1.4 整式的除法 课件-2025-2026学年2024北师大版数学七年级下册教学课件

幻灯片 1：封面标题：1.4 整式的除法副标题：北师大版七年级下册 第一章 整式的乘除授课教师：[教师姓名]幻灯片 2：复习回顾回顾整式乘法相关知识：同底数幂相乘：\(a^m \cdot a^n = a^{m + n}\)（\(m\)，\(n\) 都是正整数），例如：\(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7\)。幂的乘方：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)，\(n\) 都是正整数），例如：\((3^2)^3 = 3^{2×3} = 3^6\)。积的乘方：\((ab)^n = a^n b^n\)（\(n\) 是正整数），例如：\((2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3\)。单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。例如：\(3x^2y \cdot 4xy^2 = (3×4)(x^2 \cdot x)(y \cdot y^2) = 12x^3y^3\)。单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即\(m(a + b + c) = ma + mb + mc\)。例如：\(2a(3a^2 - 5b) = 2a \cdot 3a^2 - 2a \cdot 5b = 6a^3 - 10ab\)。多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，即\((m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb\)。例如：\((x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6\)。提出问题，引发思考：既然有整式乘法，那与之对应的整式除法该如何计算呢？由此引出本节课主题。幻灯片 3：同底数幂的除法问题引入：一种数码照片的文件大小是\(2^8\)KB，一个存储量为\(2^{16}\)KB 的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？分析：求能存储照片的数量，就是求\(2^{16}\)里有多少个\(2^8\)，用除法计算，列式为\(2^{16}÷2^8\)。推导：根据除法是乘法的逆运算，因为\(2^8×2^8 = 2^{8 + 8} = 2^{16}\)，所以\(2^{16}÷2^8 = 2^8\)。法则推导：一般地，设\(m\)，\(n\)为正整数，且\(m > n\)，\(a≠0\)，\(a^m÷a^n\)等于什么？因为\(a^n×a^{m - n} = a^{n + (m - n)} = a^m\)，所以\(a^m÷a^n = a^{m - n}\)。同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即\(a^m÷a^n = a^{m - n}\)（\(a≠0\)，\(m\)，\(n\)都是正整数，且\(m > n\)）。特殊情况：当\(m = n\)时，\(a^m÷a^n = a^m÷a^m = 1\)（\(a≠0\)），而根据法则\(a^m÷a^n = a^{m - n} = a^0\)，所以规定\(a^0 = 1\)（\(a≠0\)），即任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1。幻灯片 4：同底数幂除法例题讲解计算：\(x^9÷x^3\)分析：底数都是\(x\)，符合同底数幂除法法则，直接运用法则计算。解：\(x^9÷x^3 = x^{9 - 3} = x^6\)。\((-a)^6÷(-a)^2\)分析：底数是\((-a)\)，将其看作一个整体，运用同底数幂除法法则。解：\((-a)^6÷(-a)^2 = (-a)^{6 - 2} = (-a)^4 = a^4\)。\((xy)^4÷(xy)\)分析：把\((xy)\)当作底数，进行同底数幂的除法运算。解：\((xy)^4÷(xy) = (xy)^{4 - 1} = (xy)^3 = x^3y^3\)。\(b^{2m + 2}÷b^2\)分析：底数为\(b\)，指数为\(2m + 2\)和\(2\)，运用法则计算。解：\(b^{2m + 2}÷b^2 = b^{(2m + 2) - 2} = b^{2m}\)。