2.1.1对顶角、余角和补角 课件-2025-2026学年2024北师大版数学七年级下册教学课件

幻灯片 1：封面标题：2.1.1 对顶角、余角和补角副标题：北师大版七年级下册 第二章 相交线与平行线授课教师：[教师姓名]幻灯片 2：情境引入展示生活中的相交线实例图片：十字路口的两条交叉道路。窗户框架的交叉边框。剪刀张开时的两片刀刃。提出问题：这些图片中都有两条直线相交的情况，相交的两条直线会形成哪些角？这些角之间有什么关系呢？由此引出本节课要学习的对顶角、余角和补角。幻灯片 3：对顶角的定义画出两条直线相交的图形：直线\(AB\)与直线\(CD\)相交于点\(O\)，形成\(\angle 1\)、\(\angle 2\)、\(\angle 3\)、\(\angle 4\)四个角。观察图形：\(\angle 1\)和\(\angle 2\)有一条公共边\(OC\)，它们的另一边互为反向延长线；\(\angle 2\)和\(\angle 3\)有一条公共边\(OD\)，另一边互为反向延长线……对顶角定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角叫做对顶角。指出图形中的对顶角：\(\angle 1\)与\(\angle 3\)是对顶角，\(\angle 2\)与\(\angle 4\)是对顶角。幻灯片 4：对顶角的性质动手操作：让学生用量角器测量上图中\(\angle 1\)、\(\angle 2\)、\(\angle 3\)、\(\angle 4\)的度数，并记录下来。观察数据：发现\(\angle 1 = \angle 3\)，\(\angle 2 = \angle 4\)。理论证明：因为直线\(AB\)是平角，所以\(\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ\)；直线\(CD\)是平角，所以\(\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ\)。根据 “同角的补角相等”，可得\(\angle 1 = \angle 3\)。同理可证\(\angle 2 = \angle 4\)。对顶角性质：对顶角相等。幻灯片 5：对顶角例题讲解例 1：如图，直线\(a\)、\(b\)相交于点\(O\)，若\(\angle 1 = 50^\circ\)，求\(\angle 2\)、\(\angle 3\)、\(\angle 4\)的度数。分析：\(\angle 1\)与\(\angle 3\)是对顶角，\(\angle 1\)与\(\angle 2\)是邻补角，\(\angle 2\)与\(\angle 4\)是对顶角。解：因为\(\angle 1\)与\(\angle 3\)是对顶角，所以\(\angle 3 = \angle 1 = 50^\circ\)。因为\(\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ\)（邻补角定义），所以\(\angle 2 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\)。因为\(\angle 2\)与\(\angle 4\)是对顶角，所以\(\angle 4 = \angle 2 = 130^\circ\)。例 2：如图，已知直线\(AB\)、\(CD\)、\(EF\)相交于点\(O\)，\(\angle AOE = 30^\circ\)，\(\angle BOC = 2\angle AOE\)，求\(\angle DOF\)的度数。分析：先求出\(\angle BOC\)的度数，再找到\(\angle DOF\)的对顶角或邻补角进行计算。解：因为\(\angle AOE = 30^\circ\)，\(\angle BOC = 2\angle AOE\)，所以\(\angle BOC = 2×30^\circ = 60^\circ\)。因为\(\angle AOC\)与\(\angle BOC\)是邻补角，所以\(\angle AOC = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)。又因为\(\angle AOC\)与\(\angle BOD\)是对顶角，所以\(\angle BOD = 120^\circ\)。因为\(\angle AOE\)与\(\angle BOF\)是对顶角，所以\(\angle BOF = \angle AOE = 30^\circ\)。所以\(\angle DOF = \angle BOD - \angle BOF = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ\)。幻灯片 6：余角和补角的定义展示两个角的和为\(90^\circ\)的图形：如\(\angle 1 = 30^\circ\)，\(\angle 2 = 60^\circ\)，\(\angle 1 + \angle 2 = 90^\circ\)。余角定义：如果两个角的和是\(90^\circ\)（直角），那么称这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。例如\(\angle 1\)与\(\angle 2\)互为余角，\(\angle 1\)是\(\angle 2\)的余角，\(\angle 2\)也是\(\angle 1\)的余角。展示两个角的和为\(180^\circ\)的图形：如\(\angle 3 = 110^\circ\)，\(\angle 4 = 70^\circ\)，\(\angle 3 + \angle 4 = 180^\circ\)。补角定义：如果两个角的和是\(180^\circ\)（平角），那么称这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。例如\(\angle 3\)与\(\angle 4\)互为补角，\(\angle 3\)是\(\angle 4\)的补角，\(\angle 4\)也是\(\angle 3\)的补角。强调：互余和互补是指两个角之间的关系，不能单独说一个角是余角或补角。幻灯片 7：余角和补角的性质思考 1：如果\(\angle 1\)与\(\angle 2\)互余，\(\angle 3\)与\(\angle 2\)互余，那么\(\angle 1\)与\(\angle 3\)有什么关系？