初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）整式的除法教案

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）整式的除法教案，共5页。教案主要包含了教学与建议，方法指导，学生活动，教学说明等内容，欢迎下载使用。

●置疑导入 1.木星的质量约为1.90×1024 t，地球的质量约为5.98×1021 t，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？
2．一个长方形的面积为am＋bm，宽为m，长是多少？
列出式子：(1.90×1024)÷(5.98×1021)，(am＋bm)÷m，你会计算吗？
【教学与建议】教学：让学生自主完成计算，检验学生的预习情况，体现除法运算是乘法运算的逆运算，激发学生的探究欲望．建议：小组合作探究，讨论交流算法．
●复习导入 活动内容1：同底数幂的除法的运算法则是什么？
活动内容2：计算：
(1)－8a5b3÷(－4a2b); (2)(－3a2b)2÷3a3b2；
(3)2(a＋b)5÷(a＋b)3; (4)(－2ab2c)3÷(－3ab2c)2.
解：(1)原式＝2a3b2；(2)原式＝3a；
(3)原式＝2(a＋b)2；(4)原式＝－ eq \f(8,9)ab2c.
【教学与建议】教学：同底数幂的除法与单项式除法是学习多项式除以单项式的基础，为多项式除以单项式作好铺垫．建议：活动内容1由学生口答，活动内容2由学生独立完成．
●类比导入 提出问题：
(1)我们前几天学习了单项式与多项式相乘的法则，请你计算：
(a＋b＋c)m＝__ma＋mb＋mc__．
(2)根据除法的意义，你能描述下面这个式子的意义吗？这个商是多少？
(ma＋mb＋mc)÷m.
【教学与建议】教学：用乘法与除法的意义，归纳得出运算法则．建议：教学时，可以设计成如下环节：根据除法的意义，上面的算式就是要求一个式子，使它与m相乘的积等于ma＋mb＋mc，也就是( )·m＝ma＋mb＋mc.因为(a＋b＋c)·m＝ma＋mb＋mc，所以(ma＋mb＋mc)÷m＝a＋b＋c.
·命题角度1 单项式除以单项式
在单项式与单项式相除的计算中，要注意以下几个方面：(1)系数相除作为商的系数；(2)含有相同字母的部分，按同底数幂的除法法则进行计算；(3)单独在被除式中出现的字母不能漏掉，要连同指数直接作为商的一个因式．
【例1】下列计算正确的是(D)
A．8x9÷4x3＝2x3 B．4a2b3÷4a2b3＝0
C．a2m÷am＝a2 D．2ab2c÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)ab2))＝－4c
【例2】下列运算不正确的是(C)
A．(－12a5b)÷(－3ab)＝4a4 B．6a6÷(－2a2)＝－3a4
C． eq \f(1,2)a2b3÷ eq \f(1,4)ab＝ eq \f(1,2)ab2 D．6x8÷3x2＝2x6
·命题角度2 利用单项式的除法解决与科学记数法有关的计算
涉及科学记数法的计算，运用了单项式的乘除运算，先理解题意，再用运算法则准确地进行计算．
【例3】地球到太阳的距离约为1.5×108 km，光的速度约为3×108 m/s，求光从太阳到地球的时间．
解：1.5×108 km＝1.5×1011 m，
(1.5×1011)÷(3×108)＝(1.5÷3)×(1011÷108)＝0.5×103＝500(s).
答：光从太阳到地球的时间为500 s．
·命题角度3 多项式除以单项式
多项式除以单项式的基本思想是“转化”，即把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式．
【例4】下列计算正确的是(C)
A．(10x3y4＋15x2y2)÷5xy2＝2x2y2＋3xy
B．(9a2b4－12a3b5－3b4)÷(－3b4)＝3a2＋4a3b
C．4(3x5y2＋7x3y6z)÷2x3y2＝6x2＋14y4z
D．(－21a6b2＋28a4b2)÷(－7a2b2)＝3a2b2－4a2b2
【例5】计算：(x4y＋6x3y2－x2y3)÷3x2y＝__ eq \f(1,3)x2＋2xy－ eq \f(1,3)y2__．
·命题角度4 整式的混合运算
整式的混合运算，首先要确定运算顺序，再确定运算法则．
【例6】计算多项式－2x(3x－2)2＋3除以3x－2后，所得商式与余式两者之和为(C)
A．－2x＋3 B．－6x2＋4x C．－6x2＋4x＋3 D．－6x2－4x＋3
【例7】计算：(a2b－2ab2－b3)÷b－(a－b)2.
解：原式＝a2－2ab－b2－a2＋2ab－b2＝－2b2.
