1.3.2完全平方公式 课件-2025-2026学年2024北师大版数学七年级下册教学课件

幻灯片 1：封面标题：1.3.2 完全平方公式副标题：北师大版七年级下册 第一章 整式的乘除授课教师：[教师姓名]幻灯片 2：复习回顾平方差公式：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)，特征是 “一项相同，一项相反” 的二项式相乘，结果为平方差。多项式与多项式相乘法则：\((m + n)(p + q) = mp + mq + np + nq\)，为推导完全平方公式奠定基础。计算热身：\((x + 3)^2\)、\((2a - 1)^2\)，让学生用多项式乘法法则展开，观察结果规律，引出完全平方公式。幻灯片 3：情境引入（几何意义）问题 1：一个边长为\((a + b)\)的正方形，它的面积是多少？方法一：整体计算，正方形面积 = 边长 × 边长，即\((a + b)^2\)。方法二：分割计算，将正方形分割为一个边长为\(a\)的小正方形、一个边长为\(b\)的小正方形，以及两个长为\(a\)、宽为\(b\)的长方形。各部分面积：\(a^2\)（大正方形）、\(b^2\)（小正方形）、\(ab\)（长方形 1）、\(ab\)（长方形 2）。总面积：\(a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。结论：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。问题 2：一个边长为\(a\)的正方形，在其中一边减去长度\(b\)（\(b < a\)），得到一个长为\(a\)、宽为\((a - b)\)的长方形，再将其剪拼为边长为\((a - b)\)的正方形，面积如何表示？方法一：整体计算，正方形面积 = \((a - b)^2\)。方法二：分割计算，从边长为\(a\)的正方形中减去一个长为\(a\)、宽为\(b\)的长方形，再补上一个长为\((a - b)\)、宽为\(b\)的长方形（或直接分割为\(a^2 - ab - ab + b^2\)）。总面积：\(a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。结论：\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。幻灯片 4：推导完全平方公式（代数角度）推导\((a + b)^2\)：根据多项式乘法法则，\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a \times a + a \times b + b \times a + b \times b\)。计算并合并同类项：\(a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。推导\((a - b)^2\)：方法一：直接展开，\((a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a \times a + a \times (-b) + (-b) \times a + (-b) \times (-b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。方法二：将\((a - b)\)看作\((a + (-b))\)，利用\((a + b)^2\)公式，\((a - b)^2 = [a + (-b)]^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。公式总结：完全平方和公式：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。完全平方差公式：\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。统一语言描述：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的 2 倍。幻灯片 5：公式特征分析左边特征：都是二项式的平方，形式为\((相同项 \pm 相反项)^2\)（或两数和 / 差的平方）。右边特征：包含两项的平方：即\(a^2\)和\(b^2\)（平方和）。包含一项中间项：即\(\pm 2ab\)（两数积的 2 倍，符号与左边 “\(\pm\)” 一致）。记忆口诀：“首平方，尾平方，首尾两倍放中央，符号跟着中间项”（“首” 指\(a\)，“尾” 指\(b\)）。幻灯片 6：公式中 “\(a\)”“\(b\)” 的含义拓展“\(a\)” 和 “\(b\)” 可表示单独的数字、字母，也可表示单项式、多项式等代数式，关键是将其看作一个整体。示例：若\(a = 2x\)，\(b = 3\)，则\((2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3 + 3^2\)，\((2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2\)。