2026八年级数学下册第二十一章四边形章末核心要点分类整合课件新人教版（2024）（含答案）

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章末核心要点分类整合第二十一章 四边形1. n边形的内角和等于(n－2)×180°，多边形的外角和等于360°.2. 特殊四边形的性质定理和判定定理都是互逆定理，它们是分别从边的关系、角的关系、对角线的关系等角度考虑的； 在判定时还要考虑是建立在什么四边形的基础上的. 各种特殊四边形的性质如下表：续表3. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.4. 直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.专题多边形的内角和与外角和1链接中考 >>多边形的内角和与外角和是中考常考内容，近几年考查的方式多以二者相结合，利用内角或外角求多边形的边数，题型以选择题、填空题为主.例 1[中考·扬州] 若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为________．解题秘方：先求出这个多边形每个外角的度数，再根据多边形的外角和等于360°求解.解：因为这个多边形的每个内角都是140°，所以这个多边形的每个外角都是40°.因为多边形的外角和为360°，所以这个多边形的边数为360°÷40°＝9.9专题平行四边形的性质与判定2链接中考 >>平行四边形的性质与判定都涉及边和角相等，这与全等三角形的性质与判定相吻合，所以平行四边形的性质与判定通常与三角形的全等联合考查.[中考·武汉] 如图21－1，在▱ABCD中，点E，F 分别在边BC，AD 上，AF＝CE．解题秘方：已知平行四边形，利用其性质来判定三角形全等，再由全等三角形的性质添加条件来判定平行四边形.例 2 (1)求证：△ABE ≌△CDF；解：(答案不唯一)添加BE＝CE.(2)连接EF，请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF 是平行四边形.(不需要说明理由)专题三角形的中位线定理3链接中考 >>三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置关系，即三角形的中位线平行于三角形的第三边；二是数量关系，即三角形的中位线等于第三边的一半. 当题目中已知三角形两边的中点时，直接利用三角形的中位线定理解题.[中考·广东]如图21－2，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝( )A. 20° B. 40° C. 70° D. 110°例 3解题秘方：首先得到DE，DF是△ABC的中位线，再得到DE∥AC，DF∥AB，然后根据平行线的性质求解即可．答案：C解：∵点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∴DE，DF是△ABC的中位线.∴DE∥AC，DF∥AB. ∴∠EDF＝∠DEB＝∠A＝70°.专题矩形的性质与判定4链接中考 >>矩形是特殊的平行四边形，主要有两个特殊点：一是内角都是直角；二是对角线相等. 考查矩形的性质和判定时，也是主要抓住这两个特殊点进行考查.[中考·贵州]如图21－3，四边形ABCD 的对角线AC 与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条 件：①AB∥CD，②AD＝BC．例 4(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；解题秘方：先根据条件利用两组对边平行或一组对边平行且相等证明四边形ABCD 是平行四边形，再根据矩形的定义得到结论即可；证明：选择① .∵ AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形.选择② .∵ AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形.(任选其一即可)(2)在(1)的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积．解题秘方：利用勾股定理得到BC的长，然后利用矩形的面积公式计算即可. 专题直角三角形斜边上的中线的性质5链接中考 >>直角三角形斜边上的中线的性质是直角三角形的一个重要性质，是常考的知识点，它为证明线段相等、角相等、线段的倍分关系等问题提供了很好的思路和理论依据.[中考·陕西] 如图21－4，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有( )A. 2 个 B. 3 个C. 4 个 D. 5 个例 5解题秘方：先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B的度数，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD＝AD＝BD，然后利用等边对等角求出相关角的度数，最后根据余角的定义判断.