专题04 平行四边形单元过关【基础版】-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）(原卷版+解析版）

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专题04 平行四边形单元过关（基础版） 考试范围：第6章；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）1．在▱ABCD中，∠A+∠C=80°，则∠D的度数是（　　）A．80°B．40°C．70°D．140°【答案】D【知识点】利用平行四边形的性质求解【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，根据平行四边形的对角相等、邻角互补以及图形可知∠A与∠C是对角，即可求出∠A和∠C的度数；再根据∠D与∠A是邻角，即可求得∠D．【详解】解：如图：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∠A=∠C，∴∠A+∠D=180°，∵∠A+∠C=80°，∴∠A=40°，∴∠D=140°．故选：D．2．如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小宇同学在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=18米，则A、B两点的距离是（   ）A．9米B．18米C．36米D．54米【答案】C【知识点】与三角形中位线有关的求解问题【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，根据D、E是OA、OB的中点，即DE是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．【详解】解：∵D、E是OA、OB的中点，即DE是△OAB的中位线，∴DE=12AB，∴AB=2DE=2×18=36（米）． 故选：C．3．若一个正多边形的每一个外角都是20°，则该正多边形的内角和的度数是（   ）A．2880°B．2160°C．1800°D．360°【答案】A【知识点】多边形内角和与外角和综合【分析】本题考查了多边形的内角和外角，关键是掌握多边形的外角和是360°，多边形内角和定理：n−2×180°（n≥3且n为整数）．由多边形的外角和是360°，求出正多边形的边数，再根据多边形内角和定理即可计算求解．【详解】解：根据题意，正多边形的边数为360°÷20°=18，∴正多边形的内角和为18−2×180°=2880°，故选： A．4．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（     ）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线相等【答案】D【知识点】矩形性质理解、利用平行四边形的性质求解【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，熟练掌握矩形和平行四边形的性质是解题的关键．由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．【详解】解：∵矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等，对角相等；平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等．∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等．故选：D．5．下列条件中，可以确定一个四边形是平行四边形的是（    ）A．一组对边平行，一组对角相等B．一组对边平行，一组邻角相等C．一组对边平行，另一组对边相等D．两条对角线相等【答案】A【知识点】判断能否构成平行四边形、两直线平行同旁内角互补【分析】本题考查平行四边形判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握平行四边形判定．根据平行四边形判定定理，一组对边平行相等，两组对边分别平行，两组对边分别相等，两组对角分别相等，对角线互相平分逐项判断，即可解题．【详解】解：A、由一组对边平行，一组对角相等，可结合平行线性质得到另一组对角也相等，利用两组对角分别相等的四边形为平行四边形可得一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故选项符合题意；B、一组对边平行，一组邻角相等不能确定一个四边形是平行四边形，故选项不符合题意；C、一组对边平行，另一组对边相等不能确定一个四边形是平行四边形，故选项不符合题意；D、两条对角线相等不能确定一个四边形是平行四边形，故选项不符合题意；故选：A．6．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于点E，CF平分∠ACD，EF∥BC，EF交AC于点M，∠B=∠F，若BC=14，CM=7，则CE2+CF2=（    ）A．121B．144C．169D．196【答案】D【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算【分析】根据角平分线的定义可得∠ECF=90°，证明∠MEC=∠ECB,∠F=∠FCD得∠MEC=∠MCE，∠F=MCF，从而EF=ME+MF=14，在Rt△CEF中，运用勾股定理即可求解．【详解】解：∵CE平分∠ACB交AB于点E，CF平分∠ACD，∴∠BCE=∠ECA=12∠ACB,∠ACF=∠FCD=12∠ACD，∵∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACE+∠ACF=12∠ACB+12∠ACD=12∠ACB+∠ACD=90°，∴∠ECF=90°，∵EF∥BC，∴∠MEC=∠ECB,∠F=∠FCD，∴∠MEC=∠MCE,∠F=MCF，∴ME=MC=MF=7，则EF=ME+MF=14，∴CE2+CF2=CE2+BE2=142=196，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的计算是解题的关键．7．如图，AB=AC=CD=DE，且BE=BD，则∠EBD=（    ）A．80°B．100°C．105°D．120°【答案】B【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、等边三角形的判定和性质、等边对等角【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等边对等角．