幻灯片 5：单项式除以单项式问题情境：木星的质量约是\(1.90×10^{24}\)吨，地球的质量约是\(5.98×10^{21}\)吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？分析：求倍数用除法，即\((1.90×10^{24})÷(5.98×10^{21})\)。计算过程：先将系数相除：\(1.90÷5.98 \approx 0.32\)。再将同底数幂相除：\(10^{24}÷10^{21} = 10^{24 - 21} = 10^3\)。所以结果约为\(0.32×10^3 = 3.2×10^2\)倍。法则归纳：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。例如：\(6a^3b^2÷2ab\)，系数相除\(6÷2 = 3\)，同底数幂相除\(a^3÷a = a^{3 - 1} = a^2\)，\(b^2÷b = b^{2 - 1} = b\)，所以结果为\(3a^2b\)。幻灯片 6：单项式除以单项式例题讲解计算：\(12a^3b^2x^3÷3ab^2\)分析：系数相除\(12÷3 = 4\)，同底数幂分别相除\(a^3÷a = a^{3 - 1} = a^2\)，\(b^2÷b^2 = 1\)（\(b^0 = 1\)），\(x^3\)照写。解：\(12a^3b^2x^3÷3ab^2 = 4a^2x^3\)。\(-5a^5b^3c÷15a^4b\)分析：系数相除\(-5÷15 = -\frac{1}{3}\)，同底数幂相除\(a^5÷a^4 = a\)，\(b^3÷b = b^{3 - 1} = b^2\)，\(c\)照写。解：\(-5a^5b^3c÷15a^4b = -\frac{1}{3}ab^2c\)。\((2x^2y)^3÷6x^3y^2\)分析：先算乘方，\((2x^2y)^3 = 2^3×(x^2)^3×y^3 = 8x^6y^3\)，再进行单项式除法，系数相除\(8÷6 = \frac{4}{3}\)，同底数幂相除\(x^6÷x^3 = x^{6 - 3} = x^3\)，\(y^3÷y^2 = y\)。解：\((2x^2y)^3÷6x^3y^2 = \frac{4}{3}x^3y\)。幻灯片 7：多项式除以单项式法则推导：根据分配律，\((am + bm + cm)÷m = am÷m + bm÷m + cm÷m\)。又因为\(am÷m = a\)，\(bm÷m = b\)，\(cm÷m = c\)，所以\((am + bm + cm)÷m = a + b + c\)。多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。语言表述：用多项式的每一项分别去除以单项式，然后将所得的商相加，就得到多项式除以单项式的结果。幻灯片 8：多项式除以单项式例题讲解计算：\((12a^3 - 6a^2 + 3a)÷3a\)分析：根据法则，将多项式的每一项分别除以单项式\(3a\)。解：\(12a^3÷3a = 4a^2\)。\(-6a^2÷3a = -2a\)。\(3a÷3a = 1\)。所以\((12a^3 - 6a^2 + 3a)÷3a = 4a^2 - 2a + 1\)。\((21x^4y^3 - 35x^3y^2 + 7x^2y^2)÷(-7x^2y)\)分析：每一项除以\(-7x^2y\)。解：\(21x^4y^3÷(-7x^2y) = -3x^2y^2\)。\(-35x^3y^2÷(-7x^2y) = 5xy\)。\(7x^2y^2÷(-7x^2y) = -y\)。所以结果为\(-3x^2y^2 + 5xy - y\)。\([(x + y)^2 - y(2x + y) - 8x]÷2x\)分析：先化简中括号内的式子，再用多项式除以单项式法则。解：化简中括号内：\((x + y)^2 - y(2x + y) - 8x = x^2 + 2xy + y^2 - 2xy - y^2 - 8x = x^2 - 8x\)。再除以\(2x\)：\((x^2 - 8x)÷2x = x^2÷2x - 8x÷2x = \frac{1}{2}x - 4\)。幻灯片 9：课堂练习 1（同底数幂除法）计算：\(a^{10}÷a^2\)\((-b)^5÷(-b)^2\)\((xy)^5÷(xy)^2\)\(m^{n + 2}÷m^2\)幻灯片 10：课堂练习 1 答案\(a^{10}÷a^2 = a^{10 - 2} = a^8\)。\((-b)^5÷(-b)^2 = (-b)^{5 - 2} = (-b)^3 = -b^3\)。\((xy)^5÷(xy)^2 = (xy)^{5 - 2} = (xy)^3 = x^3y^3\)。\(m^{n + 2}÷m^2 = m^{(n + 2) - 2} = m^n\)。