不相交就重合
D．同一平面内，无公共点的两条直线是平行线
【答案】D
【解答】解：A．同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故本选项错误；
B．同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线，故本选项错误；
C．同一平面内，两条直线不相交（重合除外）就平行，故本选项错误；
D．同一平面内，无公共点的两条直线是平行线，故本选项正确；
故选：D．
17．如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直
C．平行或垂直D．无法确定
【答案】A
【解答】解：观察图形可知，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行．
故选：A．
18．在下列4个判断中：
①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解答】解：在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故①错误，②正确；
在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交故，③错误，④正确．
故正确判断的个数是2．
故选：C．
19．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．平行或相交D．平行、相交或垂直
【答案】C
【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，
所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．
故选：C．
20．下列说法正确的有（ ）
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角叫对顶角；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤两点之间的距离是两点间的线段；
⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，故①说法正确．
②相等的角不一定是对顶角，故②说法错误．
③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法错误．
④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④说法错误．
⑤两点之间的距离是两点间的线段的长度，故⑤说法错误．
⑥在同一平面内，直线的位置关系只有两种：相交和平行，故⑥说法正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
21．若a⊥b，c⊥d，则a与c的关系是（ ）
A．平行B．垂直
C．相交D．以上都不对
【答案】D
【解答】解：当b∥d时a∥c；
当b和d相交但不垂直时，a与c相交；
当b和d垂直时，a与c垂直；
a和c可能平行，也可能相交，还可能垂直，
故选：D．
22．同一平面内有三条直线，如果只有两条平行，那么它们交点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解答】解：根据题意，第三条直线与这两条平行直线各有一个交点．
故选：C．
23．下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解答】解：①一条直线有无数条垂线，故①错误；
②不相等的两个角一定不是对顶角，故②正确；
③在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故③错误；
④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等或互补，故④错误；
⑤不在同一直线上的四个点可画4或6条直线，故⑤错误；
⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，故⑥正确．
所以错误的有4个．
故选：C．
24．在同一平面内，直线a与b相交于点M，a∥c，那么b与c的关系是（ ）
A．平行B．相交
C．平行与相交D．不能确定
【答案】B
【解答】解：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交．
故选：B．
25．如图所示，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，与棱AD平行的棱有 3 条．
【答案】3．
【解答】解：与棱AD平行的棱有：BC，B′C′，A′D′，共有3条．
故答案为：3．
26．如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画l1∥OA；
（2）过P画l2∥OB；
（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（2）如图所示，
（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．
题型3．平行公理及推论（共16小题）
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
27．下列说法错误的个数是（ ）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故③错误；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故④正确；
故选：C．
28．a，b，c是三条直线，如果a∥b，b∥c，那么（ ）
A．a∥bB．a∥c
C．a＝cD．以上全不对
【答案】B
【解答】解：∵a∥b，b∥c，
∴a∥c，
故选：B．
29．经过直线外一点，有几条直线和已知直线平行（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】B
【解答】解：根据平行公理，即过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行．
故选：B．
30．已知直线OA，P是平面内任意一点，过点P画一条直线与OA平行，则这样的直线（ ）
A．有且仅有一条B．有两条
C．不存在D．有一条或不存在
【答案】D
【解答】解：如果P在直线OA上，过点P不能画与OA平行的直线，
如果P在直线OA外，过点P只能画一条直线与OA平行，
∴这样的直线有一条或不存在．
故选：D．
31．下列语句：
①不相交的两条直线叫平行线
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解答】解：①不相交的两条直线叫平行线，必须是在同一平面内，故错误；