设∠D=x，作出如图的辅助线，证明△ACF是等边三角形，由CF∥DE，得到x+2x+60°=180°，据此求解即可．【详解】解：作CF∥DE，EF∥CD，CF与EF交于点F，连接AF，则四边形CDEF是平行四边形，∴DE=CF，EF=CD，∵AB=AC=CD=DE，BE=BD，∴AB−BE=CD−BD，∴AE=BC， 设∠D=x，则∠BED=x，∠ABC=2x，∠ACB=∠ABC=2x，∠AEF=∠ABC=2x，∵AE=BC，EF=AB，∴△EFA=△BACSAS，∴AF=AC=AB，∵AB=DE=CF，∴AF=AC=CF，∴△ACF是等边三角形，∴∠ACF=60°，∵CF∥DE，∠D=x，∠ACB=2x，∴x+2x+60°=180°，解得x=40°，∴∠EBD=180°−2x=100°，故选：B．8．根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】证明四边形是平行四边形、判断能否构成平行四边形【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定性质逐项进行分析判断即可．【详解】解：A、∵80°+110°≠180°，∴四边形不是平行四边形，不符合题意；B、只有一组对边平行不能确定四边形是平行四边形，不符合题意；C、一组对边平行且相等，是平行四边形，符合题意；D、不能判断出任何一组对边是平行的，所以四边形不一定是平行四边形，不符合题意．故选：C．9．如图，等腰△ABC中，AB=AC， BD⊥AC，CE⊥AB，下列结论：①BD=CE；②∠BCE=∠CBD；③∠DBC=12∠BAC；④AF垂直平分BC；正确的个数是（    ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定、等边对等角、三线合一【分析】证明△BEC≌△CDBAAS，得出BD=CE，∠BCE=∠CBD，可判定①②正确；证明点A、F在线段BC的垂直平分线上，得出AF垂直平分BC，判定④正确；延长AF交BC于点G，根据等腰三角形的性质得到∠BAG=∠CAG=12∠BAC，根据余角性质得出∠DBC=∠CAG=12∠BAC，可判定③正确，据此即可求解．【详解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC=∠CEB=90°，∵ BC=CB，∴△BEC≌△CDBAAS，∴BD=CE，∠BCE=∠CBD，故①②正确；∵∠BCE=∠CBD，∴BF=CF，∵AB=AC，∴点A、F在线段BC的垂直平分线上，∴AF垂直平分BC，故④正确；延长AF交BC于点G，如图所示，∵AB=AC，AF垂直平分BC， ∴∠BAG=∠CAG=12∠BAC，∵∠BDC=∠AGC=90°，∴∠DBC+∠BCD=∠BCD+∠CAG=90°，∴∠DBC=∠CAG=12∠BAC，故③正确；综上可知，正确的结论有4个，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的判定，余角的性质，掌握以上知识点是解题的关键．10．已知点Ax−1,3与点B1,y−5关于原点对称，则x+y的值是（   ）A．2B．4C．8D．10【答案】A【知识点】求关于原点对称的点的坐标【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点横坐标与纵坐标互为相反数计算即可．【详解】解：∵点Ax−1,3与点B1,y−5关于原点对称∴x−1+1=0,3+y−5=0解得：x=0,y=2∴x+y=0+2=2故选：A．11．在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在DC延长线上取一点E，连接OE交BC于F．已知AB=4，BC=6，CE=2，则CF的长等于（　　）A．23B．32C．2D．52【答案】B【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合【分析】过O作OM∥BC交CD于M，根据平行四边形的性质得到BO=DO，CD=AB=4，AD=BC=6，根据三角形的中位线的定理得到CM=2，OM=3，证明△CFE∽△MOE，根据相似三角形的性质计算即可得到结论．【详解】解：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过O作OM∥BC交CD于M，∵在▱ABCD中，BO=DO，CD=AB=4，AD=BC=6，∴CM=12CD=2，∴OM是△BCD的中位线，∴OM=12BC=3，∵CE=2，∴EM=CM+CE=2+2=4，∵OM∥CF，∴△CFE∽△MOE，∴CFOM=CEEM，即CF3=24∴CF=32．故选：B．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，解答本题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（    ）A．6B．5C．4D．3【答案】A【知识点】多边形内角和与外角和综合【分析】本题主要考查多边形内角和定理与外角和定理，解题的关键是利用多边形的外角和为360°以及多边形内角和定理列方程求解．【详解】解：设这个多边形边数为x，内角和为180°x−2，∵多边形外角和为360°，∴180°x−2=2×360°，解得：x=6，故选：A．13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD成为平行四边形，应添加的条件是（　　）A．AD=BC B．AC=BD C．∠ADB=∠DBC D．∠ABC+∠DCB=180°【答案】C【知识点】添一个条件成为平行四边形【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法进行判断即可．【详解】解：A．根据AB∥CD，AD=BC无法判断四边形ABCD是平行四边形，故A错误；B．根据AB∥CD，AC=BD无法判断四边形ABCD是平行四边形，故B错误；C．∵∠ADB=∠DBC，∴AD∥BC，又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故C正确．D．∵∠ABC+∠DCB=180°，∴AB∥CD，∴无法判断四边形ABCD是平行四边形，故D错误；故选：C．14．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC=3，BD=5，则四边形OCED的周长为（    ）  A．4B．6C．8D．