微专题01 四边形的折叠问题通关专练-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）(原卷版+解析版）

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微专题01 四边形的折叠问题通关专练 一、单选题1．如图，在矩形ABCD中，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，延长EF交AD边于点M，若AB=3，BE=1，则MF的长为（    ）A．4B．26−1C．3D．102．将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB，重叠部分为ΔABC（图中阴影部分），若∠ACB=45°，则重叠部分的面积为（　　）A．22cm2B．23cm2C．4cm2D．42cm23．如图，将矩形ABCD直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，已知CE=3,AB=8，则图中阴影部分的面积为（    ）  A．6B．24C．30D．364．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　）A．165 B．185 C．245 D．365 5．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=6，AE=2，将△ABE沿BE翻折，使点A落在点A′处，作射线EA′，交BC的延长线于点F，则CF的长为（    ）  A．2B．114C．32D．546．如图所示，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC的度数为（    ）A．115°B．120°C．125°D．130°7．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D1，C1的位置，ED1的延长线交BC于点G．若∠C1FG=52°，则∠GEF的度数为（    ）  A．64°B．60°C．58°D．52°8．如图，正方形纸片ABCD的边长为5，点E和点F分别在边BC与CD上，将AB、AD分别沿AE，AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE=1，则EF的长为（    ）A．53B．103C．133D．5二、填空题9．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP处，PE与CD相交于O，且OE=OD，则AP的长为 ．10．如图，在矩形ABCD，点E在CD边上，连接BE，将△BCE沿直线BE折叠，使点C刚好落在AD边上的点F处．若CE=3，DE=2，则AD长为 ．  11．如图，长方形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，1）点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD对折后，点A落到点P处，并满足△PCB是等腰三角形，则P点坐标为 .12．如图，矩形ABCD中，AB＝15cm，点E在AD上，AE＝9cm，连接EC，将矩形ABCD沿BE翻折，点A恰好落在EC上的点A′处，则BC＝ cm．13．如图所示，在矩形ABCD中，AD=6，AB=12，N是边AB上的一个动点，将△AND沿DN折叠得△DMN.分别连接BM、CM，若△BMC为等腰三角形，则AN的长为 ．14．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边BC的中点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折到△AB′E，延长AB′与直线CD交于点M，则CM的长为 ．  15．如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则DF的长为 ．  16．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，将△DCE沿DE折叠后得到△DFE，点F在矩形内部，延长DF交AB于点G，如果BG=2，AD=6，那么DG的长为 ．三、解答题17．定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形．  (1)如图1，在平行四边形ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC=BD．请用题中矩形定义证明：平行四边形ABCD是矩形；(2)如图2，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；(3)如图3，将（2）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（2）中的结论是否仍然成立，请说明理由．18．如图，在正方形ABCD中，E为边AB上一点，沿DE将ΔDEA折叠得到ΔDEF，延长EF交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH.（1）求证：GF=GC；（2）探求BH与AE数量关系，并说明理由.19．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．  (1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)若GF=2，AG=3，求EG的长．20．问题提出：（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是CD边上的一点，连接BE，将△BCE沿BE所在直线翻折，点C的对应点落在AD边上的点F处，求EF的长．问题解决：（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD为斜边AC上的中线，将△ABD沿BD所在直线翻折，点A的对应点为A′，连接A′C，若AC=8，则△BCA′的面积是否存在最大值，如果存在，求出面积的最大值，并求出此时，∠BDC的度数，如果不存在，请说明理由．  21．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P是BC边上一动点（不与点B、C重合），将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，直线PB′交直线AD于点E．(1)如图1，当点P是BC的中点时，求AE的值；(2)如图1，连接B′C，求△PCB′周长的最小值；(3)如图2，延长DC，交AP的延长线于点F，连接BF，若点M，N分别为CD，BF的中点，连接MN交AF于点O，求证；OM=OF．22．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为________°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的延长线交BC于点G，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CG的长．