微专题01 平行四边形折叠问题通关专练-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）(原卷版+解析版）

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微专题01 平行四边形折叠问题通关专练 一、单选题1．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠AED′的大小为（    ）A．110°B．108°C．105°D．100°【答案】B【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解、折叠问题【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质是本题的关键．由平行四边形的性质可得∠B=∠D=52°，由三角形的内角和定理可求∠DEA的度数，由折叠的性质可求∠AED′=∠DEA=108°．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D=52°，∵∠DAE=20°，∴∠DEA=180°−∠D−∠DAE=108°．由折叠的性质可得∠AED′=∠DEA=108°．故选B．2．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿若AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B=60°，∠ACB=45°，AC=6，则B′D的长 (    )A．1B．2C．3D．62【答案】B【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题【分析】由翻折的性质得△ABC≌△AB′C，先证明△EAC为等腰直角三角形，求出AE=EC= 3，在Rt△CDE中，求出ED=1，CD=2，在Rt△AEB'中，求出B′E=1，在Rt△EDB′中，即可求B′D=2．【详解】解：∵将△ABC沿若AC所在的直线折叠得到△AB′C，∴△ABC≌△AB′C，∴AB=AB′，∠B=∠AB′C=60°，∠ACB=∠ACB′=45°，∴∠BCB′=90°，∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=45°，∴∠AEC=180°−45°−45°=90°,AE=CE，∴△EAC为等腰直角三角形，AC2=AE2+EC2∵AC=6，∴AE=EC=3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠B=60°，AB=CD，在Rt△CDE中，∠ECD=30°，EC= 3，∴CD=2ED，由勾股定理得：DE2+EC2=CD2 ,解得：ED=1，CD=2，∴AB=AB′=2，在Rt△AEB′中，由勾股定理得：B′E=22−32=1，在Rt△EDB′中，由勾股定理得： B′D=12+12=2，故选：B．【点睛】本题考查了图形的翻折，平行四边形的性质，勾股定理，30°直角三角形的性质，确定△EAC为等腰直角三角形是解题的突破点，熟练掌握勾股定理求边是解题的关键．3．如图，▱ABCD中，BD=BC，将□ABCD沿BD折叠，使点C落在点E处，若∠BCD=65°，则∠ABE的度数为（    ）A．20°B．18°C．16°D．15°【答案】D【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行四边形的性质，先求解∠BCD=∠BDC=65°，可得∠CBD=180°−2×65°=50°，可得∠EBD=∠CBD=50°，再进一步结合平行四边形的性质可得答案．【详解】解：∵BD=BC，∠BCD=65°，∴∠BCD=∠BDC=65°，∴∠CBD=180°−2×65°=50°，∴∠EBD=∠CBD=50°，∵▱ABCD，∴AB∥DC，∴∠ABC=180°−65°=115°，∴∠ABE=115°−2×50°=15°，故选D4．如图，在▱ABCD中，E为边BC上的一个点，将△CDE沿DE折叠至△C′DE处，使得C′落在AB的延长线上，若∠A=50°，C′E⊥AB时，则∠CED的度数为（    ）A．100°B．105°C．110°D．105°【答案】C【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、三角形内角和定理的应用【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据翻折前后对应角相等是解题的关键．根据平行四边形的性质可求出∠C′BE=∠A=50°，由三角形内角和求出∠BEC′=90°−50°=40°，然后由折叠的性质即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠C′BE=∠A=50°，∵C′E⊥AB，∴∠EC′B=90°，∴∠BEC′=90°−50°=40°，∴∠CED+∠C′ED=180°+40°=220°，根据折叠可知：∠CED=∠C′ED，∴∠CED=∠C′ED=110°．故选：C．5．如图．将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的中点D′处，直线l交CD边于点E，连接BE．若AB=5，BE=4，则AE的长为（    ）A．2B．3C．4D．5【答案】B【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，先由平行四边形的性质和折叠的性质证明DE=D′E，∠BAE=∠D′EA得到AD′=DE，再由线段中点的定义得到BD′=D′E=AD′，根据等边对等角和三角形内角和定理证明∠AEB=90°，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠DEA=∠BAE，由折叠的性质可得DE=D′E，∠DEA=∠D′EA，∴∠BAE=∠D′EA，∴AD′=D′E，∴AD′=DE，∵D′是AB的中点，∴BD′=D′E=AD′，∴∠D′EB=∠D′BE，∵∠D′EB+∠D′BE+∠BAE+∠D′EA=180°，∴∠D′EB+∠D′EA=90°，∴∠AEB=90°，∴AB2=AE2+BE2，∴∴AE=52−42=3．6．如图，将平行四边形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点C′处，∠1=58°，∠2=42°，则∠C的度数为（   ）A．100°B．109°C．126.5°D．130°【答案】B【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用平行四边形的性质求解、折叠问题【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．根据平行线的性质求出∠C′EC的度数，根据折叠的性质求出∠CEF的度数，利用三角形内角和求出∠C．【详解】解：设折痕与平行四边形ABCD交点为E,F，如图所示，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，∠C′EC=∠1=58°，根据折叠可得∠CEF=12∠C′EC=29°，∴ ∠C=180°−∠CEF−∠2=180°−29°−42°=109°．故选：B．7．如图，将平行四边形ABCD沿AC折叠，点D恰好落在DC延长线上的点D′处，AD′交BC于点E，若∠BAD′=40°，则∠BAD的度数为（    ）A．142°B．140°C．138°D．