初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）两条直线的位置关系优秀学案

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题型1.余角和补角（共9小题）
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
1．将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：C中的α+β＝180°﹣90°＝90°，
故选：C．
2．一个角的补角比这个角的余角的3倍少20°，这个角的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【答案】B
【解答】解：设这个角为α，则它的补角为180°﹣α，余角为90°﹣α，
根据题意得，180°﹣α＝3（90°﹣α）﹣20°，
解得α＝35°．
故选：B．
3．如图，若∠AOB＝∠COD＝90°，则有∠AOC＝∠BOD，其依据是（ ）
A．同角的余角相等
B．同角的补角相等
C．互为余角的两个角相等
D．互为余角的两个角的和为90°
【答案】A
【解答】解：由条件可知∠COD＝∠BOD+∠BOC＝90°，
∴∠BOC既是∠AOC的余角，又是∠BOD的余角，
∴∠AOC＝∠BOD，其依据是同角的余角相等，
故选：A．
4．若一个角的补角等于它的余角的3倍，则这个角的度数为 45 度．
【答案】45
【解答】解：设这个角为x度，则：180﹣x＝3（90﹣x）．
解得：x＝45．
故这个角的度数为45度．
5．如图，将一副三角板的直角顶点O叠放在一起，∠BOC=15∠AOD，则∠BOD＝ 60 °．
【答案】60．
【解答】解：∵∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠DOB+∠BOC＝∠AOB+∠COD，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∵∠BOC=15∠AOD，
∴∠AOD+15∠AOD=180°，
∴∠AOD＝150°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝150°﹣90°＝60°，
故答案为：60．
6．一个角的余角比它的补角的15还少2°，则这个角的度数是 70° ．
【答案】70°
【解答】解：设这个角的度数为x，
根据题意得：90°﹣x=15（180°﹣x）﹣2°，
解得：x＝70°．
所以这个角的度数为70°．
故答案为：70°．
7．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使∠COD＝90°，当∠AOC＝40°时，∠BOD的度数是 50°或130° ．
【答案】50°或130°．
【解答】解：当OC、OD在直线AB同侧时，
由条件可知∠BOD＝90°﹣∠AOC＝50°；
当OC、OD在直线AB异侧时，
由条件可知∠AOD＝50°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝130°．
故答案为：50°或130°．
8．综合与探究
【实践操作】三角尺中的数学
数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．
【问题发现】
（1）①填空：如图1，若∠ACB＝145°，则∠ACE的度数是 55° ，∠DCB的度数 55° ，∠ECD的度数是 35° ．
②如图1，你发现∠ACE与∠DCB的大小有何关系？∠ACB与∠ECD的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．
【类比探究】
（2）如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∠ACE＝∠DCB＝145°﹣90°＝55°，
∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣55°＝35°；
②∠ACE＝∠DCB，∠ACB+∠ECD＝180°；
（2）答：当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立．
理由：因为∠ACD＝∠ECB＝90°，
所以∠ACD+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，
所以∠ACE＝∠DCB，
因为∠ACD＝∠ECB＝90°，
所以∠ACD+∠ECB＝180°，
因为∠ACD+∠ECD+∠ECB+∠ACB＝360°，
所以∠ACB+∠ECD＝180°，
所以∠ACE＝∠DCB，∠ACB+∠ECD＝180°．
所以上述②中发现的结论依然成立．
故答案为：55°，55°，35°．
9．已知，如图，把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．
（1）如图1，若∠MOC＝28°，求∠BON的度数．
（2）若∠MOC＝m°，则∠BON的度数为 2m° ．
（3）由（1）和（2），我们发现∠MOC和∠BON之间有什么样的数量关系？
（4）若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，试问∠MOC和∠BON之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，∵∠MOC＝28°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣28°＝62°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝62°，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣62°×2＝56°，
