1.4 整式的除法（教学课件）--新2024北师大版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学159099548801.4 整式的除法学习目标理解整式除法的运算法则，包括单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则推导过程。能够熟练运用整式除法法则进行准确计算，掌握不同类型整式除法的运算技巧。体会整式除法与整式乘法的互逆关系，培养运用已有知识解决新问题的能力，提升运算的准确性和效率。情境引入在前面的学习中，我们已经掌握了整式的乘法运算，包括单项式与单项式相乘、多项式与多项式相乘等。那么，乘法的逆运算 —— 除法，在整式中该如何进行呢？例如，已知两个整式的积和其中一个整式，如何求另一个整式？比如，若\(3x·2x^2 = 6x^3\)，那么\(6x^3÷3x\)等于多少？\(6x^3÷2x^2\)又等于多少？再比如，\((6x^2 + 4x)÷2x\)该如何计算？这些问题都涉及到整式的除法运算，本节课我们就来探究整式除法的法则。知识回顾同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即\(a^m÷a^n = a^{m - n}\)（\(a≠0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，且\(m>n\)）。单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。单项式与多项式相乘法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即\(m(a + b + c)=ma + mb + mc\)。零指数幂的意义：任何不等于\(0\)的数的\(0\)次幂都等于\(1\)，即\(a^0 = 1\)（\(a≠0\)）。单项式除以单项式法则推导我们以几个具体例子探究单项式除以单项式的法则。计算\(6x^3÷3x\)：根据除法是乘法的逆运算，因为\(3x·2x^2 = 6x^3\)，所以\(6x^3÷3x = 2x^2\)。从运算过程看，系数\(6÷3 = 2\)，同底数幂\(x^3÷x = x^{3 - 1}=x^2\)，结果为\(2x^2\)。计算\(12a^3b^2÷(-4a^2b)\)：因为\((-4a^2b)·(-3ab)=12a^3b^2\)，所以\(12a^3b^2÷(-4a^2b)=-3ab\)。系数\(12÷(-4)=-3\)，同底数幂\(a^3÷a^2 = a^{3 - 2}=a\)，\(b^2÷b = b^{2 - 1}=b\)，结果为\(-3ab\)。计算\(-18x^4y^3÷3x^2y\)：系数\(-18÷3=-6\)，同底数幂\(x^4÷x^2 = x^{4 - 2}=x^2\)，\(y^3÷y = y^{3 - 1}=y^2\)，所以结果为\(-6x^2y^2\)。通过以上例子，我们可以归纳出单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。符号表示对于单项式\(A = m·a^p·b^q\)和单项式\(B = n·a^r·b^s\)（\(m\)、\(n\)为系数，\(a\)、\(b\)为字母，\(p>r\)，\(q>s\)，\(n≠0\)），则\(A÷B=\frac{m}{n}·a^{p - r}·b^{q - s}\)。实例解析例 1：计算下列各题(1) \(28x^4y^2÷7x^3y\)(2) \(-5a^5b^3c÷15a^4b\)(3) \((-2x^2y)^3÷(-4xy^2)\)解：(1) \(28x^4y^2÷7x^3y=(28÷7)·(x^4÷x^3)·(y^2÷y)=4·x^{4 - 3}·y^{2 - 1}=4xy\)。(2) \(-5a^5b^3c÷15a^4b=(-5÷15)·(a^5÷a^4)·(b^3÷b)·c=-\frac{1}{3}·a^{5 - 4}·b^{3 - 1}·c=-\frac{1}{3}ab^2c\)。(3) 先算乘方：\((-2x^2y)^3=-8x^6y^3\)。再算除法：\(-8x^6y^3÷(-4xy^2)=(-8÷(-4))·(x^6÷x)·(y^3÷y^2)=2·x^{6 - 1}·y^{3 - 2}=2x^5y\)。注意事项系数相除时，要注意符号：同号得正，异号得负。例如\(-12÷(-3)=4\)，\(12÷(-3)=-4\)。同底数幂相除，底数不变，指数相减，要避免指数相除的错误。