初中第五章 分式与分式方程3 分式方程第1课时教学设计

这是一份初中第五章 分式与分式方程3 分式方程第1课时教学设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教学目标
1.理解分式方程的概念，并能判断一个方程是不是分式方程.
2.理解分式方程的意义，会根据实际问题建立分式方程的数学模型.
3.经历探索分式方程概念的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力.
4.培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心，感受数学之美，探究之趣.

二、教学重难点
重点：理解分式方程的概念，并能判断一个方程是不是分式方程.
难点：理解分式方程的意义，会根据实际问题建立分式方程的数学模型.

三、教学过程
复习回顾
教师活动：先提出问题，学生思考后回答问题.
问题1：方程的定义是什么？
预设：含有未知数的等式是方程.
问题2：什么是一元一次方程？
预设：在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的指数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.
问题3：下列方程是一元一次方程吗？若不是，说一说是什么方程？
(1) 3x+1 = 8 (2) 2x + y = 8 (3) 2x=5x−2
预设：(1)是一元一次方程；(2)是二元一次方程，不是一元一次方程；(3)不是，也不是我们已学的方程.
提问：它不是我们已学的方程，那它是什么方程呢？
设计意图：通过复习回顾及相应的练习，引出新的问题，为本节课要学习的内容做准备.
探究新知
活动一：分式方程
教师活动：通过两个生活中的实例，引导学生列出方程，找到三个方程的共同特点，归纳概括出分式方程的概念.
京张高速铁路正线全长174km，在这条线路上，甲列车的平均行驶速度是乙列车的2倍，甲列车从北京市到张家口市的行驶时间比乙列车少56h.
(1)你能找出这一情境中的所有等量关系吗？
(2)如果设乙列车的平均行驶速度为x km/h，那么x满足怎样的方程？
(3)如果设甲列车从北京市到张家口市的行驶时间是y h，那么y满足怎样的方程？
预设：(1)①甲列车的平均行驶速度=2×乙列车的平均行驶速度.
②乘特快列车所用时间-乘高铁列车所用时间=56 h.
(2) 174x−1742x=56
(3)174y=2×174y+56
【尝试·思考】
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款.已知七年级同学捐款总额为4 800元，八年级同学捐款总额为5 000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等.如果设七年级捐款人数为x人，那么x应满足怎样的方程？
预设：根据题意，先找到等量关系：
①七年级捐款人数+20=八年级捐款人数；
②七年级平均捐款额=八年级平均捐款额.
再根据等量关系列出方程：4800x=5000x+20
设计意图：引导学生，分析两个生活实例的等量关系，设出对应的未知数，列出方程，为归纳总结分式方程的概念做准备.
【观察·交流】
教师活动：引导学生找到三个方程的共同点，由此归纳得出分式方程的概念式
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：174x−1742x=56；174y=2×174y+56；4800x=5000x+20
思考：上述三个方程有什么共同特点？
预设：分母中都含有未知数.
追问：你能根据上述三个方程的共同点，给这样的方程下个定义吗？
设计意图：引导学生根据已有的方程知识和经验，通过观察与思考，用自己的语言描述它们的共同特点；最后再组织全班学生进行交流.
【归纳】
分式方程的概念：
方程174x−1742x=56，174y=2×174y+56 ，4800x=5000x+20 ，分母中都含有未知数，像这样的方程叫作分式方程.
分式方程必须满足的条件(三者缺一不可)
(1)是方程(含有未知数的等式)；
(2)含有分母；
(3)分母中含有未知数.
设计意图：明确分式方程的概念.
想一想：下列式子，哪些是关于x的分式方程？
ax−3=2 xa−2=x
预设：第一个是分式方程，第二个是整式方程.
结论：分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如方程xa−2=x (a为非零常数)，分母中虽然含有字母a，但a不是未知数，所以该方程是整式方程.
分式方程中分母含有未知数，整式方程中分母不含未知数.
设计意图：目的让学生区分整式方程和分式方程.
【尝试·思考】
你能求出方程174x−1742x=56 的解吗？你是怎样思考的？
提示““174x−1742x”这一部分可以先通分.
预设：174x−1742x=56
通分：174×2−1742x=56
1742x=56
174×6=2x×5
1044=10x
x=104.4
应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【经典例题】
例1 下列式子，哪些是分式方程：
1xπ−5=1 22xx−2=x+23x−1
323x+12x 4x2x=8
5x−12=1
分析：分式方程必须满足的条件：
(1) 是方程(含有未知数的等式)；
(2) 含有分母；
(3) 分母中含有未知数.(三者缺一不可)
解：(1)不是分式方程，π是数字，即分母没有未知数.
(2)是分式方程；
(3)没有等号，不是方程.
(4)判断是否为分式方程，看原式，不化简.是分式方程
(5)分母中没有未知数.
设计意图：通过例题的解答，引导学生如何去判断一个方程是否是分式方程.
课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【自选练习】
1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
(1)2x−1=1x+2
(2)x+12=x
(3)3−x3x+1=4
(4)x5=x+24
答案：(1)(2)是分式方程，(3)(4)是整式方程.
2.下列说法正确的是( )
A.分母中含有未知数的式子就是分式方程
B.含有字母的方程叫做分式方程
C.分式方程中，分母中一定含有未知数.
D.分式方程就是含有分式的方程.
答案：C
3.下列方程中是分式方程的是( )
A. xa=axx≠0 B.x+13−x−12=−1
C. 12x−13y=15 D.xπ=x3+x2
答案：A
4.据联合国《2010年世界投资报告》,中国2009年吸收外国投资额达950亿美元, 比上一年减少了12%.设2008年我国吸收外国投资额为x亿美元，请你写出x满足的方程.你能写出几个方程？其中哪些是分式方程？
解：根据题意可得：
x=9501−12%，x−950=12%x ， (1−12%)x=950, x−950x=12% ， 950x=1−12%
其中x−950x=12% ， 950x=1−12%是分式方程.
【教材练习】
5.2021年，我国全年货物进出口总额为391 009亿元，比2020年增长21.4%.设2020年我国全年货物进出口总额为x亿元，请你写出x满足的方程，你能写出几个？其中哪一个是分式方程？
解：x=3910091+21.4%，391 009−x=21.4%x，(1+21.4%)x=391 009，
391009−xx×100%=21.4%，391009x=1+21.4%等，
其中391009−xx×100%=21.4% ，391009x=1+21.4%是分式方程.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.