初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）代入消元法第1课时教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）代入消元法第1课时教学设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学过程，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
1.通过实际问题对比，理解解二元一次方程组的“消元”思想，感悟数学中“化未知为已知”“化复杂为简单”的化归思想，能举例说明该思想在解题中的体现。
2.清晰阐述代入消元法的定义，熟练掌握代入法的完整步骤，能独立规范书写解题过程。
3.能运用代入消元法准确求解简单的二元一次方程组，且能对求解结果进行检验，解决与方程组相关的基础应用问题。
二、教学重点
了解代入法的一般步骤，会用代入法解简单的二元一次方程组。
三、教学难点
对代入消元法解方程组的过程的理解。
四、教学过程
（一）活动一：情境创设，引出问题
（设计意图：结合生活场景激发兴趣，自然衔接旧知与新知）
【情境导入】
周末，小明和妈妈去超市采购水果，超市里苹果每千克8元，香蕉每千克5元。妈妈一共买了12千克水果，花费81元。你能算出妈妈买了多少千克苹果，多少千克香蕉吗？
之前我们学习了二元一次方程组，设买苹果x千克，香蕉y千克，可列出方程组。但之前用尝试法找解很麻烦，那有没有更高效的方法呢？这节课我们就来学习解二元一次方程组的新方法。
（二）活动二：合作探究，构建方法
（设计意图：通过小组合作，自主推导代入消元法，加深对方法的理解与掌握）
探究点：用代入法解简单的二元一次方程组
问题1：列一元一次方程求解
针对上述超市买水果问题，若只设一个未知数，设买苹果x千克，那么买香蕉的重量该如何表示？根据总花费，又能列出怎样的一元一次方程？
学生独立思考后回答：买香蕉12 - x千克，方程为8x + 5(12 - x) = 81，解得x = 7，12 - x = 5，即买了7千克苹果，5千克香蕉。
问题2：衔接二元与一元方程
对比列出的二元一次方程组和一元一次方程，思考如何由二元一次方程组得到一元一次方程？
小组讨论后，代表发言：从方程组的第一个方程x+y=12，可变形为y=12-x，由于两个方程中的y都表示香蕉的重量，所以把第二个方程中的y换成12 - x，就能得到一元一次方程8x + 5(12 - x) = 81。
概念引入
像这样，将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想。
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法。
例题讲解
例1（改编题）：用代入法解方程组
x + 2y = 5 ①
3x - 4y = 8 ②
问题1：选择哪个方程变形更简便？为什么？
引导学生观察方程系数，得出：选择方程①变形更简便，因为方程①中x的系数是1，变形时计算更简单。
问题2：用含y的式子表示x，写出解题过程。
学生尝试书写，教师巡视指导，之后展示规范解题过程：
由①，得x = 5 - 2y ③
把③代入②，得3(5 - 2y) - 4y = 8
展开括号：15 - 6y - 4y = 8
合并同类项：15 - 10y = 8
移项：-10y = 8 - 15
计算：-10y = -7，解得y = 0.7
把y = 0.7代入③，得x = 5 - 2×0.7 = 3.6
所以这个方程组的解是x = 3.6 y = 0.7
问题3：若将变形后的方程代入原变形方程，会出现什么情况？
学生动手尝试，发现代入后得到恒等式，无法求出未知数的值，从而明白不能代入原变形方程的原因。
问题4：求出y的值后，代入哪个式子求x更简便？
学生对比代入原方程和变形方程的过程，得出代入变形方程更简便的结论。
例2（改编题）：用代入法解方程组
2x + 3y = 19 ①
3x - y = 8 ②
分析：方程②中y的系数是-1，将其变形为用含x的式子表示y，再代入方程①，计算会更简便。
学生独立完成解题，教师选取典型答案进行展示点评，强调解题格式的规范性。
解：由②，得y = 3x – 8 ③
把③代入①，得2x + 3(3x - 8) = 19
解这个方程，得x = 5
把x = 5代入③，得y = 3×5 - 8 = 7
所以这个方程组的解是x = 5 y = 7
【对应训练】
1.用代入法解方程组。
x + 3y = 7 ①
