微专题02 平行四边形构造中位线通关专练-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）(原卷版+解析版）

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微专题02 平行四边形构造中位线通关专练 一、单选题1．如图，平行四边形ABCD中，BC=5，点E在AD上，连接BE和CE，点F，G分别是BE和CE的中点，则FG的长为（    ）A．3B．2.5C．2D．5【答案】B【知识点】与三角形中位线有关的求解问题【分析】本题考查三角形中位线定理，由题意知：FG是△EBC的中位线，则FG=12BC，即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．【详解】解：∵点F，G分别是BE和CE的中点，BC=5，∴FG是△EBC的中位线，∴FG=12BC=12×5=2.5，∴FG的长为2.5．故选：B．2．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于点M，N．给出下列结论中：①△ABM≌△CDN  ②AM=13AC  ③DN=2NF  ④S△ABM=13S△ABC，正确的有（   ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识点，可证△ABE≌△CDF得∠ABM=∠CDN，即可判断①；由题意可推出四边形EDFB是平行四边形得BE∥DF，根据点E是AD的中点可得点M是AN的中点，同理可得：点N是CM的中点，即可判断②；由②可知：FN是△CBM的中位线，结合①的结论即可判断③；根据②即可判断④；【详解】解：由题意得：AD=BC,∠BAE=∠DCF，AB=CD，∵点E，F分别是AD，BC的中点，∴AE=12AD=12BC=CF，∴△ABE≌△CDF，∴∠ABM=∠CDN，∵AB∥CD，∴∠BAM=∠DCN，∴△ABM≌△CDN，故①正确；∵DE=12AD=12BC=BF，AD∥BC，∴四边形EDFB是平行四边形，∴BE∥DF，∵点E是AD的中点，∴点M是AN的中点，同理可得：点N是CM的中点，∴AM=MN=CN，∴AM=13AC，故②正确；由②可知：FN是△CBM的中位线，∴BM=2NF,∵△ABM≌△CDN，∴DN=BM=2NF，故③正确；∵AM=13AC，∴S△ABM=13S△ABC，故④正确；故选：D3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE，若OE=2cm，则AD的长为（   ）A．2cmB．4cmC．8cmD．12cm【答案】B【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键；根据题意可得O是BD的中点，利用三角形的中位线的性质即可求解．【详解】因为四边形ABCD是平行四边形，所以对角线AC、BD互相平分，即O是BD的中点，又E是AB的中点，所以OE是△ABD中位线，所以OE∥AD,OE=12AD，所以AD=2OE=4cm．故选：B．4．在平行四边形ABCD中，点E为CD边上的中点，过点D作DG⊥BC于点G，若点F为BG的中点，DG=6，BC=10，则EF的长为（   ）A．6B．34C．8D．38【答案】B【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形【分析】取CG的中点H，连接EH，则GH=CH=12CG，而GF=12BG，所以FH=GF+GH=5，因为E为CD的中点，所以EH∥DG，EH=12DG=3，，则∠FHE=∠BGD=90°，求得EF=FH2+EH2=52+32=34，即可得解，本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．【详解】解∶取CG的中点H，连接EH，则GH=CH=12CG，∵点F为BG的中点，DG=6，BC=10，∴GF=BF=12BG，∴FH=GF+GH=12BG+CG=12BC=5，∵E为CD的中点，H为CG的中点，∴EH∥DG，EH=12DG=3，∴∠FHE=∠BGD，∵DG⊥BC于点G，∴∠FHE=∠BGD=90°∴EF=FH2+EH2=52+32=34，故选∶B．5．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE=1，则AB的长是（   ）A．0.5B．1C．2D．4【答案】C【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解【分析】本题考查的是平行四边形的性质及三角形的中位线的性质．根据平行四边形的性质证明点O为AC的中点，而点E是BC边的中点，可证OE为△ABC的中位线，利用中位线定理解题即可．【详解】解：由平行四边形的性质可知AO=OC，而E为BC的中点，即BE=EC，∴OE为△ABC的中位线，OE=12AB，∵OE=1，∴AB=2．故选：C．6．如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AB=8，AD=10，点H、G分别是CD、BC上的动点，连接AH、GH，E、F分别为AH、GH的中点，则EF的最小值是（        ）  A．4B．5C．532D．23【答案】D【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、垂线段最短【分析】由三角形中位线定理可得EF=12AG，当AG⊥BC时，AG有最小值，即EF有最小值，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：如图，连接AG，过点A作AN⊥BC于N，  ∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=120°，∴∠B=60°，∵AN⊥BC，∴∠BAN=30°，∴BN=12AB=4，∴由勾股定理得AN=3BN=43，∵E、F分别为AH、GH的中点，∴EF=12AG，∴当AG⊥BC时，AG有最小值，即EF有最小值，∴当点G与点N重合时，AG的最小值为43，∴EF的最小值为23，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．7．