若\(a = (x + y)\)，\(b = z\)，则\((x + y + z)^2 = [(x + y) + z]^2 = (x + y)^2 + 2(x + y)z + z^2\)，\((x + y - z)^2 = [(x + y) - z]^2 = (x + y)^2 - 2(x + y)z + z^2\)。幻灯片 7：例题讲解 1（基础应用：数字与字母）计算下列各式，直接运用完全平方公式：\((x + 4)^2\)分析：“首”\(a = x\)，“尾”\(b = 4\)，用完全平方和公式。解：\((x + 4)^2 = x^2 + 2 \times x \times 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16\)。\((a - 5)^2\)分析：“首”\(a = a\)，“尾”\(b = 5\)，用完全平方差公式。解：\((a - 5)^2 = a^2 - 2 \times a \times 5 + 5^2 = a^2 - 10a + 25\)。\((-m + 2n)^2\)分析：可变形为\((2n - m)^2\)（或看作\([(-m) + 2n]^2\)），“首”\(= 2n\)，“尾”\(= m\)。解：\((-m + 2n)^2 = (2n - m)^2 = (2n)^2 - 2 \times 2n \times m + m^2 = 4n^2 - 4mn + m^2\)。幻灯片 8：例题讲解 2（拓展应用：含单项式）计算下列各式，注意 “\(a\)”“\(b\)” 为单项式的情况：\((2x + 3y)^2\)分析：“首”\(a = 2x\)，“尾”\(b = 3y\)，中间项为\(2 \times 2x \times 3y\)。解：\((2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3y + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2\)。\((3m^2 - 2n)^2\)分析：“首”\(a = 3m^2\)，“尾”\(b = 2n\)，中间项为\(-2 \times 3m^2 \times 2n\)。解：\((3m^2 - 2n)^2 = (3m^2)^2 - 2 \times 3m^2 \times 2n + (2n)^2 = 9m^4 - 12m^2n + 4n^2\)。\((-\frac{1}{2}x + 4y)^2\)分析：变形为\((\frac{1}{2}x - 4y)^2\)或直接展开，“首”\(= -\frac{1}{2}x\)，“尾”\(= 4y\)。解：\((-\frac{1}{2}x + 4y)^2 = (-\frac{1}{2}x)^2 + 2 \times (-\frac{1}{2}x) \times 4y + (4y)^2 = \frac{1}{4}x^2 - 4xy + 16y^2\)。幻灯片 9：例题讲解 3（复杂应用：含多项式）计算下列各式，将多项式看作一个整体：\((x + y + 2)^2\)分析：把\((x + y)\)看作 “首”\(a\)，\(2\)看作 “尾”\(b\)，用完全平方和公式。解：\((x + y + 2)^2 = [(x + y) + 2]^2 = (x + y)^2 + 2 \times (x + y) \times 2 + 2^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + 4x + 4y + 4 = x^2 + y^2 + 2xy + 4x + 4y + 4\)。\((2a - b - 3c)^2\)分析：把\((2a - b)\)看作 “首”\(a\)，\(3c\)看作 “尾”\(b\)，用完全平方差公式。解：\((2a - b - 3c)^2 = [(2a - b) - 3c]^2 = (2a - b)^2 - 2 \times (2a - b) \times 3c + (3c)^2 = (4a^2 - 4ab + b^2) - 12ac + 6bc + 9c^2 = 4a^2 + b^2 + 9c^2 - 4ab - 12ac + 6bc\)。幻灯片 10：完全平方公式的逆用与常见变形逆用公式：由\((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)，可得：\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)。\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)，可用于因式分解或已知部分量求整体。常见变形（“知二求一”）：\(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\)。\(a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab\)。\((a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab\)。示例：已知\(x + y = 5\)，\(xy = 3\)，求\(x^2 + y^2\)的值。解：\(x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 5^2 - 2 \times 3 = 25 - 6 = 19\)。