初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 等腰三角形的判定优质课课件ppt

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 等腰三角形的判定优质课课件ppt，共29页。PPT课件主要包含了复习回顾，等腰三角形的性质，建立数学模型，ABAC，你能验证你的结论吗，等腰三角形的判定，∠1∠2，∵∠B∠C，ADAD，等腰三角形的判定方法等内容，欢迎下载使用。
3.等边三角形的性质定理与判定定理解决有关问题.(难点)
1.等腰三角形的两个底角相等.
简写成“等边对等角”.
2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合.
简写成“等腰三角形的三线合一”.
思考：对于一个三角形，要怎样来判定它是不是等腰三角形呢？除了定义法，还有没有其他的判定方法?
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系?
做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？
在△BAD 与△CAD 中，
∴△BAD≌△CAD(AAS).
∴AB = AC (全等三角形的对应边相等).
如图，作∠BAC 的平分线 AD.
∴ AC = AB ( )，即△ABC 为等腰三角形.
∵∠B =∠C ( )，
如果一个三角形有两个角相等，那么这个两个角所对应的边也相等（简写成“等角对等边”）.
例1 如图，在△ABC 中，已知∠A = 40°，∠B = 70°.求证：AB = AC.
证明 ∵∠A + ∠B + ∠C = 180°(三角形的内角和等于180°)，∠A = 40°，∠B = 70°，∴∠C = 180° -∠A -∠B， = 180° - 40° - 70° = 70°. ∴∠C =∠B.∴ AB = AC(等角对等边).
证明：∵ AB∥CD (已知)，∴∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等).又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠1 (等量代换).∴AB = AC (等角对等边).
例2 如图，AB∥CD，∠1 =∠2，求证：AB = AC.
分析 要证 AB = AC，可以设法证明∠B =∠1，而∠1 =∠2，因此只要证明∠B =∠2.
一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
1. 三个角都相等的三角形是等边三角形；2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形.
已知：如图，∠A =∠B =∠C.求证： AB = AC = BC.
证明：∵ ∠A =∠B， ∴ AC = BC. ∵ ∠B =∠C， ∴ AB = AC. ∴ AB = AC = BC.
判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
判定2：有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形.
证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC.
由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°.
若顶角 ∠A = 60°，
则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°.
∴∠B =∠C =∠A = 60°.
∴△ABC 是等边三角形.
如果是底角∠B = 60°(或∠C = 60°) 呢？
例3 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE 是等边三角形.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A = ∠B = ∠C.
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED .
∴△ADE 是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
例4 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC．
求证：AB = AC．
证明：∵AD∥BC，∴∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等)．又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠C.∴ AB = AC (等角对等边)．
例5 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠ACB =∠A'C'B' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C'，求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
证明：由于直角边 AC = A'C'，我们移动 Rt△ABC 使点 A 与点 A' 重合，点 C 和点 C' 重合，且使点 B 和点 B' 分别位于 A'C' 两侧.
∵ ∠A'C'B =∠A'C'B' = 90° (已知)，∴ ∠B'C'B =∠A'C'B +∠A'C'B' = 180°.即点 B、C'、B' 在同一条直线上.在△A'B'B 中，∵AB = A'B' = A'B (已知)，∴ ∠B =∠B' (等边对等角).在△ABC 和△A'B'C' 中， ∵∠B =∠B' (已证)， ∠ACB =∠ A'C'B' (已知)， AC = A'C' (已知)，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(AAS).
这样我们就证明了前面给出的 HL .判定定理
1. 如图，∠A=72°，∠B=36°，CD平分∠ACB.试指出图中的哪些三角形是等腰三角形，并说明理由.
∠BCD=∠ACD=36°
△ACD，△BCD，△ABC都是等腰三角形.
2. 如图，AB=DC，∠ABC=∠DCB，AC、BD相交于点E. 求证：EB=EC.
证明：在△ABC和△DCB中，∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB(SAS).∴∠ACB=∠DBC(全等三角形的对应角相等).∴EB=EC(等角对等边).
3. 如图，∠A=∠B，CE∥DA. 求证：CE=CB. 需再增加什么条件，可使△BCE成为等边三角形?
证明：∵CE∥DA，∴∠A=∠CEB(两直线平行，同位角相等).∵∠A=∠B，∴∠CEB=∠B.∴CE=CB(等角对等边).增加条件∠A=60°时，可使△BCE成为等边三角形（答案不唯一）.
1.等腰三角形的周长为 16，其中一条边的长是 6，求另两条边的长.
2.等腰三角形的底角比顶角大15°，求各个角的度数.
解：设顶角为x°，则底角为(15+x)°.由三角形的内角和等于180°，得x+2(15+x)=180，解得x=50，则15+x= 65.所以三角形各个角的度数分别为50°，65°，65°.
3.有两个三角形，它们的三个角分别为：① 20°，40°，120°；② 20°，60°，100°. 怎样把它们分别分成两个等腰三角形? 画出图形试试看.
解：如图①②所示，图①有两种分法.
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是边BC上的点，且BD=CE. 求证：∠ADE=∠AED.
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角).在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS).∴AD=AE(全等三角形的对应边相等).∴∠ADE=∠AED(等边对等角).
5. 如图，AB、CD相交于点E，EA=EC，AC∥BD. 求证：EB=ED.
证明：∵AC∥BD，∴∠D=∠C，∠B=∠A(两直线平行，内错角相等).∵EA=EC，∴∠A=∠C(等边对等角).∴∠B=∠D(等量代换).∴EB=ED(等角对等边).
6.如图，在等腰三角形ABC中，两底角的平分线BE、CD相交于点O. 求证：OB=OC，OD=OE.
7.如图，已知点D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足，且BE=CF，∠BDE=30°．求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵D为BC的中点，∴DB=DC.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°.∴△DEB和△DFC都是直角三角形.在Rt△DEB和 Rt△DFC中，∵DB=DC，BE=CF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).∴AB=AC(等角对等边). ∴△ABC是等腰三角形.在Rt△DEB中，∠BDE= 30°，∠B=90°−∠ BDE=90°−30°=60°. ∴△ABC是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形).
8. 在如图所示的三角测平架中，AB=AC，在边BC的中点D处挂一个重锤，自然下垂.调整架身，使点A恰好在重锤线上.试问：此时BC是否正好处于水平位置？为什么？
解：BC正好处于水平位置.理由如下:由题意可知AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC.而AD与地面垂直，∴BC与地面平行.∴BC正好处于水平位置.
4.已知底边及底边上的高线作等腰三角形.即：如图，已知线段a、h，求作△ABC，使AB=AC，BC=a，边BC上的高AD=h.