（2）如图1，∵∠MOC＝m°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣m°＝（90﹣m）°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝（90﹣m）°，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣（90﹣m）°×2＝2m°，
故答案为：2m°；
（3）由（1）和（2）可得：∠BON＝2∠MOC；
（4）∠MOC和∠BON之间的数量关系不发生变化，
如图2，∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOC＝∠NOC＝90°﹣∠MOC，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2（90°﹣∠MOC）＝2∠MOC，
即：∴∠BON＝2∠MOC．
题型2．相交线（共8小题）
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
10．按下面语句画图：点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a，b，c两两相交，图中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：选项A中，点M在直线a上，也在直线b上，不在直线c上，但直线b、c不相交，故A不符合题意，
选项B中，直线a，b，c两两相交，且点M在直线a上，也在直线b上，不在直线c上，故B符合题意，
选项C中，直线a，b，c两两相交，但点M在直线c上，故C不符合题意，
选项D中直线a，b，c两两相交，但点M在直线c上，且不在直线a上，故D不符合题意，
故选：B．
11．平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（ ）
A．n（n﹣1）B．n2﹣n+1C．n+1D．n2−n+22
【答案】D
【解答】解：2条直线相交最多可以有1个交点，最少有1个交点；
3条直线相交最多可以有1+2个交点，最少有1个交点；
4条直线相交最多可以有1+2+3个交点，最少有1个交点；
5条直线相交最多可以有1+2+3+4个交点，最少有1个交点；
6条直线相交最多可以有1+2+3+4+5个交点，最少有1个交点；
…
n条直线相交最多可以有1+2+3+4+5+⋯+(n−1)=n(n−1)2个交点，最少有1个交点；
所以a=n(n−1)2，而b＝1，
∴a+b=n2−n+22．
故选：D．
12．在同一平面内，不重合的三条直线的交点有（ ）个．
A．1或2B．2或3
C．1或3D．0或1或2或3
【答案】D
【解答】解：因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论：
①三条直线互相平行，有0个交点；
②一条直线与两平行线相交，有2个交点；
③三条直线都不平行，有1个或3个交点；
所以交点的个数可能为0个或1个或2个或3个．
故选：D．
13．如图，在同一平面内有n条直线两两相交，当n＝2时邻补角的对数计为a1，当n＝3时邻补角的对数计为a2，当n＝4时邻补角的对数计为a3•••以此类推当n＝2024时邻补角的对数计为a2023．则1a1+1a2+1a3+⋯+1a2023的值为（ ）
A．20234048B．40462023C．20232024D．20231024
【答案】A
【解答】解：当n＝2时邻补角的对数计为a1＝4＝1×2×2，
当n＝3时邻补角的对数计为a2＝12＝2×2×3，
当n＝4时邻补角的对数计为a3＝24＝2×3×4，
……，
当n＝2024时邻补角的对数计为a2023＝2×2023×2024，
∴1a1+1a2+1a3+⋯+1a2023
=12×（11×2+12×3+13×4+⋯+12023×2024）
=12×（1−12+12−13+13−14+⋯+12023−12024）
=12×（1−12024）
=20234048；
故选：A．
14．平面上4条不重合的直线两两相交，交点最多的个数是（ ）
A．4个B．3个C．6个D．5个
【答案】C
【解答】解：若4条直线相交，其位置关系有3种，如图所示：
则交点的个数有1个或4个或6个．所以最多有6个交点．
故选：C．
15．如图，从点A到点B有3条路，其中走ADB最近，其数学依据是（ ）
A．经过两点有且只有一条直线
B．两条直线相交只有一个交点
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．直线比曲线短
【答案】C
【解答】解：从点A到点B有3条路，其中走ADB最近，其数学依据是两点之间的所有连线中，线段最短．
故选：C．
16．观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 45 ．
【答案】45
【解答】解：十条直线相交最多的交点个数有10×(10−1)2=45，
故答案为：45．
17．公园因游客多，准备修10条笔直的路，要求交叉口越多越好，则交叉口最多有 45 个．
【答案】45
【解答】解：∵准备修10条笔直的路，要求交叉口越多越好，
∴交叉口只能是垂直交叉口，
∴当一条公路交叉口0个；
当二条公路交叉口最多有1个；
当三条公路交叉口最多有1+2个；
当四条公路交叉口最多有1+2+3个；
当五条公路交叉口最多有!+2+3+4个；
…
当十条公路交叉口最多有1+2+…+9个；
∴10条笔直的路交叉口最多有：1+2+…+9＝45．
故答案为：45．
题型3．对顶角、邻补角（共11小题）
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
18．如图，直线a，b相交于点O，∠2+∠3＝60°，则∠1＝（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
【答案】A
【解答】解：∵∠2+∠3＝60°，∠2＝∠3，