135°【答案】B【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、等边对等角、三角形内角和定理的应用【分析】本题考查了平行四边形的性质，这的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据平行四边形的性质可得AB∥CD，即AB∥DD'，根据平行线的性质，折叠的性质可得∠D'=∠BAD'=40°=∠D，根据三角形内角和定理可得∠DAD'=100°，由此即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵折叠，∴AD=AD'，∠D=∠D'，∠DAC=∠D'AC，AB∥DD'，∴∠D'=∠BAD'=40°=∠D，在△ADD'中，∠DAD'=180°−∠D−∠D'=100°，∴∠BAD=∠BAD'+∠DAD'=40°+100°=140°，故选：B ．8．在平行四边形ABCD中，∠ACB=25°，现将平行四边形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠DFE的度数（    ）A．135°B．120°C．115°D．100°【答案】C【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、三角形内角和定理的应用【分析】本题考查平行四边形的性质以及折叠变换，首先根据折叠找到对应相等的角∠EAC=∠ECA=25°，∠FEC=∠FEA，然后根据三角形内角和可算出∠AEC，进而可得∠FEC的度数，再根据平行四边形的性质可得∠DFE．解题的关键是找准折叠后哪些角是对应相等的．【详解】解：∵将平行四边形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，∠ACB=25°，∴∠EAC=∠ECA=25°，∠FEC=∠FEA，∴∠AEC=180°−∠EAC+∠ECA=180°−25°+25°=130°，∴∠FEC=12∠AEC=12×130°=65°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DFE=180°−∠FEC=180°−65°=115°，∴∠DFE的度数为115°．故选：C．9．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论：①EF∥AB；②∠BAF=∠CAF；③S四边形ADFE=12AF⋅DE；④∠BDF+∠FEC=2∠BAC．其中正确结论的个数是（    ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【知识点】折叠问题、与三角形中位线有关的求解问题、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质【分析】根据中位线的性质可判断①，根据三线合一可判断②，根据折叠的性质可得到DE垂直平分AF，进而可判断③，根据三角形的外角的性质，即可判断④．【详解】①∵点F是BC边的中点，∴要使EF∥AB，则需EF是△ABC的中位线，根据折叠得AE=EF，显然本选项不一定成立；②要使∠BAF=∠CAF，则需AD=AE，显然本选项不一定成立；③根据折叠得到DE垂直平分AF，则S四边形ADFE=12AF⋅DE，故本选项正确；④根据三角形的外角的性质，得∠BDF=∠DAF+∠AFD，∠CEF=∠EAF+∠AFE，又∠BAC=∠DFE，则∠BDF+∠FEC=2∠BAC，故本选项成立．故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．10．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠ABC=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则CF的长度为（    ）A．92B．4C．72D．3【答案】C【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形【分析】如图，作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P．可得CK=42−22=23，可得点E到CD的距离是23，证明△BCE≌△GCFASA；可得CE=CF，设BP=m，则BE=2m，EP=BE2−BP2=3m，由勾股定理得4−m2+3m2=6−2m2，再求解m即可．【详解】解：如图，作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P．∵∠ABC=60°，BC=4，∴BK=2，CK=42−22=23，∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，∴点E到CD的距离是23，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠D=∠ABC，∠A=∠BCD，由折叠可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，∴BC=GC，∠ABC=∠G，∠BCD=∠ECG，∴∠BCE=∠GCF，在△BCE和△GCF中，∠ABC=∠G∠BCE=∠GCFBC=GC，∴△BCE≌△GCFASA；∴CE=CF，∵∠ABC=60°，∠EPB=90°，∴∠BEP=30°，∴BE=2BP，设BP=m，则BE=2m，∴EP=BE2−BP2=3m，由折叠可知，AE=CE，∵AB=6，∴AE=CE=6−2m，∵BC=4，∴PC=4−m，在Rt△ECP中，由勾股定理得4−m2+3m2=6−2m2，解得m=54，∴EC=6−2m=6−2×54=72，∴CF=EC=72．故选C．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．二、填空题11．如图，在▱ABCD中，AB=6,AD=8,∠A=60°，将▱ABCD折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则AE= ．【答案】145【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题【分析】设AE=2x，作EL⊥GD于点L，则∠GLE=∠DLE=90°，由折叠可知GD=AB=6,GE=AE=2x，∠G=∠A=60°，得到∠GEL=90°−60°=30°，则GL=12GE=x，DL=GD−GL=6−x，由勾股定理得到2x2−x2=8−2x2−6−x2，解得x=75，即可得到答案．【详解】解：设AE=2x，作EL⊥GD于点L，则∠GLE=∠DLE=90°，∵AB=6,AD=8,∠A=60°∴由折叠可知GD=AB=6,GE=AE=2x，∠G=∠A=60°∴∠GEL=90°−60°=30°，∴GL=12GE=x，∴DL=GD−GL=6−x，∵GE2−GL2=DE2−DL2=LE2，∴2x2−x2=8−2x2−6−x2，解得x=75，∴AE=2x=145，故答案为：145【点睛】此题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，作高构造直角三角形是解题的关键．12．如图所示，已知E是平行四边形ABCD的边AB上一点，将△ADE沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，如果△BEF的周长为7，△CDF的周长为15，那么CF的长等于 ．