第十七章 因式分解 单元测试【解析+原卷】

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第十七章 因式分解 单元测试一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（本题3分）下列等式，从左到右的变形是因式分解的是（　　）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题主要考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式的变形叫做因式分解．根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式的变形叫做因式分解）逐项判断即可得．【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；B、是同底数幂乘法的逆运算，不是因式分解，不符合题意；C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；D、不是整式，故不是因式分解，不符合题意；故选：C．2．（本题3分）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题主要考查用完全平方公式进行因式分解，熟练运用完全平方公式．是解题的关键利用完全平方公式逐项判断即可解答．【详解】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意；B、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意；C、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意；D、，能用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意；故选：D．3．（本题3分）计算的结果为（    ）A．2024B．20240C．202400D．2024000【答案】C【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解后，进行计算即可．【详解】解：原式．故选：C．4．（本题3分）将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键．根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可．【详解】解：，∴应提取的公因式是，故选：D．5．（本题3分）若，，则M，N的大小关系为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了整式加减的应用、因式分解的应用，利用作差法比较大小是解题的关键．先计算，再利用完全平方公式变形即可得出结论．【详解】解：由题意得，，．故选：B．6．（本题3分）已知，，则的值为（   ）A．B．84C．D．300【答案】D【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，整式的因式分解，先整理，把，代入计算，即可作答．【详解】解：∵，，∴，故答案为：D．7．（本题3分）小李是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明码信息：，，5，，a，，分别依次对应七个字：之，桥，天，中，眼，空，国，现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ）A．天空之桥B．中国天眼C．中国天空D．天眼之桥【答案】A【分析】本题考查了因式分解．先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可．【详解】解：，∴结果呈现的密码信息可能是“天空之桥”，故选：A．8．（本题3分）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（　　）（1）（2）（3）（4）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】本题考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，据此逐项分析，即可作答．【详解】解：，故（1）符合题意；不能运用公式法分解因式，故（2）不符合题意；，故（3）符合题意；，不能运用公式法分解因式，故（4）不符合题意；所以能运用公式法分解因式的有（1）和（3），故选：B9．（本题3分）若多项式，则是（　　）A．B．C．D．【答案】C【分析】提取公因式后剩下的各项的和就是所要求的的值．【详解】解：，∴，故选：C．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式的解答过程，要灵活运用符号的变换．10．（本题3分）已知实数、y、满足：(，下列式子一定成立的是(　　)A．B．C．D．【答案】D【分析】先将原式展开，然后重组后配方得到，从而得到正确的选项．【详解】解：根据题意∵，∴，∴，∴，∴，∴．故选：D．【点睛】考查了因式分解的应用，解题的关键是能够将原式进行适当的变形，难度不大．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（本题3分）分解因式： 【答案】【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：原式．故答案为：．12．（本题3分）已知正方形的面积是，则正方形的边长为 ． 【答案】【分析】本题考查因式分解的应用，涉及完全平方和公式因式分解，设正方形的边长为，由题意列出等式，因式分解求解即可得到答案．熟练掌握完全平方和公式因式分解是解决问题的关键．【详解】解：设正方形的边长为，由正方形的面积是可得，，，，则正方形的边长，故答案为：．13．（本题3分）若 ，则a （请用“”“”或“”表示)【答案】【分析】本题考查代数式的大小比较以及完全平方公式的应用，解题的关键是对进行变形，然后通过作差法比较与的大小．先对进行变形，利用完全平方公式，再计算的值，根据其正负判断与的大小关系．【详解】设，则．，将代入，得，．故答案为：．14．（本题3分）已知实数a，b满足，则的值为 ．