16【答案】C【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由四边形ABCD是平行四边形得到DO=2.5，OC=1.5，再证明四边形OCED是平行四边形，则DE=OC=1.5,CE=OD=2.5，即可求解周长．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO=12DB=2.5，OC=12AC=1.5，∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∴DE=OC=1.5,CE=OD=2.5，∴周长为：2×1.5+2.5=8，故选：C．15．在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=13,BC=5,AD=10，点M是对角线BD的中点，则CM的长为（    ）A．52B．132C．6D．5【答案】B【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的判定与性质求解【分析】如图，延长CM交AD于N，证明△NMD≌△CMBASA，DN=BC=5，证明四边形ABCN是平行四边形，进而根据CM=NM=12CN求出CM的值即可．【详解】解：如图，延长CM交AD于N，由题意知BM=DM，∵AD∥BC，∴∠NDM=∠CBM，在△NMD和△CMB中，∵∠NMD=∠CMBDM=BM∠NDM=∠CBM，∴△NMD≌△CMBASA，∴DN=BC=5，CM=NM，∴AN=BC，又∵AN∥BC，∴四边形ABCN是平行四边形，∴CN=AB，∴NM=CM=12CN=132，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．第II卷（非选择题）16．一个多边形的一个内角和是540°，则它是 边形．【答案】五【知识点】多边形内角和问题【分析】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记n边形内角和为n−2×180°，据此求解即可．【详解】解：设这个多边形边数为n，n−2×180°=540n=5故答案为：五 ．17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，CD=2．E为AD的中点，连接BE，则BE的最大值为 ．【答案】72【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题【分析】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、三角形的三边关系等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．延长AB至点A′，使得A′B=AB=4，连接A′C，A′D，根据三角形的中位线定理可得BE=12A′D，再利用勾股定理可得A′C=5，然后确定点D的运动轨迹是在以点C为圆心，2为半径的圆上运动，从而可得当点A′,C,D共线时，A′D的长最大，由此即可得．【详解】解：如图，延长AB至点A′，使得A′B=AB=4，连接A′C，A′D，由三角形的中位线定理得：BE=12A′D，∵∠ABC=90°，∴∠A′BC=90°，∴A′C=A′B2+BC2=42+32=5，∵CD=2，∴点D在以点C为圆心，2为半径的圆上运动，∴当点A′,C,D共线时，A′D的长最大，此时A′D=A′C+CD=7，∴BE的最大值为72，故答案为：72．18．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，以这些点为顶点的平行四边形有 个．                                                                            【答案】3【知识点】数图形中平行四边形的个数【分析】由于D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点，易知DE、DF、EF都是△ABC的中位线，那么DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的定义，两两结合易证四边形EDFC是平行四边形；四边形EBDF是平行四边形；四边形ADEF是平行四边形．【详解】∵D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点，∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，∴四边形EDFC是平行四边形，四边形EBDF是平行四边形，四边形ADEF是平行四边形．故答案为3．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理的内容．19．如图，已知平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，交DC的延长线于点F，如果∠F=70°，那么∠B的度数是 °．【答案】40【知识点】利用平行四边形的性质求解、角平分线的有关计算【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的有关计算， 由平行四边形的性质可得出AB∥CD，AD∥BC，进而可得出∠BAF=∠F=70°，∠DAB+∠B=180°，由角平分线的定义可得出∠DAB=2∠BAF=140°，即可求出∠B.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=70°，∠DAB+∠B=180°，∵AF为∠BAD的角平分线，∴∠DAB=2∠BAF=140°，∴∠B=∠180°−∠DAB=40°，故答案为：40．20．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值 ．【答案】125【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、垂线段最短【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，垂线段最短，设PQ，AC交于点D，四边形PAQC是平行四边形，则PD=12PQ，即求PD的最小值，再乘以2即可．点D是AC的中点，为定点，由垂线段最短可知，当PD⊥BC时，PD取得最小值，即PQ最小，过点D作DE⊥BC于点E，当P,E重合时，PD最小，据此即可求得PQ的最小值．