【答案】4【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题【分析】本题考查了平行四边形的性质及翻折变换，由折叠性得AE=EF，DF=AD， 根据题意可得AB+BF=7，DC+AD+FC=15， 则AB+BF+DC+AD+FC=22，再根据平行四边形的性质可得AD+DC=11，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：由折叠性得AE=EF，DF=AD， ∵△BEF的周长为7，△CDF的周长为15，∴EF+BE+BF=AB+BF=7，DC+DF+FC=DC+AD+FC=15， ∴△BEF的周长+△CDF的周长=平行四边形ABCD的周长=22，∴AB+BF+DC+AD+FC=22，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AD=BC，∴AD+DC=11，∴CF= △CDF的周长−AD+DC=15−11=4，故答案为：4．13．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠ABC=60°，点，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则DF的长度为 ．【答案】52【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．如图，作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P．可得CK=42−22=23，可得点E到CD的距离是23，证明△BCE≌△GCF(ASA)；可得CE=CF，设BP=m，则BE=2m，EP=BE2−BP2=3m，由勾股定理得(4−m)2+(3m)2=(6−2m)2，再求解m即可，可得CF=EC=72，最后根据DF=DC−CF求解即可．【详解】如图，作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P．∵∠ABC=60°，BC=4，∴∠BCK=30°，∴BK=2，CK=42−22=23，∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，∴点E到CD的距离是23，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠D=∠ABC，∠A=∠BCD，由折叠可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，∴BC=GC，∠ABC=∠G，∠BCD=∠ECG，∴∠BCE=∠GCF，在△BCE和△GCF中，∠ABC=∠G∠BCE=∠GCFBC=GC，∴△BCE≌△GCF(ASA)；∴CE=CF，∵∠ABC=60°，∠EPB=90°，∴∠BEP=30°，∴BE=2BP，设BP=m，则BE=2m，∴ EP=BE2−BP2=3m，由折叠可知，AE=CE，∵AB=6，∴AE=CE=6−2m，∵BC=4，∴PC=4−m，在Rt△ECP中，由勾股定理得(4−m)2+(3m)2=(6−2m)2，解得m=54，∴ EC=6−2m=6−2×54=72，∴ CF=EC=72．∴DF=DC−CF=6−72=52故答案为：52．14．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，AB=2，∠ABC=45°，点E是线段BC上一个动点，将△ABE沿AE折叠到△AB′E位置、再将△AB′E沿行AB′折叠到△AB′E′位置，当E′落在平行四边形ABCD边上时，则BE的长度为 ．【答案】2−2或1【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、二次根式的乘法【分析】如图，当E′落在BC上时，由对折可得：AE=AE′，BE=B′E=B′E′，AB=AB′=2，∠B=∠AB′E=45°，AB′⊥EE′，记垂足为Q，再进一步可得答案；如图， 当BE=B′E=B′E′=1，∠B=∠AB′B=∠AB′E=45° ∠AEB=∠AEB′=∠AE′B′=90°，此时C,B′重合，AB=AB′=2，∠BAC=90°，可得E′落在AD上，从而可得答案．【详解】解：∵平行四边形ABCD，∴AD=BC=2，AB=CD=2，∠B=∠D=45°，如图，当E′落在BC上时，∵由对折可得：AE=AE′，BE=B′E=B′E′，AB=AB′=2，∠B=∠AB′E=45°，∴AB′⊥EE′，记垂足为Q，∴AQ2+BQ2=AB2，EQ=B′Q，∵AB=2，∠ABC=45°，∴AQ=BQ=22AB=1，∴QB′=2−1=QE，∴BE=B′E=22−1=2−2，如图， 当BE=B′E=B′E′=1，∠B=∠AB′B=∠AB′E=45°，∠AEB=∠AEB′=∠AE′B′=90°，此时C,B′重合，AB=AB′=2，∠BAC=90°，∴E′落在AD上，∴BE=1，综上：BE=2−2或BE=1．故答案为：2−2或1【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的运算，作出图形，利用数形结合的方法解题是关键．15．如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A落到E处，交BC于点F，折痕为BD，若∠CBD=∠CBE,∠E=120°，则∠DFC的度数为 ．【答案】40°/40度【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用平行四边形的性质求解、折叠问题【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质，平行四边形的性质以及三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A落到E处，∴∠E=∠A=120°，∠ABD=∠DBE，∵四边形纸片ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ABC=180°−∠A=60°，∵∠CBD=∠CBE，∴∠CBD=12∠DBE=12∠ABD，∴∠DBC=13∠ABC=13×60°=20°，∴∠CBE=∠CBD=20°，∴∠DFB=∠E+∠CBE=140°，∴∠DFC=180°−∠DFB=40°．故答案为：40°16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，点P是边AB上的动点，沿CP所在的直线折叠∠A，使点A的对应点落在点A′处，当A′P与Rt△ABC的边平行时，线段AP的长为 ．      【答案】4−23或2【知识点】折叠问题、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，分A′P∥BC平行和A′P∥AC平行两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．【详解】解：当A′P∥BC时，则∠A′=∠BCD，如图，  在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，∴∠A=90°−30°=60°，AB=2AC=4，∴BC=AB2−AC2=42−22=23，由折叠的性质得∠A′=∠A=60°，A′C=AC=2，A′P=AP，∴∠BCD=60°，∴∠BDC=180°−∠A−∠BCD=180°−30°−60°=90°，∴∠A′DP=90°，CD=12BC=12×23=3，∴A′D=A′C−CD=2−3，在Rt△A′DP中，∠A′=60°，∴∠A′PD=90°−60°=30°，∴AP′=2A′D=4−23，∴AD=4−23； 当A′P∥AC时，则∠Á′=∠A=60°，如图，  ∵∠ACB=90°，A′P∥AC，∴∠A′DC=∠ACB=90°，∴∠A′CB=90°−60°=30°，∴∠A′CB=∠B，∴A′C∥AB平行，∴四边形APA′C是平行四边形，∴AP=A′C, 由折叠的性质得A′C=AC=2，∴AP=2； 综上，线段AP的长为4−23或2，故答案为：4−23或217．