初中华东师大版（2024）1. 等腰三角形的性质优秀课件ppt

这是一份初中华东师大版（2024）1. 等腰三角形的性质优秀课件ppt，共37页。PPT课件主要包含了情境导入，做一做，我们可以得出结论，你还有新的发现吗，所以我们可以描述为，∠B＝∠C，探究归纳，知识要点，典例精析，AB＝AC等内容，欢迎下载使用。
3.能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)
这些图形有什么共同点？它们属于哪种三角形？
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
如图，AB＝AC，△ABC 是等腰三角形.
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰 AB、AC 重叠在一起，折痕为 AD. 你能发现什么现象吗？
1.等腰三角形是轴对称图形.
折痕 AD 所在直线是等腰三角形的对称轴.
∠B，∠C 是等腰三角形的 .
等腰三角形的两个底角相等.
等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
已知：如图，△ABC 中，AB = AC，求证：∠B =∠C .
分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线 AD，然后证明△ABD ≌ △ACD.
证明：作顶角∠BAC 的平分线 AD.在△ABD 与△ACD 中，∵AB＝AC，∠1＝∠2， AD＝AD，∴ △ABD≌△ACD（SAS），∴ ∠B＝∠C.
例1 已知：在△ABC 中，AB = AC，∠B = 80°，求∠C 和∠A 的大小.
想一想： 刚才的证明除了能得到∠B＝∠C ，你还能发现什么?
∠ADB＝∠ADC＝90°
性质 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合. 简写成“等腰三角形的三线合一”.
例2 在△ABC 中 ，AB = AC，D 是 BC 边上的中点，∠B = 30°. 求：（1）∠ADC 的大小；（2）∠1 的大小.
(2)∵∠1 +∠B +∠ADB = 180° ，∠B = 30° ， ∴∠1 = 180° - ∠B - ∠ADB = 180° - 30° - 90° = 60°.
∴∠ADC =∠ADB = 90°.
解：(1) ∵AB = AC，BD = DC，
如图所示，我们曾利用尺规作图作出一条线段 AB 的垂直平分线 PQ，现在你能证明所得的直线 PQ 确实是已知线段 AB 的垂直平分线吗？
在△APQ 和∠BPQ 中，∵AP = BP，AQ = BQ，PQ = PQ，∴△APQ≌△BPQ(SSS).∴∠APQ =∠BPQ(全等三角形的对应角相等).又∵AP = BP，∴ AO = BO 且 PQ⊥AB (等腰三角形的三线合一).因此直线 PQ 是已知线段 AB 的垂直平分线.
例3 按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ 是已知线段 AB 的垂直平分线.
证明：如图，设 AB 与 PQ 相交于点 O，连结 PA、PB、QA、QB.
如图所示，我们还曾利用尺规作图过点 C 作出已知直线 AB 的垂线 CP. 当点 C 在直线 AB 上时，垂线 CP 即是平角 ACB 的平分线，所在的直线，那么当点 C 在直线 AB 外时，你能证明所作的直线 CP 确实是直线 AB 的垂线吗？
点 C 在直线 AB 上
点 C 在直线 AB 外
相当于作线段 MN 的垂直平分线
就可以证明过点 C 所作的直线 CP确实是已知直线 AB 的垂线
三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？
因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到，∠B＝ ∠ C， 同理可得 ∠A＝∠B 所以 ∠A＝∠B＝∠C， 又由 ∠A＋∠B＋∠C＝180°， 从而推出 ∠A＝∠B＝∠C＝60°.
也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于 60°.
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.
例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数.
分析：(1) 找出图中所有的相等角；
(2) 图中有哪些等腰三角形；
∠C =∠BDC =∠ABC.
(3) 观察∠BDC 与∠A、∠ABD 的关系，∠ABC、∠C 呢?
∠BDC = ∠A +∠ABD = 2∠A = 2∠ABD，
∠ABC =∠BDC = 2∠A，
∠C =∠BDC = 2∠A.
(4) 设∠A = x°，请把△ABC 的内角和用含 x 的式子表示出来.
∵∠A +∠ABC +∠C = 180°，∴ x + 2x + 2x = 180°.
解：∵AB = AC，BD = BC = AD，∴∠ABC = ∠C = ∠BDC，∠A = ∠ABD.设∠A = x，则∠BDC =∠A + ∠ABD = 2x，从而∠ABC = ∠C = ∠BDC = 2x.于是在△ABC 中，有∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°，解得 x = 36°.在△ABC 中，∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°.
1.填空：（1）如果等腰三角形的一个底角为50°，那么其余两个角的度数分别为_____和______；（2）如果等腰三角形的顶角为70°，那么它的一个底角的度数为______.
2. 如图，点E在BC上，AE∥DC， AB=AE. 求证：∠B=∠C.
证明：∵AE∥DC，∴∠C=∠AEB(两直线平行，同位角相等).∵AB=AE，∴∠B=∠AEB(等边对等角).∴∠B=∠C.
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E. 求证：BD=CE.
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC=∠CEB=90°.在△BDC和△CEB中，∵∠BDC=∠CEB，∠BCD=∠CBE，BC=CB，∴△BDC≌△CEB(AAS).∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
4. 如图，AB=AC，∠B=40°，点D在BC上，且∠DAC=50°. 求证：BD=CD.
证明：∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°(等边对等角).∵∠DAC=50°，∴∠ADC=180°−∠C−∠DAC=90°，即AD⊥BC.又∵AB=AC，∴BD=CD(等腰三角形的三线合一).
1．在△ABC中，已知∠A＝70°，若△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是(　　)A．70° B．55°C．55°或70° D．40°或55°或70°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝(　　)A．100° B．115° C．130° D．145°
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数为________．
4. 如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD.(1)试说明∠ABC＝2∠C；
【解】∵AB＝AD＝CD，∴∠ABC＝∠ADB，∠C＝∠DAC.∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2∠C.∴∠ABC＝2∠C.
(2)过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AE＝AB，求证：AD平分∠BAC.
【证明】∵AE＝AB，∴∠E＝∠ABE.∵BE∥AD，∴∠CAD＝∠E，∠BAD＝∠ABE，∴∠CAD＝∠BAD，∴AD平分∠BAC.
5. “一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉．前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄．饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳．此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔．”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶部可看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是边BC上的一点．下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是(　　)A．∠ADB＝∠ADCB．AD⊥BDC．BC＝2ADD．△ABD与△ACD的周长相等
6．如图，△ABC的周长为20，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为16，那么AD的长为________．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝118°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BC边的延长线上，则∠CAE的度数是(　　)A．56° B．58° C．60° D．62°
【点拨】∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴AC＝AE.∵B，C，E三点在同一直线上，∠ACB＝118°，∴∠AEC＝∠ACE＝62°，∴∠CAE＝180°－∠AEC－∠ACE＝56°，故选A.
9. 如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE，OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，则OE＋OF的值为________．
10. 如图，△ABC中，AB＝AC＝13，S△ABC＝65，AD是∠BAC的平分线，E是AD边上的动点，F是AB边上的动点，则BE＋EF的最小值为________．
11. 如图，在△ABC中，BA＝AC＝20 cm，BC＝16 cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2 cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为__________cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．