【详解】解：如图，设PQ，AC交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，连接BD∵四边形PAQC是平行四边形，∴ PQ=2PD，AD=CD=12AC=2，∵点D是AC的中点，为定点，∴由垂线段最短可知：当PD⊥BC时，PD取得最小值，即PQ最小，即当P,E重合时，PD最小，∴PDmin=DE∵ ∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴BC=AB2+AC2=5，∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，即12AB⋅AC=12AB⋅AD+12BC⋅DE，∴12×3×4=12×3×2+12×5×DE，∴DE=65，∴PDmin=DE=65，∴PQmin=2PDmin=125．故答案为：12521．若一个多边形的内角和是它的外角和的1.5倍，求该多边形的边数．【答案】5【知识点】多边形内角和与外角和综合【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的综合，先设多边形是n边，因为一个多边形的内角和是它的外角和的1.5倍，所以(n−2)×180°=1.5×360°，解出n=5，即可作答．【详解】解：设多边形是n边形，由题意可得，(n−2)×180°=1.5×360°，解得：n=5．∴该多边形的边数为522．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若AC+BD=36，AB=10，求△OEF的周长．【答案】(1)详见解析(2)14【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据平行四边形的性质得到AO=CO，BO=DO，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）根据三角形中位线定理求出EF，根据平行四边形的性质解答即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，∵E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，∴EO=12AO，GO=12CO，FO=12BO，HO=12DO，∴EO=GO，FO=HO，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）解：∵E、F分别是AO、BO的中点，∴EF=12AB=12×10=5，∵AC+BD=36，∴AO+BO=18，∴EO+FO=9，∴△OEF的周长=OE+OF+EF=9+5=14．23．在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC边的中点，连接AF、CE．(1)如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；(2)如图2，连接BD，分别交线段AF、CE于点G、H，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中全等三角形（△ABD≌△CDB除外）．【答案】(1)见解析(2)△ABF≌△CDE、△BFG≌△DEH、△ABG≌△CDH、△ADG≌△CBH【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC且AD=BC，再根据线段的中点得到AE=CF，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；（2）结合平行四边形的性质及全等三角形的判定方法即可找出图中的全等三角形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵E、F分别为AD、BC的中点，∴AE=12AD，CF=12BC，∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∠ABC=∠ADC，AB∥CD，∵E、F分别为AD、BC的中点，∴AE=DE=12AD，CF=BF=12BC，∴CF=BF=DE=AE，在△ABF与△CDE中AB=CD∠ABF=∠CDEBF=DE∴△ABF≌△CDE(SAS)，∴∠AFB=∠CED，∵AB∥CD，∴∠ADB=∠CBD，∴在△BFG与△DEH中∠FBG=∠EDHBF=DE∠BFG=DEH∴△BFG≌△DEH(ASA)，∴BG=DH，∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，在△ABG与△CDH中AB=CD∠ABD=∠CDBBG=DH∴△ABG≌△CDH(SAS)，∵四边形AECF是平行四边形，∴∠FAE=∠FCE，∴在△ADG与△CBH中∠DAG=∠BCHAD=CB∠ADG=∠CBH∴△ADG≌△CBH(ASA)．综上，图中有以下全等三角形：△ABF≌△CDE、△BFG≌△DEH、△ABG≌△CDH、△ADG≌△CBH．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、线段的中点，熟练掌握图形的性质和判定是解题的关键．24．已知：如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）ED∥BF．【答案】（1）见解析；（2）见解析【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】（1）根据已知条件得到AE＝CF，根据平行四边形的性质得到∠DCF＝∠BAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，根据平行四边形的判定和性质即可得到结论．【详解】证明：（1）∵AF＝CE，∴AF﹣EF＝CE﹣EF，即AE＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DCF＝∠BAE，在△ABE与△CDF中，∵AE=CF，∠BAE=∠DCF，AB=CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，∴∠BEF＝∠DFE，∴BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴ED∥BF．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．25．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F．(1)若∠ABC=70°，求∠AMB的度数；(2)求证：AE=CF．