专题03 多边形及其内角和【知识串讲+十大考点】-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）(原卷版+解析版）

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专题03 多边形及其内角和 模块一考点类型模块二知识点一遍过（一）多边形相关概念（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为n(n−3)2．（二）多边形内角和、外角和（1）内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°（2）外角和：任意多边形的外角和为360°．（三）正多边形的相关计算（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形．（2）正n边形的每个内角为(n−2)⋅180∘n，每一个外角为360°n．模块三考点一遍过考点1：多边形的概念典例1：如图所示的图形中，属于多边形的有（   ）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【知识点】多边形的概念与分类【分析】本题考查多边形，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．【详解】解：所示的图形中，多边形共有2个，故选：A．【变式1】下列图形中，属于多边形的有（   ）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【知识点】多边形的概念与分类【分析】本题考查了多边形的定义，根据多边形的定义进行判断即可，正确理解多边形的定义，平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．【详解】解：根据多边形的定义，平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形，∴①③⑤是多边形，共3个，故选：B．【变式2】在平面内， ， 的多边形叫正多边形．【答案】 各边都相等 各内角也相等【分析】根据正多边形的概念即可得出答案．【详解】如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形．故答案为：各边都相等，各内角也相等．【点睛】本题考查了正多边形的概念，熟练掌握概念是解题的关键．【变式3】(1)十边形的一个顶点的对角线把十边形分成 个三角形．(2)正多边形是指 ， 的多边形．【答案】 8 各边相等 各角相等【知识点】多边形的概念与分类、多边形对角线的条数问题【详解】试题解析：（1）∵过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成（n-2）个三角形，∴10-2=8．（2）正多边形是指各边相等，各角也相等的多边形．故答案为8，各边相等，各角相等．考点2：多边形的对角线条数典例2：八边形的对角线一共有（    ）条A．20B．24C．28D．40【答案】A【知识点】多边形对角线的条数问题【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握多边形对角线条数的计算公式是解题的关键．根据n边形对角线条数计算公式计算，即得答案．【详解】当n=8时，n(n−3)2=8×(8−3)2=20，所以八边形的对角线共有20条．故选：A．【变式1】学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ）A．11条B．10条C．9条D．8条【答案】C【知识点】多边形对角线的条数问题【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角的条数是边数−3，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画4−3=1条对角线，五边形从一个顶点出发，可以画5−3=1条对角线，六边形从一个顶点出发，可以画6−3=1条对角线，∴十二边形从一个顶点出发，可以画12−3=9条对角线，故选：C．【变式2】过m边形的一个顶点，有8条对角线，n边形没有对角线，五边形有p条对角线，则m−pn的值为 ．【答案】216【知识点】多边形对角线的条数问题【分析】本题主要考查了多边形的对角线，根据n边形从一个顶点出发可引出n−3条对角线．从n个顶点出发引出n−3条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：nn−32n≥3，且n为整数，可得到m、n、p的值，进而可得答案．【详解】解：∵过m边形的一个顶点有8条对角线，∴m−3=8，解得，m=11；n边形没有对角线，n=3；∵五边形有p条对角线，∴p=55−3÷2=5，所以m−pn=11−53=216．故答案为：216．【变式3】从九边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，九边形共有 条对角线，九边形的内角和为 ．【答案】 6 27 1260°【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题【分析】本题考查九边形的对角线规律、九边形内角和等知识，根据多边形对角线定义，分析出一个顶点引出的对角线，再由九边形每个顶点均满足同样的性质即可得到答案；再有多边形内角和定理即可求出九边形内角和，熟记九边形对角线定义及对角线数量规律、多边形内角和定理是解决问题的关键．【详解】解：对于九边形，共有9个顶点，由对角线定义可知，从九边形的一个顶点出发，除去这个点本身及这个点左右相邻的两个顶点（共计3个顶点）不能构成对角线以外，剩余的6个顶点均可以与选中的顶点连线构成对角线，则从九边形的一个顶点出发，可以引6条对角线；从九边形的一个顶点出发，可以引出6条对角线，当不考虑重复情况时，9个顶点可以引出6×9=54条对角线，若A、B是九边形的两个顶点，则从A顶点引出的一条对角线AB必定与从B顶点引出的一条对角线BA重合，从而确定九边形共有6×92=27条对角线；由多边形内角和定理可知，九边形的内角和为9−2×180°=1260°，故答案为：6、27、1260°．考点3：多边形与三角形个数典例3：过n边形的一个顶点可以画7条对角线，将它分成m个三角形，则m+n的值是（　　）A．16B．17C．18D．