1.3.2完全平方公式（教学课件）--新2024北师大版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学159099548801.3.2 完全平方公式学习目标理解完全平方公式的推导过程，能准确表述完全平方公式的内容及结构特征。熟练运用完全平方公式进行整式乘法运算、多项式因式分解以及化简求值，提升运算的准确性和效率。通过探究完全平方公式的几何意义和变形应用，体会数形结合思想和转化思想，培养数学思维能力。情境引入在学习平方差公式后，我们知道特殊形式的多项式乘法可以用简便公式计算。那么，对于两个相同的二项式相乘，比如\((a + b)^2\)、\((a - b)^2\)，是否也有简便的运算规律呢？我们先来计算两组式子：(1) \((3 + 2)^2\)，按照乘方的意义，\((3 + 2)^2=(3 + 2)(3 + 2)=3×3 + 3×2 + 2×3 + 2×2=9 + 6 + 6 + 4=25\)；(2) \((5 - 1)^2\)，同理\((5 - 1)^2=(5 - 1)(5 - 1)=5×5 + 5×(-1)+(-1)×5 + (-1)×(-1)=25 - 5 - 5 + 1=16\)。观察计算结果，\((3 + 2)^2=3^2 + 2×3×2 + 2^2=25\)，\((5 - 1)^2=5^2 + 2×5×(-1)+(-1)^2=16\)。这其中是否存在普遍规律？本节课我们就来学习完全平方公式。完全平方公式推导从多项式乘法到完全平方公式我们以\((a + b)^2\)和\((a - b)^2\)为例推导公式。计算\((a + b)^2\)：根据乘方的意义，\((a + b)^2=(a + b)(a + b)\)。按照多项式乘法法则展开，得到\(a×a + a×b + b×a + b×b\)。合并同类项后，\(a×b + b×a = 2ab\)，所以\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)。计算\((a - b)^2\)：同理\((a - b)^2=(a - b)(a - b)=a×a + a×(-b)+(-b)×a + (-b)×(-b)\)。合并同类项，\(a×(-b)+(-b)×a=-2ab\)，因此\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)。由此，我们得到完全平方公式：两数和的完全平方公式：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数积的 2 倍，用符号表示为\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)。两数差的完全平方公式：两个数的差的平方，等于这两个数的平方和减去这两个数积的 2 倍，用符号表示为\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)。这里的\(a\)和\(b\)可以是具体数字、单项式或多项式。完全平方公式的几何解释我们可以通过几何图形直观理解完全平方公式。对于\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)：假设有一个边长为\((a + b)\)的正方形，它可以分割成一个边长为\(a\)的正方形、一个边长为\(b\)的正方形，以及两个长为\(a\)、宽为\(b\)的长方形，如图所示：[此处可插入边长为 (a+b) 的正方形分割示意图]大正方形的面积为\((a + b)^2\)，三个部分的面积分别为\(a^2\)、\(b^2\)和\(ab\)（两个长方形面积和为\(2ab\)），因此\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)。对于\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)：边长为\(a\)的正方形中，减去一个长为\(a\)、宽为\(b\)的长方形后，剩余部分再减去一个同样的长方形，会多减一个边长为\(b\)的正方形，需要补回来，如图所示：[此处可插入边长为 a 的正方形分割示意图]最终得到的小正方形面积为\((a - b)^2\)，其面积等于大正方形面积\(a^2\)减去两个长方形面积\(2ab\)，再加上补回的小正方形面积\(b^2\)，即\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)。完全平方公式的应用直接运用完全平方公式计算例 1：利用完全平方公式计算(1) \((2x + 3y)^2\)(2) \((4m - 5n)^2\)(3) \((-a + 2b)^2\)解：(1) 对于\((2x + 3y)^2\)，这里\(a = 2x\)，\(b = 3y\)，根据\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)，可得：\((2x + 3y)^2=(2x)^2 + 2×2x×3y + (3y)^2=4x^2 + 12xy + 9y^2\)。