专题02 矩形的性质与判定【知识串讲+九大考点】-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）(原卷版+解析版）

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专题02 矩形的性质与判定 模块一考点类型模块二知识点一遍过（一）矩形的性质（二）矩形的判定（三）斜边中线的性质在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半如图：OB=12AB模块三考点一遍过考点1：矩形的性质——求角度典例1：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO=BE，那么∠BOE的度数为（   ）A．55°B．65°C．75°D．67.5°【答案】C【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、利用矩形的性质求角度【分析】根据矩形性质得出：∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD，AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，根据等腰三角形的判定得出AB=BE，证明△ABO为等边三角形，得出∠ABO=60°，根据等腰三角形的性质得出∠BOE=∠BEO=180°−30°2=75°即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD，AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，∴AO=BO=CO=DO，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴∠BAE=∠BEA=45°，∴AB=BE，∵BO=BE，∴AB=BO，∴AB=AO=BO，∴△ABO为等边三角形，∴∠ABO=60°，∴∠OBE=90°−60°=30°，∵BO=BE，∴∠BOE=∠BEO=180°−30°2=75°，故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．【变式1】如图，已知在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠BAE:∠EAD=3:2，则∠CAE的度数是（   ）A．36°B．54°C．18°D．以上都不对【答案】C【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用矩形的性质求角度【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，由四边形ABCD是矩形，则∠BAD=90°，AC=BD，OA=OC，OD=OB，根据∠BAE:∠EAD=3:2，得∠BAE=54°，∠EAD=36°，又AE⊥BD，则∠BEA=∠DEA=90°，然后由三角形内角和定理得∠ABE=∠OAB=36°，最后由角度和差即可求解，熟练掌握矩形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AC=BD，OA=OC，OD=OB，∴OA=OB，∴∠ABE=∠OAB，∵∠BAE:∠EAD=3:2，∴∠BAE=54°，∠EAD=36°，∵AE⊥BD，∴∠BEA=∠DEA=90°，∴∠ABE=90°−∠EAB=∠OAB=36°，∴∠CAE=∠BAE−∠OAB=54°−36°=18°，故选：C．【变式2】如图，四边形ABCD是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，CE，若∠ACB=28°，则∠BAF= ．【答案】34°/34度【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角、利用矩形的性质求角度【分析】本题主要考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、等角对等边等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，可得AF=CF，则∠CAF=∠ACF=28°．结合矩形的性质可得∠BAD=90°，∠DAC=∠ACB=28°，再根据∠BAF=∠BAD−∠CAF−∠DAC即可解答．【详解】解：由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，∴AF=CF，∴∠CAF=∠ACF=28°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=28°，∴∠BAF=∠BAD−∠CAF−∠DAC=34°．故答案为：34°．【变式3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E．  ①若∠EAD=3∠BAE，则∠EAO的度数为 ．②若AO=5，3BE=ED，则AE的长度为 ．【答案】 45° 532【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质求角度、根据矩形的性质求线段长【分析】本题主要考查矩形的性质，由已知条件可先求得∠BAE，在Rt△ABE中可求得∠ABE，再由矩形的性质可知OA=OB，则可求得∠BAO，则可求得∠EAO；由矩形的性质可求出BD=AC=2AO=10，根据3BE=DE求得OE=BE=2.5，由勾股定理可得AE．【详解】解：①∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=90°，OA=OB，∵∠EAD=3∠BAE，∠BAO=∠ABE∴4∠BAE=90°，∴∠BAE=22.5°，∵AE⊥BD，∴∠ABE=90°−∠BAE=67.5°，∴∠BAO=67.5°，∴∠EAO=∠BAO−∠BAE=67.5°−22.5°=45°，②∵四边形ABCD为矩形，AO=5，∴BD=AC=2AO=10，∵3BE=DE，∴BE+3BE=10,BO=12BD=5，∴BE=2.5∴OE=BO−BE=2.5,在Rt△AOE中，AE2+OE2=AO2，∴AE=AO2−OE2=52−2.52=532，故答案为：45°；532考点2：矩形的性质——求线段 典例2：如图，矩形ABCD的顶点分别在直线l1,l3,l4,l2上，直线l1∥l2∥l3∥l4且相邻两直线间距离相等．若AB=12，直线l1与AB的夹角∠1=30°，则BD的长为（   ）A．43B．65C．83D．239【答案】D【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长【分析】本题考查了勾股定理，含30°角直角三角形，矩形的性质，正确作出辅助线构造含30°角直角三角形是解题的关键．