答案：C解题秘方：先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B的度数，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD＝AD＝BD，然后利用等边对等角求出相关角的度数，最后根据余角的定义判断.专题菱形的性质与判定6链接中考 >>菱形是特殊的平行四边形，主要有两个特殊：一是四条边相等；二是对角线互相垂直. 考查菱形的性质和判定时，也是主要从这两个方面考查.[中考· 贵州] 如图21－5，在▱ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E． 延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G．例 6证明：∵E为对角线AC上的中点，且BE⊥AC，∴BE垂直平分AC.∴BA＝BC.∴▱ABCD是菱形.(1)求证：▱ABCD是菱形；解：如图21－5.∵EB＝EF，CE＝CF，∴∠3＝∠2＝∠1.设∠3＝∠2＝∠1＝α，∴∠4＝∠1＋∠2＝2α.∵BE⊥AC，∴∠3＋ ∠4＝90°.∴ α＋2α＝90°，解得α＝30°.∴∠3＝∠2＝30°，∠4＝60°.∴BC＝2CE＝2×4＝8.(2)若BE＝EF，EC＝4，求△DCF的面积． 专题正方形的性质7链接中考 >>正方形的性质在计算中经常用到，中考中经常与平行四边形、矩形、菱形综合，有时还需要作辅助线，利用平行线、勾股定理等知识解题.如图21－6，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F. 若AB＝1，∠EBC＝30 °，则△ABF的面积为_______.例 7   专题转化思想8专题解读 >>转化思想可以把不可解的问题转化为已学知识范围内可解的问题，通过转化可以把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单甚至模式化的问题. 转化思想在本章主要体现在求多边形的多个角的和的问题中，常通过连接两顶点或对角线转化为三角形、四边形或其他多边形来解决问题.如图21－7，求∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＋∠FGH＋∠H＋∠K的度数.例 8解题秘方：连接AG，DG，将要求和的角转化到一个五边形内.解：如图21－7，连接AG，DG，设AK，HG的交点为M，DE，FG的交点为N，则∠E＋∠F＋∠ENF＝180°＝∠FGD＋∠EDG＋∠GND，∠H＋∠K＋∠HMK＝180°＝∠KAG＋∠HGA＋∠AMG.∵∠ENF＝∠GND，∠HMK＝∠AMG，∴∠E＋∠F＝∠FGD＋∠EDG，∠H＋∠K＝∠KAG＋∠HGA.∴∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＋∠FGH＋∠H＋∠K＝∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠FGD＋∠EDG＋∠FGH＋∠KAG＋∠HGA＝(∠BAK＋∠KAG)＋∠B＋∠C＋(∠CDE＋∠EDG)＋(∠FGD＋∠FGH＋∠HGA)＝∠BAG＋∠B＋∠C＋∠CDG＋∠DGA＝(5－2)×180°＝540°.专题分类讨论思想9专题解读 >>有些问题的答案不止一种，尤其是题目中没有给出图形的几何题，这时需要把问题分为几种可能的情况，然后针对每一种情况给出解答，要求思考问题必须严谨、细致.矩形ABCD的面积是90，对角线AC，BD交于点O，E 是BC 边的三等分点，连接DE，P 是DE 的中点，OP＝3，连接CP，则PC＋PE的值为___________． 例 9解题秘方：本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质，当CE>BE 时，利用三角形中位线定理易求得CE＝12，再求得矩形的边长，利用勾股定理求得DE 的长，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解; 当CEBE时，如图21－8 ①所示.∵ E 是BC边的三等分点，∴ CE＝2BE＝12 ，BC＝3BE＝18 .  专题构造法10专题解读 >>本章在运用三角形中位线定理时，往往存在中点而不存在三角形，因此需要构造三角形，为利用三角形中位线定理解题创造条件. 例10解题秘方：利用“平行线＋ 中点”模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键．解：如图21－9，过点C作CG∥AD，连接DM并延长交CG于点G，连接EG，∴∠GCM＝ ∠A，∵点M是AC的中点，∴CM＝AM. 答案：A1. 已知一个多边形的内角和是它外角和的4 倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引( )条对角线.A．6 B．7 C．8 D．9类型多边形内角和的有关计算1B2. 如图， 已知∠MON＝60 °， 正五边形ABCDE的顶点A，B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝____° .483. [期中·郑州登封市] 已知某正多边形的每一个内角的度数等于它相邻外角的3 倍.