【答案】【分析】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，偶次方的非负性，代数式的值，掌握“利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键．把原式化为，再利用非负数的性质求得，，从而可得答案．【详解】，，，，，，，，故答案为：．15．（本题3分）a，b，c是的三边，若，则的形状是 三角形．【答案】等腰【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，先移项，提出公因式，再根据三角形三边关系判断即可．【详解】整理，得．∵，∴，即，所以是等腰三角形．故答案为：等腰．16．（本题3分）如图是一个棱长为的正方体中挖去一个棱长为的小正方体，将剩余部分进行切割得到如图所示的三个长方体．通过计算剩余部分的体积，可对多项式进行因式分解，即 ．【答案】【分析】本题考查了因式分解的应用，提公因式法分解因式等知识点，正确表示出三块长方体的体积之和是解题的关键．根据正方体和长方体的体积公式及体积关系即可求解．【详解】解：根据题意可得：图的体积为：，图的体积为：，图的体积图的体积，，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共52分）17．（本题8分）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：(1)因式分解：；(2)已知，求式子的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，巧妙的运用分组分解因式解答问题．（1）分组后，可先利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）分组后，再次提公因式后代入数值计算即可．【详解】（1）解：（2）当时，原式18．（本题10分）观察下面的等式：(1)写出的结果．(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)(2)(3)见解析【分析】（1）根据题干的规律求解即可；（2）根据题干的规律求解即可；（3）将因式分解，展开化简求解即可．【详解】（1）；（2）；（3）．【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律．19．（本题10分）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解．下面图1中共有三种卡片：型卡片是边长为的正方形；型卡片是长为，宽为的长方形；型卡片是边长为的正方形．(1)用1张型卡片、2张型卡片拼成如图2的图形，根据图2，多项式因式分解的结果为________．(2)请用1张型卡片、2张型卡片、1张型卡片拼成一个大正方形，在下面的虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解．写出一个多项式的因式分解：________(3)若仍要用这三种卡片紧密拼成一个大正方形，用1张型卡片、4张型卡片，求所需的型卡片的数量．【答案】(1)(2)图见解析，(3)需要型卡片的数量为4张【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式在几何图形中的应用，多项式乘多项式与图形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）结合题意以及图形，则，即可作答．（2）模仿题干，作图，再列式，即可作答．（3）结合题意，仍要用这三种卡片紧密拼成一个大正方形，用1张型卡片、4张型卡片，故，即可作答．【详解】（1）解：依题意，用1张型卡片、2张型卡片拼成如图2的图形，∴，根据图2，多项式因式分解的结果为，故答案为：；（2）解：依题意，如下图所示，∴．故答案为：；（3）解：∵仍要用这三种卡片紧密拼成一个大正方形，用1张型卡片、4张型卡片，∴，∴需要型卡片的数量为4张．20．（本题12分）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．解决问题：（1）若可配方成、为常数），则　　；探究问题：（2）已知，则　　；（3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为2，试求出k的值．拓展结论：（4）已知实数、满足，求的最值．【答案】（1）；（2）；（3）9；（4）最大值6【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键．（1）把变形为，得出，，然后进行求解即可；（2）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值；（3）由得出，根据，是整数，得出，也是整数，求出的最小值为0，的最小值为1，根据S的最小值为2，得出，求出k的值即可；（4）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．【详解】解：（1）∵，∴，，∴；（2）∵，∴，∴，，，，，解得：，，∴；（3），，是整数， ，也是整数，∴的最小值为0，的最小值为1，∵S的最小值为2，∴，解得：；（4）∵，，即，，∵，∴，∴，∴当时，最大，最大值为．21．（本题12分）阅读下列材料：提取公因式法和公式法是初中阶段最常用分解因式的方法，但有些多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：．这种分解因式的方法叫“分组分解法”，利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)分解因式：；(2)有人说，无论，取何实数，代数式去的值总是正数，请说明理由．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查了整式的因式分解，理解题中例子并将式子合理分组是解题的关键．（1）前两项和后两项先分组，再分别分解因式，最后提取公因式分解；（2）把45分成25、16、4，与、与分别构成完全平方式，再利用非负数的和说明即可．【详解】（1）解：（2）解：，所以无论，取何实数，代数式的值总是正数．甲：（分成两组）（直接提公因式），乙：（分成两组）（直接运用公式）