作BE⊥l1于点E，DF⊥l1于点F，设相邻两直线间的距离为a，得出BE=2a=6，DF=a=3,进而得出AD2=12,AD=23，再根据勾股定理计算即可．【详解】解：作BE⊥l1于点E，DF⊥l1于点F，设相邻两直线的距离为a，由题意得BE=2a,DF=a，在Rt△ABE中，∠1=30°，AB=12，∴BE=12AB=2a=6，∴DF=a=3，在矩形ABCD中，∠BAD=90°，∵∠1+∠BAD+∠DAF=180°，∴∠DAF=60°，∴∠ADF=30°，∴2AF=AD，∵AD2=AF2+DF2，∴AD2=12，∴BD=AB2+AD2=144+12=239，故选： D．【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，延长CD到点E，连接BE交AD于点G，点F为BE的中点，连接CF，以点C为圆心，CF长为半径的圆弧经过点G，连接CG，若BE=10，则DG的长为（    ）A．4B．5C．6D．3【答案】D【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质求线段长【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质得出∠BCE=90°，CD=AB=4，由点F为BE的中点可知CF=12BE=5，在Rt△CDG中利用勾股定理得出DG的长即可解答．【详解】解：∵矩形ABCD，∴∠BCE=90°，CD=AB=4，∵点F为BE的中点，∴CF=12BE=5，∵以点C为圆心，CF长为半径的圆弧经过点G，∴CG=CF=5，在Rt△CDG中，CD2+DG2=CG2，∴DG=CG2−CD2=52−42=3．故选：D．【变式2】如图，矩形ABCD对角线AC,BD相交于点O，E为OB上一点，连接CE，F为CE的中点，∠EOF=90°．若OE=3,OF=2，则BE的长为 ．【答案】2【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长【分析】本题考查了中位线，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质等知识．解题的关键在于添加辅助线，构造中位线．如图，连接AE，OF是△ACE的中位线，则OF=12AE，OF∥AE，AE=4，∠AEO=90°，在Rt△AEO中，由勾股定理求AO的值，由矩形的性质可得OB=OA，根据BE=OB−OE，求解BE的值即可．【详解】解：如图，连接AE，∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OC，OB=OA=12AC=12BD∵F为CE的中点，∴OF是△ACE的中位线，∴ OF=12AE，OF∥AE，∴∠AEO=∠EOF，∵∠EOF=90°，OF=2，∴AE=4，∠AEO=90°，在Rt△AEO中，由勾股定理得AO=AE2+OE2=5，∴OB=OA=5，∴BE=OB−OE=2，故答案为：2．【变式3】如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则BC的长为 cm．【答案】43【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理；根据矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB=OA=12AC，根据勾股定理进而可得出答案．【详解】解：∵矩形ABCD，∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，AC=BD，∠ABC=90°，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=12AC，∵AC=8cm，∴AB=4cm，∴BC=AC2−AB2=82−42=43(cm)，故答案为：43．考点3：矩形的性质——求面积典例3：如图，矩形ABCD中，点E是BC边上任意一点，以AE为一边的矩形AEFG的边FG经过点D，记△ABE的面积为S1，△CEH的面积为S2，△DFH的面积为S3，△ADG的面积为S4，则下列关系式中一定成立的是（    ）A．S1=S4B．S2=S3C．S1+S2=S4+S3D．S1−S2=S4−S3【答案】C【知识点】根据矩形的性质求面积【分析】本题考查了矩形和三角形的面积问题，熟练掌握矩形的性质，学会利用几何图形的等面积法转换图形面积是解题的关键．连接DE，由矩形和三角形面积的关系可得：S△AED=12S矩形ABCD，S△AED=12S矩形AEFG，从而得到S矩形ABCD=S矩形AEFG，再把矩形面积切割成3个小图形的面积，利用等式的性质即可得出结论．【详解】解：如图，连接DE，∵E是BC边上一点，∴S△AED=12S矩形ABCD，∵D是FG边上一点，∴S△AED=12S矩形AEFG，∴S矩形ABCD=S矩形AEFG，∴S△ABE+S△CEH+S四边形AEHD=S△ADG+S△DFH+S四边形AEHD，∴S△ABE+S△CEH=S△ADG+S△DFH，即S1+S2=S4+S3．故选：C．【变式1】如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD．若AE=2，PF=8，则图中阴影部分的面积为（  ）A．10B．12C．16D．18【答案】C【知识点】根据矩形的性质求面积【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明S△PEB=S△PFD，即可求解．【详解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，∴S△DFP=S△PBE=12×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故选：C．【变式2】如图，矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点F在CD上，且DF=5，E是BC边上的一动点，M，N分别是AE、EF的中点，则在点E从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形面积是 ．【答案】15【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求面积【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，三角形的中位线定理等知识，分点E与点B重合，点E与点C重合，分别找到MN的位置，结合图象即可判断MN扫过区域的形状，进而求出面积．解题的关键是熟练运用相关性质和定理．