∴∠2＝∠3＝30°，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝150°．
故选：A．
19．如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．在图中，直线AB与CD相交于水平面上的点F，一束光线沿CD斜射入水面，在点F处发生折射，沿FE方向射入水中．如果∠1＝42°，∠2＝29°．那么光的传播方向改变了（ ）
A．42°B．29°C．21°D．13°
【答案】D
【解答】解：∵∠1＝42°，∠1与∠BFD是对顶角，
∴∠BFD＝∠1＝42°（对顶角相等），
∵∠2＝29°，
∴∠DFE＝∠DFB﹣∠2＝42°﹣29°＝13°，
所以光的传播方向改变了13°，
综上所述，只有选项D正确，符合题意．
故选：D．
20．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：根据对顶角的定义可知，选项C中的∠1与∠2是对顶角，其它选项中的∠1与∠2不是对顶角，
故选：C．
21．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝135°，∠1=12∠2，则∠1的度数为（ ）
A．40°B．50°C．45°D．60°
【答案】C
【解答】解：∵∠AOD＝135°，
∴∠1+∠2＝135°．
∵∠1=12∠2，
∴3∠1＝135°，
∴∠1＝45°．
故选：C．
22．如图，三条直线a，b，c相交于一点，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．360°B．180°C．150°D．120°
【答案】B
【解答】解：∵∠2＝∠4，∠1+∠3+∠4＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°（等量代换）．
故选：B．
23．下列说法正确的有（ ）
①对顶角相等；②互补的两个角是邻补角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：①对顶角相等，说法正确；
②互补的两个角不一定是邻补角，本小题说法错误；
③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，说法正确；
④两个角不是对顶角，这两个角也可能相等，本小题说法错误；
故选：B．
24．如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分，若∠AOC＝80°，且∠BOE：∠EOD＝2：3，则∠AOE的度数是 148° ．
【答案】148°
【解答】解：设∠BOE＝2x，∠EOD＝3x，则∠BOD＝5x，
∴∠AOC＝∠BOD＝5x＝80°，
解得x＝16°，
∴∠EOD＝3x＝48°，
∴∠AOE＝∠AOD+∠EOD＝100°+48°＝148°，
故答案为：148°．
25．如图，测角器测得工件的角度是40度，其测量角的原理是 对顶角相等 ．
【答案】对顶角相等．
【解答】解：∵测角器测量时，测得工件的角度是40度，工件的角与测角器上显示度数的角是对顶角，
∴测量角的原理是对顶角相等，
故答案为：对顶角相等．
26．如图，有两堵围墙，有人想测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，小明提供了测量方案：分别反向延长OA、OB至点C、D，他测量∠COD的度数就是∠AOB的度数，则小明依据的数学道理是 对顶角相等 ．
【答案】对顶角相等
【解答】解：延长AO到C，延长BO到D，然后测量∠COD的度数，根据对顶角相等，∠AOB＝∠DOC；
故答案为：对顶角相等
27．规律探究题：
（1）如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有 2 对对顶角；
如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有 6 对对顶角；
如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有 12 对对顶角．
（2）猜想：若有n条直线相交于一点，则可形成n（n﹣1） 对对顶角．
（3）若有100条直线相交于一点，则可形成 9900 对对顶角．
【答案】（1）2；6；12；
（2）n（n﹣1）；
（3）9900．
【解答】解：（1）如图1，图中共有1×2＝2对对顶角，如图2，图中共有2×3＝6对对顶角，如图3，图中共有3×4＝12对对顶角，
故答案为：2，6，12；
（2）研究图1～图3小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，
若有n条直线相交于一点，则可形成n（n﹣1）对对顶角，
故答案为：n（n﹣1）；
（3）若有100条直线相交于一点，则可形成（100﹣1）×100＝9900（对）对顶角，
故答案为：9900．
28．如图，直线AB、CD、EF相交于点O．
（1）写出∠COE的邻补角；
（2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；
（3）如果∠BOD＝60°，∠BOF＝90°，求∠AOF和∠FOC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD；
（2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；
（3）∵∠BOF＝90°，
∴AB⊥EF
∴∠AOF＝90°，
又∵∠AOC＝∠BOD＝60°
∴∠FOC＝∠AOF+∠AOC＝90°+60°＝150°．
题型4．垂线（共8小题）
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
29．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠DOB＝43°，∠COE的度数是（ ）
A．43°B．137°C．57°D．47°