(1)求这个正多边形的边数；解：设这个正多边形的一个外角的度数为 x°，则与其相邻的内角等于 3x°，则x°＋3x°＝180°，解得x＝45.360°÷45°＝8，即这个正多边形的边数为8.(2)若截去一个角， 求截完后所形成的新多边形的内角和.解：截去一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．①当新多边形为九边形时，内角和为(9－2)×180°＝1 260°；②当新多边形为八边形时，内角和为(8－2)×180°＝1 080°；③当新多边形为七边形时，内角和为(7－2)×180°＝900°. 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为1 260°或1 080°或900°.4. [中考·安徽] 在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边 AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是( )A. 四边形EFGH的周长B. ∠EFG的大小C. 四边形EFGH的面积D. 线段FH的长类型巧用平行四边形的性质与判定解题2C 6. 如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O 为对角线AC和BD的交点，且∠CAE＝15°，则∠BOE的度数为________.75°类型巧用特殊平行四边形的性质与判定解简单的计算题37. 如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，EF⊥CD，EG⊥AD，垂足分别为F，G，若EG＝2，EF＝6，则BE＝_______.8. 如图，S菱形ABCD＝24，E 是AB的中点，F 是BC 上的动点. 若S△BEF＝4，则图中阴影部分的面积为_______.109. [中考·滨州]如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处. 若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为________．(10，3)10. 如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展 开，AB的对应边为AB′，折痕与边BC 交于点P．当AB′与AB，AD 中任意一边的夹角为15°时，∠APB的度数可以是__________________.82.5°或52.5°或37.5°类型巧用特殊平行四边形解折叠问题411. 如图①，有一张平行四边形纸片ABDC，将纸片沿着对角BC线剪开，形成两个全等的三角形，已知∠A＝ 100°，∠ACB＝60°，将△DBC沿着BC的方向以2 cm/s的速度运动到图②中△ DFE 的位置，连接AF，CD.类型巧用特殊平行四边形解动点问题5(1)求证：四边形AFDC是平行四边形.(2)若AC＝4 cm，BC＝10 cm，△DFE沿着BC的方向运动时间为 t s.①当t为何值时，▱AFDC是菱形？请说明你的理由；解：当t＝3时，四边形AFDC是菱形．理由如下：∵t＝3，∴BF＝3×2＝6.∴CF＝BC－BF＝10－6＝4.∵AC＝4，∠ACB＝60°，∴△ACF是等边三角形．∴AC＝AF. 由(1)知四边形AFDC是平行四边形，∴四边形AFDC是菱形．②▱AFDC 能是矩形吗？若能，求出t的值及矩形AFDC的面积；若不能，说明理由.12.【问题情境】如图①，四边形ABCD 是正方形，M 是BC 边上的一点，E 是CD 边的中点，AE 平分∠DAM.类型巧用特殊平行四边形证线段和差关系6【探究展示】(1)求证：AM＝AD＋MC.证明：如图①，延长AE，BC交于点N.∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠CNE. ∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠MAE.∴∠CNE＝∠MAE.∴AM＝MN.易知△ADE≌△NCE.∴AD＝NC.∴AM＝MN＝NC＋MC＝AD＋MC.(2)AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.解：AM＝DE＋BM成立．证明如下：如图②，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，AB∥DC.∴∠ABF＝90°＝∠D.∵AF⊥AE，∴∠FAE＝90°.∴∠FAB＝90°－∠BAE＝∠DAE.∴△ABF≌△ADE(ASA). ∴BF＝DE，∠F＝∠AED.∵AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE.∵∠FAB＝∠EAD＝∠EAM，∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM＋∠EAM＝∠BAM＋∠FAB＝∠FAM.∴∠F＝∠FAM.∴AM＝FM.∴AM＝FB＋BM＝DE＋BM.(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不 变，如图②，探究(1)(2)中的结论是否成立. 请分别作出判断，不需要证明.解：结论AM＝AD＋MC仍然成立；结论AM＝DE＋BM不成立．