例如\(x^5÷x^2=x^{5 - 2}=x^3\)，不能写成\(x^{5÷2}=x^{2.5}\)。只在被除式中含有的字母，要连同它的指数一起作为商的因式，不能遗漏。例如\(6x^2y÷3x = 2xy\)，其中\(y\)是只在被除式中含有的字母，要保留在商中。运算结果要化为最简形式，系数是分数时要化为最简分数。多项式除以单项式法则推导我们以\((6x^2 + 4x)÷2x\)为例探究多项式除以单项式的法则。根据除法是乘法的逆运算，因为\(2x·(3x + 2)=6x^2 + 4x\)，所以\((6x^2 + 4x)÷2x = 3x + 2\)。从运算过程看，\(6x^2÷2x + 4x÷2x = 3x + 2\)，即把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。由此，我们得到多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。符号表示对于多项式\(a + b + c\)和单项式\(m\)（\(m≠0\)），则\((a + b + c)÷m = a÷m + b÷m + c÷m\)。实例解析例 2：计算下列各题(1) \((12a^3 - 6a^2 + 3a)÷3a\)(2) \((-8x^4y + 12x^3y^2 - 4x^2y^3)÷(-4x^2y)\)(3) \((x^3y^2 - x^2y^3 + 2x^2y^2)÷x^2y^2\)解：(1) \((12a^3 - 6a^2 + 3a)÷3a=12a^3÷3a + (-6a^2)÷3a + 3a÷3a=4a^2 - 2a + 1\)。(2) \((-8x^4y + 12x^3y^2 - 4x^2y^3)÷(-4x^2y)=(-8x^4y)÷(-4x^2y) + 12x^3y^2÷(-4x^2y) + (-4x^2y^3)÷(-4x^2y)=2x^2 - 3xy + y^2\)。(3) \((x^3y^2 - x^2y^3 + 2x^2y^2)÷x^2y^2=x^3y^2÷x^2y^2 + (-x^2y^3)÷x^2y^2 + 2x^2y^2÷x^2y^2=x - y + 2\)。注意事项多项式的每一项都要除以单项式，不能漏除任何一项，包括常数项。例如\((4x^3 + 2x - 1)÷2x\)，要计算\(4x^3÷2x + 2x÷2x + (-1)÷2x = 2x^2 + 1 - \frac{1}{2x}\)，不能漏掉\(-1÷2x\)这一项。要注意符号的变化，多项式中的项是负数时，除以单项式后要保持符号的正确性。例如\((-6x^2 + 3x)÷3x = -6x^2÷3x + 3x÷3x=-2x + 1\)。每一项除以单项式的结果要化简，再把这些结果相加，合并同类项（如果有的话）。但在多项式除以单项式的运算中，通常先分别计算每一项的商，再直接相加，一般很少有同类项需要合并。被除式的项数与商的项数相同，因为每一项都对应一个商的项。例如三项式除以单项式，商仍然是三项式。整式除法的混合运算在进行整式除法的混合运算时，要遵循 “先乘方，再乘除，最后加减” 的运算顺序，有括号的先算括号里面的。例 3：计算\((2x^2y)^3÷(4x^3y^2)·(-3xy^2)\)解：先算乘方：\((2x^2y)^3 = 8x^6y^3\)。再算除法：\(8x^6y^3÷(4x^3y^2)=(8÷4)·(x^6÷x^3)·(y^3÷y^2)=2x^3y\)。最后算乘法：\(2x^3y·(-3xy^2)=-6x^4y^3\)。例 4：计算\([(x + 2y)(x - 2y) - (x - y)^2]÷(-2y)\)解：先算括号内的运算：计算\((x + 2y)(x - 2y)=x^2 - (2y)^2=x^2 - 4y^2\)（平方差公式）。计算\((x - y)^2=x^2 - 2xy + y^2\)（完全平方公式）。括号内的式子为\(x^2 - 4y^2 - (x^2 - 2xy + y^2)=x^2 - 4y^2 - x^2 + 2xy - y^2=2xy - 5y^2\)。再算除法：\((2xy - 5y^2)÷(-2y)=2xy÷(-2y) + (-5y^2)÷(-2y)=-x + \frac{5}{2}y\)。易错点警示系数相除错误：在单项式除以单项式时，系数相除容易出现计算错误，尤其是涉及分数或负数时。例如\(-8÷(-2)=4\)，但容易误算为\(-4\)；\(6÷(-\frac{1}{2})=-12\)，容易误算为\(-3\)。同底数幂指数运算错误：把指数相减误算为指数相除或指数相乘。