(2) 对于\((4m - 5n)^2\)，\(a = 4m\)，\(b = 5n\)，根据\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)，则：\((4m - 5n)^2=(4m)^2 - 2×4m×5n + (5n)^2=16m^2 - 40mn + 25n^2\)。(3) 对于\((-a + 2b)^2\)，可变形为\((2b - a)^2\)（加法交换律），\(a = 2b\)，\(b = a\)，所以：\((-a + 2b)^2=(2b)^2 - 2×2b×a + a^2=4b^2 - 4ab + a^2\)（或直接用\((a + b)^2\)公式，\(a=-a\)，\(b=2b\)，结果一致）。方法总结：应用完全平方公式时，先确定式子中的\(a\)和\(b\)，再代入公式展开。展开后包括三项：\(a^2\)、\(2ab\)（或\(-2ab\)）、\(b^2\)，注意中间项的系数和符号。利用完全平方公式进行简便运算例 2：计算(1) \(102^2\)(2) \(99.5^2\)解：(1) \(102^2=(100 + 2)^2\)，这里\(a = 100\)，\(b = 2\)，根据\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)，则：\((100 + 2)^2=100^2 + 2×100×2 + 2^2=10000 + 400 + 4=10404\)。(2) \(99.5^2=(100 - 0.5)^2\)，\(a = 100\)，\(b = 0.5\)，所以：\((100 - 0.5)^2=100^2 - 2×100×0.5 + 0.5^2=10000 - 100 + 0.25=9900.25\)。方法总结：对于接近整十、整百的数的平方，可将其转化为一个整十、整百数与另一个数的和或差的形式，再利用完全平方公式简便计算。利用完全平方公式化简求值例 3：先化简，再求值：\((3x + 2y)^2 - (3x - 2y)^2\)，其中\(x = \frac{1}{3}\)，\(y = -\frac{1}{2}\)。解：利用完全平方公式展开式子：\((3x + 2y)^2=9x^2 + 12xy + 4y^2\)\((3x - 2y)^2=9x^2 - 12xy + 4y^2\)进行减法运算：原式\(=9x^2 + 12xy + 4y^2-(9x^2 - 12xy + 4y^2)\)去括号得：\(9x^2 + 12xy + 4y^2 - 9x^2 + 12xy - 4y^2\)合并同类项得：\(24xy\)代入数值计算：当\(x = \frac{1}{3}\)，\(y = -\frac{1}{2}\)时，\(24xy=24×\frac{1}{3}×(-\frac{1}{2})=8×(-\frac{1}{2})=-4\)。利用完全平方公式进行因式分解完全平方公式可逆用，即\(a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2\)，\(a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2\)，可用于因式分解（这类多项式称为完全平方式）。例 4：因式分解(1) \(x^2 + 6x + 9\)(2) \(4a^2 - 12ab + 9b^2\)解：(1) \(x^2 + 6x + 9=x^2 + 2×x×3 + 3^2\)，符合\(a^2 + 2ab + b^2\)的形式（\(a = x\)，\(b = 3\)），所以\(x^2 + 6x + 9=(x + 3)^2\)。(2) \(4a^2 - 12ab + 9b^2=(2a)^2 - 2×2a×3b + (3b)^2\)，符合\(a^2 - 2ab + b^2\)的形式（\(a = 2a\)，\(b = 3b\)），因此\(4a^2 - 12ab + 9b^2=(2a - 3b)^2\)。完全平方公式的变形符号变形\((-a - b)^2=(a + b)^2\)，因为\((-a - b)^2=[-(a + b)]^2=(a + b)^2\)（负数的平方等于正数的平方），展开后为\(a^2 + 2ab + b^2\)。系数变形\((2a + 3b)^2=(2a)^2 + 2×2a×3b + (3b)^2=4a^2 + 12ab + 9b^2\)，当系数不为\(1\)时，需将系数纳入\(a\)或\(b\)中，平方后系数也要平方。