初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 等腰三角形的判定课时练习

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 等腰三角形的判定课时练习，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在一个单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3 ， △A 3A 4A 5 ， △A 5A 6A 7 ， …，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2（1，﹣1），A 3（0，0），则依图中所示从律，A 2022的纵坐标为（ ）
A . ﹣1010 B . 1010 C . ﹣1011 D . 1011
2.已知a、b、c是三角形的三边长，且满足（a﹣b） 2+|b﹣c|=0，那么这个三角形一定是（ ）
A . 直角三角形
B . 等边三角形
C . 钝角三角形
D . 等腰直角三角形
3. 如图所示，各边相等的五边形ABCDE中，若∠ABC=2∠DBE，则∠ABC等于 （ ）
A . 60° B . 120° C . 90° D . 45°
4.如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE ∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ）
A . 10 B . 7 C . 5 D . 4
5.已知线段a、b（a>2b），以a、b为边作等腰三角形，则（ ）
A . 只能作以a为底边的等腰三角形
B . 只能作以b为底边的等腰三角形
C . 可以作分别以a、b为底边的等腰三角形
D . 不能作符合条件的等腰三角形
二、填空题
1.已知：如图，在 △ABC、 △ADE中， ∠BAC=∠DAE=90° ， AB=AC ， AD=AE ， BD、 CE相交于点 O ， P、 Q分别是 BD、 CE的中点．有下列结论：① BD=CE；② BD⊥CE；③连结 AP、 AQ ， 则 △APQ为等腰直角三角形；④连结 OA ， 则 OA平分 ∠BOE ． 其中，正确的结论是： ________ ．（只填序号）
2.凸四边形是指四边形内任意两点间的线段全部位于该四边形内部，且四个内角均小于180度的四边形．在平面直角坐标系中，已知凸四边形 AOBC的边 OA=OB=BC≠AC ， 且点 O0,0 ， 点 A0,16 ， 点B在x轴的正半轴，如果对角线 OC把四边形 AOBC分割成了两个等腰三角形，那么点C的坐标为 ________ ．
3.如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= ________ 时，△AOP为等边三角形．
4.如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含 45°的三角尺，即等腰直角 △MNK和等腰直角 △ABC做了一个探究活动：将 △MNK的直角顶点 M放在 △ABC的斜边 AB的中点处，设 AC=BC=5 ， 此时重叠部分四边形 CEMF的面积为 ________ ．
5.如图，∠ACB＝90°，AC＝CD，过点D作AB的垂线交AB的延长线于点E.若AB＝2DE，则∠BAC的度数为 ________ .
6.已知 △ABC和 △EDF都是等腰三角形，且 △ABC≌△FED ， 顶角 ∠C=40° ． 等腰 △EDF的顶点 D在 AC边上滑动，点 E在 BA边的延长线上滑动．将线段 DA绕点 D逆时针旋转 40°得到线段 DG ， 连结 EG、 FG ， 若 △EFG是以 FG为腰的等腰三角形，则 ∠FGE= ________ ．
7.如图，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥BC，交AC于点E，EF平分∠AED，交AB于点F，连接CF，下列四个结论：① ∠CDE＝∠DCE；② CD∥EF；③ ∠CDE＝ 32∠CFE；④ S △ ACF＝S △ ADE ， 其中正确的结论有 ________