19【答案】C【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多边形对角线的条数问题、对角线分成的三角形个数问题【分析】本题考查多边形的对角线，解题的关键是掌握：从n边形的一个顶点出发可以引n−3条对角线，这些对角线将n边形分成n−2个三角形．据此列式求出m，n的值，再代入m+n计算即可．【详解】解：∵过n边形的一个顶点可以画出7条对角线，∴n−3=7，∴n=10，∴m=10−2=8，∴m+n=8+10=18，∴m+n的值是18．故选：C．【变式1】从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　）A．2001B．2005C．2004D．2006【答案】C【知识点】对角线分成的三角形个数问题【分析】根据多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各顶点所得三角形数比多边形的边数少1即可求解．【详解】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为2003+1＝2004．故选：C．【点睛】本题主要考查多边形的概念，熟练掌握多边形的概念是解题的关键．【变式2】如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形．（1）根据以上多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律，猜测n(n≥4)边形可以分割三角形的个数是 ；（2）若已知一个多边形，按以上方法可分割成120个小三角形，则多边形的边数n= ．【答案】 n−2 122【知识点】图形类规律探索、对角线分成的三角形个数问题【分析】本题主要考查多边形的性质、图形的规律等知识，发现从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为n−2成为解题的关键．（1）由所给图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可解答；（2）根据（1）得到的规律求得n的值即可．【详解】解：（1）由图中可以看出：四边形被分为4−2=2个三角形，五边形被分为5−2=3个三角形，六边形被分为6−2=4个三角形，…，n边形被分为(n−2)个三角形．故本题答案为：n−2．（2）当n−2=120时，n=122．故答案为：122．【变式3】填空：（1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形；（2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形；（3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形；（4）从nn≥4边形的一个顶点出发，可以引 条对角形，将n边形分成 个三角形．【答案】 1 2 2 3 3 4 n−3 n−2【知识点】多边形对角线的条数问题、对角线分成的三角形个数问题【分析】本题考查多边形的对角线，从一点引对角线的数量，可以考虑一共几个顶点，它本身没有，与它相邻的没有，通过作出图形，对图形中对角线条数和分成的三角形个数进行分析，找出规律，引申归纳出n边形中的情况，即可解题．【详解】（1）解：如图：从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形，故答案为：1，2．（2）解：如图：从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将四边形分成3个三角形，故答案为：2，3．（3）解：如图：从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将四边形分成4个三角形，故答案为：3，4．（4）解：由前面的规律可知，从多边形的一个顶点出发，可以引对角线的条数为边数减3，可分成三角形个数为边数减2．∴从nn≥4边形的一个顶点出发，可以引n−3条对角形，将n边形分成n−2个三角形．故答案为：n−3，n−2．考点4：多边形内角和问题典例4：如图1所示的是一把木工台锯使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，求α的值．【答案】α=105【知识点】多边形内角和问题【分析】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式180°×n−2是解题的关键；根据六边形的内角和列方程求解即可．【详解】解：由图中数据可知，122°+112°+135°+α°+α+15°+2α−84°=6−2×180°，解得：α=105，所以α的值为105．【变式1】在四边形ABCD中，∠A,∠B,∠C的度数之比为2:3:5，∠D=50°，求∠A的度数．【答案】∠A的度数为62°【知识点】多边形内角和问题【分析】本题考查四边形的内角和，设∠A=2x，∠B=3x，∠C=5x，利用四边形内角和为360°得到x的方程，然后解方程求得x值即可．【详解】解：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=5x．∵四边形ABCD的内角和为360°，∠D=50°，∴∠A+∠B+∠C+∠D=2x+3x+5x+50°=10x+50°=360°，∴10x=310°，即x=31°．∴∠A=62°．答：∠A的度数为62°．【变式2】如图，在五边形ABCDE中，AE⊥DE，垂足为点E，∠D=170°,∠A=∠B，∠B−∠C=50°，求∠A的度数．【答案】∠A=110°【知识点】多边形内角和问题【分析】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键；设∠A=∠B=x，根据多边形的内角和列方程求解即可．【详解】解：五边形的内角和是5−2×180°=540°，设∠A=∠B=x，∵∠B−∠C=50°，∴∠C=x−50°，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，根据题意得：90°+x+x+(x−50°)+170°=540°，解得x=110°，∴∠A=110°．