如图，点E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AC=9，CE=2，连接DE并延长至点F，使得EF=DE，连接BF，则BF为（    ）．  A．92B．5C．132D．7【答案】B【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的判定与性质等知识点，说明OE是△DBF的中位线成为解题的关键．如图：连接BD交AC于O，由平行四边形的性质可得OD=OB,OC=12AC=92，进而得到OE=52；再说明OE是△DBF的中位线，最后根据中位线的性质即可解答．【详解】解：如图：连接BD交AC于O，∵平行四边形ABCD，∴OD=OB,OC=12AC=92，∴OE=OC−EC=52，∵EF=DE，∴OE是△DBF的中位线，∴BF=2OE=5．  故选B．8．如图，在平行四边形ABCD中，AC=2AB=8,AE⊥BD于点E，点F为BC中点，则EF的长度为（    ）A．2B．4C．6D．8【答案】A【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．【详解】解：设AC与BD交于点O，∵ABCD是平行四边形，∴AO=OC=12AC=AB=4，又∵AE⊥BD，∴点E是BO的中点，∵点F为BC中点，∴EF是△BOC的中位线，∴EF=12OC=12×4=2，故选A．9．如图，在平行四边形ABCD中，∠C=150°，AD=4，AB=23，点H、G分别是边CD、BC上的动点，连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为（　　）.A．1B．3−1C．2−3D．32【答案】D【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、中位线的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造中位线成为解题的关键，如图：过A作AM⊥BC于M，连接AG、AC，再说明EF为△AGH的中位线，即EF=12AG；则当AG最大时，EF最大；当AG最小时，EF最小；然后分别求出AM和AC，进而求得最大值和最小值，最后作差即可．【详解】解：如图：过A作AM⊥BC于M，连接AG、AC， ∵点E为AH的中点，点F为GH的中点，∴EF为△AGH的中位线，∴EF=12AG，∴当AG最大时，EF最大；当AG最小时，EF最小；∴当点G于点C重合时，AG=AC；当AG⊥BC时，AG=AM，∵在平行四边形ABCD中，∠C=150°，AD=4，AB=23，∴∠B=30°，BC=AD=4，∴AM=12AB=3，则MB=AB2−AM2=3，∴EF的最小值为32；∵MC=BC−MB=4−3=1，∴AC=MC2+AM2=2，∵AB>AC，∴当点G与点B重合时，EF有最大值，最大值为12AB=3；∴EF的最大值与最小值的差为3−32=32．故选D．10．如图，平行四边形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M为CB边上一点，且BM=2CM，N为AM的中点，连接ON，ON=1，若AM平分∠BAD，则平行四边形ABCD的周长为（   ）A．18B．24C．20D．22【答案】C【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解【分析】此题考查了三角形中位线性质定理、平行四边形的性质、等角对等边等知识，根据平行线性质得到AO=CO,AB=CD,AD=BC，AD∥BC，证明ON是△AMC的中位线，则CM=2ON=2,由BM=2CM得到BM=2CM=4，BC=BM+CM=6，证明∠AMB=∠BAM，则AB=BM=4,即可得到答案.【详解】解：∵平行四边形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AO=CO,AB=CD,AD=BC，AD∥BC∵N为AM的中点，∴ON是△AMC的中位线，∴CM=2ON=2,∵BM=2CM，∴BM=2CM=4，BC=BM+CM=6∵AM平分∠BAD，∴∠BAM=∠DAM∵AD∥BC，∴∠AMB=∠DAM，∴∠AMB=∠BAM，∴AB=BM=4,∴平行四边形ABCD的周长为2AB+BC=2×4+6=20，故选：C二、填空题11．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=4，∠DAB=45°，对角线AC与BD交于点O，过D作DE⊥AB交AB于点E，过O作OF∥AB交DE于F，则OF的长为 ．【答案】3−2【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形的中位线，解题的关键是掌握相关知识．根据题意可得AE=DE，在Rt△AED中，由勾股定理求出AE=DE=22，进而得到BE=6−22，根据平行四边形的性质可得O是BD的中点，由OF∥AB，得到OF是△BDE的中位线，即可求解．【详解】解：∵ AD=4，∠DAB=45°，DE⊥AB，∴ AE=DE，在Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+DE2=AD2，即2AE2=42，解得：AE=DE=22，∵ AB=6，∴ BE=AB−AE=6−22，∵在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴ O是BD的中点，又∵ OF∥AB，∴ OF是△BDE的中位线，∴ OF=12BE=3−2，故答案为：3−2．12．如图，平行四边形ABCD中，AE是DC边上的高，AE=4，点P、Q分别是AD、EC的中点，DC=6，则PQ的长为 ．  【答案】13【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形【分析】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理、勾股定理等知识，取DE的中点F，连接PF，因为点P是AD的中点，所以PF∥AE，PF=12AE=2，则∠PFQ=∠AEC=90°，求得QF=FE+QE= 12DE+CE=12DC=3，根据勾股定理得PQ=PF2+QF2=13，于是得到问题的答案．