幻灯片 11：课堂练习 2（单项式除以单项式）计算：\(24x^7y^5÷6x^3y^2\)\(-15a^5b^3÷3a^4b\)\((3ab^2)^3÷9a^2b^3\)幻灯片 12：课堂练习 2 答案\(24x^7y^5÷6x^3y^2 = (24÷6)(x^7÷x^3)(y^5÷y^2) = 4x^4y^3\)。\(-15a^5b^3÷3a^4b = (-15÷3)(a^5÷a^4)(b^3÷b) = -5ab^2\)。先算乘方：\((3ab^2)^3 = 3^3×a^3×(b^2)^3 = 27a^3b^6\)，再算除法：\(27a^3b^6÷9a^2b^3 = (27÷9)(a^3÷a^2)(b^6÷b^3) = 3ab^3\)。幻灯片 13：课堂练习 3（多项式除以单项式）计算：\((6x^4 - 4x^3 + 2x^2)÷2x^2\)\((12x^3y - 8x^2y^2 + 4xy^3)÷(-4xy)\)\([(2x + y)^2 - y(y + 4x) - 8x]÷2x\)幻灯片 14：课堂练习 3 答案\(6x^4÷2x^2 = 3x^2\)。\(-4x^3÷2x^2 = -2x\)。\(2x^2÷2x^2 = 1\)。所以\((6x^4 - 4x^3 + 2x^2)÷2x^2 = 3x^2 - 2x + 1\)。\(12x^3y÷(-4xy) = -3x^2\)。\(-8x^2y^2÷(-4xy) = 2xy\)。\(4xy^3÷(-4xy) = -y^2\)。所以\((12x^3y - 8x^2y^2 + 4xy^3)÷(-4xy) = -3x^2 + 2xy - y^2\)。先化简中括号内：\((2x + y)^2 - y(y + 4x) - 8x = 4x^2 + 4xy + y^2 - y^2 - 4xy - 8x = 4x^2 - 8x\)。再除以\(2x\)：\((4x^2 - 8x)÷2x = 4x^2÷2x - 8x÷2x = 2x - 4\)。幻灯片 15：课堂小结同底数幂的除法法则：\(a^m÷a^n = a^{m - n}\)（\(a≠0\)，\(m\)，\(n\)都是正整数，且\(m > n\)），\(a^0 = 1\)（\(a≠0\)）。单项式除以单项式法则：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。强调在进行整式除法运算时，要注意系数、指数的运算规则以及符号的处理。幻灯片 16：课后作业教材课后练习题 [具体题号]。补充作业：已知\(a^m = 3\)，\(a^n = 2\)，求\(a^{2m - 3n}\)的值。先化简，再求值：\((x - 2y)^2 - (x - y)(x + y) - 2y^2\)，其中\(x = \frac{1}{2}\)，\(y = -2\)，并说明化简过程中运用了哪些整式运算的知识。新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 经历探索单项式除以单项式、多项式除以单项式法则的过程，会进行多项式除以单项式的运算.2. 通过观察、归纳和概括等一系列数学活动，理解多项式除法的运算算理，感受数学思考过程的条理性和数学结论的严密性，并进一步体会类比方法的作用.3. 在发展推理能力和有条理的表达能力的过程中，进一步培养学习数学的兴趣，加强学习数学的信心.重点：能运用单项式除以单项式进行计算并解决问题.难点：多项式除以单项式运算法则的探究过程. a10 yz5 14a3b2x 2x102. 回忆单项式乘单项式的乘法法则.单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变作为积的一个因式.计算下列各题，并说说你的理由.(1) x5y÷x2；(2) 8m2n2÷2m2n； (3) a4b2c÷3a2b.合作探究一(3) 因为 3a2b· ＝ a4b2c， 所以 a4b2c÷3a2b ＝ .方法一：利用乘除法的互逆性(1) 因为 x2· ＝ x5y； 所以 x5y÷x2 ＝ .(2) 因为 2m2n· ＝ 8m2n2 所以 8m2n2÷2m2n ＝ .x3yx3y4n4n方法二：利用类似分数约分的方法(1) x5y÷x2 =(2) 8m2n2÷2m2n =(3) a4b2c÷3a2b = 比一比：观察比较后发现，单项式除以单项式，其结果(商式)仍是一个 .单项式合作探究被除式除式商式(1) x5y ÷ x2 = x5－2·y；(2) 8m2n2 ÷ 2m2n = (8÷2)·m2－2·n2－1；(3) a4b2c ÷ 3a2b = (1÷3)·a4－2·b2－1·c.追问1：三个单项式的系数之间有什么关系?商式的系数＝被除式的系数÷除式的系数.追问 2：同底数幂是怎样运算的?