【变式3】阅读小明和小红的对话，解决下列问题(1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是1520°”的理由；(2)求该多边形的内角和；【答案】(1)见解析；(2)1440°【知识点】多边形内角和问题【分析】本题主要考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是解答本题的关键．（1）设多边形的边数为n，根据多边形内角和列方程求解即可；（2）首先得到该多边形的边数为10，然后利用多边形内角和定理求解即可；【详解】（1）解：理由：设多边形的边数为n．180°(n−2)=1520°，解得n=1049．∵n为正整数，∴多边形内角和不可能为1520°；（2）解：∵n=949≈10.44，依题意：该多边形的边数为10，∴10−2×180°=8×180°=1440°，故该多边形的内角和为1440°.考点5：多边形截角问题典例5：若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形A．4或5B．3或4C．3或4或5D．4或5或6【答案】C【知识点】多边形截角后的边数问题【分析】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边．根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可．【详解】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形．故选：C．【变式1】如图，四边形ABCD去掉一个∠D后，剩下的新图形不可能是（   ）边形．A．三边形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】D【知识点】多边形截角后的边数问题【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键．【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形ABC，②四边形ABEC，③五边形ABFEC，不可能是六边形，故选：D．【变式2】一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ．【答案】5或6或7【知识点】多边形截角后的边数问题【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到．【详解】解：如图所示：六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到．故答案为：5或6或7．【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．【变式3】若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ．【答案】14或15或16【知识点】多边形截角后的边数问题【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可．【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边，∴此时原多边形的边数为15+1=16；如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同，∴此时原多边形的边数为15；如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边，∴此时原多边形的边数为15−1=14；综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16．故答案为：14或15或16．【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．考点6：正多边形内角和问题典例6：如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为（   ）A．30∘B．45∘C．55∘D．60∘【答案】B【知识点】正多边形的内角问题、折叠问题【分析】本题考查了正多边形的内角问题，轴对称的性质，熟练掌握正多边形内角的求法及轴对称的性质是解题的关键．先求得正五边形的内角，再根据轴对称的性质，求得∠BAM=54°，∠FAB′=27°，最后根据三角形的内角和性质，即可求得答案．【详解】∵正五边形的每一个内角为15×(5−2)×180°=108°，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，∴∠BAM=12∠BAE=12×108°=54°，∵将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，∴∠FAB′=12∠BAM=12×54°=27°，∠ABF'=∠B=108°，∴∠ABF′=180°−108°−27°=45°．故选：B．【变式1】如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH的度数为（   ）A．18°B．15°C．20°D．32°【答案】B【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形的内角问题【分析】本题考查了正多边形的内角和，等边对等角，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正多边形的内角和，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键．由题意可得∠BAD=90°，∠BAH=180°×6−26，则∠DAH=360°−∠BAH−∠BAD，由题意知，AD=AH，根据∠ADH=∠AHD=180°−∠DAH2，计算求解即可．【详解】解：∵正方形ABCD，∴∠BAD=90°，∵正六边形ABEFGH，∴∠BAH=180°×6−26=120°，∴∠DAH=360°−∠BAH−∠BAD=150°，由题意知，AD=AH，∴∠ADH=∠AHD=180°−∠DAH2=15°，故选：B．【变式2】C60单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它的发现最初始于天文学领域的研究，由英国，美国科学家探明和勾画其碳分子结构，于1985年正式制得，它的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是C60的分子结构图，它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形，其中正六边形的每一个内角的度数是 度．