·命题角度5 利用多项式除以单项式的法则进行化简计算
整式的化简计算要严格按照运算顺序和运算法则逐步计算，在混合运算中要慎用运算律．
【例8】先化简，再求值：
[ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x3y4)) eq \s\up12(3)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)xy2)) eq \s\up12(2)·3xy2]÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)xy2)) eq \s\up12(3)，其中x＝－2，y＝ eq \f(1,2).
解：原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)x9y12＋\f(1,36)x2y4·3xy2))÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)x3y6))
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)x9y12＋\f(1,12)x3y6))÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)x3y6))
＝x6y6－ eq \f(2,3).
当x＝－2，y＝ eq \f(1,2)时，原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2×\f(1,2))) eq \s\up12(6)－ eq \f(2,3)＝1－ eq \f(2,3)＝ eq \f(1,3).
高效课堂 教学设计
1．理解单项式除以单项式的算理，会进行简单的整式除法运算．
2．通过对问题的转化，探索整式除法运算法则，体会知识间的联系和转化．
▲重点
单项式除以单项式的运算法则及其应用．
▲难点
弄清单项式除法的含义，会进行单项式除法运算．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
1．计算：
(1)a7÷a4；(2)x5·x2÷(x3)2；
(3)(a－b)6÷(a－b)3.
解：(1)原式＝a3；(2)原式＝x；(3)原式＝(a－b)3.
2．我们常常是“先见闪电，后闻雷鸣”，那是因为光比声音传播的速度快．已知光在空气中的传播速度为3.0×108 m/s，而声音在空气中的传播速度约为300 m/s，那么光速是声速的多少倍呢？
列式：(3.0×108)÷300.
计算：方法1：利用类似分数约分的方法．
可以用分数约分的方法来计算： eq \f(3×108,300)＝ eq \f(300 000 000,300)＝1 000 000＝1×106.
方法2：利用乘除法的互逆．
从乘法与除法互为逆运算的角度，我们可以想象300×(106)＝3×108，即3×102×(106)＝3×108.
所求单项式的系数乘3等于3，即所求单项式系数为3÷3＝1，所求单项式的幂的部分应根据108÷102＝106得到，由3×102×(1×106)＝3×108可得3×108÷300＝1×106.
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】单项式除以单项式运算法则
1．你能计算下列各题吗？如果能，说说你的计算方法．
(1)x5y÷x2；(2)8m2n2÷2m2n；(3)a4b2c÷3a2b.
方法1：利用乘法与除法互为逆运算计算；方法2：利用类似分数约分的方法计算．例如，根据单项式乘单项式法则，要求8m2n2÷2m2n的值，可以想象2m2n·__4n__＝8m2n2，所以8m2n2÷2m2n＝__4n__．
【归纳】单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
2．计算下列各题：
(1) eq \f(1,2)xy2·(－4x3yz2)；(2)－16a5bc÷ eq \f(1,4)a2b.
解：(1)原式＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×(－4)))x1+3y2+1z2
＝－2x4y3z2；
(2)原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－16÷\f(1,4)))·a5-2·b1-1c
＝－64a3c.
3．比较“单项式乘单项式”法则和“单项式除以单项式”法则．
【探究2】多项式除以单项式的运算法则
讨论：问题1：计算并回答问题：
(1)d(a＋b)；(2)a·(ab＋3b)；(3)xy(y2－2)；
(4)以上的计算是什么运算？能否叙述这种运算的法则？
问题2：对比下列算式和问题1中的算式，它们之间有何关系？尝试计算出结果．
(1)(ad＋bd)÷d＝__a＋b__；
(2)(a2b＋3ab)÷a＝__ab＋3b__；
(3)(xy3－2xy)÷xy＝__y2－2__．
问题3：根据上面问题1和问题2的解答，尝试归纳总结出多项式除以单项式的运算法则．
【归纳】多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】计算：
(1)－ eq \f(3,5)x2y3÷3x2y; (2)10a4b3c2÷5a3bc；
(3)(2x2y)3·(－7xy2)÷14x4y3; (4)(2a＋b)4÷(2a＋b)2.
【方法指导】(1)(2)直接运用单项式除法的运算法则；(3)要注意运算顺序：先乘方，再乘除；(4)鼓励学生悟出：将(2a＋b)视为一个整体来进行单项式除以单项式的运算．
解：(1)原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)÷3))x2-2y3-1＝－ eq \f(1,5)y2；
(2)原式＝(10÷5)a4-3b3-1c2-1＝2ab2c；
(3)原式＝8x6y3·(－7xy2)÷14x4y3＝－56x7y5÷14x4y3＝－4x3y2；
(4)原式＝(2a＋b)4-2＝(2a＋b)2＝4a2＋4ab＋b2.