【详解】解：如图所示：当点E与B点重合时，点M位于AB中点，点N位于EF中点，当点E′与C点重合时，点M′位于AC中点，点N′位于E′F中点：∵M是AB的中点，M′是AC的中点，N是EF的中点，点N′是E′F中点，∴MM′、NN′分别是△ABC、△FBC的中位线，∴MM′∥BC且MM′=12BC，NN′∥BC且NN′=12BC，∴四边形MM′N′N为平行四边形，∴MN扫过的区域为平行四边形，∵AB=9，BC=12，DF=5，则CD=9，∴CF=CD−DF=9−5=4，S=NN′⋅BM−CN′=12BC⋅12AB−12CF=12×12×12×9−12×4=15，故答案为：15．【变式3】如图，长方形ABCD中，点E、F分别为AD、BC边上的任意点，△ABG、△DCH的面积分别为15和25，那么四边形EGFH的面积为 ．【答案】40【知识点】根据矩形的性质求面积【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是能正确作出辅助线，连接EF，可得S△ABE=S△AEF，再根据面积的和差可得S△ABG=S△GEF，同理可得S△DCH=S△HEF，即可解答【详解】解：连接EF，∵S△AEF=12⋅AE⋅AB，S△ABE=12⋅AE⋅AB    ∴S△ABE=S△AEF，又∵S△ABG=S△ABE−S△AGE，S△GEF=S△AEF−S△AGE，∴S△ABG=S△GEF同理∵S△DEF=12⋅DE⋅CD，S△CDE=12⋅DE⋅CD    ∴S△DEF=S△CDF，又∵S△DCH=S△CDE−S△DHE，S△HEF=S△DEF−S△DHE，∴S△DCH=S△HEF∴S▱EGFH=S△GEF+S△HEF=S△ABG+S△DCH=15+25=40，故答案为：40考点4：矩形的性质——证明题典例4：如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线交AD于点E，F是AB延长线上一点，满足BF=AE，连接EF，CF．求证：EF=CF．【答案】见解析【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、利用矩形的性质证明【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，由矩形的性质得∠A=∠ABC =∠BCD=∠D=90°，BC=AD，AB=CD，由SAS可判定△EAF≌△FBC，再由全等三角形的性质，即可得证；掌握矩形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，BC=AD，AB=CD，∴∠FBC=90°，∵∠BCD的角平分线交AD于点E，∴∠DCE=∠BCE=12∠BCD＝45°，∴∠DEC=180°−∠D−∠DCE=45°，∴∠DEC=∠DCE，∴ED=CD，∴AB=ED，∵BF=AE，∴AF=AB+BF=ED+AE=AD=BC，在△EAF和△FBC中，AF=BC∠A=∠FBCAE=BF，∴△EAF≌△FBC（SAS），∴EF=CF．【变式1】已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE=AD，DF⊥AE于点F．(1)求证：CE=FE；(2)若FD=5，CE=1，求矩形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)矩形ABCD的面积为65【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明【分析】本题考查了矩形的性质，结合了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．（1）证△ABE≌△DFA即可，推出BE=AF，即可证明；（2）连接DE，由（1）FE=CE=1，设AD=x，在Rt△AFD中，列式求解求出x，即可解决．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，AD∥BC，AD=BC，AB=DC，∵DF⊥AE，∴∠DFA=90° ，∴ ∠DFA=∠B，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠AEB，∵AE=AD，∴△ABE≌△DFA，∴BE=AF，∵AE=AD，AD=BC，∴AE=BC，∴AE−AF=BC−BE，即EF=CE；（2）连接DE， 由（1）知FE=CE=1，设AD=x，则AF=AE−EF=AD−1=x−1，在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF2+DF2=AD2，即x−12+52=x2，解得x=13，即AD=13，∵△ABE≌△DFA，∴AB=DF=5∴S矩形ABCD=AB⋅AD=65．【变式2】如图，四边形ABCD为矩形，AB=3,BC=4，将对角线AC绕点A逆时针旋转90°得AF，作FE⊥AD交AD于点E．(1)证明：△ABC≌△AEF；(2)连接DF，求DF的长．【答案】(1)见解析(2)17【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、根据旋转的性质求解【分析】（1）先证明∠BAC=∠EAF，然后根据AAS可证△ABC≌△AEF；（2）由全等三角形的性质得AB=AE=3,BC=EF=4，求出DE=1，然后用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠BAD=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∵AC绕点A逆时针旋转90°得AF，∴AC=AF,∠CAF=90°，∴∠EAF+∠CAD=90°，∴∠BAC=∠EAF，∵FE⊥AD，∴∠AEF=90°，∴∠B=∠AEF，在△ABC和△AEF中，∠BAC=∠EAF∠B=∠AEFAC=AF，∴△ABC≌△AEFAAS．（2）解：∵四边形ABCD为矩形，如图，∴AD=BC=4，∵△ABC≌△AEF，∴AB=AE=3,BC=EF=4，∴DE=AD−AE=4−3=1，∵FE⊥AD，∴∠DEF=90°，在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF=EF2+DE2=42+12=17．【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．【变式3】在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．(1)求证：EF=EC；(2)若AD=2AB，求∠FDC．