【详解】解：取DE的中点F，连接PF，则FE=12DE，  ∵AE是平行四边形ABCD的边DC上的高，AE=4，∴AE⊥CD，∵点P是AD的中点，∴PF∥AE，PF=12AE=2，∴∠PFQ=∠AEC=90°，∵点Q是EC的中点，DC=6，∴QE=12CE，∴QF=FE+QE=12DE+CE=12DC=3，∴PQ=PF2+QF2=22+32=13，故答案为：13．13．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，点G是AB的中点，连接CG，点H是线段CG上一动点，连接DH，已知AB=4，BC=6，当H为CG中点时，则HD的长为 ．【答案】3【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性质【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质，当H为CG中点时，过点H作AB的平行线交BC于M，交AD于N，证明HM为△CBG的中位线，得出BM=CM=12BC=3，MH=12BG=1，再证明四边形ABMN为平行四边形，得出BM=AN=3，MN=AB=4，进而得出DN=3，HN=3，再证明△DHN为等边三角形，即可得出答案，熟练掌握平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质是解此题的关键．【详解】解：当H为CG中点时，过点H作AB的平行线交BC于M，交AD于N，如图所示：，∵四边形ABCD为平行四边形，且AB=4，BC=6，∠ABC=120°，∴AD=BC=6，AD∥BC，AB=CD=4，∴∠A=180°−∠ABC=60°，∵点G为AB的中点，∴BG=AG=12AB=2，∵点H为CG中点，MN∥AB，∴HM为△CBG的中位线，∠HND=∠A=60°，∴BM=CM=12BC=3，MH=12BG=1，∵AD∥BC，MN∥AB，∴四边形ABMN为平行四边形，∴BM=AN=3，MN=AB=4，∴DN=AD−AN=6−3=3，HN=MN−MH=4−1=3，∴DN=HN=3，∵∠HND=60°，∴△DHN为等边三角形，∴DH=DN=3，故答案为：3．14．如图，在平行四边形ABCD中，∠D=120°，AD=2，点 E， F分别是边AD， CD上的动点．连接BE，EF，点M为BE的中点，点N为EF的中点，连接MN，则线段MN的最小值为 ．【答案】32【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识点，添加辅助线构造中位线是解题的关键．连接BF，过点B作BG⊥DC交于点G，即可得MN=12BF，结合图形可得当BF⊥DC时MN最小，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，连接BF，过点B作BG⊥DC交于点G．∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=120°，∴∠C=180°−∠D=60°，AD=BC=2，∵点M为BE的中点，点N为EF的中点，∴MN是△BEF的中位线，∴MN=12BF，∵要使线段MN最小，∴BF最小即可，则当BF⊥DC时最小，∵BG⊥DC，∴∠BGC=90°，∴∠GBC=180°−∠BGC−∠C=30°，∴GC=12BC=1，在Rt△BGC中，由勾股定理得BG=BC2−GC2=3，∴BF的最小值为3，∴MN=12BF=32；故答案为：32．15．如图， 在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点 O，AB=OB， 点 E、F 分别是OA、OD的中点， 连接EF，EM⊥BC于点 M， EM交BD于点N， 若∠CEF=45°,FN=4，则∠CEM= °， 线段BC的长为 ．【答案】 45 1655【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形【分析】设EF=x，根据三角形的中位线定理表示AD=2x,AD∥EF，可得∠CAD=∠CEF=45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM=45°，证明△ENF≌△MNBAAS，则EN=MN=12x,BN=FN=4，最后利用勾股定理即可求解．【详解】设EF=x∵点 E、F 分别是OA、OD的中点， ∴EF是△OAD的中位线，∴AD=2x,AD∥EF∴∠CAD=∠CEF=45°∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC,AD=BC=2x∴∠ACB=∠CAD=45°∵EM⊥BC∴∠EMC=90°∴△EMC是等腰直角三角形∴∠CEM=45°；连接BE∵AB=OB,AE=OE∴BE⊥AO∴∠BEM=45°∴BM=EM=MC=x∴BM=FE∴△ENF≌△MNBAAS∴EN=MN=12x,BN=FN=4∵BN2=BM2+MN2，即42=x2+(12x)2，解得：855 ∴BC=2x=1655故答案为：45，1655．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理：解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．16．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE=6，则GE= ．【答案】1.5【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质定理等，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．取BE中点H，连接FH与CH，根据线段中点得出EH=12BE=3，利用三角形中位线的性质及平行线的判定得出四边形CEFH为平行四边形，再由平行四边形的性质求解即可．【详解】解： 取BE中点H，连接FH与CH，如图所示：∴EH=12BE=3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB,DC=AB，∵F是AE的中点，H为BE中点，∴FH为△ABE的中位线，∴FH∥AB∥CD，FH=12AB=12CD，∵E是CD中点，∴CE=12CD，∴CE=FH，∵FH∥CD∴四边形CEFH为平行四边形，∴EG=GH=12EH=1.5，故答案为：1.5．17．