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行、重合，不正确
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行，错误；
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，正确；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，
故选：A．
32．如图，已知AB∥CD，EF∥CD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．∠BCD＝∠DCE
B．∠ABC+∠BCE+∠CEF＝360°
C．∠BCE+∠DCE＝∠ABC+∠BCD
D．∠ABC+∠BCE﹣∠CEF＝180°
【答案】D
【解答】解：延长DC到G，
∵EF∥CD，
∴∠GCE＝∠CEF，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCG＝180°，
∴∠ABC+∠BCE﹣∠GCE＝180°，
∴∠ABG+∠BCE﹣∠CEF＝180°，
故选：D．
33．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【解答】解：A、直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故A符合题意；
B、两点确定一条直线，是直线的性质，故B不符合题意；
C、连接两点的所有线中，线段最短，故C不符合题意；
D、平行线的一条性质，故D不符合题意．
故选：A．
34．如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于（ ）
A．∠1+∠2B．∠2﹣∠1
C．180°﹣∠2+∠1D．180°﹣∠1+∠2
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，
∴∠1＝∠BCD，∠DCE+∠2＝180°，
∴∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝∠1+180°﹣∠2．
故选：C．
35．下面推理正确的是（ ）
A．∵a∥b，b∥c，∴c∥dB．∵a∥c，b∥d，∴c∥d
C．∵a∥b，a∥c，∴b∥cD．∵a∥b，c∥d，∴a∥c
【答案】C
【解答】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是a∥c，而非c∥d，故错误；
B、没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故错误；
C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故正确；
D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行．
故选：C．
36．下列说法错误的是（ ）
A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行
D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线
【答案】D
【解答】解：A、在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，正确，不合题意；
B、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，正确，不合题意；
C、经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行，正确，不合题意；
D、在同一平面内，不相交的两条线段是平行线，错误，符合题意．
故选：D．
37．如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ．
【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【解答】解：已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
38．下列四种说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③相等的角是对顶角；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
其中，错误的是 ①②③ （填序号）．
【答案】①②③
【解答】解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴①错误；
∵在同一平面内，两条不相交的线段可能在一条直线上，说两线段是平行线段不对，∴②错误；
∵相等的角不一定是对顶角，∴③错误；
∵在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，正确，∴④正确；
故答案为：①②③．
39．设a、b、c为平面上三条不同直线，
（1）若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是 a∥c ；
（2）若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是 a∥c ．
【答案】a∥c；a∥c
【解答】解：（1）∵a∥b，b∥c，
∴a∥c；
（2）∵a、b、c为平面上三条不同直线，a⊥b，b⊥c，
∴a∥c．
故答案为：a∥c，a∥c．
40．如图1，已知AC∥BD，点P是直线AC，BD间的一点，连接AB，AP，BP，过点P作直线MN∥AC．
（1）MN与BD的位置关系是什么，请说明理由；
（2）试说明∠APB＝∠PBD+∠PAC；
（3）如图2，当点P在直线AC上方时，（2）中的三个角的数量关系是否仍然成立？如果成立，试说明理由；如果不成立，试探索它们存在的关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）平行； 理由如下：
∵AC∥BD，MN∥AC，
∴MN∥BD；
（2）∵AC∥BD，MN∥BD，
∴∠PBD＝∠1，∠PAC＝∠2，
∴∠APB＝∠1+∠2＝∠PBD+∠PAC．
（3）答：不成立．
它们的关系是∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．
理由是：如图2，过点P作PQ∥AC，
∵AC∥BD，
∴PQ∥AC∥BD，
∴∠PAC＝∠APQ，∠PBD＝∠BPQ，
∴∠APB＝∠BPQ﹣∠APQ＝∠PBD﹣∠PAC．
41．如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？你能说明理由吗？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：共线．