【答案】(1)见解析(2)30°【知识点】利用矩形的性质证明、斜边的中线等于斜边的一半、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角的互余关系；（1）由矩形的性质得出∠B=∠ADC=90°，AD=BC，AD∥BC，得出∠AEB=∠DAF，由AAS证明△ABE≌△DFA，得出BE=AF，即可得出结论；（2）先证出∠DAF=30°，再由角的互余关系即可求出∠FDC的度数．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠ADC=90°，AD=BC，AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，∵DF⊥AE，∴∠AFD=∠B=90°，在△ABE和△DFA中，∠AEB=∠DAF ∠B=∠AFD AE=AD ，∴△ABE≌△DFAAAS，∴BE=AF，∵AE=AD，∴AE=BC，∴AE−AF=BC−BE，即EF=EC；（2）解：∵AD=2AB，AE=AD，∴AE=2AB，如图，取AE中点G，连BG，则AG=BG=12AE，∴AG=BG=AB=12AE，∴△ABG是等边三角形，∴∠BAE=60°，∴∠DAF=30°，∴∠ADF=60°，∴∠FDC=90°−60°=30°．考点5：矩形的性质——坐标问题典例5：在平面直角坐标系中，长方形ABCD如图所示，A(−6,2),B(2,2),C(2,−3)，则点D的坐标为（    ）A．(−6,3)B．(3,−6)C．(−6,−3)D．(−3,−6)【答案】C【知识点】坐标与图形、 求矩形在坐标系中的坐标【分析】根据长方形的性质求出点D的横、纵坐标即可获得答案．【详解】解：∵四边形ABCD为长方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵A(−6,2),B(2,2),C(2,−3)，∴点D的横坐标与点A相同，为−6，点D的纵坐标与点C相同，为−3，∴点D的坐标为(−6,−3)．故选：C．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题关键是利用矩形“对边平行且相等”的性质解决问题．【变式1】如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（1，2）．固定边OA，向左“推”矩形OABC，使点B落在y轴的点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为（　　）  A．（﹣1，3）B．（3，﹣1）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）【答案】A【知识点】坐标与图形、 求矩形在坐标系中的坐标【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出OB′的长，得到点C′的坐标．【详解】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（1，2），∴OA＝1，AB＝2，由题意得：AB'＝AB＝2，四边形OAB'C'是平行四边形，∴OB′=AB′2−OA2=22−12=3，B′C′=OA=1，∴点C的对应点C′的坐标为−1,3．故选：A．【点睛】本题考查点坐标的求解和矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质求出线段长从而得到点坐标．【变式2】如图，四边形ABCO是矩形，其中点A和点C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为12 ，   5，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则D点的坐标为 ．  【答案】0,125【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、 求矩形在坐标系中的坐标【分析】利用勾股定理求出AC=13，作DE⊥AC于点E，如图，根据角平分线的性质可得DE=DO，证明Rt△ADO≌Rt△ADEHL，推出AE=AO=12，得到CE=1，设OD=DE=m，利用勾股定理构建方程求解即可．【详解】解：∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为12 ，   5，∴OA=12,OC=5,∠AOC=90°，∴AC=52+122=13，作DE⊥AC于点E，如图，∵DA是∠CAO的平分线，∴DE=DO，∵AD=AD，∴Rt△ADO≌Rt△ADEHL，∴AE=AO=12，∴CE=13−12=1，设OD=DE=m，则CD=5−m，在直角三角形CDE中，根据勾股定理可得：CE2+DE2=CD2，即1+m2=5−m2，解得m=125，∴D点的坐标为0,125；故答案为：0,125．  【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程是解题的关键．【变式3】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是 ．【答案】（92，332）【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标【分析】由矩形的性质得出∠AOC＝90°，由平行线的性质得出，∠OAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OA，再求出OD、AD，即可得出结果．【详解】解：如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC＝90°，∵AC∥x轴，∴∠OAC＝30°，∠ODA＝90°，∵AC＝6，∴OC＝12AC＝3，∴OA＝3OC＝33，∴OD＝12OA＝332，∴AD＝3OD＝92，∴点A的坐标是（92，332）；故答案为：（92，332）．【点睛】考核知识点：矩形性质．理解矩形性质和直角三角形性质是关键．考点6：矩形的性质——折叠问题典例6：如图，把长方形ABCD沿AC折叠，AD落在AD′处，AD′交BC于点E，连接DD′交AC于点H.已知AB=2，BC=6．(1)求证：AE=EC；(2)求S△AEC；(3)求DD′的长．【答案】(1)证明见解析(2)103(3)6105【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题【分析】（1）根据轴对称的性质和矩形的性质就可以得出∠EAC=∠ECA，就可以得出AE=CE，（2）设EC=x，就有AE=x，BE=6−x，在Rt△ABE中，由勾股定理就可以求出EC，根据三角形的面积公式就可以求出结论；（3）由翻折可得AC垂直平分DD′，DD′=2DH，根据三角形的面积公式求出DH，进而可以解决问题．