如图，在▱ABCD中，AB=43，AD=12，∠C=30°，点M，N分别在边BC，AD上，沿MN折叠平行四边形，使点C与点A重合，则线段BM的长度为 ．【答案】83【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线．过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，根据平行四边形的性质可推出∠ABE=∠C=30°，得出AE=12AB=23，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出BE，由折叠可知AM=MC，设BM=x，则AM=MC=12−x，在Rt△AME中，根据勾股定理即可求解．【详解】解：过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，∴ ∠ABE=∠C=30°，又∵ AB=43，∴ AE=12AB=23，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=AB2−AE2=432−232=6，由折叠可知AM=MC，设BM=x，则AM=MC=12−x，EM=EB+BM=6+x，在Rt△AME中，由勾股定理得：AE2+EM2=AM2，即232+6+x2=12−x2，解得：x=83，∴线段BM的长度为83，故答案为：83．18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上的一个点，将△CDE沿DE折叠至△C′DE处，使得C′落在AB的延长线上，若∠A=40°，C′E⊥AB时，则∠CED的度数为 ．【答案】115°/115度【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、三角形内角和定理的应用【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据翻折前后对应角相等是解题的关键．根据平行四边形的性质可求出∠C′BE=∠A=40°，由三角形内角和求出∠BEC′=50°，然后由折叠的性质即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠C′BE=∠A=40°，∵C′E⊥AB，∴∠EC′B=90°，∴∠BEC′=90°−40°=50°，∴∠CED+∠C′ED=180°+50°=230°，根据折叠可知：∠CED=∠C′ED，∴∠CED=∠C′ED=115°．故答案为：115°．19．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，若∠1=∠2=36°，则∠B= ．【答案】126°【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、三角形内角和定理的应用、两直线平行内错角相等【分析】根据平行四边形的对边平行可知AB∥CD，利用平行线的性质还可求出∠1=∠BAB′=36°；结合折叠的性质求出∠BAC的度数，再在△ABC中利用三角形的内角和定理求出∠B的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1=∠BAB′=36°．根据折叠的性质可知∠CAB′=∠BAC，∵∠CAB′+∠BAC=∠BAB′=36°，∴∠BAC=18°．∵在△ABC中，∠2=36°，∠BAC=18°，∴∠B=180°−∠2−∠BAC=126°．故答案为：126°．【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质和折叠的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键．20．如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于 ．【答案】40°/40度【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质．根据平行四边形和折叠的性质，得到∠D=∠MFE，进而求出∠MFA的度数，利用三角形的内角和定理，进行求解即可．【详解】解：∵平行四边形ABCD，∴CD∥AB，∴∠D=180°−∠A=110°，∵折叠，∴∠D=∠MFE=110°，∴∠AFM=180°−∠MFE=70°，∴∠AMF=180°−∠A−∠AFM=40°；故答案为：40°．三、解答题21．如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，连接BE．(1)求证：四边形BCED′是平行四边形；(2)若BE平分∠ABC，求证：AB2=AE2+BE2．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【知识点】折叠问题、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，平行四边形的判定和性质，勾股定理：（1）根据折叠的性质可得∠DEA=∠D′EA,DE=D′E，再由DE∥AD′，可得∠EAD′=∠D′EA，从而得到AD′=ED′，进而得到AD′=ED，即可求证；（2）由角平分线的定义可得∠CBE=∠EBA，再由AD∥BC，可得∠DAB+∠CBA=180°，然后根据∠DAE=∠BAE，可得∠EAB+∠EBA=90°，从而得到∠AEB=90°，再由勾股定理，即可求解．【详解】（1）证明：∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DEA=∠D′EA,DE=D′E， ∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′，∴∠EAD′=∠D′EA，∴AD′=ED′，∴AD′=ED，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC,AB=CD，∴CE∥D′B,CE=D′B，∴四边形BCED′是平行四边形；（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠EBA，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵∠DAE=∠BAE，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°，∴AB2=AE2+BE2．22．如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC，点E、F分别在AD、BC上，沿EF折叠平行四边形，使点A、C互相重合，点B落在点G的位置．(1)连接GF，CE，求证：△CED≌△CFG；(2)若∠BCD=130°，求∠AEF的度数．