【答案】D
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠DOB＝43°，
∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠DOB＝47°，
故选：D．
30．过点A画线段BC所在直线的垂线段，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：根据垂线段的定义，仅D选项符合要求．
故选：D．
31．【动手操作】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°．将直角三角板MON绕点O旋转一周，当直线OM与直线OC互相垂直时，∠AOM的度数是 135°或45° ．
【答案】135°或45°．
【解答】解：∵∠BOC＝135°，
∴∠AOC＝180°﹣135°＝45°．
当OM在直线OC的右侧时，如图，
∵OM⊥OC，
∴∠COM＝90°，
∴∠AOM＝∠AOC+∠COM＝135°．
当OM在直线OC的左侧时，如图，
∵OM⊥OC，
∴∠COM＝90°，
∴∠AOM＝∠COM﹣∠AOC＝45°．
故答案为：135°或45°．
32．已知∠AOB和∠COD 的两边分别互相垂直，且∠COD比∠AOB 的2倍少30°，求∠COD的度数 110°或30° ．
【答案】110°或30°．
【解答】解：设∠AOB＝x°，则∠COD＝2x°﹣30°，
分两种情况：
①如图1，∵∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，
∴∠COD＝90°+90°﹣∠AOB，
即2x°﹣30°＝90°+90°﹣x°，
x°＝70°，
∴∠COD＝2×70°﹣30°＝110°；
②如图2，∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠AOC，
x°+90＝2x°﹣30+90，
x°＝30°，
∴∠COD＝2×30°﹣30°＝30°，
综上所述，∠COD的度数为110°或30°，
故答案为：110°或30°．
33．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．若∠MOD＝40°，则∠COB的度数为 130° ．
【答案】130°．
【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB，
∴∠MOA＝90°（垂直的性质），
∴∠AOD＝∠MOA+∠MOD＝90°+40°＝130°，
∴∠COB＝∠AOD＝130°（对顶角相等），
故答案为：130°．
34．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥OD，OF⊥AB，∠1＝25°，求∠2，∠DOF．
【答案】∠2＝65°，∠DOF＝115°．
【解答】解：∵OE⊥OD，
∴∠DOE＝90°，
∵∠1＝25°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣25°＝65°，
∵OF⊥AB，
∴∠BOF＝90°，
∴∠DOF＝∠BOF+∠1＝115°．
35．如图，AG平分∠BAC，∠BED＝∠C，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：FH⊥DE；
（2）若∠3＝∠4，∠BAC＝66°，求∠DFH的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠C，
∴DE∥AC，
∴∠CAG＝∠3，
∵AG平分∠BAC，
∴∠CAG＝∠1，
∴∠1＝∠3，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠3+∠2＝90°，即∠DGH＝90°，
∴FH⊥DE；
（2）解：∵∠CAG＝∠1，∠BAC＝66°，
∴∠1＝∠CAG＝33°，
∴∠3＝∠1＝33°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝57°，
∵∠3＝∠4，∠1＝∠3，
∴∠1＝∠4，
∴AG∥DF，
∴∠DFH＝∠2＝57°．
36．如图，已知AD⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1+∠2＝90°，那么BC⊥AB，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵DE，CE分别平分∠ADC，∠BCD，
∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ADC+∠BCD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝180°，
∴AD∥BC，
∵DA⊥AB，
∴CB⊥AB．
题型5．垂线段最短（共17小题）
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
37．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．测量跳远成绩
B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直
D．两钉子固定木条
【答案】A
【解答】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；
B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
故选：A．
38．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（ ）
A．测量跳远成绩B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直D．两钉子固定木条
【答案】C
