第17章 因式分解 单元测试卷 2025-2026学年人教版数学八年级上册（含答案）

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第17章因式分解单元测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列从左到右的变形，是分解因式的为(    ) A. x2−x=x(x−1) B. a(a−b)=a2−abC. (a+3)(a−3)=a2−9 D. x2−2x+1=x(x−2)+1 2.下列多项式中不能用公式法分解因式的是(    ) A. a2+a+14 B. 2ab+a2+b2 C. −a2+25 D. −4−b2 3.将下列多项式因式分解，正确的是(    ) A. a2−4a2b+4a2b2=a2(2b−1)2 B. a3−4a2b+4ab2=a(ab−2)2C. 4a3−4a=4a(a+2)(a−2) D. a3−4a2=a(a+2)(a−2) 4.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是(    ) A. a2−1 B. a2+a−2C. a2+a D. (a+2)2−2(a+2)+1 5.如果a−b=2，那么代数式a3−2a2b+ab2−4a的值是  (    ) A. −1 B. 0 C. 1 D. 2 6.计算：1252−50×125+252=(    ) A. 100 B. 150 C. 10000 D. 22500 7.把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x−3)，则a，b的值分别是(    ) A. 2，3 B. −2，−3 C. −2，3 D. 2，−3 8.已知a，b，c满足a2+b2+c2−2a+6b−2c=−11，则a−b+c的值为(    ) A. −1 B. 5 C. 6 D. −7 9.若方程x2+mx+4=0的左边是一个完全平方式，则m的值是  (    ) A. −4 B. 4 C. 4或−4 D. 2或−2 10.某班同学学习整式乘除这一章后，要带领本组的成员共同研究课题学习.现在全组同学有4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a，b，在研究过程中，一位同学用这4个长方形摆成了一个大的正方形如图所示，利用面积的不同表示方法能写出的代数恒等式是(    ) A. a2+2ab+b2=a+b2 B. 4ab=a+b2−a−b2C. a2−2ab+b2=a−b2 D. a+ba−b=a2−b2 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.分解因式：a2−5(2a−5)=          ． 12.若x2+2(m−3)x+16是完全平方式，则m的值为          ． 13.已知a=7−3b，则式子a2+6ab+9b2的值为          ． 14.已知x−y=1，xy=2，则代数式x3y−2x2y2+xy3的值是          ． 15.计算：(1−122)×(1−132)×(1−142)×(1−152)×⋯×(1−11002)=          ． 三、四、解答题：本题共8小题，共75分。 16.(本小题24分)因式分解下列各式：(1)12abc−2bc2 (2)2a3−12a2+18a (3)9a(x−y)+3b(y−x) (4)(x+y)2+(x+y)+14 (5)(y+2x)2−(x+2y)2 (6)x2−x−12 (7)(x2−2x)(x2−2x+2)+1 (8)4n2−m2+4m−4 17.(本小题6分)先化简，再求值：3a(a2+2a+1)−2(a+1)2，其中a=2． 18.(本小题6分)若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式a2−2bc=c2−2ab.试判断这个三角形的形状，并说明理由． 19.(本小题8分)如图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径d=45cm，外径D=75cm，长l=300cm.利用因式分解计算浇制一节这样的管道约需要多少立方米的混凝土(π取3.14，结果精确到0.01m3).  20.(本小题8分)阅读材料： 因式分解：x+y2+2x+y+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=A+12． 再将“A”还原，可以得到：原式=x+y+12． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决： (1)分解因式：1+6x−y+9x−y2； (2)分解因式：a2−4a+1a2−4a+7+9； (3)求证：若n为正整数，则代数式n+1n+2n2+3n+1的值一定是某个整数的平方． 