推导：因为\(\angle 1 + \angle 2 = 90^\circ\)，\(\angle 3 + \angle 2 = 90^\circ\)，所以\(\angle 1 = 90^\circ - \angle 2\)，\(\angle 3 = 90^\circ - \angle 2\)，故\(\angle 1 = \angle 3\)。思考 2：如果\(\angle A\)与\(\angle B\)互补，\(\angle C\)与\(\angle B\)互补，那么\(\angle A\)与\(\angle C\)有什么关系？推导：因为\(\angle A + \angle B = 180^\circ\)，\(\angle C + \angle B = 180^\circ\)，所以\(\angle A = 180^\circ - \angle B\)，\(\angle C = 180^\circ - \angle B\)，故\(\angle A = \angle C\)。余角性质：同角或等角的余角相等。补角性质：同角或等角的补角相等。幻灯片 8：余角和补角例题讲解例 1：已知\(\angle \alpha = 50^\circ 17'\)，求\(\angle \alpha\)的余角和补角的度数。分析：根据余角和补角的定义，用\(90^\circ\)和\(180^\circ\)分别减去\(\angle \alpha\)的度数即可。解：\(\angle \alpha\)的余角 = \(90^\circ - 50^\circ 17' = 39^\circ 43'\)。\(\angle \alpha\)的补角 = \(180^\circ - 50^\circ 17' = 129^\circ 43'\)。例 2：如图，\(\angle AOB = \angle COD = 90^\circ\)，求证：\(\angle AOC = \angle BOD\)。分析：利用余角的性质进行证明。证明：因为\(\angle AOB = 90^\circ\)，所以\(\angle AOC + \angle BOC = 90^\circ\)（\(\angle AOC\)与\(\angle BOC\)互余）。因为\(\angle COD = 90^\circ\)，所以\(\angle BOD + \angle BOC = 90^\circ\)（\(\angle BOD\)与\(\angle BOC\)互余）。根据 “同角的余角相等”，可得\(\angle AOC = \angle BOD\)。例 3：已知一个角的补角比它的余角的 3 倍多\(10^\circ\)，求这个角的度数。分析：设这个角的度数为\(x\)，根据补角和余角的定义列出方程求解。解：设这个角的度数为\(x\)，则它的补角为\((180^\circ - x)\)，余角为\((90^\circ - x)\)。根据题意列方程：\(180^\circ - x = 3(90^\circ - x) + 10^\circ\)。解方程：\(180^\circ - x = 270^\circ - 3x + 10^\circ\)。\(-x + 3x = 270^\circ + 10^\circ - 180^\circ\)。\(2x = 100^\circ\)。\(x = 50^\circ\)。所以这个角的度数为\(50^\circ\)。幻灯片 9：课堂练习 1（对顶角）如图，直线\(AB\)、\(CD\)相交于点\(O\)，若\(\angle AOD = 130^\circ\)，则\(\angle BOC = \)，\(\angle AOC = \)。如图，直线\(l_1\)、\(l_2\)、\(l_3\)相交于一点，已知\(\angle 1 = 50^\circ\)，\(\angle 2 = 60^\circ\)，求\(\angle 3\)的度数。幻灯片 10：课堂练习 1 答案因为\(\angle AOD\)与\(\angle BOC\)是对顶角，所以\(\angle BOC = \angle AOD = 130^\circ\)；\(\angle AOD\)与\(\angle AOC\)是邻补角，所以\(\angle AOC = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\)。答案依次为\(130^\circ\)、\(50^\circ\)。因为三条直线相交于一点，所以\(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ\)（平角定义），已知\(\angle 1 = 50^\circ\)，\(\angle 2 = 60^\circ\)，所以\(\angle 3 = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ\)。幻灯片 11：课堂练习 2（余角和补角）若\(\angle 1\)与\(\angle 2\)互余，\(\angle 2 = 35^\circ\)，则\(\angle 1 = \)；若\(\angle 3\)与\(\angle 4\)互补，\(\angle 3 = 105^\circ\)，则\(\angle 4 = \)。一个角的余角等于它本身，这个角的度数是多少？它的补角是多少？如图，\(\angle EOF = 90^\circ\)，\(\angle AOE = \angle BOD = 30^\circ\)，求\(\angle BOC\)的度数。幻灯片 12：课堂练习 2 答案\(\angle 1 = 90^\circ - \angle 2 = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\)；\(\angle 4 = 180^\circ - \angle 3 = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\)。答案依次为\(55^\circ\)、\(75^\circ\)。设这个角的度数为\(x\)，因为它的余角等于它本身，所以\(x = 90^\circ - x\)，解得\(x = 45^\circ\)。它的补角为\(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\)。所以这个角是\(45^\circ\)，补角是\(135^\circ\)。因为\(\angle EOF = 90^\circ\)，\(\angle AOE = 30^\circ\)，所以\(\angle AOF = \angle EOF - \angle AOE = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\)。