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至点F，使BF=BE，连接EC并延长至点G，使CG=CE，连接FG．若∠BAE=65°，∠DCE=30°，则∠EGF的度数为 °．【答案】35【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE=∠BCD=65°,AD∥BC，∵∠DCE=30°,AB∥CD，∴∠BCE=35°，∵BF=BE,CG=CE，∴BC是△EFG是中位线，∴BC∥GF，∴∠EGF=∠BCE=35°．故答案为：35．18．如图，平行四边形ABCD中，O为对角线交点，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，AB=7，AD=10，则OP= ．【答案】32/1.5【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题【分析】延长DP交BC于点F，先证明PD⊥PC，再证明PD=PF，利用中位线定理，平行四边形的性质，计算即可．【详解】如图，延长DP交BC于点F，在平行四边形ABCD中：AD∥BC，OD=OB，AB=CD=7，BC=AD=10，∴∠ADC+∠BCD=180°，∠ADF=∠CFD，∵DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，∴∠ADF=∠CDF，∠FCP=∠DCP，∴∠CDP+∠DCP=90°，∠CDF=∠CFD，∴DC=CF=7，∠CPD=90°∴DP=PF，又∵OD=OB∴OP是△DBF的中位线，∴OP=12BF=12(BC−CF)=12(10−7)=32故答案为：32．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练运用平行线的性质，平行四边形的性质，中位线的性质是解题的关键．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取点E，使CE=12CD，连接OE交BC于点F，若BC=12，则CF= ．【答案】3【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题【分析】过O作OM∥BC交CD于M，根据平行四边形的性质得到BO＝DO，根据三角形的中位线的性质得到CM＝MD，可得CF是△EMO中位线，根据中位线性质可求长．【详解】解：过O作OM∥BC交CD于M，∵在平行四边形ABCD中，BC=12，∴BO＝DO，∴CM＝DM=12CD， OM=12BC=6∵CE=12CD，∴CE=CM，∵OM∥BC，∴CF是△EMO中位线，即CF=12OM=3；故答案为：3．【点睛】本题考查了平行线的性质和中位线的性质与判定，解题关键是恰当构建中位线，依据中位线的性质求解．20．如图，平行四边形ABCD中，∠B=45°，BC=7，CD=52，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接CE，DF，取CE，DF的中点G，H，连接GH，则GH的长度为 ．【答案】134【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题【分析】连接DG并延长，交于AB延长线于点M，过点M作MN⊥CB，交于CB延长线于点N，首先根据平行四边形的性质证明△CGD≅△EGM(AAS),得出DG=GM,即可得出HG=12FM,再利用勾股定理求出FM，即可求得答案．【详解】连接DG并延长，交于AB延长线于点M，过点M作MN⊥CB，交于CB延长线于点N，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，AB=CD=52, ∴∠CDG=∠EMG又∵G为CE中点，∴CG=GE,在△CGD和△EGM中∵∠CDG=∠EMG∠DGC=∠MGECG=GE ∴△CGD≅△EGM(AAS), ∴DG=GM, CD=EM, ∴HG=12FM, AB=EM，∴AE=BM, ∵点E为AB的中点，∴AE=EB=12AB, ∴EB=BM=12AB=522，又∵∠B=45°, ∴∠MBN=45°,∴BN=MN, 设BN=MN=x,在Rt△BMN中，∵BN2+MN2=BM2, ∴x2+x2=(522)2，解得，x=52, 即BN=MN=52,∵点F为BC的中点，∴BF=12BC=72,∴FN=BF+BN=72+52=6,在Rt△MNF中，∵NF2+MN2=MF2, ∴MF=NF2+MN2=132, ∴HG=12FM=134, 故填：134 ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理．三、解答题21．如图为直角梯形ABCD，∠A=90°，E为CD中点，M为AB中点，BC=2AD．(1)在图①作MN∥AE；(2)在图②作平行四边形ABEP．【答案】(1)见详解(2)见详解【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、与三角形中位线有关的求解问题【分析】本题主要考查三角形中位线、平行四边形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线、平行四边形的判定与性质是解题的关键；（1）取BC中点F，再取CF的中点N，连接DF,MN,EN，则问题可求解；（2）在（1）图基础上延长NE，使得EP=2NE，然后问题可求解．【详解】（1）解：所作图形如下：∵四边形ABCD是直角梯形，∴AD∥BC，∵BC=2AD，BC=2BF，∴BF=AD，∴四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF,AB∥DF，∵E为CD中点，∴EN=12DF=12AB,EN∥DF∥AB，∵AM=12AB=EN，∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE；（2）解：所作图形如下：由（1）可知：EP=AB,EP∥AB，∴四边形ABEP是平行四边形．22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长线段BA到点D，使得AB=2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE交于点O．