【答案】(1)见详解(2)40°【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质证明、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定等知识，（1）根据平行四边形的性质和折叠的性质证明∠BCD=∠GCE，CD=CG，∠D=∠G，即可得到结果；（2）根据题意可得∠ACB=∠B=50°，得到∠DAC=50°，再根据点A与点C重合，得到AC⊥EF，结合三角形内角和定理即可得到结果；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠BAD=∠BCD，∠B=∠D，由折叠的性质可得，AB=CG，∠B=∠G，∠BAD=∠GCE，∴∠BCD=∠GCE，CD=CG，∠D=∠G，∵∠ECD+∠BCE=∠BCD，∠BCE+∠FCG=∠GCE，∴∠ECD=∠FCG，∴△CED≌△CFG；（2）∵∠BCD=130°，四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=50°，AD∥BC，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=50°，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=50°，∵EF为折痕，点A与点C重合，∴AC⊥EF，∴∠AOE=90°，∴∠AEF=180°−∠DAC−∠AOE=40°．23．已知，如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在C′处，BC′与AD相交于点E．  (1)求证：EB=ED；(2)连接AC′，判断AC′与BD的位置关系并且证明．【答案】(1)见解析(2)AC′∥BD，理由见解析【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的证明【分析】（1）根据折叠的性质可得∠CBD=∠EBD，再根据平行的性质可得∠CBD=∠EDB，即有∠EBD=∠EDB，问题随之得证；（2）结合平行四边形的性质以及（1）的结论可得AE=C′E，即有∠EAC′=∠EC′A，再根据∠AEC′=∠BED，∠EBD=∠EDB，结合三角形内角和定理可得∠AC′B=∠C′BD，问题得证．【详解】（1）由折叠可知：∠CBD=∠EBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED；（2）AC′∥BD．证明如下：  ∵AD=BC=BC′，EB=ED，∴AE=C′E，∴∠EAC′=∠EC′A，∵∠AEC′=∠BED，∠EBD=∠EDB，∴∠AC′B=∠C′BD，∴AC′∥BD，得证．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行四边形的性质以及等边对等角，三角形内角和定理等知识，掌握折叠的性质，是解答本题的关键．24．如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点D′，折痕为EF，连接CF．(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若∠B=45°,∠FCE=60°,AB=62，求线段D′F的长．【答案】(1)见解析(2)6+23【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、利用平行四边形的判定与性质求解、勾股定理与折叠问题【分析】（1）先证明四边形AFCE是平行四边形，再运用有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行证明；（2）作AG⊥BE于点G，因为D′F=DF，再证明DF=BE，用勾股定理分别计算BG、EB即可．【详解】（1）解：证明：∵点C与点A重合，折痕为EF，∴∠AEF=∠CEF，AE=EC，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AF=EC，又∵AF∥EC，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AE=AF，∴四边形AFCE为菱形．（2）如图，作AG⊥BE于点G，则∠AGB=∠AGE=90°，∵点D的落点为点D′，折痕为EF，∴D'F=DF．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC．又∵AF=EC，∴AD-AF=BC-EC，即DF=BE．∵在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=62，∴AG=GB=6．∵四边形AFCE为平行四边形，∴AE∥FC．∴∠AEB=∠FCE=60°．∵在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠4=60°，∴GE=AG3=23，∴BE=BG+GE=6+23，∴D′F=6+23．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质与判定、勾股定理的综合运用，运用折叠的性质和平行四边形的性质发现D′F=BE是解题的关键．25．如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得AC=EF=CG =50cm，BD=20cm，GF=80cm，∠ABD=118°，∠GFE=62°，∠AGF=90°，已知BD∥CE∥GF．(1)求证：四边形BCED是平行四边形；(2)求椅子最高点A到地面GF的距离．【答案】(1)见解析(2)80cm【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，理并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．（1）由平行线的性质可得∠ACE=∠ABD=118°，∠DEC=∠GFE=62°，进而得∠ACE+∠DEC=180°，可知BC∥DE，即可证明结论；（2）由平行四边形的性质得CE=BD=20cm，延长AC交GF于H，由（1）可知，CH∥EF，CE∥HF，可知四边形CHFE是平行四边形，得CH=EF=50cm，HF=CE=20cm，求得AH=AC+CH=100cm，GH=GF−HF=60cm，再由勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵BD∥CE∥GF，∠ABD=118°，∠GFE=62°，∴∠ACE=∠ABD=118°，∠DEC=∠GFE=62°，则∠ACE+∠DEC=180°，∴BC∥DE，∴四边形BCED是平行四边形；（2）解：∵四边形BCED是平行四边形，∴CE=BD=20cm，延长AC交GF于H，由（1）可知，CH∥EF，CE∥HF，∴四边形CHFE是平行四边形，∴CH=EF=50cm，HF=CE=20cm，则AH=AC+CH=100cm，GH=GF−HF=60cm∵∠AGF=90°，∴AG=AH2−GH2=80cm，即：椅子最高点A到地面GF的距离为80cm．26．综合实践课上，老师让同学们开展了▱ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将▱ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′．(1)【观察发现】如图1，若∠BCC′=15°，EC′⊥AB，BC=4+23，求EC的长；(2)【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形．【答案】(1)EC=23(2)见解析【知识点】折叠问题、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形【分析】（1）由折叠的性质可得C′E=CE，则∠EC′C=∠BCC′=15°，由三角形外角性质得∠BEC′=30°，所以BC′=12BE，再利用勾股定理得EC=EC′=3BC′，然后由BC=BE+EC=2BC′+3BC′=4+23，求得BC′=2，即可求解．（2）根据折叠的性质先证C′E∥D′F，再证C′E=D′F即可证明四边形EC′D′F为平行四边形．【详解】（1）解：由折叠知EC′=EC，∴∠EC′C=∠ECC′=15°．