幻灯片 11：易错点分析易错点 1：漏写中间项，例如\((x + 3)^2\)错误得\(x^2 + 9\)（遗漏\(2 \times x \times 3 = 6x\)，正确应为\(x^2 + 6x + 9\)）。易错点 2：中间项符号错误，例如\((a - 2b)^2\)错误得\(a^2 + 4ab + 4b^2\)（中间项应为 “\(-\)”，正确应为\(a^2 - 4ab + 4b^2\)）。易错点 3：平方计算错误，例如\((2x)^2\)错误得\(2x^2\)（正确应为\(4x^2\)），\((3y)^2\)错误得\(3y^2\)（正确应为\(9y^2\)）。易错点 4：混淆完全平方公式与平方差公式，例如\((x + 2)^2\)错误用平方差公式得\(x^2 - 4\)（完全平方公式结果应为\(x^2 + 4x + 4\)）。幻灯片 12：课堂练习 1（基础计算）运用完全平方公式计算下列各式：\((m + 2)^2\)\((n - 6)^2\)\((3x + 2y)^2\)\((-2a - b)^2\)幻灯片 13：课堂练习 1 答案\((m + 2)^2 = m^2 + 2 \times m \times 2 + 2^2 = m^2 + 4m + 4\)。\((n - 6)^2 = n^2 - 2 \times n \times 6 + 6^2 = n^2 - 12n + 36\)。\((3x + 2y)^2 = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 2y + (2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2\)。\((-2a - b)^2 = (2a + b)^2 = (2a)^2 + 2 \times 2a \times b + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2\)（或直接展开：\((-2a)^2 + 2 \times (-2a) \times (-b) + (-b)^2 = 4a^2 + 4ab + b^2\)）。幻灯片 14：课堂练习 2（拓展与变形应用）计算或求解下列各式：\((x - y + 1)^2\)已知\(a - b = 4\)，\(ab = 5\)，求\(a^2 + b^2\)的值。简便计算：\(2025^2 - 4050 \times 2024 + 2024^2\)（提示：\(4050 = 2 \times 2025\)）。化简：\((2x + 3)^2 - (2x - 3)^2\)。幻灯片 15：课堂练习 2 答案\((x - y + 1)^2 = [(x - y) + 1]^2 = (x - y)^2 + 2 \times (x - y) \times 1 + 1^2 = x^2 - 2xy + y^2 + 2x - 2y + 1\)。\(a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab = 4^2 + 2 \times 5 = 16 + 10 = 26\)。\(2025^2 - 4050 \times 2024 + 2024^2 = 2025^2 - 2 \times 2025 \times 2024 + 2024^2 = (2025 - 2024)^2 = 1^2 = 1\)（逆用完全平方差公式）。\((2x + 3)^2 - (2x - 3)^2 = (4x^2 + 12x + 9) - (4x^2 - 12x + 9) = 4x^2 + 12x + 9 - 4x^2 + 12x - 9 = 24x\)（或用平方差公式：\((2x + 3 + 2x - 3)(2x + 3 - 2x + 3) = 4x \times 6 = 24x\)）。幻灯片 16：课堂小结完全平方公式：和的平方：$(a + b)^新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 多项式的乘法法则是什么? (a + b)(m + n)＝ ；2. 多项式乘法法则的几何意义是什么?am + bm + an + bn 明明订购了一个 6 寸的大披萨，不久店员打电话告知 6 寸的披萨卖完了，问能否换购一个 4 寸和一个 2 寸的小披萨(披萨近似看作圆).你认为明明应该同意吗？大披萨的面积：S = π·32 = 9π .小披萨的面积之和：S = π·22 + π·12 = 5π . 你发现了什么？ (2 + 1)2 ≠ 22 + 12.所以不应该同意.完全平方公式算一算：(1) (1 - p)2 解：原式 = ( 1 - p )( 1 - p ) = 1² - p - p + p2 = 1² - 2p + p2.(2) (m + 3)2 解：原式 = (m + 3)(m + 3) = m2 + 3m + 3m + 9 = m2 + 2×3m + 9 = m2 + 6m + 9. 解：原式= (2 + 3x)(2 + 3x) = 22 + 2×3x + 2×3x + 9x2 = 4 + 2×2×3x + 9x2 = 4 + 12x + 9x2. (3) (2 + 3x)2追问 1：上述式子的左边有什么共同特征? 