(1)求证：四边形AEFD为平行四边形；(2)若DE=4，AB=23，求AC的长．【答案】(1)证明见解析；(2)AC=4．【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．（1）由E、F分别是BC、AC的中点，得到EF是△ABC的中位线，再得出EF∥AB且EF=12AB,结合AB=2AD,得到AD∥EF,AD=EF,即可证明结论．（2）由平行四边形的性质，得到OE=OD=2，OA=OF，再根据勾股定理得到OF=1，即可求解．【详解】（1）证明：∵E、F分别是BC、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB且EF=12AB,又∵AB=2AD,即AD=12AB,∴AD∥EF,AD=EF,∴四边形AEFD是平行四边形，（2）解：∵AB=23，∴EF=12AB=3，∵EF∥AB，∠BAC=90°，∴∠AFE=90°，∵四边形AEFD是平行四边形，∴OE=OD=2，OA=OF，在Rt△OFE中，OF=OE2−EF2=22−32=1，∴OA=OF=1，∴AF=OA+OF=2，∵点F是AC的中点，∴CF=AF=2，∴AC=AF+CF=4．23．已知，如图，在▱ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形．(2)连接BD交AC于点O，若BD=8，AE=EF−CF，求EG的长．【答案】(1)证明见解析(2)2【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键；（1）证△AGE≌△CHF（SAS），得GE=HF，∠AEG=∠CFH，则∠GEF=∠HFE，得GE∥HF，即可得出结论；（2）先由平行四边形的性质得出OB=OD=4，再证出AE=OE，可得EG是△ABO的中位线，然后利用中位线定理可得BG的长度．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠GAE=∠HCF，∵点G，H分别是AB，CD的中点，∴AG=CH，∵AE=CF，∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，∴∠GEF=∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE=HF，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）接BD交AC于点O，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵BD=8，∴OB=OD=4，∵AE=CF，OA=OC，∴OE=OF，∵AE=EF−CF，∴2AE=EF=2OE，∴AE=OE，又∵点G是AB的中点，∴EG是△ABO的中位线，∴EG=12OB=2．∴EG的长为2．24．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AD，点E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．(1)求证：∠OBE=12∠ADO；(2)求证：四边形BEFG为平行四边形．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形性质和判定证明、等腰三角形的性质和判定【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线性质，等腰三角形的性质，解题关键是掌握三线合一的性质，（1）根据平行四边形的性质可得∠ADO=∠CBO，在证△BOC是等腰三角形，可得∠OBE=∠CBE=12∠CBO=12∠ADO；（2）根据中位线定理得EF=12CD=12AB=BG，EF∥CD根据平行四边形性质得EF∥BG，等量代换得EF∥BG，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，BD=2DO=2BO，∴∠ADO=∠CBO，∵BD=2AD，∴AD=BO=BC，∴△BOC是等腰三角形，∵OE=CE，∴∠OBE=∠CBE=12∠CBO=12∠ADO，∴∠ADO=2∠OBE．（2）证明：∵G为AB中点，∴BG=12AB∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF=12CD，EF∥CD．∴EF=12CD=12AB=BG∵四边形ABCD是平行四边形，∴ CD∥BG，∴ EF∥BG，∴四边形BEFG是平行四边形．25．如图1，在△ABC中，中线BE，CF交于点O，G，H分别是OB，OC的中点，连接EF，FG，GH，HE．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)如图2，连接OA，若OB＝8，OC＝6，OB⊥OC，求四边形BCEF面积和OA的长．【答案】(1)见解析(2)54，10【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的求解问题【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定及性质，勾股定理解直角三角形等知识点，合理作出辅助线建立直角三角形是解题的关键．（1）先根据三角形中位线性质得到FE∥BC，FE=12BC，GH∥BC，GH=12BC，则FE∥GH，FE＝GH，从而根据平行四边形的判定方法可得到结论；（2）先根据勾股定理计算BE的长，利用平行四边形的性质得OF和OE的长，由三角形面积的和可得结论；作辅助线构建直角三角形，由勾股定理可解答．【详解】（1）证明：∵BE、CF为△ABC的中线，∴FE为△ABC的中位线，∴FE∥BC，FE=12BC，∵点G，H分别是OB，OC的中点，∴GH为△OBC的中位线，∴GH∥BC，GH=12BC，∴FE∥GH，FE=GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）解：∵G，H分别是OB，OC的中点，且OB=8，OC=6，∴BG=OG=4，CH=OH=3，∵OB⊥OC，∴GH=42+32=5，由（1）知：四边形EFGH是平行四边形，∴OF=OH=3，OE=OG=4，∴四边形BCEF面积=S△BFE+S△BCE=12BE×OF+12BE×OC=12×12×3+12×12×6=54，如图2，过点O作OM⊥AC于M，Rt△COE中，由勾股定理得：CE=42+62=213，∵E是AC的中点，∴AC=2CE=413，∵S△COE=12×4×6=12×213×OM，∴OM=121313，由勾股定理得：CM=OC2−OM2=62−1213132=181313，∴AM=AC−CM=413−181313=341313，由勾股定理得：OA=OM2+AM2=1213132+3413132=10．