因为过直线AB外一点C有且只有一条直线与AB平行，CD、DE都经过点C且与AB平行，
所以点C、D、E三点共线．
42．如图，AD∥BC，E为AB上任一点，过E点作EF∥AD交DC于F．问EF与BC的位置关系怎样，为什么？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AD∥BC，EF∥AD，
∴EF∥BC（平行公理）．
题型4．平行线的判定（共18小题）
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
43．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4
C．∠3+∠5＝180°D．∠2＝∠3
【答案】A
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠5，
因为“同旁内角互补，两直线平行”，
所以本选项不能判断AB∥CD，符合题意；
B、∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD，不符合题意；
C、∵∠3+∠5＝180°，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD，不符合题意；
D、∵∠2＝∠3，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD，不符合题意．
故选：A．
44．如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件：
①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°；
③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°．
其中能判断AD∥BC的是（ ）
A．①②B．①④C．①③D．②④
【答案】B
【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴AD∥BC；
②∵∠2+∠5＝180°，∵∠5＝∠AGC，∴∠2+∠AGC＝180°，∴AB∥DC；
③∵∠4＝∠B，∴AB∥DC；
④∵∠D+∠BCD＝180°，∴AD∥BC．
故选：B．
45．如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DF的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠4+∠2＝180°
C．∠2＝∠3D．∠A＝∠1
【答案】A
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴EF∥AB，
故A符合题意；
∵∠4+∠2＝180°，
∴AC∥DF，
故B不符合题意；
∵∠2＝∠3，
∴AC∥DF，
故C不符合题意；
∵∠A＝∠1，
∴AC∥DF，
故D不符合题意；
故选：A．
46．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个．
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：（1）由条件可知AB∥CD，符合题意；
（2）由条件可知AD∥BC，不符合题意；
（3）∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD，符合题意；
（4）∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD，符合题意；
综上所述，能判定AB∥CD的条件有3个，
故选：C．
47．如图，下列条件中，不能判定直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°
C．∠2＝∠3D．∠4＝∠5
【答案】C
【解答】解：A、∵∠1＝∠3，
∴直线l1∥l2，故此选项不合题意；
B、∵∠2+∠4＝180°，
∴直线l1∥l2，故此选项不合题意；
C、∠2＝∠3，不能得出直线l1∥l2，故此选项符合题意；
D、∵∠4＝∠5，
∴直线l1∥l2，故此选项不合题意；
故选：C．
48．下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，∴BC∥AD，不符合题意；
B、∠1＝∠2不能判定AB∥CD，不符合题意；
C、如图，∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD，符合题意；
D、∠1＝∠2不能判定AB∥CD，不符合题意，
故选：C．
49．下列说法中错误的个数是（ ）
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行
（2）不相交的两条直线叫做平行线
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种
（4）相等的角是对顶角
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故说法错误；
（2）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．故说法错误；
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种，故说法正确；
（4）相等的角不一定是对顶角，故说法错误．
故选：C．
50．如图，直线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD交AB于点G．下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠2＝∠3B．∠1＝∠3
C．∠4+∠5＝180°D．∠4＝∠2+∠3
【答案】D
【解答】解：A．由∠2＝∠3可得AB∥CD，根据内错角相等，两直线平行，故不符合题意；
B．∵FG平分∠EFD交AB于点G．
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
由∠2＝∠3可得AB∥CD，根据内错角相等，两直线平行，故不符合题意；
C．∵∠4+∠5＝180°，∠EFD+∠5＝180°，
∴∠4＝∠EFD，
由∠4＝∠EFD可得AB∥CD，根据同位角相等，两直线平行，故不符合题意；
D．∵∠4＝∠2+∠3，∠4＝∠1+∠3，
∴∠1＝∠2，
故符合题意．
故选：D．
51．如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4
C．∠D＝∠DCED．∠D+∠ACD＝180°
【答案】A
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，符合题意；
B、∵∠3＝∠4，∴BD∥AC，不能判定AB∥CD，不符合题意；
C、∵∠D＝∠DCE，∴BD∥AC，不能判定AB∥CD，不符合题意；