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=90°，AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∵△ADC与△AD′C关于AC成轴对称，∴△ADC≌△AD′C，∴∠DAC=∠D′AC，∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC；（2）解：∵AB=2，BC=6，∴CD=2，AD=6，设EC=x，则AE=x，∴BE=6−x，在Rt△ABE中，由勾股定理，得：4+6−x2=x2，解得：x=103，∴EC=103，∵S△AEC=12×EC⋅AB，S△AEC=12×103×2=103；（3）解：由翻折可知：AC垂直平分DD′，∴DD′=2DH，∵CD=2，AD=6，∴AC=AD2+CD2=62+22=210，∵S△ADC=12×AD⋅CD=12×AC⋅DH，∴2×6=210DH，∴DH=3105，∴DD′=2DH=6105．【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，平行线的性质的运用，解答时运用勾股定理求出EC的值是关键．【变式1】在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=4．(1)如图①，将矩形纸片折叠，点B落在对角线AC上的点E处，则CE的长为 (2)如图②，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F、且MG=GF，①证明：△AMG≌△EFG．②求BM的长(3)如图③，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点B落在AD边上的点E处，折痕所在直线同时经过AB、BC（包括端点），请直接写出DE的最大值和最小值．【答案】(1)2(2)①见解析②BM=125(3)DE的最大值为7，最小值为1【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得出AC=5，由折叠得AE=AB=3，从而可求出CE；（2）由ASA证明△AMG≌△EFG，得出GM=GF，AF=ME=BM=x，EF=AM=3−x，因此DF=4−x，CF=x+1，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程x+12=4−x2+32，解方程即可；（3）当折痕所在直线经过点A时，此时DE最小=AD−AB=4−3=1；当折痕所在直线经过点C时，DE最大，CE=CB=4，由勾股定理得DE=7．【详解】（1）解：∵矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=4，∴AC=AB2+BC2=32+42=5，由折叠得，点B落在对角线AC上的点E处，∴AE=AB=3，∴CE=AC−AE=5−3=2，故答案为：2；（2）解：①证明：由折叠得∠E=∠B=90°=∠A，在△GAM和△GEF中，∠A=∠E∠AGM=∠EGFGM=GF，∴△GAM≌△GEFASA，②设BM=x，由折叠的性质得：BM=EM=x，CE=BC=4，∵△GAM≌△GEF,∴AG=EG，∴AG+GF=EG+MG，即AF=EM，∴AF=ME=BM=x，EF=AM=3−x，∴DF=AD−AF=4−x，CF=CE−EF=4−3−x=x+1，在Rt△DFC中，由勾股定理得：CF2=DF2+CD2，∴x+12=4−x2+32，解得：x=125，∴BM=125；（3）解：当折痕所在直线经过点A时，如图所示：此时DE最小=AD−AE=AD−AB=4−3=1；当折痕所在直线经过点C时，如图所示：此时DE最大，CE=CB=4，由勾股定理得：DE=CE2−CD2=42−32=7，∴DE的最大值为7，最小值为1．【变式2】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点G．E，F分别是C′D和BD上的点，EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D恰好与点A重合．(1)求证：△ABG≌△C′DG；(2)求AGAB的值；【答案】(1)见解析(2)724【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题【分析】本题考查的是折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，灵活运用性质和定理是解题的关键．（1）根据折叠的性质和三角形全等的判定定理证明△ABG≌△C′DG；（2）设AG为x，根据勾股定理求出x的值，再求出AGAB的值；【详解】（1）证明：∵矩形纸片ABCD，∴∠C=∠BAD=90°，AB=CD，由折叠性质可知，CD=C′D，∠C=∠C′=90°，∴∠BAD=∠C′，AB=C′D，在△ABG和△C′GD中，∠BAD=∠C'∠AGB=∠C'GDAB=C'D，△ABG≌△C'DGAAS；（2）解：设AG为x，∵△ABG≌△C′DG，AD=8，∴BG=DG=AD−AG=8−x，在Rt△ABG中，BG2=AG2+AB2，即8−x2=x2+36，解得，x=74，∴AGAB=724．【变式3】如图，长方形纸片ABCD，AB=8cm，AD=16cm．把长方形纸片沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．(1)求AE的长度；(2)求重合部分的面积．【答案】(1)AE=6cm(2)40cm2【知识点】两直线平行内错角相等、等边对等角、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题【分析】（1）设AE为x，则DE=BE=16−x，在Rt△ABE中，BE2=AE2+AB2，则即：16−x2=x2+82，可得出答案；（2）由平行线的性质可得∠2=∠1，由折叠可知：∠2=∠BEF，从而得出∠BEF=∠1，得出BF=BE=10cm，再根据S△BEF=S梯形ABFE−S△ABE可得出答案．【详解】（1）解：由折叠可知DE=BE，设AE为x，则DE=BE=16−x，在Rt△ABE中，BE2=AE2+AB2，即：16−x2=x2+82，解得：x=6，∴AE=6cm；（2）解：由（1）可知：BE=DE=16−6=10cm，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠2=∠1，由折叠可知：∠2=∠BEF，∴∠BEF=∠1，∴BF=BE=10cm，∴ S△BEF=S梯形ABFE−S△ABE =12×6+10×8−12×6×8=40cm2．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，，等腰三角形的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．