26．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；(2)若AB=10，AC=4，求BF的长．【答案】(1)详见解析(2)3【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是平行四边形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，熟练掌握性质和判定是解题的关键．（1）利用平行四边形的定义，证明四边形BDEF是平行四边形；（2）利用三角形中位线定理，解答即可．【详解】（1）证明：延长CE交AB于点G，∵CE⊥AE，AE平分∠BAC，∴∠AEG=∠AEC=90°，∠GAE=∠CAE，在△AEG和△AEC中，∠GAE=∠CAEAE=AE∠AEG=∠AEC，∴△AGE≌△ACEASA．∴GE=EC．∵BD=CD，∴DE为△CGB的中位线，∴DE∥AB．∵EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形．（2）解：∵四边形BDEF是平行四边形，∴BF=DE．∵D、E分别是BC、GC的中点，∴BF=DE=12BG,∵△AGE≌△ACEASA，∴AG=AC，∴BF=12AB−AG=12AB−AC=1210−4=3．27．在四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段DE上一点（不与点D重合），AB∥DE，AF∥DC．(1)如图1，当点F与E重合时，求证：四边形AFCD是平行四边形；(2)如图2，当点F不与E重合时，求证：四边形AFCD是平行四边形：(3)如图3，在（2）的条件下，若∠BCD=90°，CD=CE，点F为DE的中点，AB=62，求CD的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，中位线的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．（1）根据平行线的性质得出∠B=∠DFC，∠AFB=∠C，再由全等三角形的判定和性质得出AF=DC，利用平行四边形的判定即可证明；（2）过点E作EG∥FA交AB于点G，根据平行四边形的判定和性质得出∠GEB=∠DCE，再由全等三角形的判定和性质确定GE=DC，利用平行四边形的判定即可证明；（3）连接AC交DE于H，根据平行四边的形的性质及等腰三角形的判定得出∴ △CDE是等腰直角三角形，再由三角形中位线的判定和性质得出AB=2EH=322DC，结合图形求解即可．【详解】（1）证明：∵ AB∥DE，AF∥DC，点F与E重合，∴∠B=∠DFC，∠AFB=∠C，∵点E是BC的中点，点F与E重合，∴BF=CF，在△ABF和△DFC中，∠B=∠DFCBF=CF∠AFB=∠C.∴ △ABF≌△DFC(ASA)，∴ AF=DC，∵ AF∥DC，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）证明：过点E作EG∥FA交AB于点G，如图2所示：∵ AB∥DE，AF∥GE，∴ ∠B=∠DEC，四边形AGEF是平行四边形，∴ GE=AF，∵ AF∥DC，∴ DC∥GE，∴ ∠GEB=∠DCE，在△GBE和△DEC中，∠B=∠DECBE=EC∠GEB=∠DCE，∴ △GBE≌△DEC(ASA)，∴ GE=DC，∴ AF=DC，∵ AF∥DC，∴四边形AFCD是平行四边形；（3）解：连接AC交DE于H，如图3所示：由（2）得：四边形AFCD是平行四边形，∴ DH=FH=12DF，点H为AC的中点，∵ ∠BCD=90°，CD=CE，∴ △CDE是等腰直角三角形，∴ DE=2DC，∵点F是DE的中点，∴ EF=DF，CF⊥DE，CF=DF=EF=22DC，∴ FH=12×22DC=24DC，∴ EH=EF+FH=22DC+24DC=324DC，∵ AB∥DE，点E是BC的中点，点H是AC的中点，∴ EH是△ABC的中位线，∴ AB=2EH=2×324DC=322DC.∵ AB=62，∴ CD=4．28．如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE=CF．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；(2)连接BD交AC于点O，若BD=18，AE+CF=EF，求EG的长．【答案】(1)见解析(2)4.5【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是平行四边形、利用平行四边形的性质证明、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键．（1）证明△AGE≌△CHFSAS，得GE=HF，∠AEG=∠CFH，则∠GEF=∠HFE，得GE∥HF，即可得出结论；（2）先由平行四边形的性质得出OB=OD=9，再证出AE=OE，可得EG是△ABO的中位线，然后利用中位线定理可得EG的长度．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠GAE=∠HCF，∵点G，H分别是AB，CD的中点，∴AG=CH，在△AGE和△CHF中，AG=CH∠GAE=∠HCFAE=CF，∴△AGE≌△CHFSAS，∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，∴∠GEF=∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE=HF，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）解：连接BD交AC于点O，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵BD=18，∴OB=OD=9，∵AE=CF，OA=OC，∴OE=OF，∵AE+CF=EF，AE=CF，∴2AE=EF=2OE，∴AE=OE，又∵点G是AB的中点，∴EG是△ABO的中位线，∴EG=OB=4.5．