∴∠BEC′=∠ECC′+∠EC′C=30°．∵EC′⊥AB，∴∠EC′B=90°．∴BE=2BC′．由勾股定理得，EC′=BE2−BC′2=4BC′2−BC′2=3BC′，∴EC=EC′=3BC′．∴BC=BE+EC=2BC′+3BC′=4+23．∴BC′=2．∴EC=23．（2）证明：由折叠知∠CEF=∠C′EF，∠EFD=∠EFD′，∠D'=∠D．∵AD∥BC，∴∠CEF+∠EFD=180°，∴∠C′EF+∠EFD′=180°，∴C'E∥D'F，∴∠BC′E=∠D′，∵▱ABCD，∴∠B=∠D，AD=BC，∴∠BC′E=∠B，∴BE=C′E=CE，∴ C′E=12BC，∵AD∥BC，点D′在BA延长线上，∴∠B=∠D'AF=∠D'，∴AF=D′F=DF，∴ D'F=12AD．∵AD=BC，∴C'E=D'F，∴四边形EC′D′F是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键．27．【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片ABCD中，点E为BC边上任意一点，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点为B′．(1)如图1，若点B′ 恰好落在边AD上时， 四边形B′ECD的形状是 ．(2)如图2，若点E,B′,D三点在同一条直线上时，求证：DA=DE；(3)如图3，若∠BAE=45°时，连接BB′，并延长交CD于点F．若平行四边形纸片ABCD的面积为24，CD=4，求线段B′F的长．【答案】(1)四边形B′ECD是平行四边形，理由见解析(2)见解析(3)22【知识点】折叠问题、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到∠BAE=∠AEB′,AB=B′E，推出AB∥B′E，即可证明四边形B′ECD是平行四边形；（2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明△DAE是等腰三角形，即可得出结论；（3）延长AB′交CD于点H，由折叠的性质先证明△ABB′是等腰三角形，得到∠BAB′=90°,AB′=4，根据平行四边形的性质得到∠AHD=90°，易证利△B′HF是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出AH，进而得到B′H，利用勾股定理即可解答．【详解】（1）解：四边形B′ECD是平行四边形，理由如下：由折叠的性质可得：∠BAE=∠B′AE,∠BEA=∠B′EA，BE=B′E,AB=AB′，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB′∥BE,AB∥CD，∴∠B′AE=∠AEB，∴ ∠BAE=∠B′AE=∠BEA=∠B′EA，∴AB∥B′E，BE=B'E=AB=AB'=CD，∴B′E∥CD，∴四边形B′ECD是平行四边形；（2）证明：由折叠的性质可得：∠AEB=∠AEB′，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠DAE=∠AEB′，∵点E,B′,D三点在同一条直线上∴ △DAE是等腰三角形，∴ DA=DE；（3）解：如图，延长AB′交CD于点H，由折叠的性质可得：∠BAE=∠B′AE,AB=AB′，∵ ∠BAE=45°，∴ ∠BAB′=∠BAE+∠B′AE=90°，∴ △ABB′是等腰直角三角形，∴∠ABB′=45°，∵四边形ABCD是平行四边形，CD=4，∴AB∥CD，AB=AB′=CD=4，∴∠BAB′=∠AHD=90°，∠B′FH=∠ABB′=45°，∴△B′HF是等腰直角三角形，∴B′H=HF∵S▱ABCD=AB⋅AH=24，∴AH=6，∴B′H=AH−AB′=2，∴HF=2，∴B′F=B′H2+HF2=22．【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．28．【问题背景】如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，连接DE．【问题探究】(1)如图1，当点B′恰好落在AD边上时，求证：四边形ABEB′是平行四边形；(2)如图2，若∠B=60°，AB=6，BC=9，当点B′落在DE上时，求B′D的长．【答案】(1)见解析(2)36−3【知识点】折叠问题、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形、两直线平行内错角相等【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，（1）由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC，AB∥DC，∠B=∠ADC，由折叠得∠B=∠AB′E，可得∠AB′E=∠ADC，即可得B′E∥DC，则AB∥B′E，即可得；（2）作DH⊥BC交BC的延长线于点H，根据AD∥BC得∠DAE=∠AEB．根据点B′落在DE上得∠AED=∠AEB，则∠DAE=∠AED，即可得DE=AD，根据DC∥AB，∠B=60°，AB=6，BC=9得∠DCH=∠B=60°，DE=AD=BC=9，则∠CDH=30°，根据直角三角形的性质得CH=3，根据勾股定理得DH2=27，则EH=36，根据DE=BC，B′E=BE即可得；掌握平行四边形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∠B=∠ADC，由折叠得∠B=∠AB′E，∴∠AB′E=∠ADC，∴B′E∥DC，∴AB∥B′E，∴四边形ABEB′是平行四边形．（2）解：作DH⊥BC交BC的延长线于点H，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB．∵点B′落在DE上，∴∠AED=∠AEB，∴∠DAE=∠AED，则DE=AD．∵DC∥AB，∠B=60°，AB=6，BC=9，∴∠DCH=∠B=60°，DE=AD=BC=9，∴∠CDH=90°−∠DCH=30°，∴CH=12DC=3，∴DH2=DC2−CH2=62−32=27，∴EH=DE2−DH2=92−27=36．∵DE=BC，B′E=BE，∴B′D=DE−B′E=BC−BE=CE=EH−CH=36−3，∴B′D的长是36−3．29．综合探究综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动．问题初探：（1）如1图，点O是平行四边形纸片ABCD对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段EF折叠，使点C的对应点为C′，点B与点D重合，猜想AE和CF的数量关系，并说明理由；迁移探究（2）如2图，连接AC′，与BD交于点P，猜想AC′和EF的位置关系，并说明理由；拓展探索（3）如3图，若纸片沿过点O的线段EF折叠，点B不与D′重合，连接AC′，猜想AC′和EF的位置关系，并说明理由【答案】（1）AE=FC，见解析（2）AC′∥EF，见解析（3）AC′∥EF，见解析【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形的性质证明、折叠问题【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质：（1）由平行四边形的性质可得BO=DO，AD∥BC，AD=BC，推出∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO，证得△DEO≌△BFOAAS，由全等三角形的性质可得DE=BF，再根据线段的和差关系，即可得出结论；（2）由折叠的性质可得C′F=CF=AE，CD=C′B，∠C=∠BC′F，∠EOB=∠EOD=90°，结合平行四边形的性质，证得△ABE≌△C′BFSAS，可得∠ABE=∠C′BF，BE=BF，进而推出∠APB=∠EOB=90°，即可得出结论；（3）分别延长ED′和FB交于点I，连接AI，C′I，连接IO和AC′交于点J，由（1）（2）可得∠DEF=∠BFE，IO⊥EF，∠EIO=∠FIO，设∠D′EF=∠DEF=x，可得∠AEI=∠IFC′，证得△AEI≌△C′FISAS，推出IJ⊥AC′，即可得出结论．