【答案】120【知识点】正多边形的内角问题【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理，理解正六边形的性质是解决问题的关键．首先根据多边形的内角和定理求出正六边形的内角和为720°，再根据正六边形的6个内角都相等可得出正六边形的每一个内角的度数．【详解】∵正六边形的内角和为：(6−2)×180°=720°，又∵正六边形的6个内角都相等，∴正六边形的每一个内角的度数是：720°÷6=120°．故答案为：120．【变式3】风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①）．风铎的底部可抽象为正六边形ABCDEF（如图②），连接AC．则∠ACB= ．【答案】30°/30度【知识点】等边对等角、正多边形的内角问题【分析】此题考查了正多边形的性质，内角和的公式，三角形内角和，正确掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正六边形的性质求出∠B=6−2×180°6=120°，AB=CB，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和即可得到答案．【详解】解：在正六边形ABCDEF中，∠B=6−2×180°6=120°，AB=CB，∴∠ACB=∠BAC=180°−120°2=30°，故答案为：30°．考点7：正多边形外角问题典例7：如图，一束太阳光线平行照射在地面的正六边形上，∠1=45°，则∠2的度数为（   ）A．13°B．15°C．23°D．25°【答案】B【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、正多边形的内角问题、正多边形的外角问题【分析】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是360°，是解题的关键．如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到∠4=60°,∠2+∠5=120°，平行线的性质，得到∠3=∠1=45°，三角形的外角的性质，得到∠5=∠3+∠4=105°，进而求出∠2的度数．【详解】解：如图：∵正六边形的一个外角的度数为：360°6=60°，∴正六边形的一个内角的度数为：180°−60°=120°，即：∠4=60°,∠2+∠5=120°，∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，∠1=45°，∴∠3=∠1=45°，∴∠5=∠3+∠4=105°，∴∠2=120°−∠5=15°，故选：B．【变式1】如图，是某小区花园内用正n边形铺设的小路的局部示意图，它的中间区域是一个小正三角形，则n=（   ）A．10B．12C．14D．16【答案】B【知识点】正多边形的内角问题、正多边形的外角问题【分析】本题考查了多边形的内角与外角，根据镶嵌满足的条件，在小正方形的顶点处可以拼成360°求出正n边形的一个内角，进而得到一个外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可得出答案，掌握镶嵌满足的条件，在小正方形的顶点处可以拼成360°是解题的关键．【详解】解：∵正三角形的一个内角是60°， ∴正n边形的一个内角=360°−60°÷2=150°，∴正n边形的一个外角=180°−150°=30°，∴n=360°÷30°=12，故选：B．【变式2】如图，已知AB是正六边形ABCDEF与正五边形ABGHI的公共边，连接FJ，则∠AFI的度数为 ．【答案】84°【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形的内角问题、正多边形的外角问题【分析】先求出正五边形和正六边形的内角，继而得到∠FAI=120°−108°=12°，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：由题意得，AI=AB=AF，∴∠AFI=∠AIF，由题意得，∠FAB=180°−360°6=120°，∠IAB=180°−360°5=108°，∴∠FAI=120°−108°=12°，∴∠AFI=∠AIF=180°−12°2=84°，故答案为：84°．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，外角和问题，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式3】如图，AB、BC、CD是某正多边形相邻的三条边，延长AB、DC交于点P，若∠P=108°，则该正多边形的边数为 ．【答案】10【知识点】正多边形的外角问题【分析】本题主要考查正多边形和圆，正确记忆相关知识点是解题的关键．由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等，先算出外角再计算边数即可．【详解】解：由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等，∴∠PBC=∠PCB，∵∠P=108°，∴∠PBC=∠PCB=12(180°−108°)=36°，则该正多边形的边数为360°÷36°=10，故答案为：10．考点8：多（少）算一个角的问题典例8：小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到2010°．(1)求少加的内角的度数．(2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形．【答案】(1)150度(2)不是正多边形【知识点】多（少）算一个角问题、正多边形的外角问题【分析】本题考查了多边形的内角与外角;（1）根据多边形的内角和是180°的整数倍求出多边形的边数，再由多边形的内角和求出少加的这个内角的度数；（2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案．【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则2010°