考点7：矩形的判定——证明题典例7：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接OE，若AD=10，EC=4，求OE的长度．【答案】(1)见解析(2)25【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是矩形、利用菱形的性质求线段长【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）由菱形的性质得AD=AB=BC=10，由勾股定理求出AE=8，AC=45，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD=BC，∵BE=CF，∴BC=EF，∴AD=EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°，∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD=10，∴AD=AB=BC=10，∵EC=4，∴BE=10−4=6，在Rt△ABE中，AE=AB2−BE2=102−62=8，在Rt△AEC中，AC=AE2+EC2=82+42=45，∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，∴OE=12AC=25．【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．【变式1】已知：如图，点C是直线AB上一点，CE平分∠ACD，CF平分∠BCD，EF∥AB交CD于点O．(1)求证：OE=OF；(2)若点O为CD的中点，判断四边形DECF的形状并说明理由．【答案】(1)见解析(2)矩形，见解析【知识点】角平分线的有关计算、根据等角对等边证明边相等、证明四边形是矩形【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质可得∠DCE=∠FEC，∠EFC=∠DCF，再由等角对等边得出OE=OC，OF=OC，即可得证；（2）先证明四边形DECF是平行四边形．再由角平分线的定义结合三角形内角和定理得出∠ECF=90°，即可得解．【详解】（1）证明：∵CE平分∠ACD，CF平分∠BCD，∴∠ACE=∠DCE，∠DCF=∠BCF．∵EF∥BC，∴∠ACE=∠FEC，∠EFC=∠BCF∴∠DCE=∠FEC，∠EFC=∠DCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；（2）解：四边形DECF是矩形，理由如下：∵点O为CD的中点，∴OD=OC．又∵OE=OF，∴四边形DECF是平行四边形．∵CE平分∠ACD，CF平分∠BCD，∴∠DCE=12∠ACD，∠DCF=12∠DCB，∴∠DCE+∠DCF=12∠ACD+∠DCB=90°，即∠ECF=90°，∴四边形DECF是矩形．【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、等边对等角、矩形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【变式2】如图，在▱ABED中，延长AD到点C，使得AD=CD，连接BC，BD，CE，BC交DE于点F，已知AB=BC．(1)求证：四边形BECD是矩形；(2)若∠BAC=60°，AB=4，求BD的长．【答案】(1)见解析；(2)23．【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形【分析】（1）先证明四边形BECD为平行四边形，再根据AB=BC得到BD⊥AC，即可求证；（2）由∠BAC=60°得到△ABC为等边三角形，求得AC、AD，再根据勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵四边形ABED是平行四边形，∴AD∥BE，AD=BE，∴CD∥BE．又∵CD=AD，AD=BE，∴BE=CD，点D为线段AC的中点，∴四边形BECD为平行四边形．∵AB=BC，∴BD⊥AC，即∠BDC=90°，∴平行四边形BECD为矩形．（2）解：∵∠BAC=60°，AB=BC，∴△ABC为等边三角形．∴AC=AB=4，由（1）得AD=CD，∴AD=12AC=2．在Rt△ADB中，AD=2,AB=4，∴BD=AB2−AD2=23．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．【变式3】如图，在△ABC中，AB=AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．(1)求证：△ADC≌△ECD；(2)若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形【分析】本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定以及矩形的判定是解题的关键．（1）根据AB=AC得出∠B=∠ACB，再结合平行四边形的性质即可证明；（2）先推得AE=DC，∠ADC=90°，再证得四边形ADCE是平行四边形，即可求证．【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB又∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥ED，AB=ED，∴∠ABD=∠EDC，AC=ED，∴∠EDC=∠ACD，∴△ADC≌△ECDSAS．（2）解：若BD=CD，又∵AB=AC，∴AE=BD=DC，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，又∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是矩形．考点8：矩形的判定与性质综合典例8：如图，点E是▱ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G，BE=AD，∠FEC=∠FCE．(1)求证：▱ABCD是矩形；(2)若点E为AC的中点，求∠ABE的度数．【答案】(1)证明见解析(2)30°【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质证明、根据矩形的性质与判定求角度【分析】（1）先由平行四边形的性质得到AD=BC，则BE=BC，由等边对等角得到∠ECB=∠CEB，则可证明∠FEB=∠BCD=90°，进而可证明平行四边形ABCD是矩形；（2）由矩形的性质得到BE=CE=12AC，∠ABC=90°，则可证明△BCE是等边三角形，得到∠CBE=60°，则∠ABE=30°．