【详解】（1）解：AE=FC，理由：∵O是▱ABCD对角线的交点，∴ BO=DO，AD∥BC，AD=BC，∴ ∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO，在△DEO和△BFO中，∠EDO=∠FBO∠DEO=∠BFOBO=DO，∴ △DEO≌△BFOAAS，∴ DE=BF，∴ AD−DE=BC−BF，∴ AE=FC；（2）解：AC′∥EF，理由：∵纸片沿过点O的线段EF折叠，点B与点D重合，∴ C′F=CF=AE，CD=C′B，∠C=∠BC′F，∠EOB=∠EOD=90°，∵在▱ABCD中，AB=CD，∠C=∠BAE，∴ AB=C′B，∠BC′F=∠BAE在△ABE和△BC′F中，AE=C′F∠BC′F=∠BAEAB=C′B，∴ △ABE≌△C′BFSAS，∴ ∠ABE=∠C′BF，BE=BF，∴ ∠EBO=∠FBO，∴ ∠EBO+∠ABE=∠FBO+∠C′BF即∠ABO=∠C′BO，∴ AB=C′B，∴ AC′⊥BP，∴ ∠APB=∠EOB=90°，∴ AC′∥EF；（3）解：AC′∥EF，分别延长ED′和FB交于点I，连接AI，C′I，连接IO和AC′交于点J，由（2）得AE=C′F，∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴ ∠DEF=∠BFE，∵纸片沿过点O的线段EF折叠，∴ ∠D′EF=∠DEF，∴ ∠D′EF=∠BFE，∴ IE=IF，由（1）得△DEO≌△BFO，∴ EO=FO，∴ IO⊥EF，∠EIO=∠FIO，设∠D′EF=∠DEF=x，∴ ∠AEI=180−2x，∠EFC=∠EFC′=180−x，∴ ∠IFC′=2180−x−180=180−2x，∴ ∠AEI=∠IFC′，在△AEI和△C′FI中，AE=C′F∠AEI=∠IFC′IE=IF，∴ △AEI≌△C′FISAS，∴ AI=C′I，∠AIE=∠C′IF，∴ ∠AIO=∠C′IO，∴ IJ⊥AC′，∴ AC′∥EF．30．将▱ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．(1)求证：BE=GF；(2)若△AGF的面积等于8，ECBE=32，试求▱ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)40【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积，解题关键是应用折叠的性质找出△ABE≌△AGF所需的条件．（1）由平行四边形的性质可得AB=CD，∠D=∠B，∠BAD=∠BCD，由折叠可知AB=CD，∠D=∠B，∠BAD=∠BCD，进而得到∠B=∠G，∠BAE+∠EAF=∠GAF+∠EAF，AB=AG，于是∠BAE=∠GAF，以此即可通过ASA证明△ABE≌△AGF，由全等三角形的性质即可证明BE=GF；（2）由（1）可得S△ABE=S△AGF=8，由ECBE=32可得S△ACES△ABE=32，进而求出S△ACE=12，则S▱ABCD=2S△ABC=2S△ABE+S△ACE，代入计算即可得到答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∠D=∠B，∠BAD=∠BCD，由折叠可知∴∠B=∠G，∠BAE+∠EAF=∠GAF+∠EAF，AB=AG，∴∠BAE=∠GAF，在△ABE和△AGF中，∠B=∠GAB=AG∠BAE=∠GAF，∴△ABE≌△AGFASA，∴BE=GF；（2）如图，连接AC，由（1）知，△ABE≌△AGF，∴S△ABE=S△AGF=8，∵ECBE=32，∴S△ACES△ABE=32，即S△ACE8=32，∴S△ACE=12，∴S△ABC=S△ABE+SACE=8+12=20，∴S▱ABCD=2S△ABC=2×20=40．31．已知，如图，▱ABCD．(1)▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD,BC于点E，F．求证：AE=CF；(2)将▱ABCD（纸片）沿直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G,A1B1分别交CD,DE于点H，M．①求证：ME=FG；②连接MG，求证：MG∥EF．【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【知识点】折叠问题、利用平行四边形性质和判定证明、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题【分析】（1）由平行四边形性质，结合三角形全等的判定与性质即可得证；（2）①由（1）中结论ME=FG，结合折叠性质，利用三角形全等的判定与性质即可得证；②过点G作GK∥EM，交EF于点K，如图所示，由等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质即可得证．【详解】（1）证明：∵在▱ABCD中，AD∥BC，AO=OC，∴∠DAC=∠BCA，又∵∠AOE=∠COF，在△AOE和△COF中，∠DAC=∠BCAAO=OC∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COFASA，∴AE=CF；（2）解：①由（1）得AE=CF，由折叠得AE=A1E，∠A=∠A1，∠AEF=∠A1EF，∠BFE=∠B1FE，∵∠AEF=∠EFC，∴∠BFE=∠DEF，∴∠DEF=∠EFB1，∠A1EF=∠B1FE，∴∠A1ED=∠CFG，∴△A1EM≌△CFG，∴EM=FG；②过点G作GK∥EM，交EF于点K，如图所示：∴∠MEF=∠GKF，∵∠MEF=∠GFE，∴∠GFK=∠GKF，∴GK=GF，∵GF=ME，∴GK=ME，∴四边形EKGM是平行四边形，∴MG∥EF．【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、折叠性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形与三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．32．如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E，连接AC′.求证：  (1)EB=ED；(2)AC′∥BD.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题【详解】6.证明：（1）由折叠可知，∠CBD=∠EBD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED.（2）∵AD=BC=BC′，EB=ED，∴AD−DE=BC′−BE，即AE=C′E，∴∠EAC′=∠EC′A.∵∠AEC′=∠BED，∠AEC′+2∠AC′E=∠BED+2∠C′BD=180°，∴∠AC′E=∠C′BD，∴AC′∥BD.33．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．