【解答】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项不符合题意；
B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项符合题意；
D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
故选：C．
39．如图，点P是直线l外一点，A、B、C、D都在直线l上，PB⊥l于B，在P与A、B、C、D四点的连线中，线段PB最短，依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂线段最短
【答案】D
【解答】解：PB⊥l于B，在P与A、B、C、D四点的连线中，线段PB最短，依据是垂线段最短．
故选：D．
40．如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边乘车到学校，他选择沿线段PC去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有无数条直线
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，小华同学的这一选择用到的数学知识是垂线段最短．
故选：A．
41．在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如图所示，则他本次的跳远成绩是（ ）
A．线段PC的长度B．线段QD的长度
C．线段PA的长度D．线段QB的长度
【答案】C
【解答】解：在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如图所示，则他本次的跳远成绩是线段PA的长度，
故选：C．
42．下列生活实例中，数学原理解释错误的是（ ）
A．测量两棵树之间的距离，要拉直皮尺，应用的数学原理是：两点之间，线段最短
B．用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上，应用的数学原理是：两点确定一条直线
C．测量跳远成绩，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，应用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【解答】解：A、测量两棵树之间的距离，要拉直皮尺，应用的数学原理是：两点之间，线段最短，正确，故A不符合题意；
B、用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上，应用的数学原理是：两点确定一条直线，正确，故B不符合题意；
C、测量跳远成绩，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，故C不符合题意；
D、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故D符合题意．
故选：D．
43．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点C，依据是（ ）
A．两点之间线段最短
B．垂线段最短
C．过一点可以作无数条直线
D．两点确定一条直线
【答案】B
【解答】解：根据题意得：在连接超市O和公路AD上的四点A、B、C、D的连线中，只有OC⊥AD，
∴为了使超市距离车站最近，车站应该修建在C点处．
依据是垂线段最短．
故选：B．
44．如图，某村庄要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学道理是（ ）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【解答】解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．
故选：B．
45．如图，A是直线l外一点，过点A作AB⊥l于点B，在直线l上取一点C，连接AC，使AC＝2AB，P在线段BC上，连接AP．若AB＝3，则线段AP的长不可能是（ ）
A．4B．5C．2D．5.5
【答案】C
【解答】解：∵AB⊥l于点B，AB＝3，
∴AC＝2AB＝6，
∴3≤AP≤6，
故AP不可能是2．
故选：C．
46．如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．过两点有且只有一条直线
C．垂线段最短
D．过一点可以作无数条直线
【答案】C
【解答】解：这样做的理由是垂线段最短．
故选：C．
47．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3．若点P可以在边BC上自由移动，则AP的长不可能是（ ）
A．2.5B．3C．4D．5
【答案】A
【解答】解：已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，
根据垂线段最短，可知AP的长不可能小于3，当C和P重合时，AP＝3，
则AP的长不可能是2.5，
综上所述，只有选项A正确，符合题意，
故选：A．
48．如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边去接外婆，他选择路线PC的道理是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．两点之间线段最短D．两点之间直线最短
【答案】B
【解答】解：小华选择路线PC的道理是垂线段最短．
故选：B．
49．下列说法中，正确的有（ ）个．
①两直线相交，对顶角相等；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
④如果AM＝MB，那么点M是AB的中点．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【解答】解：①两直线相交，对顶角相等，正确；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；