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∵BE=AD，∴BE=BC，∴∠ECB=∠CEB，∵∠FEC=∠FCE，∴∠FEC+∠CEB=∠FCE+∠BCE，∴∠BEF=∠BCF，∵EF⊥BE，∴∠FEB=∠BCD=90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，点E为AC的中点，∴BE=CE=12AC，∠ABC=90°，∴BE=CE=BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠CBE=60°，∴∠ABE=30°．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键：【变式1】如图：在△ABC中，AB=AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)连接DE，交AC于点F，直接写出DF与AB之间的关系为 ．【答案】(1)见解析(2)DF=12AB【知识点】根据三角形中线求长度、三角形的外角的定义及性质、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求线段长【分析】（1）由三角形中线的性质得出∠B=∠ACB，AD⊥BC．由角平分线的定义和三角形外角的性质可证∠CAN=∠ACB，即得出AN∥CB，结合题意即得出∠AEC=∠DAN=∠ADC=90°，则四边形ADCE是矩形；（2）根据矩形的性质得出AE=CD，DF=12DE，结合三角形中线的性质证明四边形ABDE为平行四边形，得出AB=DE，即DF=12AB．【详解】（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是中线，∴∠B=∠ACB，AD⊥BC，∴∠ADC=90°．∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN=∠CAN=12∠CAM．∵∠CAM=∠B+∠ACB，∴∠CAN=∠ACB，∴AN∥CB，∴∠DAN=∠ADC=90°．∵CE⊥AN，∴∠AEC=∠DAN=∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵四边形ADCE是矩形，点F为对角线AC，DE的交点，∴AE=CD，DF=12DE．∵AD是中线，∴BD=CD，∴AE=BD．由（1）可知AN∥CB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AB=DE，∴DF=12AB．【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，三角形中线的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理和性质定理是解题关键．【变式2】如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF、AC．(1)求证：△ABE≌△FCE；(2)若AD=AF，AB=3，BC=5，求四边形ABFC的面积．【答案】(1)证明见解析(2)12【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、根据矩形的性质与判定求面积【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由平行四边形的性质得出AB∥DF，从而得到∠ABC=∠BCF，利用ASA即可证明结论；（2）由全等三角形的性质得出AE=FE，从而证明出四边形ABFC是平行四边形，由等腰三角形的性质得出AC⊥FD，推出四边形ABFC是矩形，由勾股定理得AC=4，即可得解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠ABC=∠BCF，∵E为BC中点，∴BE=CE，在△ABE和△FCE中，∠ABE=∠ECFBE=CE∠BEA=∠CEF，∴△ABE≌△FCE．（2）解：∵△ABE≌△FCE，∴AE=FE，∵BE=FC，∴四边形ABFC是平行四边形，∴AB=CF=CD，∵AD=AF，∴AC⊥FD，∴四边形ABFC是矩形，∴∠BAC=90°，∵AB=3，BC=5，根据勾股定理得AC=BC2−AB2=4，∴矩形ABFC的面积为AB⋅AC=3×4=12．【变式3】如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．(1)求证：四边形EBCF是矩形．(2)设△ABE的面积为S1，△ACE的面积为S2，矩形EBCF的面积为S3，则S1，S2，S3的等量关系为______．【答案】(1)见解析(2)S1+S2=12S3【知识点】证明四边形是矩形、根据矩形的性质与判定求面积【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，（1）先证△ABE≌△ACF得BE=CF，∠AEB=∠AFC，再根据EF=BC可得四边形EBCF为平行四边形，然后由AE=AF得∠AEF=∠AFE，进而得∠BEF=∠CFE，再由BE∥CF得∠BEF=∠CFE=90°，据此可得出结论；（2）过点A作AH⊥BE交BE延长线于H，HA的延长线交CF的延长线于K，证明四边形BCKH为矩形得BC=KH，然后表示S1，S2，S3可得S1，S2，S3的等量关系．【详解】（1）证明：∵AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，∴△ABE≌△ACF，∴BE=CF，∠AEB=∠AFC，又∵EF=BC，∴四边形EBCF为平行四边形，∴BE∥CF，∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠AEB−∠AEF=∠AFC−∠AFE，即∠BEF=∠CFE，∵BE∥CF，∴∠BEF+∠CFE=180°，∴∠BEF=∠CFE=90°，∴平行四边形EBCF为矩形；（2）过点A作AH⊥BE交BE延长线于H，HA的延长线交CF的延长线于K，如下图所示：证明四边形AHEF为矩形得AH=EF，∵平行四边形EBCF为矩形，∴∠EBC=∠BCF=90°，∵AH⊥BE，∴∠H=∠EBC=∠BCF=90°∴四边形BCKH为矩形∴BC=KH，∵S1=S△AEB=12AH⋅BE，S2=S△AFC=12AK⋅FC，S3=BC⋅BE，BE=CF∴S1+S2=12AH⋅BE+12AK⋅FC=12AH+AKBE=12HK⋅BE=12BC⋅BE=12S3，即S1+S2=12S3．考点9：直角三角形斜边中线性质典例9：如图，在△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，BE⊥AC，垂足为E，M为BC的中点，连接MF，ME．