例如\(a^6÷a^2=a^{6 - 2}=a^4\)，误算为\(a^{6÷2}=a^3\)或\(a^{6×2}=a^{12}\)。漏除多项式中的项：在多项式除以单项式时，漏除其中一项。例如\((3x^2 + 6x - 9)÷3x\)，误算为\(3x^2÷3x + 6x÷3x=x + 2\)，漏掉\(-9÷3x=-\frac{3}{x}\)，正确结果应为\(x + 2 - \frac{3}{x}\)。符号处理错误：多项式中的负项除以单项式时，符号处理错误。例如\((-4x^3 + 8x^2)÷(-2x)\)，误算为\(-4x^3÷(-2x) + 8x^2÷(-2x)=2x^2 - 4x\)是正确的，但如果写成\(-2x^2 - 4x\)就是符号错误。运算顺序错误：在混合运算中，没有按照先乘方，再乘除，最后加减的顺序进行。例如计算\(x^4÷x^2·x\)时，误先算乘法再算除法，得到\(x^4÷x^3=x\)，正确顺序应为从左到右依次计算：\(x^4÷x^2·x=x^2·x=x^3\)。课堂练习计算下列各题：\((1)36x^4y^3÷(-9x^2y)\)\((2)(-15a^3b^2c)÷5a^2b\)\((3)(2x^2y)^2÷(4xy^2)\)\((4)(10m^3n^2 - 15m^2n + 20mn)÷5mn\)\((5)(-8a^3b^2 + 12a^2b^3 - 4ab^4)÷(-4ab^2)\)计算混合运算：\((1)(-3a^2b)^3÷(3a^2b^2)·(-2ab)\)\((2)[(2x + y)^2 - (2x - y)^2]÷4y\)先化简，再求值：\((x^2y - 2xy^2)÷y + (3x - y)(3x + y)\)，其中\(x = -1\)，\(y = 2\)。判断下列计算是否正确，若不正确，请改正：\((1)12x^3÷4x = 3x^3\)\((2)(6x^2 - 4x)÷2x = 3x - 4x=-x\)\((3)(a^3b^2)÷a^2b = ab\)\((4)(-x^3y)÷(-x^2) = -xy\)方法总结单项式除以单项式法则：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。计算步骤：单项式除以单项式：系数相除→同底数幂相除→处理单独字母→合并结果。多项式除以单项式：多项式每一项分别除以单项式→每一项按单项式除法法则计算→把所得商相加。混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的运算。关键要点：注意系数的符号和除法运算，正确处理同底数幂的指数相减，避免漏项，确保1. 经历探索单项式除以单项式、多项式除以单项式法则的过程，会进行多项式除以单项式的运算.2. 通过观察、归纳和概括等一系列数学活动，理解多项式除法的运算算理，感受数学思考过程的条理性和数学结论的严密性，并进一步体会类比方法的作用.3. 在发展推理能力和有条理的表达能力的过程中，进一步培养学习数学的兴趣，加强学习数学的信心.重点：能运用单项式除以单项式进行计算并解决问题.难点：多项式除以单项式运算法则的探究过程. a10 yz5 14a3b2x 2x102. 回忆单项式乘单项式的乘法法则.单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变作为积的一个因式.计算下列各题，并说说你的理由.(1) x5y÷x2；(2) 8m2n2÷2m2n； (3) a4b2c÷3a2b.合作探究一(3) 因为 3a2b· ＝ a4b2c， 所以 a4b2c÷3a2b ＝ .方法一：利用乘除法的互逆性(1) 因为 x2· ＝ x5y； 所以 x5y÷x2 ＝ .(2) 因为 2m2n· ＝ 8m2n2 所以 8m2n2÷2m2n ＝ .x3yx3y4n4n方法二：利用类似分数约分的方法(1) x5y÷x2 =(2) 8m2n2÷2m2n =(3) a4b2c÷3a2b = 比一比：观察比较后发现，单项式除以单项式，其结果(商式)仍是一个 .单项式合作探究被除式除式商式(1) x5y ÷ x2 = x5－2·y；(2) 8m2n2 ÷ 2m2n = (8÷2)·m2－2·n2－1；(3) a4b2c ÷ 3a2b = (1÷3)·a4－2·b2－1·c.追问1：三个单项式的系数之间有什么关系?商式的系数＝被除式的系数÷除式的系数.追问 2：同底数幂是怎样运算的?(同底数幂)商的指数＝被除式的指数－除式的指数.追问 3：只在被除式里含有的字母，在商中有没有变化?被除式中单独有的幂，写在商式作为因式(类比). 