29．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是AD边的中点，延长DC至点 F，使FC=CD，连接CE，AF，AF交边BC于点 G．  (1)求证：四边形AECG是平行四边形；(2)若AB=1，BC=3，对角线AC⊥AB，连接BD，交AC于点O，求对角线BD的长．【答案】(1)证明见解析(2)23【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题关键．（1）根据三角形中位线定理得EC∥AF，再根据AD∥BC即可证明；（2）先利用勾股定理求得AC=BC2−AB2=22，再根据勾股定理即可求得BO=AB2+AO2=3，然后借助平行四边形的性质即可求解．【详解】（1）证明： ∵FC=CD，∴点C是DF边的中点，∵点E是AD边的中点，∴EC是△DAF的中位线，∴EC∥AF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴四边形AECG是平行四边形．（2）解：∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，在Rt△BAC中，由勾股定理得，AC=BC2−AB2=22，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC=12AC=2，BD=2BO=2OD，∴在Rt△ABO中，由勾股定理得，BO=AB2+AO2=3，∴BD=2BO=23．30．我们不妨约定：对角线互相垂直且相等的凸四边形叫做“奇妙四边形”．  (1)在“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中一定是“奇妙四边形”的有_____；（请填序号）(2)如图1，P为凸四边形ABCD内一点，如果△PAB和△PCD分别是以AB，CD为底的等腰直角三角形，求证：四边形ABCD是“奇妙四边形”；(3)如图2，“奇妙四边形”ABCD的对角线AC与BD交于点O，M、N分别是边AB、CD的中点，若AC=BD=4，求MN的长．【答案】(1)④(2)证明见详解(3)22【知识点】四边形其他综合问题、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形【分析】（1）根据“奇妙四边形”的定义判断即可；（2）如图1，由△PAB和△PCD都是等腰直角三角形，可证得△BPD≌△APC，根据全等三角形的性质可得AC=BD，∠PBD=∠PAC，从而可得∠AOB=∠APB=90°，即可得出结论（3）此题要构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理以及勾股定理进行计算即可进行．【详解】（1）解：∵正方形的对角线互相垂直且相等，∴正方形，是“奇妙四边形”，∵平行四边形的对角线互相平分，∴平行四边形不是“奇妙四边形”，∵矩形的对角线互相平分且相等，∴矩形不是“奇妙四边形”，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴菱形不是“奇妙四边形”，故答案为：④．（2）证明： AC、BD交于点O，如图1：  ∵△PAB和△PCD都是以AB，CD为底的等腰直角三角形，∴PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD=90°，∴∠BPD=∠APC．在△BPD和△APC中，PB=PA∠BPD=∠APCPD=PC，∴△BPD≌△APC，∴AC=BD，∠PBD=∠PAC，∴∠AOB=∠APB=90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是“奇妙四边形”（3）取AD的中点G，连接MG，NG，  ∵G、N分别为AD、CD的中点，∴GN是△ACD的中位线，AC=BD=4∴GN=12AC=2,GN∥AC，同理可得，GM=12BD=2,GM∥BD，∵ABCD是“奇妙四边形”∴AC⊥BD∴MG⊥GN∴△MGN为等腰直角三角形，∴MN=2MG=22．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，中位线定理注意此题中的辅助线：构造三角形的中位线．运用三角形的中位线的数量关系和位置关系进行分析证明．31．如图，AH是△ABC的高，CD是△ABC的中线，AH=CD，DE∥AC，BE∥CD，直线AH交CD于点M，交CE于点N．  (1)求证：四边形BDCE是平行四边形；(2)求∠BCD的度数；【答案】(1)见解析(2)30°【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的求解问题【分析】（1）证△ADC≌△DBE(ASA)，得CD=BE，再由BE∥CD，即可得出结论；（2）取BH的中点G，连接DG，由三角形中位线定理得DG=12AH，DG∥AH，再证DG=12CD，得∠DCG=30°，即∠BCD=30°．【详解】（1）解：证明：∵DE∥AC，∴∠CAD=∠EDB，∵BE∥CD，∴∠CDA=∠EBD，∵CD是△ABC的中线，∴AD=BD，在△ADC和△DBE中，∠CAD=∠EDBAD=BD∠CDA=∠EBD，∴△ADC≌△DBE(ASA)，∴CD=BE，∵BE∥CD，∴四边形BDCE是平行四边形；（2）取BH的中点G，连接DG，如图所示：  ∵CD是△ABC的中线，∴DG是△ABH的中位线，∴DG=12AH，DG∥AH，∵AH是△ABC的高，∴DG⊥BC，∴∠CGD=90°，∵AH=CD，∴DG=12CD，∴∠DCG=30°，即∠BCD=30°．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．32．（1）如图 ①，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点．