8.如图，AB 是半圆直径，半径OC⊥AB 于点O，AD 平分∠CAB 分别交OC 于点E，交 BC于点D，连接CD，OD，给出以下四个结论：(①S△AEC=2S△DEO；②AC=2CD；③DO 2=DE·DA； ④2CD2=CE⋅AB..其中正确结论的序号为 ________ .
三、综合题
1.在 Rt△ABC中， ∠ACB=90° ， ∠A=30° ， BD是 △ABC的角平分线， DE⊥AB于 E ．
（1） 如图1，连接 CE ， 求证： △BCE是等边三角形；
（2） 如图2，点 M为 CE上一点，连接 BM ， 作等边 △BMN ， 连接 EN ， 求证： EN∥BC；
（3） 如图3，点 P为线段 AD上一点，连接 BP ， 作 ∠BPQ=60° ， PQ交 DE延长线于 Q ， 探究线段 PD ， DQ与 AD之间的数量关系，并证明．
2.如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．
（1） 求证：∠BDC= 12 ∠BAC；
（2） 若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（3） 在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．
3.如图，点P是∠MON内部一点，过点P分别作PA∥ON交OM于点A，PB∥OM交ON于点B（PA≥PB），在线段OB上取一点C，连接AC，将△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，延长AD交PB于点E，延长CD交PB于点F.
（1） 如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DF＝PF；
（2） 如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由；
（3） 如图3，在（2）的条件下，连接CE，∠ACE的平分线CH交AE于点H，设OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面积（用含a，b的代数式表示）.
四、解答题
1.
（1）如图1，两个等腰三角形 △ABC和 △ADE中， AB=AC ， AD=AE ， ∠BAC=∠DAE ， 连接 BD ， CE ． 则 △ADB≌_______________，此时线段 BD和线段 CE的数量关系式_____________________；
（2）如图2，两个等腰直角三角形 △ABC和 △ADE中， AB=AC ， AD=AE ， ∠BAC=∠DAE=90° ， 连接 BD ， CE ， 两线交于点P，请判断线段 BD和线段 CE的关系，并说明理由；
（3）如图3，分别以 △ABC的两边 AB ， AC为边向 △ABC外作等边 △ABD和等边 △ACE ， 连接 BE ， CD ， 两线交于点P．请直接写出线段 BE和线段 CD的数量关系及 ∠PBC+∠PCB的度数．
2.如图，把矩形纸片 OABC放入直角坐标系中，使 OA、 OC分别落在 x轴、 y轴的正半轴上，连接 AC ， 将 △ABC沿着 AC翻折，点 B落在该坐标平面内，设这个落点为 D ， CD交 x轴于点 E ， 已知 CB=8 ， AB=4 ．
（1） 求 △ACE的面积；
（2） 点 D的坐标；
（3） 若 P为 x轴上一动点，直接写出当 △PCD为等腰三角形时的 P点坐标．
3.△ABE和 △AFC均为等腰直角三角形， ∠EAB=∠FAC=90° ．
（1） 如图1，连接 EC ， BF ， EC与 BF交于点 D ， 请问 EC ， BF有怎样的数量和位置关系？为什么？
（2） 如图2，连接 EF ， N是 EF中点，连接 NA并延长交 BC于点 M ． AM与 BC有怎样的位置关系？为什么？
4.问题：如图1，在等边 △ABC内部有一点P，已知 PA=3 ， PB=4 ， PC=5 ． 求 ∠APB的度数？
（1） 请写出常见四组勾股数：______、______、______、______．
（2） 解决方法：通过观察发现 PA、 PB ， PC的长度符合勾股数，但由于 PA ， PB、 PC不在一个三角形中，想法将这些条件集中在一个三角形，于是可将 △ABP绕A逆时针旋转 60°到 △AP'C ， 此时 △ABP≌△ACP' ， 这样利用等边三角形和全等三角形知识，便可求出 ∠APB=______．
（3） 应用：请你利用（2）题的思路，解答下面的问题：如图2，在 △ABC中， ∠CAB=90° ， AB=AC ， E，F为 BC的点，且 ∠EAF=45° ， 若 BE=m ， FC=n ， 请求出线段 EF的长度（用m、n的代数式表示）；
五、阅读理解
1.（1）阅读理解：
如图1，在 △ABC中，若 AB=5 ， BC=3 ． 求 AC边上的中线 BD的取值范围．
某同学是这样思考的：延长 BD至点 E ， 使 DE=BD ， 连接 CE ． 利用全等将边 AB转化到 CE ， 在 △BCE中利用三角形三边关系即可求出中线 BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 .中线 BD的取值范围是 ．
（2）问题解决：
如图2，在 △ABC中，点 D是 AC边的中点，点 M在 AB边上，点 N在 BC边上，若 DM⊥DN ． 求证： AM+CN>MN ．
（3）问题拓展：
如图3，在 △ABC中，点 D是 AC边的中点，分别以 AB ， BC为直角边向 △ABC外作等腰直角三角形 ABM和等腰直角三角形 BCN ， 其中 ∠ABM=∠NBC=90° ， 连接 MN ， 探索 BD与 MN的数量关系和位置关系，并说明理由．

2.先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式 am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出 a ， 再把它的后两项分成一组，并提出 b ， 从而得 am+an+bm+bn=am+n+bm+n ． 这时，由于 am+n+bm+n中又有公因式 m+n ， 于是可提公因式 m+n ， 从而得到 m+na+b ， 因此有 am+an+bm+bn=am+an+bm+bn=am+n+bm+n=m+na+b ．
这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．
（1） 请用上面材料中提供的方法分解因式：
① ab−ac+bc−b2；② x2y2−2x2y−4y+8 ．
（2） 已知 △ABC的三边长为 a ， b ， c ， 并且 a2+b2+c2−ab−bc−ca=0 ， 试判断此三角形的形状．
3.阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如 x2−4y2−2x+4y ， 细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
x2−4y2+2x−4y
=(x2−4y2)+(2x−4y)
=(x+2y)(x−2y)+2(x−2y)
=(x−2y)(x+2y+2)
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2−6xy+9y2−3x+9y
（2） ΔABC的三边 a,b,c满足 a2−b2−ac+bc=0 ， 判断 ΔABC的形状．