人教版（2024）九年级下册实际问题与反比例函数表格教案

这是一份人教版（2024）九年级下册实际问题与反比例函数表格教案，共4页。
课程基本信息
学科
初中数学
年级
九年级
学期
春季
课题
26.2 实际问题与反比例函数
教科书
书 名：义务教育教科书·数学（人教版教材）
出版社：人民教育出版社 出版日期：2014年8月
教学目标
1．运用反比例函数的知识解决实际问题。
2．经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程，发展学生分析、解决问题的能力。
3．经历运用反比例函数解决问题的过程，进一步体会数学建模思想，培养学生数学应用意识。
教学内容
教学重点：
建立反比例函数模型，并运用其表达式、图象及性质分析和解决一些简单的实际问题。
教学难点：
运用反比例函数的表达式、图象及性质求函数值的取值范围。
教学过程
（一）复习回顾，引入新课
在前几节课中，我们已经学习了反比例函数的概念、表达式、图象和性质，接下来我们将学习“应用”。事实上，我们已经积累了不少用数学模型解决实际问题的经验，这节课我们将重点关注如何借助反比例函数模型去解决一些现实问题，进一步体会反比例函数的表达式、图象与性质在问题解决过程中所发挥的作用。
设计意图：进一步熟悉函数学习的一般路径及基本思想方法。
（二）创设情境，探究学习
例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室．
（1）储存室的底面积为S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？
（2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向地下掘进多少深度？
（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15 m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15 m，相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？
师生活动：
（1）问题中包含了哪些量？哪些是常量？哪些是变量？
（2）从函数的角度来看，把储存室的底面积S定为500m2是什么意思？
（3）同样地，从函数的角度来看，把储存室的深度改为15m又是什么意思？
（4）这三个小问究竟对应着怎样的数学问题？
设计意图：学生通过对圆柱形煤气储存室底面积S与其深度d之间函数关系的研究，认识到体积一定，当挖掘深度d发生改变时，圆柱底面积S随之改变。首先建立解决问题的反比例函数模型，从而把一个实际问题转化为一个数学问题，然后应用函数的概念、表达式进行解决，初步培养学生应用反比例函数解决实际问题的能力。
例2 码头工人每天往一艘轮船上装30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．
（1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨/天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？
（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？
师生活动：
（1）不同于例1，本题并没有直接给出轮船上的货物总量，因此需要采用“待定系数法”，求得v关于t的函数表达式为v＝240t．
（2）从函数的角度来看，“不超过5天卸载完毕”是什么意思呢？“平均每天至少要卸载多少吨”是什么意思？
（3）如何借助函数图象解决问题？
（4）是否可以用不等式？
设计意图：对于不等的问题既可以将其转化为相等的问题，然后借助反比例函数的图象及性质解决，也可以直接解不等式。解决问题的关键是要把“实际问题”翻译成“合适的数学问题”，加强“数形结合”。
（三）实践应用，解决问题
公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德有一句名言，那就是“给我一个支点，我可以撬动地球”。其实，这是因为他发现了“杠杆原理”。若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比，则杠杠平衡。通俗地说，就是“助力×阻力臂＝动力×动力臂”。
例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200 N和0.5 m．
（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？
（2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？
师生活动：
与例2类似，首先要用待定系数法求出系数k，即阻力臂和动力臂的乘积600；问题（1）就转化为“已知自变量的值求函数的值”。
对于问题（2），“若想使动力臂F不超过题（1）中所用力的一半”，则意味着“动力F要大于零，小于等于200N”。对于这个反比例函数而言，F是应变量，是函数值，于是这个问题就转化为“已知函数值的范围，求对应自变量的取值范围”的问题。同样地，我们也一定可以从“数”“形”两方面去解决。
设计意图：用反比例函数的知识解释了“在使用撬棍时，为什么动力臂越长越省力”，揭示阿基米德撬动地球的秘密。数学真是源于生活，又高于生活。学生在解决问题的过程中，不断提升应用数学的意识，感受数学应用的广泛性。
例4 一个电器的电阻是可调节的，其范围为110~220 Ω．已知电压为220 V，这个电器的电路图如图所示．
（1）功率P与电阻R有怎样的函数关系？
（2）这个用电器功率的范围是多少？
师生活动：
第（1）问，如前所述，功率P是电阻R的反比例函数，表达式为P＝2202R．
从函数的视角看，第（2）问就可以转化为“已知自变量的取值范围求函数值范围”的问题。对于函数P＝2202R，当R＞0时，P随着R的增大而减小，即电阻越大，功率越小．
将R＝110代入P＝2202R，得到功率的最大值P＝2202110＝440(W)；
将R＝220代入P＝2202R，得到功率的最小值P＝2202220＝220(W)．
因此用电器功率的范围为220~440 W．
最后再用图象来直观地回顾一下这个过程。事实上，利用这个原理，可以解决很多实际问题，例如，收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速都由这些电器的输出功率决定，都可以通过调节电阻大小来实现。
设计意图：进一步感受反比例函数在解决实际问题中的价值，问题情境在变，模型不变，基本思想方法不变，这就是数学的魅力！
（四）反思小结，提升能力
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）我们建立反比例函数解决实际问题的过程是怎样的？
（2）在这个过程中需要注意什么？有用到什么思想方法？
设计意图：学生在反思中整理知识、梳理思维、建构体系、积累经验、学会学习，进一步提高利用反比例函数的表达式、图象及性质解决问题的能力，加深对反比例函数的认识。
结束语
华罗庚说：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学．
笛卡尔说：数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。所有研究顺序和度量的科学均和数学有关．
笛卡尔说：数学支配着宇宙。
事实上，我们的身边从不缺乏数学问题，缺乏的是发现问题的意识，希望同学们在今后的学习中能慢慢学会“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”。