21.(本小题7分)实践与探索 如图(1)，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形，把图(1)中的阴影部分拼成一个长方形(如图(2))． (1)上述操作能验证的等式是________；(请选择正确的一个) A. a2−b2=a+ba−b B. a2−2ab+b2=a−b2C. a2+ab=aa+b (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知4a2−b2=24，2a+b=6，则2a−b=________． ②计算：1002−992+982−972+⋯+42−32+22−12． 22.(本小题8分)【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，例1:因式分解：a2+6a+8． 解：原式=a2+6a+9−1=(a+3)2−1=(a+3−1)(a+3+1)=(a+2)(a+4)． 例2:若M=a2−2ab+2b2−2b+2，利用配方法求M的最小值． 解：a2−2ab+2b2−2b+2=a2−2ab+b2+b2−2b+1+1=(a−b)2+(b−1)2+1． ∵(a−b)2≥0，(b−1)2≥0， ∴当a=b=1时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：a2−12a+35=          ; (2)若M=a2−3a+1，则M的最小值为          ; (3)已知a2+2b2+c2−2ab+4b−6c+13=0，求a+b+c的值． 23.(本小题8分)阅读材料： 例题：已知二次三项式x2−4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为(x+n). 根据题意，得x2−4x+m=(x+3)(x+n)， 则x2−4x+m=x2+(n+3)x+3n ∴n+3=−4,m=3n,解得m=−21,n=−7. ∴另一个因式为(x−7)，m的值为−21． 请根据上述材料回答下列问题： (1)若二次三项式x2−5x+6可分解为(x−2)(x+a)，则a=          ； (2)若二次三项式2x2+bx−5可分解为(2x−1)(x+5)，则b=          ； (3)若二次三项式2x2+3x−k有一个因式是(2x−5)，求另一个因式以及k的值． 答案和解析 1.【答案】A  【解析】略 2.【答案】D  【解析】【点拨】本题考查公式法分解因式． A.a2+a+14=a+122，能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；B.2ab+a2+ b2=(a+b)2，能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；C.−a2+25=(5+a)(5−a)，能用平方差公式进行因式分解，不符合题意；D.−4−b2=−(4+b2)，不能用公式法分解因式，符合题意．故选D． 3.【答案】A  【解析】略 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．先把各个多项式分解因式，即可得出结果． 【解答】 解：A.a2−1=(a+1)(a−1)，故A不符合题意；B.a2+a−2=(a+2)(a−1)，故B符合题意；C.a2+a=a(a+1)，故C不符合题意；D.(a+2)2−2(a+2)+1=(a+2−1)2=(a+1)2，故D不符合题意；故选B． 5.【答案】B  【解析】a3−2a2b+ab2−4a=a(a2−2ab+b2)−4a=a(a−b)2−4a，∵a−b=2，∴原式=a(a−b)2−4a=a×22−4a=0.故选B． 6.【答案】C  【解析】略 7.【答案】B  【解析】略 8.【答案】B  【解析】解：∵a2+b2+c2−2a+6b−2c=−11，∴a2−2a+1+b2+6b+9+c2−2c+1=0，即(a−1)2+(b+3)2+(c−1)2=0，∵(a−1)2≥0，(b+3)2≥0，(c−1)2≥0，∴a−1=0，b+3=0，c−1=0，∴a=1，b=−3，c=1，∴a−b+c=1−(−3)+1=5，故选B． 9.【答案】C  【解析】略 10.【答案】B  【解析】略 11.【答案】(a−5)2  【解析】略 12.【答案】7或−1  【解析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 根据完全平方公式即可求出答案． 解：x2+2(m−3)x+16=(x±4)2=x2±8x+16， ∴2(m−3)=±8， ∴m=7或−1. 故答案为：7或−1. 13.【答案】49  【解析】略 14.