计算的结果都是几次几项式?左式都是两项和或差的平方，结果都是二次三项式.追问 2：计算结果的每一项分别与括号里的每一项有什么关系?结果的首尾项分别是左边括号里每项的平方，结果的中间项是括号里两项乘积的 2 倍.(1) (1 - p)2 = 1² - 2p + p2.(2) (m + 3)2= m2 + 6m + 9(3) (2 + 3x)2 = 4 + 12x + 9x2.比一比：根据发现的特征，写出下面式子的答案：(1) (a＋b)2 = ；(2) (a－b)2 = .a2＋2ab＋b2a2－2ab + b2观察并比较(1)(2)两个式子，等式左边(右边)相同的项.(1) (a＋b)2 = (a＋b)(a＋b)= a2＋ab＋ab＋b2 = a2＋2ab＋b2(2) (a－b)2 = [a＋(－b)]2= a2＋a(－b)＋a(－b)＋(－b)2= a2＋2a(－b)＋(－b)2 = a2－2ab＋b2推导 过程验证：议一议追问 1：(1)(2)两个式子等式右边不同的是哪一项?它的符号与什么有关?＋2ab 和－2ab. 与两数中间的符号有关.(1) (a＋b)2 = a2＋2ab＋b2(2) (a－b)2 = a2－2ab＋b2追问 2：能否描述你们发现的规律? (分别从文字语言和符号语言角度引导)文字语言：两个数的和(差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(减去)它们积的 2 倍.符号语言：(a±b)² = a²±2ab＋b².两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫作完全平方公式. 简记为：“首平方，尾平方， 积的 2 倍放中间”知识要点例1 利用完全平方公式计算：解：(2x－3)2 ==4x2(1) (2x－3)2；( a－b )2 = a2 － 2ab + b2 (2x)2－ 2 • (2x) • 3+ 32－12x+ 9；典例精析(2) (4x＋5y)2；解： (4x＋5y)2 = (4x)2＋2 • (4x) • 5y＋(5y)2( a＋b )2 = a2 ＋ 2ab ＋ b2= 16x2＋40xy＋25y2；(3) (mn－a)2.解： (mn－a)2 = (mn)2－ 2 • mn • a＋a2= m2n2－2amn＋a2.完全平方公式的几何验证 问题：一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).(1) 四块实验田面积分别为： ， ， ， .a2abb2ab(2)两种形式表示实验田的总面积：①从整体看：边长为 的大正方形，S大正方形＝ ； (a+b)(a+b)2②从部分看：四块面积的和S＝ . a²+2ab+b²思考：怎样计算 1022，1972 更简便呢？(1) 1022； (2) 1972.解：原式 = (100 + 2)2= 10 000 + 400 + 4= 10 404.解：原式 = (200－3)2= 40 000－1200 + 9= 38 809.= 1002－2×100×2 + 22= 2002－2×200×3 + 32想一想例2 运用乘法公式计算：(1) (x + 2y - 3)(x - 2y + 3)； = x2 – (2y – 3)2= x2 – (4y2 – 12y + 9)= x2 – 4y2 + 12y – 9.解：原式 = [x + (2y – 3)][x – (2y – 3)] 同号 异号ab平方差公式典例精析(2) ( a + b + c )2.解：原式 = [(a + b) + c]2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2完全平方公式 都同号例2 计算：(1) (x + 3)2 – x2； 解：原式 = x2 + 6x + 9 – x2 = 6x + 9； 或原式 = (x + 3 + x) (x + 3 – x) = (2x + 3)×3 = 6x + 9. 典例精析(2) ( a + b + 3 )( a + b - 3 )；解： 原式 = [(a + b) + 3][(a + b) - 3] = (a + b)2 - 32 = a2 + 2ab + b2 - 9.(3) (x + 5)2 – (x - 2)(x - 3).解： 原式 = x2 + 10x + 25 - (x2 - 5x + 6) = x2 + 10x + 25 - x2 + 5x - 6 = 15x + 19.(4) [( a + b) ( a - b)]2.解： 原式 = ( a2 - b2 )2 = a4 - 2a2b2 + b4. D 2. [2024无锡期中] 下列各式中计算正确的是( )A  返回3. 教材P20思考·交流 如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列等式中与之相对应的是( )A  返回   返回5.计算：         返回   返回 D  返回 BA. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B   返回   返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！