多项式变形\((a + b + c)^2\)可先将\((a + b)\)看作整体，再用完全平方公式展开：\((a + b + c)^2=(a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2=a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2\)，即三数和的平方等于三数平方和加上两两积的 2 倍。常用恒等式变形\(a^2 + b^2=(a + b)^2 - 2ab\)\(a^2 + b^2=(a - b)^2 + 2ab\)\((a + b)^2 + (a - b)^2=2(a^2 + b^2)\)\((a + b)^2 - (a - b)^2=4ab\)例 5：已知\(a + b = 5\)，\(ab = 3\)，求\(a^2 + b^2\)和\((a - b)^2\)的值。解：根据\(a^2 + b^2=(a + b)^2 - 2ab\)，代入得\(a^2 + b^2=5^2 - 2×3=25 - 6=19\)。根据\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2=(a^2 + b^2)-2ab\)，代入得\((a - b)^2=19 - 2×3=19 - 6=13\)。易错点警示漏写中间项：这是最常见的错误，例如将\((a + b)^2\)误算为\(a^2 + b^2\)，遗漏中间项\(2ab\)；或将\((a - b)^2\)误算为\(a^2 - b^2\)，正确结果应为\(a^2 - 2ab + b^2\)。符号错误：在\((a - b)^2\)中，中间项符号错误，例如写成\(a^2 + 2ab + b^2\)，正确应为\(a^2 - 2ab + b^2\)；对于\((-a + b)^2\)，误算为\(a^2 + 2ab + b^2\)，正确结果应为\(a^2 - 2ab + b^2\)（或\(b^2 - 2ab + a^2\)）。系数平方错误：当\(a\)或\(b\)带有系数时，平方时漏乘系数，例如\((2x + 3y)^2\)误算为\(2x^2 + 12xy + 3y^2\)，正确应为\(4x^2 + 12xy + 9y^2\)（系数\(2\)和\(3\)需平方）。混淆公式结构：将完全平方公式与平方差公式混淆，例如计算\((a + b)^2\)时用平方差公式计算，导致结果错误。课堂练习利用完全平方公式计算：\((1)(3x - 2)^2\)\((2)(-2m + 5n)^2\)\((3)(a + b - c)^2\)用完全平方公式进行简便运算：\((1)99^2\)\((2)101.1^2\)先化简，再求值：\((x - 2y)^2 + (x + 2y)(x - 2y)\)，其中\(x = 2\)，\(y = -1\)。因式分解：\((1)m^2 - 8m + 16\)\((2)25a^2 + 30ab + 9b^2\)已知\(x - y = 4\)，\(x^2 + y^2 = 20\)，求\(xy\)和\((x + y)^2\)的值。方法总结完全平方公式：两数和：\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)两数差：\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)公式特征：左边是二项式的平方，右边是三项式，包括首项平方、尾1. 多项式的乘法法则是什么? (a + b)(m + n)＝ ；2. 多项式乘法法则的几何意义是什么?am + bm + an + bn 明明订购了一个 6 寸的大披萨，不久店员打电话告知 6 寸的披萨卖完了，问能否换购一个 4 寸和一个 2 寸的小披萨(披萨近似看作圆).你认为明明应该同意吗？大披萨的面积：S = π·32 = 9π .小披萨的面积之和：S = π·22 + π·12 = 5π . 你发现了什么？ (2 + 1)2 ≠ 22 + 12.所以不应该同意.完全平方公式算一算：(1) (1 - p)2 解：原式 = ( 1 - p )( 1 - p ) = 1² - p - p + p2 = 1² - 2p + p2.(2) (m + 3)2 解：原式 = (m + 3)(m + 3) = m2 + 3m + 3m + 9 = m2 + 2×3m + 9 = m2 + 6m + 9. 解：原式= (2 + 3x)(2 + 3x) = 22 + 2×3x + 2×3x + 9x2 = 4 + 2×2×3x + 9x2 = 4 + 12x + 9x2. (3) (2 + 3x)2追问 1：上述式子的左边有什么共同特征? 计算的结果都是几次几项式?左式都是两项和或差的平方，结果都是二次三项式.追问 2：计算结果的每一项分别与括号里的每一项有什么关系?结果的首尾项分别是左边括号里每项的平方，结果的中间项是括号里两项乘积的 2 倍.(1) (1 - p)2 = 1² - 2p + p2.