初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 等腰三角形的判定完美版课件ppt

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 等腰三角形的判定完美版课件ppt，共31页。PPT课件主要包含了探究新知，三个角都相等，等边三角形，两个底角相等，且都是60°，两条边相等，三条边都相等，等边三角形性质归纳，第4题，第5题等内容，欢迎下载使用。
1、能用所学的知识证明等腰三角形的判定定理与等边三角形的判定定理；2、能用等腰三角形性质定理与判定定理、等边三角形的性质定理与判定定理解决有关问题；
以下依旧以适配课堂教学的幻灯片分页形式，呈现12.3.2等腰三角形的判定内容，涵盖定理推导、推论拓展、例题解析等模块，助力学生掌握判定方法并灵活运用：1. **第1页：课题导入——逆向思考启新知** - 旧知回顾：复习等腰三角形“等边对等角”的性质，展示等腰△ABC（AB=AC），明确由边相等可推出角相等。 - 逆向提问：反过来，若一个三角形中有两个角相等，这个三角形是等腰三角形吗？比如等腰三角尺的两个底角相等，对应的两条腰也相等，普通三角形若两角相等是否也有这样的边的关系？ - 课题明确：本节课核心——探索等腰三角形的判定方法，掌握“等角对等边”及相关推论。2. **第2页：动手探究——验证猜想合理性** - 操作任务1：画△ABC，使∠B=∠C=50°，用刻度尺测量AB和AC的长度，记录数据；再换∠B=∠C=70°重复操作。 - 操作任务2：将画出的三角形沿过A点的直线对折，观察∠B和∠C重合时，AB与AC是否也重合。 - 初步结论：两次操作中均有AB=AC，折叠后AB与AC能完全重合，由此猜想：有两个角相等的三角形是等腰三角形。3. **第3页：核心定理——“等角对等边”的证明与表示** - 定理证明：已知在△ABC中，∠B=∠C，求证AB=AC。作∠BAC的平分线AD，在△ABD和△ACD中，$\begin{cases}∠B = ∠C \\∠BAD = ∠CAD \\AD = AD\end{cases}$，∴△ABD≌△ACD（AAS），故AB=AC。 - 规范表述：**有两个角相等的三角形是等腰三角形**，简写成“等角对等边”。 - 符号表示：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC。4. **第4页：推论拓展——特殊等腰三角形的判定** - 推论1（等边三角形判定1）：三个角都相等的三角形是等边三角形。证明：在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，由“等角对等边”得AB=AC，AC=BC，故AB=AC=BC。 - 推论2（等边三角形判定2）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。分情况证明：当等腰△ABC中顶角∠A=60°，则底角∠B=∠C=60°，三边相等；当底角∠B=60°，则顶角∠A=60°，三边也相等。 - 符号表示：①∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形；②∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形。5. **第5页：基础例题——直接应用判定定理** - 例题1：如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，求证△ABC是等腰三角形。 - 解答：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°-36°-72°=72°，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边），即△ABC是等腰三角形。 - 思路点拨：先通过内角和求出未知角，再利用“等角对等边”判定等腰三角形。6. **第6页：进阶例题——综合判定与性质运用** - 例题2：如图，AD平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为D，求证△ABC是等腰三角形。 - 解答：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD；∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°；在△ABD和△ACD中，$\begin{cases}∠BAD = ∠CAD \\AD = AD \\∠ADB = ∠ADC\end{cases}$，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴∠B=∠C，故AB=AC，△ABC是等腰三角形。 - 思路总结：通过全等证角相等，再用判定定理得出边相等，体现多知识点的衔接运用。7. **第7页：易错点辨析——规避常见错误** - 易错点1：跨三角形用“等角对等边”，如在△ABD和△ACD中，误将∠1=∠2推出BD=CD，忽略定理需在同一三角形内的前提。 - 易错点2：判定等边三角形时漏情况，如只认为顶角为60°的等腰三角形是等边三角形，忽略底角为60°的情况。 - 易错点3：证明时未完整推导角相等，直接得出边相等，如未证明∠B=∠C，就直接写AB=AC，推理逻辑不完整。8. **第8页：课堂练习——分层巩固** - 基础题：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，求证△BOD是等腰三角形（提示：利用平行线性质得角相等，再用“等角对等边”）。 - 提高题：如图，一艘船从A到B向正北航行50海里，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，求B到灯塔C的距离（提示：用三角形外角性质得角相等，再判定等腰三角形求边长）。9. **第9页：课堂小结与课后作业** - 小结：核心是“等角对等边”判定定理；两个推论可快速判定等边三角形；解题时要注意定理适用范围，衔接全等三角形等知识。 - 作业：①求证：有一条边上的中线与这条边上的高重合的三角形是等腰三角形；②在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求证BC=½AB，并思考该结论与等腰三角形判定的关联。
在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
对于一个三角形，怎样判定它是不是等腰三角形呢？
按定义，看它是否有两条边相等。
你还能找到其他的判定方法吗？
我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？
画画看，你发现了什么？
已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．求证：AB=AC．
想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论？
等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
∴∠B =∠C ( 等边对等角）.
∵AC = AB (已知)，
∴AC = AB ( 等角对等边）.
∵∠B =∠C (已知)，
它们的条件与结论正好调换了过来， 这也叫互逆命题.
【例1】 如图，在△ABC中，AB=AC，角平分线BD、CE相交于点O. OB与OC相等吗？请说明理由.
1、如图，在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°．求证：AB＝AC.
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°
∠A＝40°，∠B＝70°
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－40°－70°＝70°
∴ AB＝AC（等角对等边）
2、如图，AB//CD，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC.
∴∠B＝∠2（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1＝∠2 （已知）
∴∠B＝∠1 （等量代换）
∴AB＝AC（等角对等边）
一个三角形满足什么条件就是等边三角形?
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
1.三个角都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.求证： AB=AC=BC.
判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
已知： 若AB=AC , ∠A= 60°.求证： AB=AC=BC.
动动手 若AB=AC , ∠B= 60°，求证AB=AC=BC.
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(三条)
轴对称图形对称轴（3条）
轴对称图形对称轴（1条）
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条)
【例2】 如图，已知△ABC为等边三角形，点E、F分别在边AC、BC上，且AE=CF，AF与BE相交于点D.(1)求证:△ABE≌△CAF;(2)求∠BDF的度数.
解：(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠BAE=∠C=60°，AB=CA，
∴△ABE≌△CAF (SAS).
解：(2)∵△ABE≌△CAF,∴∠ABE=∠CAF.∴∠BDF=∠ABE+∠BAF =∠CAF+∠BAF =∠BAC=60°.
(2)求∠BDF的度数.
1.如图，在等边△ABC的AC边上取中点D，BC的延长线取一点E，使CE＝CD，连接BD，DE.求证：∠ABD＝∠E.
2.如图, 等边△ABC中, D、E、F分别是各边上的一点, 且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等边三角形．
3、如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．(1) 线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.
(2) AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
(2)△CEF是等边三角形．证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，∴∠ECF=60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等边三角形．
想一想：本题你还能得到哪些结论？
1.在△ABC中, 已知∠A=50°，∠B=65°，判断△ABC是什么三角形，为什么?
△ABC是等腰三角形, 因为∠B=65°, ∠A=50°, 所以∠C=65°, ∠B =∠C=65°,所以△ABC是等腰三角形.
2.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠1=_____，∠2=_____，图中的等腰三角形有___________________________.
A. 等腰直角三角形B. 一般的等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰钝角三角形
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
应用→证明同一个三角形中两边相等
证三个角都相等或有两个角等于60°
先证等腰三角形，再证有一个角等于60°