又因为\(\angle AOF\)与\(\angle BOC\)是对顶角（或通过邻补角和已知\(\angle BOD = 30^\circ\)推导），所以\(\angle BOC = 60^\circ\)（或另一种方法：\(\angle EOB = 180^\circ - \angle AOE = 150^\circ\)，\(\angle EOD = \angle EOB - \angle BOD = 150^\circ - 30^\circ = 120^\circ\)，\(\angle BOC = 180^\circ - \angle EOD = 60^\circ\)）。幻灯片 13：课堂小结对顶角：定义：两边分别互为反向延长线且有公共顶点的两个角。性质：对顶角相等。余角：定义：和为\(90^\circ\)的两个角，互为余角。性质：同角或等角的余角相等。补角：定义：和为\(180^\circ\)的两个角，互为补角。性质：同角或等角的补角相等。解题技巧：在解决相关问题时，要结合图形，准确识别对顶角、余角和补角，灵活运用它们的性质。幻灯片 14：课后作业教材课后练习题 [具体题号]。补充作业：如图，直线\(AB\)、\(CD\)相交于点\(O\)，\(OE\)平分\(\angle AOC\)，若\(\angle AOD = 100^\circ\)，求\(\angle BOE\)的度数。已知\(\angle \alpha\)的补角是它余角的 4 倍，求\(\angle \alpha\)的度数。如图，\(\angle AOB = 90^\circ\)，\(OC\)是\(\angle AOB\)内的一条射线，\(OD\)平分\(\angle BOC\)，\(OE\)平分\(\angle AOC\)，求\(\angle DOE\)的度数。新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.象棋围棋 我们知道，在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种. 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线. 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.观察与交流：(1) 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，∠1 和∠2 有什么位置关系?ABCDO1. 有公共顶点，2. 两边互为反向延长线.(2) 它们的大小有什么关系? ∠1 = ∠2 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠1 和∠2 有公共顶点 O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角. 知识要点对顶角的概念对顶角相等.例1 下列各图中，∠1 与∠2 是对顶角的是（ ）D典例精析例2 如图，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，∠1＝40°， ∠BOC＝110°，求∠2 的度数.解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，所以∠BOF＝∠BOC－∠1 ＝110°－40°＝70°.因为∠BOF＝∠2 (对顶角相等)， 所以∠2＝70° (等量代换).活动1：画一画：1. 请画出两个角，使他们的和为 90°.2. 请画出两个角，使它们的和为 180°.3. 小组交流画法，相互点评.4. 用自己的语言描述补角、余角的定义.补角和余角的概念想一想 如图，∠1 与∠3 有什么数量关系？∠1 + ∠3 = 180° 补角的概念 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.余角的概念 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角.类似地： 如图①，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图 1 简化成图②，ON 与 DC 交于点 O，∠DON = ∠CON = 90°，∠1 = ∠2.补角和余角的性质活动 2：小组合作交流，解决下列问题：在图② 中，(1) 哪些角互为补角？哪些角互为余角？(2) ∠3 与∠4 有什么关系？为什么？(3) ∠AOC 与∠BOD 有什么关系？为什么？解：(1) 互为补角：∠1 与∠AOC，∠2与∠BOD，∠DON 与∠CON；互为余角：∠1 与 ∠3，∠2 与∠3，∠2 与∠4，∠1与∠4.同角(等角)的余角相等.(2) ∠3 与∠4 有什么关系？为什么？ 因为∠1 =∠2，∠1 +∠3 = 90°， ∠ 2 +∠4 = 90°，所以∠3 =∠4.同角(等角)的补角相等.因为∠1 =∠2，∠1 +∠AOC = 180°，∠2 +∠BOD = 180°，所以∠AOC =∠BOD.(3) ∠AOC 与∠BOD 有什么关系？为什么？1. 下列说法正确的是( )DA. 不相交的两条直线是平行线B. 在同一平面内，不相交的两条射线叫作平行线C. 在同一平面内，两条直线不相交就重合D. 在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 DA. B. C. D. 返回（第3题） C  返回 A（第4题）  D  返回 DA. B. C. D.   返回7.[2024驻马店期中] 泰勒斯被誉为古希腊及西方第一位自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的.论证“对顶角相等”使用的依据是________________.同角的补角相等【点拨】如图，  返回     返回      理由如下：  4   返回（第10题） C   返回 A   返回（第12题） DA. 6对 B. 3对 C. 4对 D. 5对  返回  正确的有( )CA. ①② B. ③④ C. ①②⑤ D. ②③④同角（或等角）的余角相等同角（或等角）的补角相等对顶角的性质：两个角的和是90°两个角的和是180°对顶角相等.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！