D、∵∠D+∠ACD＝180°，∴BD∥AC，不能判定AB∥CD，不符合题意，
故选：A．
52．老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得AB∥CD，随后抽取了四名学生的答案纸展示如下：
甲：∠B+∠BCD＝180°；
乙：∠1＝∠2；
丙：∠B＝∠DCE；
丁：∠3＝∠4．
则不能得到AB∥CD的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【解答】解：甲、当∠B+∠BCD＝180°时，由同旁内角互补，两直线平行得AB∥CD，故不符合题意；
乙、∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，故不符合题意；
丙、当∠B＝∠DCE时，由同位角相等，两直线平行得AB∥CD，故不符合题意；
丁、当∠3＝∠4时，由内错角相等，两直线平行得AD∥BC，故符合题意．
故选：D．
53．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）
①∠B+∠BCD＝180°；
②∠1＝∠2；
③∠3＝∠4；
④∠B＝∠5；
⑤∠D＝∠5．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：①∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，故此选项正确，符合题意；
②∠1＝∠2，
∴AD∥BC，故此选项不正确，不符合题意；
③∠3＝∠4，
∴AB∥CD，故此选项正确，符合题意；
④∠B＝∠5，
∴AB∥CD，故此选项正确，符合题意；
⑤∠D＝∠5，
∴AD∥BC，故此选项不正确，不符合题意，
∴能判定AB∥CD的条件有①③④，共3个，
故选：C．
54．下列4个图形中，若∠1＝∠2，则能判定AB∥CD的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A、B、C中的两个角不是同位角，也不是内错角，不能判定AB∥CD，故A、B、C不符合题意；
D、由内错角相等，两直线平行判定AB∥CD，故D符合题意．
故选：D．
55．如图，添加下列一个条件后，不能判定BC∥AD的是（ ）
A．∠1＝∠2+∠3B．∠2＝∠4
C．∠3＝∠5D．∠D+∠4+∠5＝180°
【答案】B
【解答】解：A：∵∠1＝∠2+∠3，∴AD∥BC，故A不符合题意；
B：∵∠2＝∠4，∴AB∥CD，故B符合题意；
C：∵∠3＝∠5，∴AD∥BC，故C不符合题意；
D：∵∠D+∠4+∠5＝180°，∴AD∥BC，故D不符合题意；
故选：B．
56．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，AB∥CD，∠ABE＝130°，∠CDE＝145°，此时BED的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【答案】D
【解答】解：过E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥CD，
∴∠ABE+∠BEM＝∠CDE+∠DEM＝180°，
∴∠ABE+∠BEM+∠CDE+∠DEM＝360°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°，
∵∠ABE＝130°，∠CDE＝145°，
∴∠BED＝360°﹣130°﹣145°＝85°．
故选：D．
57．以下说法中：（1）同角或等角的余角相等；（2）平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；（3）对顶角相等；（4）不相交的两条直线叫平行线；（5）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解答】解：（1）同角或等角的余角相等，正确，符合题意；
（2）同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，不符合题意；
（3）对顶角相等，正确，符合题意；
（4）同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，原说法错误，不符合题意；
（5）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确，符合题意．
故选：B．
58．某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向左拐45°，第二次向右拐135°
C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°
D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°
【答案】D
【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，
∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，
故选：D．
59．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 2秒或38秒 时，CD与AB平行．
【答案】2秒或38秒．
【解答】解：分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF，
即120°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝2；
此时（180°﹣60°）÷6＝20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝38，
此时（360°﹣60°）÷6＝50，
∴20＜t＜50；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即（6t）°﹣300°＝t°﹣110°，
解得t＝38，
此时t＞50，
∵38＜50，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为2秒或38秒时，CD与AB平行．
故答案为：2秒或38秒．
60．如图，点A在直线DE上，则∠BAC的度数为 46° 时，DE∥BC．
【答案】46°．
【解答】解：∵DE∥BC（已知），
∴∠EAC＝180°﹣124°＝56°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠BAC＝180°﹣78°﹣56°＝46°，
即当∠BAC的度数为46°时，DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：46°．
题型1 同位角、内错角、同旁内角
题型2 平行线
题型3 平行公理及推论
题型4 平行线的判定