【例2】光的速度约为3×108 m/s，一颗人造地球卫星的速度是8×103 m/s，则光的速度是这颗人造地球卫星速度的多少倍？
【方法指导】要求光速是人造地球卫星的速度的倍数，用光速除以人造地球卫星的速度，可转化为单项式相除问题．
解：(3×108)÷(8×103)＝(3÷8)·(108÷103)＝3.75×104.
答：光的速度是这颗人造地球卫星速度的3.75×104倍．
【例3】计算：
(1)(6ab＋8b)÷2b; (2)(27a3－15a2＋6a)÷3a；
(3)(9x2y－6xy2)÷3xy; (4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x2y－xy2＋\f(1,2)xy))÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)xy)).
【方法指导】直接利用多项式除以单项式法则进行计算．
解：(1)原式＝6ab÷2b＋8b÷2b＝3a＋4；
(2)原式＝27a3÷3a－15a2÷3a＋6a÷3a＝9a2－5a＋2；
(3)原式＝9x2y÷3xy－6xy2÷3xy＝3x－2y；
(4)原式＝－3x2y÷ eq \f(1,2)xy＋xy2÷ eq \f(1,2)xy－ eq \f(1,2)xy÷ eq \f(1,2)xy＝－6x＋2y－1.
【例4】小明在爬山时，第一阶段的平均速度为v，所用时间为t1；第二阶段的平均速度为 eq \f(1,2)v，所用时间为t2.下山时，小明的平均速度保持为4v.已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，那么小明下山用了多长时间？
【方法指导】行程问题中时间＝ eq \f(路程,速度)，根据公式，上山路程＝下山路程＝vt1＋ eq \f(1,2)vt2，然后求下山所用的时间．
解：小明下山所用的时间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(vt1＋\f(1,2)vt2))÷4v＝vt1÷4v＋ eq \f(1,2)vt2÷4v＝ eq \f(1,4)t1＋ eq \f(1,8)t2＝ eq \f(2t1＋t2,8).
◆活动4 随堂练习
1．计算－6a6b3÷2a3b2的结果为(C)
A．3a3b B．－3a2b2 C．－3a3b D．3a2b2
2．判断正误，如果错误，应怎样改正？
(1)(2x2y－6xy)÷(－4xy)＝0.5x；(×)
改正：(2x2y－6xy)÷(－4xy)＝－ eq \f(1,2)x＋ eq \f(3,2)；
(2)(6a3b－12a2b2－18ab3)÷(－6ab)＝－a2＋2ab＋3b2；(√)
(3)(2x2y－4xy2＋6y3)÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)y))＝－x2＋2xy－3y2.(×)
改正：(2x2y－4xy2＋6y3)÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)y))＝－4x2＋8xy－12y2.
3．若(xmyn)4÷(xy2)2＝x6y4，则m＝__2__，n＝__2__．
4．先化简，再求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2 024，y＝2 025.
解：原式＝(2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y)÷x2y
＝x－y.
当x＝2 024，y＝2 025时，原式＝2 024－2 025＝－1.
5．先化简，再求值：[xy2＋2xy5÷(－4y2)]· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)xy)) eq \s\up12(2)，其中(x－2)2＋|y＋1|＝0.
解：原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xy2－\f(1,2)xy3))· eq \f(1,4)x2y2
＝ eq \f(1,4)x3y4－ eq \f(1,8)x3y5.
因为(x－2)2＋|y＋1|＝0，且(x－2)2≥0，|y＋1|≥0，
所以(x－2)2＝0，|y＋1|＝0，
所以x－2＝0，y＋1＝0，
所以x＝2，y＝－1.
当x＝2，y＝－1时，原式＝ eq \f(1,4)×23×(－1)4－ eq \f(1,8)×23×(－1)5＝2＋1＝3.
6．课本P27随堂练习T1、T2.
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】1.这节课学习整式除法的运算后，你有何感想？
2．在具体应用整式除法运算法则时应注意以下两点：
①商为1时，不可漏写；
②可以先确定每一个商的符号，然后写成代数和的形式．
【教学说明】梳理本节课的方法和知识，激发学生兴趣，加深对知识的理解．
【作业】课本P28习题1.4中的T1、T2、T3.
这节课结合逆运算的思路，学习单项式除以单项式的除法法则，再类比单项式除以单项式的学习，归纳出多项式除以单项式的运算法则，通过练习加深学生的理解，并及时反馈信息．教师可引导学生解决问题，培养学生的思维能力．
教师通过设置逆运算的情景引导学生探究法则，学生参与的积极性很高，学习探究中学生表现的欲望也比较强烈．
单项式相乘
单项式相除
第一步
系数相乘
系数相除
第二步
同底数幂相乘
同底数幂相除
第三步
其余字母连同它的指数不变，作为积的因式
只在被除式里含有的字母连同它的指数一起作为商的一个因式