数学反比例函数表格教案

这是一份数学反比例函数表格教案，共4页。
学科
初中数学
年级
九年级
学期
春季
课题
反比例函数小结
教科书
书 名：义务教育教科书·数学（人教版教材）
出版社：人民教育出版社 出版日期：2014年8月
教学目标
1．通过课堂练习，回顾反比例函数的表达式、图象与性质，归纳本质问题的解法。
2．提炼反比例函数面积问题中的基本图形，加深对反比例函数的理解。
3．通过系列问题，融合多重知识，加强知识间联系，在函数观念下处理方程、不等式。
教学内容
教学重点：
强化不同知识间的联系互联，再次体会“数形结合”在解决问题中的作用。
教学难点：
提炼基本图形，强化“数形结合”思想。
教学过程
（一）借题回顾，归纳解法
知识点1 概念与表达式
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是 ．
= 1 \* GB3 ①y＝2x； = 2 \* GB3 ②y＝2x； = 3 \* GB3 ③y＝2x2； = 4 \* GB3 ④xy＝2； = 5 \* GB3 ⑤y＝x2； = 6 \* GB3 ⑥y＝2x-1．
2．若函数y＝(n－1)xn2-2是反比例函数，则n＝ ．
说明：练习1，判断一个函数是不是反比例函数，引导学生将反比例函数的一般形式进行适当变形，得到反比例函数的三种常用表达形式：y＝kx；y＝kx-1；xy＝k（k为常数，k≠0）．当然，判断的本质“两个变量是否乘积为定值”．练习2，根据反比例函数的表达形式y＝kx-1（k为常数，k≠0），可知需要满足条件n2－2＝－1且n－1≠0，所以n＝－1．
知识点2 图象与性质
3．若函数y＝4-2mx的图象在第二、四象限，则在每个象限内，y都随x的增大而 ，m的取值范围是 ．
4．若点（－5，y1），（－3，y2），（3，y3）都在反比例函数y＝-k2+1x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 ．（用“＜”连接）
5．已知正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝k2x的图象交于点A（1，2），则正比例函数与反比例函数图象的另一个交点的坐标是 ．
说明：练习3，因为函数y＝4-2mx的图象在第二、四象限，所以4－2m＜0，解得m＞2．当然，也可以画出草图，借助图象直观读取；练习4，借助函数图象，根据三个点在函数图象上的大致位置，很直观地进行比较，得y3＜y1＜y2．也可以代入作差：y1＝k2+15，y2＝k2+13，y3＝-k2+13，y2－y1＝2k2+215＞0，y1－y3＝2k2+23＞0，所以y3＜y1＜y2．练习5，对于正比例函数和反比例函数而言，均只需图象上任意一点的坐标就可以确定其表达式，所以k1＝k2＝2．再联立方程组求交点，求得另一个交点的坐标是（－1，－2）．因为正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝k2x的图象都关于原点成中心对称，根据对称性可知另一个交点的坐标是（－1，－2）．【图象画一个】
小结：对于此类函数问题，“数形结合”是最基本的思想方法，“形”很直观，“数”很入微，“以形助数”，“以数解形”，两者相辅相成，缺一不可。
（二）推陈出新，提炼模型
6．如图1，点P是反比例函数y＝6x图象上一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为 ．
7．如图2，点P是反比例函数y＝kx图象上一点，PA⊥x轴于点A，PB⊥x轴于点B，若矩形
PAOB的面积为12，则k＝ ．

说明：反比例函数的比例系数k的几何意义，教材上没有任何说明，但在平时的练习中出现较多，帮助学生归纳总结，做题时可以事半功倍。先研究具体的数字6，第一象限内的点P，然后将其推广至一般的k，以及任意象限的点P，最终得到一个基本图形，也就是找到了反比例函数系数k的几何意义。用文字语言来叙述，就是“过反比例函数图象上任意一点分别向x轴，y轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积是定值|k|”。
通过两个练习，让学生感受“数形结合”的数学思想，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形相融合，“以形助数”、“以数解形”，优化了学生解题的途径。
例1 如图，已知反比例函数y＝kx（k＞0）的图象经过矩形OABC边AB的中点E，交边BC于点F．若四边形OEBF的面积为4，则k＝ ．
思路一：将矩形OABC从图形中分离出来，经过分割提取基本图形Rt△AOE，发现S△AOE＝14S矩形OABC，因为k＞0，所以S△AOE＝12k，所以S矩形OABC＝2k．又因为S△AOE＋S四边形OEBF＋S△COF＝S矩形OABC＝2k，得12k＋4＋12k＝2k，解得k＝4．
思路二：设点E的坐标为（a，ka），则点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（a，2ka），
所以点C的坐标为（0，2ka），点F的坐标为（a2，2ka），
所以S四边形OEBF＝S△BEO＋S△BFO＝12BE·OA＋12BF·OC＝12·ka·a＋12·a2·2ka＝k，即k＝4．
小结：对于反比例函数与面积相关的问题，往往可以通过“割”“补”，转化为基本图形，化复杂为简单；当然，也可以假设反比例函数图象一点的坐标，通过几何关系，求出其余点的坐标，然后直接计算。
（三）联系应用，函数观念
例2 如图，反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象与一次函数y＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）的图象交于点A（－4，32），B两点，其中点B的纵坐标为－6．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式．
（2）根据图象直接写出 y=kx，y=ax+b的解．
（3）解不等式ax＋b＞kx．
说明：第（1）问，要求反比例函数表达式，只需知道其图象上任意一点坐标即可。因为反比例函数y＝kx的图象过A（－4，32），所以反比例函数的表达式为y＝－6x．而要求一次函数的表达式，则要两个点的坐标，因此需要求出点B的坐标。将点B的纵坐标代入反比例函数表达式，可知其坐标为（1，－6）．利用待定系数法，最终求得一次函数的表达式为y＝-32x-92。第（2）问，在函数观点下，方程组的解就是对应两个函数交点的横、纵坐标。由前可知，点A的坐标为（－4，32），点B的坐标为（1，－6），所以方程的解为x＝－4，y＝32；x＝1，y＝－6。第（3）问，对于这样的不等式，从函数观点看，就是要求直线比双曲线高的那部分图象所对应的自变量的取值范围。从图上很直观可以看出，包含两部分，用蓝色的线进行标记，然后直接读取，得到x＞1或x＜－4。
在函数的观念下，方程问题、不等式问题、函数问题通通都可以归为统一体，然后借助函数图象这把万能钥匙，解决所有的问题！
（四）梳理小结，内化思想
1．这节课复习了哪些知识点？有哪些容易出错的地方？
2．这节课你认为最重要的思想方法是什么？
3．还有其他新的收获和感悟吗？
最后，让我们一起来回顾一下本节课的内容。我们通过两组练习，复习了反比例函数的表达式、图象及性质等知识，在问题解决过程中最重要的就是“画图”，加强“数形结合”；我们还找到了系数k的几何意义，也就是对应矩形的面积。最后，在函数的观点下，重新去审视方程与不等式的问题。