(1)如图1所示，当∠DPA'＝10°时，∠A'PB＝　 　度；(2)如图2所示，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；(3)当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，求△BA'F周长的最小值．【答案】(1)85(2)5+53(3)221+2【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形【分析】（1）根据平角的定义，翻折的性质求解即可；（2）作BH⊥AD于H．勾股定理解Rt△ABH，由四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，可得∠APA′＝90°，PH＝BH，根据PA＝AH+PH 即可求解；（3）作BH⊥AD于H，连接BP．勾股定理求得PB，当BA′的长度最小时，△BFA′的周长最小，由BA′≥PB﹣PA′，求得PB，然后即可求得△BFA′的周长的最小值．【详解】（1）如图1中，∵∠DPA′＝10°，∴∠APA′＝180°﹣∠DPA′＝180°﹣10°＝170°，由翻折的性质可知：∠A′PB＝∠APB＝12×170°＝85°．故答案为85．（2）如图2中，作BH⊥AD于H．在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，AB＝10，∠A＝60°，∴AH＝5，BH＝53，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵PA′⊥BC，∴PA′⊥AD，∴∠APA′＝90°，∴∠HPB＝∠BPA′＝45°，∴PH＝BH＝53，∴PA＝AH+PH＝5+53．（3）如图3中，作BH⊥AD于H，连接BP．∵PA＝8，AH＝5，∴PH＝8﹣5＝3，∵BH＝53，∴PB＝PH2+BH2＝32+(53)2＝221，由翻折可知：PA＝PA′＝8，FA＝FA′，∴△BFA′的周长＝FA′+BF+BA′＝AF+BF+BA′＝AB+BA′＝10+BA′，∴当BA′的长度最小时，△BFA′的周长最小，∵BA′≥PB﹣PA′，∴BA′≥221﹣8，∴BA′的最小值为221﹣8，∴△BFA′的周长的最小值为10+221﹣8＝221+2．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，平行四边形的性质，折叠的性质，轴对称求线段和最值问题，综合运用以上知识是解题的关键．34．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60∘，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．当点H与点C重合时．(1)填空：点E到CD的距离是______；(2)求证：ΔBCE≅ΔGCF；(3)△CEF的面积为______；【答案】(1)23(2)见解析(3)723【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】（1）要求点E到CD的距离，由平行四边形两对边平行可知只需求出AB、CD之间的距离即可，已知BC和∠B，从而想到过点C作AB的垂线，构造直角三角形求解；（2）要证△BCE≌△GCF，根据平行四边形的对边相等、对角相等及折叠的性质可得BC=CG，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，观察图形可知∠ECF是∠BCD与∠ECG的公共角，从而可得∠BCE=∠GCF，利用ASA即可证明；（3）要求CF，由(2)中全等三角形知需求CE，过点E作EP⊥BC，想到用勾股定理，需求EP和PC，在Rt△BEP中，设BP=m，已知∠B，表示出BE，BP，再结合折叠的性质及BC表示出PC，CE，解Rt△EPC，即可求出CE的长，根据三角形面积公式，求出结果即可．【详解】（1）解：过点C作CK⊥AB于点K，如图所示：∵∠B=60°，∴∠BCK=90°−60°=30°，∴BK=12BC=12×4=2，∴CK=BC2−BK2=42−22=23，∵点C到AB的距离和点E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，∵点C到AB的距离是23，∴点E到CD的距离是23．故答案为：23．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠D＝∠B，∠A＝∠BCD，由折叠可知，AD＝CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，∴BC＝GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，∴∠BCD−∠ECF=∠ECG−∠ECF∴∠BCE=∠GCF，∴ΔBCE≅ΔGCF（ASA）．（3）过点E作EP⊥BC于点P，如图所示：∵∠B=60°，∠EPB=90°，∴∠BEP=30°，∴BE=2BP，设BP=m，则BE=2m，∴EP=BE2−BP2=3m，由折叠的性质可知，AE=CE，∵AB=6，∴AE=CE=6−2m，∵BC=4，∴PC=4−m，在Rt△ECP中，由勾股定理得：(4−m)2+(3m)2=(6−2m)2，解得m=54，∴CE=6−2m=6−2×54=72，∵△BCE≌△GCF，∴CF=CE=72，∴SΔCEF=12×72×23=732．故答案为：732．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，根据题意作出辅助线，构造直角三角形，解直角三角形，是解题的关键．35．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是不是平行四边形？证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）是，理由见解析【知识点】证明四边形是平行四边形、全等的性质和SSS综合（SSS）【分析】（1）根据折叠得性质得CD=AD′，CE=AE，DF=D′F，∠CEF=∠AEF，再根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，AD=BC，则AB=AD′；由AD∥BC得到∠AFE=∠CEF，则∠AFE=∠AEF，所以AE=AF，AF=CE，DF=BE，得到BE=FD′，于是可利用“SSS”判断△ABE≌△AD′F；（2）证明AF=EC，再由AF∥EC即可得到结论．【详解】解：（1）∵平行四边形纸片ABCD折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF，∴CD=AD′，CE=AE，DF=D′F，∠CEF=∠AEF∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，∴AB=AD′，∵AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF，∴AF=CE，∴AD-AF=BC-CE，∴DF=BE，∴BE=FD′，在△ABE和△AD′F中，AB=AD′AE=AFBE=D′F，∴△ABE≌△AD′F（SSS）；（2）四边形AECF是平行四边形．证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠5=∠6．∴∠4=∠6．∴AF=AE．∵AE=EC，∴AF=EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定方法，做题时要求学生对常用的知识点牢固掌握．