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.商式 ＝ 系数 • 同底数幂 • 被除式里单独有的幂底数不变，指数相减.保留在商里作为因式知识要点对比学习相乘相除相乘相除其余字母连同它的指数不变作为积的因式只在被除式里含有的字母连同它的指数一起作为商的因式例 计算：典例精析(2) 10a4b3c2÷5a3bc；解：原式 = (10÷5)a4-3b3-1c2-1= 2ab2c.解：原式(3) (2x2y)3·(-7xy2)÷14x4y3；解：原式= 8x6y3·(-7xy2)÷14x4y3= -56x7y5÷14x4y3= -4x3y2.(4) (2a + b)4÷(2a + b)2.解：原式= (2a + b)4-2= (2a + b)2= 4a2 + 4ab + b2.1.计算：(1) 28x4y2 ÷7x3y；(2) －5a5b3c ÷15a4b.解：28x4y2 ÷7x3y= (28 ÷7)x4-3y2-1= 4xy.练一练(2)－48a6b5c÷(24ab4)·(－a5b2)．解：原式＝[(－48)÷24×(－1)]a6－1＋5 · b5－4＋2 · c ＝2a10b3c.注意：先乘方，再乘除2.计算：(1) －(x5y2)2÷(－xy2)；解：原式＝－x10y4÷(－xy2) ＝x9y2.填一填：因为(a+b)m = am + bm，所以(am+bm)÷m = .a+b因为 am÷m+bm÷m=a+b，所以( )÷m = am÷m + bm÷m.am+bm(1) (ad＋bd)÷d＝ad÷d＋bd÷d＝a＋b.(2) (a2b＋3ab)÷a＝a2b÷a＋3ab÷a＝ab＋3b.(3) (xy3－2xy)÷xy＝xy3÷xy－2xy÷xy＝y2－2.算一算： 多项式除以单项式，先把这个多项式的 分别除以这个 ，再把所得的商 .单项式每一项相加知识要点例1 计算：典例精析(1) (6ab＋8b)÷2b(2) (27a3－15a2＋6a)÷3a(3) (9x2y－6xy2)÷3xy 解：(1) 原式＝6ab÷2b＋8b÷2b＝3a＋4；(2) 原式＝27a3÷3a－15a2÷3a＋6a÷3a ＝9a2－5a＋2；(3) 原式＝9x2y÷3xy－6xy2÷3xy＝3x－2y；＝－6x＋2y－1.例2 已知一个多项式除以 2x2，所得的商是 2x2 ＋1，余式是 3x－2，请求出这个多项式. 故这个多项式为 4x4＋2x2＋3x－2. ＝4x4＋2x2＋3x－2， 解：根据题意，得2x2(2x2＋1)＋3x－2典例精析例3 先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y， 其中 x＝2024，y＝2023.当 x＝2024，y＝2023 时，原式＝2024－2023＝1.＝x－y.＝(x3y－x2y2)÷x2y＝x3y÷x2y－x2y2÷x2y＝(2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y)÷x2y解：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y一、选择题1. 计算 6m2÷(－3m) 的结果是(　B　)2. 计算 (15x2y－10xy2)÷5xy的结果是(　B　)BB3. 太阳到地球的距离约为 1.5×108 km，光的速度约为 3.0×105 km/s，则太阳光到达地球的时间约为( 　 )B二、填空题4. 计算：（1）(－6a2b4c2)÷(－2b3c)＝ ⁠；（2）(16x3－24x2)÷(－4x2)＝ ⁠.5. 若长方形的面积是 6a2－4ab＋2a，一边长为 2a，则其邻边长是 ⁠.3a2bc　－4x＋6　3a－2b＋1　  解：原式＝2x2－3xy＋6y2.解：原式＝(8x2＋8x)÷(－8x)＝－x－1.7. 先化简，再求值： (9x3y－12xy3＋3xy2)÷(－3xy)－(2y＋x)(2y－x)，其中2x2＋y＝2.解：原式＝－3x2＋4y2－y－（4y2－x2）＝－2x2－y.∵2x2＋y＝2，∴－2x2－y＝－2.∴原式＝－2.解：原式＝－3x2＋4y2－y－(4y2－x2) ＝－2x2－y.∵2x2＋y＝2，∴－2x2－y＝－2.∴原式＝－2. D  D  C  返回 A  B  返回   返回 1  返回8.计算：       返回 B  返回 C   返回    返回 50 返回阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086