【答案】(1)55°(2)见解析【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形的性质证明【分析】1根据平行四边形的性质可得∠BAD=180°−∠ABC=110°，根据AM平分∠BAD可得∠DAM=55°，根据AD∥BC可得∠AMB=55°；2根据平行四边形的性质可得∠BAD=∠BCD，根据角平分线的定义可知∠DCF=12∠BCD，∠BAE=12∠BAD，得到∠BAE=∠DCF，再根据平行四边形的性质可得∠ABE=∠CDF，利用ASA可证△ABE≅△CDF，根据全等三角形对应边相等可证AE=CF．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，∴∠BAD=180°−70°=110°，又∵AE平分∠BAD，∴∠DAM=∠BAM=12∠BAD=55°又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AMB=∠DAM=55°；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD，又∵CF平分∠BCD，AE平分∠BAD，∴∠DCF=12∠BCD，∠BAE=12∠BAD，∴∠BAE=∠DCF，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中∠ABE=∠DCFAB=CD∠BAE=∠DCF，∴△ABE≅△CDF，∴AE=CF．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分；全等三角形的对应角相等、对应边相等．26．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，点E为BC的中点，AE=2BE．点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连接AF．(1)若AD=4，求AB的长；(2)求证：2AF+EF=DF．【答案】(1)AB=25；(2)见解析【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，合理做出辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键．（1）由点E为BC中点，可得BC=2BE，再由已知条件求得AE=AD=4，BE=12AE=2，再利用勾股定理求解即可；（2）过点A作AH⊥AF交DP于点H，易证△AEF≌△ADH，△AFH是等腰直角三角形，通过等腰直角三角形斜边和直角边的关系，等量代换可出求证的等式成立．【详解】（1）解：∵点E为BC的中点，∴BC=2BE，∵AE=2BE，∴AE=BC，∵四边形ABCD是平行四边形，AD=4，∴AD=BC=4，∴AE=AD=4，BE=12AE=2，∵AE⊥BC，∴AB=BE2+AE2=22+42=25；（2）证明：过点A作AH⊥AF交DP于点H，则∠DAE=∠FAH=90°，∴∠DAE−∠EAH=∠FAH−∠EAH，即∠DAH=∠EAF，∵∠1+∠EAD+∠ADP=180°，∠2+∠EFD+∠AEF=180°，且∠1=∠2，∠DAE=∠EFD=90°，∴∠AEF=∠ADF，∵∠DAH=∠EAF，AD=AE，∴△AEF≌△ADHASA，∴DH=EF，AF=AH，在Rt△AFH中，∠FAH=90°，由勾股定理得：FH2=AF2+AH2，∴FH=2AF，∵DF=FH+HD，∴DF=EF+2AF，∴2AF+EF=DF．27．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．.【答案】（1）见解析；（2）平行四边形；（3）103【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形性质和判定证明【分析】（1）从图上及已知条件容易看出△BDE≌△FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，所以此题的关键是找出相等的边；（2）由（1）的结论容易证明AB∥DF，BD∥AF，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（3）EF∥AB，EF≠AB，四边形ABEF是梯形，只要求出此梯形的面积即可．【详解】解：（1）△BDE≌△FEC或△BCE≌△FDC或△ABE≌△ACF．（选证一）△BDE≌△FEC．证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°．∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形，∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°，∴∠BDE=∠FEC=120°．又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC．（选证二）△BCE≌△FDC．证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°．又∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形，∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．∵EF=AE，∴EF+DE=AE+CE，∴FD=AC=BC，∴△BCE≌△FDC．（选证三）△ABE≌△ACF．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°．∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形，∴∠AEF=∠CED=60°．∵EF=AE，△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∠EAF=60°，∴△ABE≌△ACF．（2）由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形，∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°，∴AB∥DF，BD∥AF，∴四边形ABDF是平行四边形．（3）由（2）知，四边形ABDF是平行四边形，∴EF∥AB，EF≠AB，∴四边形ABEF是梯形．过E作EG⊥AB于G，则EG=23，∴S四边形ABEF=12EG•AB+EF =12×23×6+4=103．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定，及梯形面积的求解，用到的知识点比较多，较复杂．评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、解答题