2x - y = 1 ②
解：由方程② 2x - y = 1，得 y = 2x - 1③
将③代入方程① x + 3y = 7，得 x + 3(2x - 1) = 7
展开并整理： x + 6x - 3 = 7，即 7x = 10，解得 x = 107
将 x = 107代入③，得 y = 2107 - 1 = 137
因此，方程组的解为 x = 107 y = 137
2. 已知x = 2 y = 1是二元一次方程组 ax + by = 7 bx + ay = 2的解，求 a和 b的值。
解：将 x = 2 y = 1代入方程组，得2a + b = 7 2b + a = 2
由第一个方程 2a + b = 7，得 b = 7 - 2a③
将③代入第二个方程 2b + a = 2，得 2(7 - 2a) + a = 2
展开并整理： 14 - 4a + a = 2，即 -3a = -12，解得 a = 4
将 a = 4代入③，得 b = 7 – 2 x 4 = -1
因此， a = 4， b = -1。
（三）活动三：拓展提升，深化理解
（设计意图：通过变式练习，提升学生运用代入消元法解决复杂问题的能力）
例3：已知二元一次方程组 x - 2y = 2k + 1 ① 3x - 2y = 5②的解满足 x + y = 6，求 k的值。
引导学生思考：可先求出方程组的解（用含k的式子表示），再代入x + y = 6中求k的值。
学生分组讨论解题思路，合作完成解题过程，之后小组代表分享解题步骤：
解：解方程组
由①，得x = 2k + 1③
把③代入②，得3(2k + 1) - 2y = 5，解得y = 3k - 1
因为x + y = 6，所以(2k + 1) + (3k - 1) = 6，解得k =65
【对应训练】
已知方程组2x + y = 5 x - 3y = 6与方程组mx + ny = 1 nx + my = -11的解相同，求 m和 n的值
解：先求解第一个方程组2x + y = 5 x - 3y = 6
由方程 2x + y = 5，得 y = 5 - 2x ③
将③代入 x - 3y = 6，得 x - 3(5 - 2x) = 6
展开并整理： x - 15 + 6x = 6，即 7x = 21，解得 x = 3
将 x = 3代入③，得 y = 5 – 2x3 = -1
因此，两个方程组的共同解为x = 3 y = -1
将 x = 3 y = -1代入第二个方程组 mx + ny = 1 nx + my = -11
得 3m - n = 1 3n - m = -11
由 3m - n = 1，得 n = 3m – 1 ④
将④代入 3n - m = -11，得 3(3m - 1) - m = -11
展开并整理： 9m - 3 - m = -11，即 8m = -8，解得 m = -1
将 m = -1代入④，得 n = 3x(-1) - 1 = -4。
因此， m = -1， n = -4。
（四）活动四：课堂小结与作业布置
（设计意图：梳理本节课知识，巩固所学内容）
随堂训练：完成教材对应课时的基础练习题和提升练习题。
课堂总结：师生共同回顾本节课内容，学生回答以下问题：
1.解二元一次方程组的核心思想是什么？
2.用代入法解二元一次方程组的具体步骤有哪些？
3.在运用代入法解题时，有哪些实用的技巧？
知识结构：展示本节课知识框架图，帮助学生构建知识体系。
作业布置：
教材P99习题10.2第2（3）（4）、5、9题。
拓展作业：尝试用代入消元法解决生活中的一个实际问题，写出解题过程。
五、板书设计
第1课时 用代入消元法解简单的二元一次方程组
情境问题：苹果x千克，香蕉y千克，列方程组；列一元一次方程8x + 5(12 - x) = 81。
核心思想：消元（化二元为一元）。
代入消元法定义：将一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示，代入另一个方程消元求解。
解题步骤：（1）变形（用一个未知数表示另一个未知数）；（2）代入（代入另一个方程）；（3）求解（解一元一次方程）；（4）回代（求另一个未知数）；（5）写解（规范书写解的形式）。
六、教学反思
本节课通过生活中的超市采购情境引入，更贴近学生生活，有效激发了学生的学习兴趣。在探究代入消元法的过程中，充分发挥学生的主体作用，让学生通过小组合作自主推导方法，加深了对知识的理解。但在教学过程中，发现部分学生在变形方程和代入计算时容易出错，后续教学中需加强这方面的专项练习，同时注重培养学生解题的规范性和细心程度。