(2) (m + 3)2= m2 + 6m + 9(3) (2 + 3x)2 = 4 + 12x + 9x2.比一比：根据发现的特征，写出下面式子的答案：(1) (a＋b)2 = ；(2) (a－b)2 = .a2＋2ab＋b2a2－2ab + b2观察并比较(1)(2)两个式子，等式左边(右边)相同的项.(1) (a＋b)2 = (a＋b)(a＋b)= a2＋ab＋ab＋b2 = a2＋2ab＋b2(2) (a－b)2 = [a＋(－b)]2= a2＋a(－b)＋a(－b)＋(－b)2= a2＋2a(－b)＋(－b)2 = a2－2ab＋b2推导 过程验证：议一议追问 1：(1)(2)两个式子等式右边不同的是哪一项?它的符号与什么有关?＋2ab 和－2ab. 与两数中间的符号有关.(1) (a＋b)2 = a2＋2ab＋b2(2) (a－b)2 = a2－2ab＋b2追问 2：能否描述你们发现的规律? (分别从文字语言和符号语言角度引导)文字语言：两个数的和(差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(减去)它们积的 2 倍.符号语言：(a±b)² = a²±2ab＋b².两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫作完全平方公式. 简记为：“首平方，尾平方， 积的 2 倍放中间”知识要点例1 利用完全平方公式计算：解：(2x－3)2 ==4x2(1) (2x－3)2；( a－b )2 = a2 － 2ab + b2 (2x)2－ 2 • (2x) • 3+ 32－12x+ 9；典例精析(2) (4x＋5y)2；解： (4x＋5y)2 = (4x)2＋2 • (4x) • 5y＋(5y)2( a＋b )2 = a2 ＋ 2ab ＋ b2= 16x2＋40xy＋25y2；(3) (mn－a)2.解： (mn－a)2 = (mn)2－ 2 • mn • a＋a2= m2n2－2amn＋a2.完全平方公式的几何验证 问题：一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).(1) 四块实验田面积分别为： ， ， ， .a2abb2ab(2)两种形式表示实验田的总面积：①从整体看：边长为 的大正方形，S大正方形＝ ； (a+b)(a+b)2②从部分看：四块面积的和S＝ . a²+2ab+b²思考：怎样计算 1022，1972 更简便呢？(1) 1022； (2) 1972.解：原式 = (100 + 2)2= 10 000 + 400 + 4= 10 404.解：原式 = (200－3)2= 40 000－1200 + 9= 38 809.= 1002－2×100×2 + 22= 2002－2×200×3 + 32想一想例2 运用乘法公式计算：(1) (x + 2y - 3)(x - 2y + 3)； = x2 – (2y – 3)2= x2 – (4y2 – 12y + 9)= x2 – 4y2 + 12y – 9.解：原式 = [x + (2y – 3)][x – (2y – 3)] 同号 异号ab平方差公式典例精析(2) ( a + b + c )2.解：原式 = [(a + b) + c]2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2完全平方公式 都同号例2 计算：(1) (x + 3)2 – x2； 解：原式 = x2 + 6x + 9 – x2 = 6x + 9； 或原式 = (x + 3 + x) (x + 3 – x) = (2x + 3)×3 = 6x + 9. 典例精析(2) ( a + b + 3 )( a + b - 3 )；解： 原式 = [(a + b) + 3][(a + b) - 3] = (a + b)2 - 32 = a2 + 2ab + b2 - 9.(3) (x + 5)2 – (x - 2)(x - 3).解： 原式 = x2 + 10x + 25 - (x2 - 5x + 6) = x2 + 10x + 25 - x2 + 5x - 6 = 15x + 19.(4) [( a + b) ( a - b)]2.解： 原式 = ( a2 - b2 )2 = a4 - 2a2b2 + b4. D 2. [2024无锡期中] 下列各式中计算正确的是( )A  返回3. 教材P20思考·交流 如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列等式中与之相对应的是( )A  返回   返回5.计算：         返回   返回 D  返回 BA. 3B. 4C. 5D. 6 B   返回   返回阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086