请说明DE与BC的数量关系；（不必说明理由）（2）如图②，O是△ABC所在平面内一动点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接．如果点D，E，F，G能构成四边形，判断四边形DEFG是不是平行四边形，并说明理由；（3）在图②中，连接OA，如图③所示；若OA=4，OB=3，OC=4，OB⊥OC，求四边形DEFG的周长．  【答案】（1）DE=12BC；（2）是，见解析；（3）9【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的求解问题、与三角形中位线有关的证明【分析】（1）直接根据三角形中位线定理求解即可；（2）根据三角形中位线定理得到DG∥BC且DG=12BC，EF∥BC且EF=12BC，从而推出DG∥EF且DG=EF，即可证明；（3）利用勾股定理求出BC，同（2）的结论求出DG=EF=52，DE=GF=2，可得结果．【详解】解：（1）∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC；（2）四边形DEFG是平行四边形．理由如下：∵D，G分别为AB，AC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG∥BC且DG=12BC．∵E，F分别为OB，OC的中点，∴EF是△OBC的中位线，∴EF∥BC且EF=12BC，∴DG∥EF且DG=EF，∴四边形DEFG是平行四边形．       （3）∵OB⊥OC，∴在Rt△BOC中，BC=OB2+OC2=5，由（2）知，DG=EF=12BC，∴DG=EF=52，同理可求，DE=GF=12OA=2，∴四边形DEFG的周长=52+52+2+2=9．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，勾股定理，解题的关键是利用三角形中位线定理得到线段之间的数量关系．33．如图，在两个等腰直角△ABC和△CEF中，∠ABC=∠CEF=90°，点B是CE的中点．请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）．  (1)如图①，在线段CF上找出一点G，使四边形AEFG为平行四边形；(2)如图②，在线段EF上找出一点H，使四边形AEHB为平行四边形．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题、无刻度直尺作图【分析】（1）延长AB交CE于G，连接AE，可得△ABE为等腰直角三角形，进而可得AE∥CF，由题易得AB∥EF，故四边形AEFG为平行四边形；（2）可利平行四边形的对角线互相平分，得到EG的中点，而B是AG的中点故得中位线，平行于AE，交EF于H即可解答．【详解】（1）解：延长AB交CE于G，连接AE，四边形AEFG为平行四边形，即所求作四边形；  （2）解：如图2所示，四边形AEHB即为所求．解法一：在（1）的基础上连接AF、EG交于一点得平行四边形中心，连接B和平行四边形中心并延长交EF于H点，四边形AEHB即为所求．解法二：在（1）的基础上连接BF、EG交于一点得△ECF三角形的重心，连接C和△ECF三角形的重心并延长交EF于H点，四边形AEHB即为所求．  【点睛】本题考查了用无刻度的直尺作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结台几何图形的基本性质把构造中点或平行线段，逐步操作．同时也考查了平行四边形的判定和性质．34．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若AC+BD=36,AB=12，求△OEF的周长．【答案】(1)证明见解析(2)15【知识点】证明四边形是平行四边形、利用平行四边形的判定与性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、与三角形中位线有关的证明【分析】（1）由平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，由中点的性质可得EO＝12AO，GO＝12CO，FO＝12BO，HO＝12DO，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；（2）由平行四边形的性质可得EO＋FO＝9，由三角形中位线定理可得EF＝6，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO， ∵E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，∴EO=12AO，GO=12CO，FO=12BO，HO=12DO，∴EO=GO，FO=HO ，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）解：∵AC+BD=36，∴AO+BO=18， ∴EO+FO=9，∵E、F分别是AO、BO的中点，∴EF=12AB，且AB=12，∴EF=6， ∴△OEF的周长=OE+OF+EF=9+6=15，【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质是解决问题的关键．35．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE、CE，F是BE的中点，连接FD交CF于点G．FG与DG是否相等，说明理由．【答案】FG=DG，理由见解析【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题【分析】取CE的中点H，连接FH，DH，利用三角形中位线的性质得出FH//BC，FH=12BC，进而得到FH//ED，FH=ED，从而证出EDHF是平行四边形， 利用平行四边形对角线互相平分的性质得到FG=DG．【详解】解：FG=DG，理由如下：如图所示， 取CE的中点H，连接FH，DH，∵F是BE的中点， H是CE的中点，∴FH是ΔEBC的中位线，∴FH//BC，FH=12BC，∵ABCD是平行四边形， ∴AD//BC，AD=BC，∵E是AD的中点，∴ED=12AD，∴ED//BC，ED=12BC，∴FH//ED，FH=ED，∴EDHF是平行四边形， ∴FG=DG．【点睛】本题考查三角形中位线的性质、平行四边形的判定及性质，解题的关键是添加辅助线构造ΔEBC的中位线．