专题01 变量、函数与图像【知识串讲+九大考点】-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）(原卷版+解析版）

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专题01 变量、函数与图像 模块一考点类型模块二知识点一遍过（一）变量与常量变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。【注意】①变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。②区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。（二）函数定义一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。【函数概念的解读】①有两个变量。②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。（三）自变量的取值范围（1）关系式为整式时，函数自变量的取值范围为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数自变量的取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义。（四）函数的表示（1）解析法： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。优：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。缺：求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示。函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：①将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。②两个函数图像交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。（2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。优：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。缺：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。（3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。优：形象的把自变量和函数值的关系表示出来。缺：图像中只能得到近似的数量关系。模块三考点一遍过考点1：函数的概念典例1：下列选项中，y不是x函数的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】函数的概念、函数图象识别【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键．【详解】解：A、自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值和它对应，∴y是x函数，该选项不合题意；B、自变量x每取一个值，y有两个值和它对应，∴y不是x函数，该选项符合题意；C、自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值和它对应，∴y是x函数，该选项不合题意；D、自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值和它对应，∴y是x函数，该选项不合题意；故选：B．【变式1】下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】函数的概念、函数图象识别【分析】此题考查的是函数的定义，掌握自变量确定时，函数值的唯一性是解题的关键．根据函数的定义：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，即可判断出哪个选项不能表示y是x的函数．【详解】A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故A不符合题意；B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故B不符合题意；C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故C不符合题意；D、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故D符合题意；故选：D．【变式2】下列y与x的关系中，y不是x的函数关系的是 ．（填序号）①y=−2x−1；    ②y=2x；    ③y2=x；    ④y=−x2；    ⑤y=2x；    ⑥y=2x+1．【答案】②③【知识点】函数的概念【解析】略【变式3】下列y与x的关系中，y不是x的函数关系的是 ．（填序号）①y=−2x−1；②y=2x；③y2=x；④y=−x2； ⑤y=2x；⑥y=2x+1．【答案】②③【知识点】函数的概念【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案．【详解】解：根据题意得①、④、⑤和⑥满足取一个x的值，有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数，而②和③对一个x的值，与之对应的可能有两个y的值，故②和③y不是x的函数，故答案为：②③．考点2：求自变量的取值范围典例2：函数y=2x−5+1x−3中，自变量x的取值范围是（    ）A．x≠52B．x>52且x≠3C．x≥52D．x≥52且x≠3【答案】D【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围【分析】本题考查函数自变量有意义的条件，根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数解题即可．【详解】解：由题可得：2x−5≥0，x−3≠0，解得：x≥52且x≠3，故选：D．【变式1】函数y=2−3xx+1中自变量x的取值范围是（    ）A．x≤23且x≠−1B．x3且x≠72【知识点】分式有意义的条件、零指数幂、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据a0=1a≠0，二次根式有意义以及分式有意义的条件，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：2x−7≠0x−2≥0x−3>0，解得：x>3且x≠72；故答案为：x>3且x≠72．