(1)求证：ME=MF；(2)若∠ABC=54°，∠ACB=60°，求∠FME的大小．【答案】(1)见解析(2)48°【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．（1）根据CF⊥AB，BE⊥AC，△BCE和△BCF是直角三角形，再根据M为BC的中点，由直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出ME=MF；（2）根据ME=MF=BM=CM，可得∠MBF=∠MFB，∠MEC=∠MCE，由∠ABC=54°，∠ACB=60°，由三角形内角和即可求得∠EMF的度数．【详解】（1）证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴△BCE和△BCF均是直角三角形，∵M为BC的中点，∴MF=BM=CM，ME=BM=CM，∴ME=MF；（2）解：∵MB=MF,ME=MC，∴∠MBF=∠MFB，∠MEC=∠MCE，∵∠ABC=54°，∠ACB=60°，∴∠BMF=180°−2×54°=72°，∠CME=180°−2×60°=60°，∴∠EMF=180°−72°−60°=48°，∴∠FME的度数为48°．【变式1】如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，CE是AB边上的中线．(1)若∠B=54°，求∠ECD的度数．(2)若AB=10，BC=6，求DE的长．【答案】(1)18°(2)1.4【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半【分析】（1）根据垂直定义可得∠ADC=∠CDB=90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BCD=36°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得CE=BE，从而可得∠BCE=∠B=54°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答；（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用面积法求出CD的长，最后在Rt△CDE中，利用勾股定理进行计算即可解答；本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．【详解】（1）解：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵∠B=54°，∴∠BCD=90°−∠B=36°，∵∠ACB=90°，CE是AB边上的中线，∴CE=BE=12AB，∴∠BCE=∠B=54°，∴∠ECD=∠BCE−∠BCD=18°，∴∠ECD的度数为18°；（2）解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∴AC=AB2−BC2=102−62=8，∵△ABC的面积=12AB·CD＝12AC·BC，∴AB·CD=AC·BC，∴10CD=8×6，解得CD=4.8，∵CE=12AB=5，∴DE=CE2−CD2=52−4.82=1.4，∴DE的长为1.4．【变式2】如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF,CE．(1)求证：EF=CF；(2)若∠BAC=30°,AD=12，求C、E两点之间的距离．【答案】(1)见解析(2)6【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质可得EF=12AD，CF=12AD，进而求解EF=CF；（2）连接CE，求EF=AF=CF=6，结合三角形外角的性质可求解∠EFC=60°，利用等边三角形的性质可求解CE的长．【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，在Rt△AED和Rt△ACD中，∵点F是斜边AD的中点，∴EF=12AD，CF=12AD，∴EF=CF；（2）解：连接CE，由（1）得EF=AF=CF=12AD=6，∴∠FEA=∠FAE，∠FCA=∠FAC，∴∠EFC=2∠FAE+2∠FAC=2∠BAC=2×30°=60°，∴ △EFC是等边三角形，∴CE=EF=6，∴C，E两点间的距离是6．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式3】如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8．(1)求CD2；(2)求证：∠ADC=90°；(3)求DF的长．【答案】(1)20(2)见解析(3)5【知识点】线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质与判定，直角三角形的性质：（1）直接利用勾股定理求解即可；（2）先求出AD2，再求出AC的长，进而求出AC2，则可利用勾股定理的逆定理证明∠ADC=90°；（3）证明AB=AC，∠ADB=90°，则由直角三角形的性质可得答案。【详解】（1）解：∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，在Rt△CDE中，由勾股定理得CD2=CE2+DE2=22+42=20；（2）证明：∵DE⊥AC，∴∠AED=∠CED=90°．在Rt△ADE中，由勾股定理得AD2=AE2+DE2=82+42=80．由（1）得CD2=20，∴AD2+CD2=80+20=100．∵AC=AE+CE=8+2=10，∴AC2=100，∴AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°；（3）解：∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°，∴AD垂直平分BC， ∴AB=AC=10，∠ADB=90°．∵DF是△ABD的中线，∴DF=12AB=5．矩形的性质：因为ABCD是矩形几何表达式举例：(1) 对边平行且相等；对角线互相平分(2) ∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°(3) ∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD矩形的判定：四边形ABCD是矩形. 几何表达式举例：(1) ∵四边形ABCD是平行四边形又∵∠A=90°∴四边形ABCD是矩形(2) ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°∴四边形ABCD是矩形(3) ∵四边形ABCD是平行四边形又∵OA=OD或OA=OB∴四边形ABCD是矩形