③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；
④如果M在线段AB上，并且MA＝MB，那么点M是线段AB的中点，故错误；
综上分析可知，正确的有3个．
故选：D．
50．北京时间2024年3月31日，在世乒联冠军赛韩国站男单决赛中，梁靖崑战胜巴西选手雨果•卡尔德拉诺，夺得冠军赛后，梁靖崑跑到赛场边围挡处喝水，沿垂直于围挡的路AB走才能使所走的路程最少，这是因为（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．经过一点有无数条直线
【答案】C
【解答】解：沿垂直于围挡的路AB走才能使所走的路程最少，这是因为垂线段最短，
故选：C．
51．如图，直线l表示一段河道，点P表示村庄，现要从河l向村庄P引水，图中有四种方案，其中沿线段PC路线开挖的水渠长最短，理由是 垂线段最短 ．
【答案】垂线段最短
【解答】解：沿线段PC路线开挖的水渠长最短，理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
52．如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作AB⊥l于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是 垂线段最短 ．
【答案】垂线段最短．
【解答】解：可过点A作AB⊥l于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
53．如图，直线AB是起跳线，脚印是小明跳落沙坑时留下的痕迹，体育老师测得线段MB的长度作为小明跳远的成绩，这样测量的依据是 垂线段最短 ．
【答案】垂线段最短．
【解答】解：垂线段MB的长度是小明跳远的成绩；
故答案为：垂线段最短．
题型6．平行线（共7小题）
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
54．下列说法中正确的是（ ）
A．直线外一点到这条直线的垂线段，叫点到直线的距离
B．不相交的两条直线叫平行线
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．相等的两个角是对顶角
【答案】C
【解答】解：A、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离，故本选项错误；
B、在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故本选项错误；
C、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；
D、相等的两个角两边不一定互为反向延长线，所以不一定是对顶角，故本选项错误．
故选：C．
55．若a⊥b，c⊥d，则a与c的关系是（ ）
A．平行B．垂直
C．相交D．以上都不对
【答案】D
【解答】解：当b∥d时a∥c；
当b和d相交但不垂直时，a与c相交；
当b和d垂直时，a与c垂直；
a和c可能平行，也可能相交，还可能垂直，
故选：D．
56．如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直
C．平行或垂直D．无法确定
【答案】A
【解答】解：观察图形可知，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行．
故选：A．
57．在下列4个判断中：
①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解答】解：在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故①错误，②正确；
在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交故，③错误，④正确．
故正确判断的个数是2．
故选：C．
58．下列说法正确的有（ ）
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角叫对顶角；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤两点之间的距离是两点间的线段；
⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，故①说法正确．
②相等的角不一定是对顶角，故②说法错误．
③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法错误．
④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④说法错误．
⑤两点之间的距离是两点间的线段的长度，故⑤说法错误．
⑥在同一平面内，直线的位置关系只有两种：相交和平行，故⑥说法正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
59．如图所示，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，与棱AD平行的棱有 3 条．
【答案】3．
【解答】解：与棱AD平行的棱有：BC，B′C′，A′D′，共有3条．
故答案为：3．
60．如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画l1∥OA；
（2）过P画l2∥OB；
（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（2）如图所示，
（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．
题型1 余角和补角
题型2 相交线
题型3 对顶角、邻补角
题型4 垂线
题型5 垂线段最短
题型6 平行线