(同底数幂)商的指数＝被除式的指数－除式的指数.追问 3：只在被除式里含有的字母，在商中有没有变化?被除式中单独有的幂，写在商式作为因式(类比). 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.商式 ＝ 系数 • 同底数幂 • 被除式里单独有的幂底数不变，指数相减.保留在商里作为因式知识要点对比学习相乘相除相乘相除其余字母连同它的指数不变作为积的因式只在被除式里含有的字母连同它的指数一起作为商的因式例 计算：典例精析(2) 10a4b3c2÷5a3bc；解：原式 = (10÷5)a4-3b3-1c2-1= 2ab2c.解：原式(3) (2x2y)3·(-7xy2)÷14x4y3；解：原式= 8x6y3·(-7xy2)÷14x4y3= -56x7y5÷14x4y3= -4x3y2.(4) (2a + b)4÷(2a + b)2.解：原式= (2a + b)4-2= (2a + b)2= 4a2 + 4ab + b2.1.计算：(1) 28x4y2 ÷7x3y；(2) －5a5b3c ÷15a4b.解：28x4y2 ÷7x3y= (28 ÷7)x4-3y2-1= 4xy.练一练(2)－48a6b5c÷(24ab4)·(－a5b2)．解：原式＝[(－48)÷24×(－1)]a6－1＋5 · b5－4＋2 · c ＝2a10b3c.注意：先乘方，再乘除2.计算：(1) －(x5y2)2÷(－xy2)；解：原式＝－x10y4÷(－xy2) ＝x9y2.填一填：因为(a+b)m = am + bm，所以(am+bm)÷m = .a+b因为 am÷m+bm÷m=a+b，所以( )÷m = am÷m + bm÷m.am+bm(1) (ad＋bd)÷d＝ad÷d＋bd÷d＝a＋b.(2) (a2b＋3ab)÷a＝a2b÷a＋3ab÷a＝ab＋3b.(3) (xy3－2xy)÷xy＝xy3÷xy－2xy÷xy＝y2－2.算一算： 多项式除以单项式，先把这个多项式的 分别除以这个 ，再把所得的商 .单项式每一项相加知识要点例1 计算：典例精析(1) (6ab＋8b)÷2b(2) (27a3－15a2＋6a)÷3a(3) (9x2y－6xy2)÷3xy 解：(1) 原式＝6ab÷2b＋8b÷2b＝3a＋4；(2) 原式＝27a3÷3a－15a2÷3a＋6a÷3a ＝9a2－5a＋2；(3) 原式＝9x2y÷3xy－6xy2÷3xy＝3x－2y；＝－6x＋2y－1.例2 已知一个多项式除以 2x2，所得的商是 2x2 ＋1，余式是 3x－2，请求出这个多项式. 故这个多项式为 4x4＋2x2＋3x－2. ＝4x4＋2x2＋3x－2， 解：根据题意，得2x2(2x2＋1)＋3x－2典例精析例3 先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y， 其中 x＝2024，y＝2023.当 x＝2024，y＝2023 时，原式＝2024－2023＝1.＝x－y.＝(x3y－x2y2)÷x2y＝x3y÷x2y－x2y2÷x2y＝(2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y)÷x2y解：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y一、选择题1. 计算 6m2÷(－3m) 的结果是(　B　)2. 计算 (15x2y－10xy2)÷5xy的结果是(　B　)BB3. 太阳到地球的距离约为 1.5×108 km，光的速度约为 3.0×105 km/s，则太阳光到达地球的时间约为( 　 )B二、填空题4. 计算：（1）(－6a2b4c2)÷(－2b3c)＝ ⁠；（2）(16x3－24x2)÷(－4x2)＝ ⁠.5. 若长方形的面积是 6a2－4ab＋2a，一边长为 2a，则其邻边长是 ⁠.3a2bc　－4x＋6　3a－2b＋1　  解：原式＝2x2－3xy＋6y2.解：原式＝(8x2＋8x)÷(－8x)＝－x－1.7. 先化简，再求值： (9x3y－12xy3＋3xy2)÷(－3xy)－(2y＋x)(2y－x)，其中2x2＋y＝2.解：原式＝－3x2＋4y2－y－（4y2－x2）＝－2x2－y.∵2x2＋y＝2，∴－2x2－y＝－2.∴原式＝－2.解：原式＝－3x2＋4y2－y－(4y2－x2) ＝－2x2－y.∵2x2＋y＝2，∴－2x2－y＝－2.∴原式＝－2. D  D  C  返回 A  B  返回   返回 1  返回8.计算：       返回 B  返回 C   返回    返回 50 返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！