23．有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交线段BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP24．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．(1)求证：△BCE≅△CDG．(2)如图2，在（1）的条件下，延长BF交AD于点H．若HDHF=45，CE=9，求线段DE的长．25．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．26．教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰△ABC中，S△ABC=S△APB+S△APC．即12AB·DC=12AB·MP+12AC·PN，∵AB=AC，∴DC=MP+PN,MP+PN是个固定值．(1)如图1，在矩形ABCD中，AC与DB交于O，AB=3,AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF的值为_________．知识应用：(2)如图2，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C1处．点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若DM=13,CN=5,▱PEQF的周长是否为定值？若是，请求出▱PEQF的周长；若不是，请说明理由．(3)如图3，当点P是等边．△ABC外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC的垂线、垂足分别为点E、D、F．若PE+PF−PD=3，请直接写出△ABC的面积_________．27．如图1，在Rt△EAF中，∠A=90°，∠AEF，∠AFE的外角平分线交于点C，过点C分别作直线AB，AD的垂线，B，D为垂足．(1)【问题发现】∠ECF=______°（直接写出结果，不写解答过程）．(2)【问题探究】①求证：四边形ABCD是正方形．②若AF=DF=4，求BE的长．(3)【问题拓展】如图2，在△PQR中，∠QPR=45°，高PH=4，HR=1，则HQ的长度是______（直接写出结果，不写解答过程）．28．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，(1)求证：AE=AF．(2)求AE的长．(3)折痕EF的长．29．把一张长方形的纸片ABCD沿对角线AC折叠，折叠后，边AB的对应边AE交DC于F，(1)求证：AF=CF；(2)若AD=1，CD=2，求点F到AC的距离；30．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ACO=30°，(1)求B点的坐标；(2)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求四边形ADCE的周长；(3)若点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．31．对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作先沿AE折叠，如图①，使点B落AD边上的点B′处，再沿AF折叠、如图②这时发现点E恰好与点D重合．（1）根据以上操作，发现：①AD:CD=__________；②△DFC′是__________三角形；（2）将该矩形纸片展开，如图③，沿DE折叠该矩形纸片，点C恰好落在AE上的点G处，求∠AGB的度数；32．如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，AC与EF交于点H.(1)求证：△ABE≌△AGF；(2)若AB=6，BC=8，求△ABE的面积．33．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．(1)试判断图中△AEC的形状，并说明理由；(2)若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．34．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接CE，将△CBE沿CE对折，得到△CGE，延长EG交CD的延长线于点H．(1)求证：△HCE是等腰三角形．(2)若AB=4，求HD的长度．35．如图1，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，OA=4，OC=8，把矩形 OABC 沿着对角线OB所在直线翻折，点C落在点D处，OD交AB于点E．(1)求点E的坐标；(2)如图2，过点D作DG∥BC，交OB于点G，交AB于点H，连接CG，试判断四边形BCGD的形状，并说明理由；(3)在（2）的条件下，点M是坐标轴上的一点，直线OB上是否存在一点N，使以点O，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，在长方形纸片ABCD中，BC=3，CD=3；将该纸片沿EF折叠，使点B恰好落在点D处，点A落在点A′处，求折痕EF的长是多少？    37．综合与实践问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以平行四边形纸片的折叠为主题开展数学活动．已知平行四边形纸片ABCD，AD>AB．如图1，将平行四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D的对应点F落在边BC上，展开后，折痕AE交CD于点E，在此基础上，继续沿过点F的直线折叠，使点B的对应点H落在AF上，展开后折痕FG交AB于点G，延长GH交AE于点K．初步探究：（1）求证：四边形EFGK是平行四边形．深入探究：（2）如图2，当平行四边形纸片ABCD是矩形，且AD=10，AB=6时，直接写出此时GK的长．38．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A′处，得到折痕DE，然后把纸片展平；第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C′处，点B落在点B′处，得到折痕EF，B′C′交AB于点M，C′F交DE于点N，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA′D的形状是__________；（2）如图2，线段MC′与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若AC′=2cm，DC′=4cm，求线段DF的长．39．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接DE，△DEC沿DE折叠，点C恰好落在AE上的F点．   (1)求证：AE=AD；(2)若AB=4，EF=1，求BC的长．