考点3：用描点法画函数图像典例3：某温室在20℃∼25℃的温度范围内培育一种植物幼苗，该幼苗的生长速度受温度影响．为了提高幼苗的生长速度，研究人员尝试使用一种新型肥料．实验发现，肥料的用量也会显著影响幼苗的生长速度．以下是部分实验数据：设肥料用量为x克，20℃温度下的幼苗每天生长速度为y1厘米/天，25℃温度下的幼苗每天生长速度为y2厘米/天(1)在不使用肥料的情况下，该幼苗在20℃时的生长速度是______厘米/天；(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画y1与x1,y2与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出函数y2的图象；(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①在20℃下，使用约______克的肥料时，幼苗的生长速度最快（结果保留一位小数）；②若希望幼苗的生长速度在20℃和25℃下都不低于1.5厘米/天，肥料的用量最少为______克，最多约为______克．（结果保留一位小数）．【答案】(1)1(2)见详解(3)①5.0；②2.0，6.5【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象【分析】本题主要考查了函数的图象等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）由表格可直接得解；（2）描点连线即可；（3）①根据数据和函数图象观察即可得解；②根据表格数据和函数图象观察即可得解．【详解】（1）解：由表格可知幼苗在20°C时的生长速度是1.0厘米/天，故答案为：1；（2）解：函数图象如下图；（3）解：①由图象观察可知，当x=5时，y1最大，故答案为：5.0；②由表格和图象我们发现，当2≤x≤6时，y1和y2都不低于1.5厘米/天，此时最少用料为2.0克，最多为6.5克；故答案为：2.0，6.5．【变式1】探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数的性质．小丽结合已有的经验探究y=4|x−1|+1的图象及性质．(1)绘制函数图象；①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m__________，n__________；②描点：根据表中的数值描点x,y，并描出了一部分点，请补充描出点−2,n,1,m；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象；(2)探究函数性质；请写出函数y=4|x−1|+1的一条性质：________________________，(3)根据函数图象，写出不等式4|x−1|+1≥1解集是________．【答案】(1)①4，1；②描点见解析；③函数图象见解析(2)当x=1时，函数y=4|x−1|+1有最大值，最大值为4(3)−2≤x≤4【知识点】用描点法画函数图象、从函数的图象获取信息、求自变量的值或函数值【分析】本题考查了一次函数的性质，从函数图象获取信息，（1）①分别把x=−2，x=1分别代入y=4|x−1|+1，进行计算即可得；②按照点的坐标描点即可；③连线画出图象即可得；（2）根据函数图象即可得；（3）根据函数图像得当x=−2时，函数值为1，当x=4时，函数值为1，即可得；掌握一次函数的性是解题的关键．【详解】（1）解：①当x=−2时，n=4−2−1+1=43+1=1；当x=1时，m=41−1+1=4，故答案为：4，1；②描点如下图；③函数图像如下图：（2）解：根据函数图象得，当x=1时，函数y=4|x−1|+1有最大值，最大值为4，故答案为：当x=1时，函数y=4|x−1|+1有最大值，最大值为4；（3）解：根据函数图象得，当x=−2时，函数值为1，当x=4时，函数值为1，即不等式4|x−1|+1≥1解集是−2≤x≤4，故答案为：−2≤x≤4．【变式2】请根据函数相关知识，对函数y=2|x−3|−1的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线．(1)表格中：m=_________，n=_________．(2)在直角坐标系中画出该函数图像． (3)观察图象：①根据函数图象可得，该函数的最小值是_________；②观察函数y=2x−3−1的图像，写出该图像的两条性质．【答案】(1)3，5(2)作图见详解(3)①−1；②关于x=3对称，即对称轴为x=3；当x3时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）【知识点】用描点法画函数图象、判断一次函数的增减性【分析】（1）观察表格可知，当x=2，x=3，x=4时，函数值的变化规律，由此即可求解；（2）利用描点，连线的方法即可求解函数图像；（3）①从（2）中图像可求解；②根据图像，对称性，即可求解．【详解】（1）解：当x=2时，y=1；当x=3时，y=−1；当x=4时，y=1，∴函数关系y=2|x−3|−1的图像关于x=3对称，∴x=1的函数值与x=5的函数值相等，x=0的函数值与x=6的函数值相等，∴m=3,n=5，故答案为：3，5．（2）（2）根据表格数轴，运用描点，连线方法画函数图像，如图所示，∴图示即为所求函数y=2|x−3|−1的图像．（3）解：根据函数图像可得，函数的最小值是−1；故答案为：−1；②观察函数y=2x−3−1的图像，该图像的性质有：关于x=3对称，即对称轴为x=3；当x3时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）．【点睛】本题是函数以绝对值的综合运用，掌握绝对值的性质，观察列表中的数，并找出规律，用描点，连线的方法画函数图像是解题的关键．【变式3】学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数y=|x|−2的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题．(1)列表：y与x的部分对应值如表，则a= ，b= ；(2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数y=|x|−2的图象；(3)结合图象，写出一条函数y=|x|−2的性质： ；(4)根据函数图象填空：①方程|x|−2=2有 个解；②若关于x的方程|x|−2=m无解，则m的取值范围是 ．【答案】(1)a=1，b=0(2)见解析(3)函数y=|x|−2的图象关于y轴对称．（答案不唯一）(4)①2；②m