【答案】2  【解析】把x−y=1，xy=2代入，原式=xy(x−y)2=2×12=2． 15.【答案】101200  【解析】略 16.【答案】解：(1)原式=2bc(6a−c)；(2)原式=2a(a2−6a+9)=2a(a−3)2；(3)原式=9a(x−y)−3b(x−y)=3(x−y)(3a−b)；(4)原式=(x+y+12)2；(5)原式=(y+2x+x+2y)(y+2x−x−2y)=(3x+3y)(x−y)=3(x+y)(x−y)；(6)原式=(x−4)(x+3)；(7)原式=(x2−2x)2+2(x2−2x)+1=(x2−2x+1)2=(x−1)4；(8)原式=4n2−(m2−4m+4)=(2n)2−(m−2)2=(2n+m−2)(2n−m+2)．  【解析】本题考查了用提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法进行因式分解，一个多项式首先提取公因式，然后再用其它方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．(1)直接提公因式2bc分解即可；(2)首先提取公因式2a，再利用完全平方公式进行分解；(3)直接提取公因式3(x−y)分解即可，但要注意符号的变化；(4)直接利用完全平方公式进行分解即可；(5)首先利用平方差公式进行分解，然后再利用提公因式法分解彻底；(6)利用十字相乘法分解即可；(7)首先把(x2−2x)看作一个整体进行整式的乘法运算，然后利用完全平方公式分解即可；(8)首先利用分组分解法，再利用完全平方公式分解，最后利用平方差公式分解即可． 17.【答案】解：原式=3a3+6a2+3a−2a2−4a−2=3a3+4a2−a−2.当a=2时，原式=24+16−2−2=36.  【解析】略 18.【答案】∵a2−2bc=c2−2ab，∴a2−c2+2ab−2bc=0.∴(a+c)(a−c)+2b(a−c)=0.∴(a−c)(a+c+2b)=0.  由a，b，c为三角形的三边，知a−c=0，即a=c.∴三角形为等腰三角形．  【解析】略 19.【答案】解：π12D2−12d2⋅l =πl14D2−14d2 =14πl(D2−d2) =14πl(D+d)(D−d)， 当d=45cm，D=75cm，l=300cm时， 原式=14×3.14×300×(75+45)×(75−45) =14×3.14×300×120×30 =847800(cm3) ≈0.85m3． 答：浇制一节这样的管道约需要0.85m3的混凝土．   【解析】略 20.【答案】【小题1】 解：令x−y=A，则1+6x−y+9x−y2=1+6A+9A2=1+3A2． 将“A”还原，可以得到：原式=1+3x−3y2． 【小题2】 解：令a2−4a=B，则a2−4a+1a2−4a+7+9=B+1B+7+9=B2+8B+16=B+42.将“B”还原，可以得到：原式=a2−4a+42=a−24． 【小题3】 证明：n+1n+2n2+3n+1=n2+3n+2n2+3n+1=n2+3n2+2n2+3n+1=n2+3n+12．∵n为正整数，∴n2+3n+1为正整数． ∴代数式n+1n+2n2+3n+1的值一定是某个整数的平方．   【解析】1. 略2. 略3. 略 21.【答案】【小题1】 A 【小题2】 ①4  ②∵1002−992=100+99100−99=100+99，982−972=98+9798−97=98+97，…22−12=2+12−1=2+1，∴原式=100+99+98+97+⋯+4+3+2+1=5050．   【解析】1.  题图(1)中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2−b2，题图(2)中的阴影部分是长为a+b，宽为a−b的长方形，因此面积为a+ba−b，所以有a2−b2=a+ba−b.故选A． 2.  ①∵4a2−b2=24，2a+b=6，2a+b2a−b=4a2−b2，∴62a−b=24，即2a−b=4． 22.【答案】【小题1】 (a−7)(a−5) 【小题2】 −54 【小题3】 ∵a2+2b2+c2−2ab+4b−6c+13=0，∴(a2−2ab+b2)+(b2+4b+4)+(c2−6c+9)=0，即(a−b)2+(b+2)2+(c−3)2=0，∵(a−b)2≥0，(b+2)2≥0，(c−3)2≥0，∴a−b=0，b+2=0，c−3=0，解得a=b=−2，c=3，∴a+b+c=−2−2+3=−1   【解析】1. 略2. 略3. 略 23.【答案】【小题1】 −3 【小题2】 9 【小题3】 设另一个因式为(x+n).  根据题意，得  2x2+3x−k=(2x−5)(x+n)=2x2+(2n−5)x−5n，  则2n−5=3，k=5n，  解得n=4，k=20，∴另一个因式为(x+4)，k的值为20．   【解析】1. 略2. 略3. 略