数学八年级下册（2024）3 直角三角形习题课件ppt

这是一份数学八年级下册（2024）3 直角三角形习题课件ppt，共30页。
 　直角三角形全等的判定(HL)
1.【学科特色·教材变式】(2025山西太原月考)下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是 ( )A.斜边和一条直角边分别相等B.一个锐角和斜边分别相等C.两条直角边分别相等D.两个锐角分别相等
解析    A.利用HL可以判定两个直角三角形全等;B.利用AAS可以判定两个直角三角形全等;C.利用SAS可以判定两个直角三角形全等;D.由两个锐角分别相等不能得到两个直角三角形全等.故选D.
2.(2025四川绵阳梓潼月考)如图,在△ABO和△DCO中,AB⊥BO,CD⊥CO,AO=DO,若用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCO,则需要添加的条件是 ( )A.AB=DCB.∠A=∠DC.∠AOB=∠DOC　　　    D.OB=OD
解析　∵AB⊥BO,CD⊥CO,∴∠ABO=∠DCO=90°,A.已知AO=DO,AB=DC,可用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCO,符合题意;B.已知∠A=∠D,AO=DO,可用“AAS”判定△ABO≌△DCO,不符合题意;C.已知∠AOB=∠DOC,AO=DO,可用“AAS”判定△ABO≌△DCO,不符合题意;D.若OB=OD=AO,则∠ABO不是直角,与题意不符.故选A.
3.(2025甘肃酒泉肃州期中)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,E是AD上一点,且DE=DC,AC=BE,若BD=4,则AD=______. 
解析　由题意可知AD⊥BC,∴∠ADC=∠BDE=90°,在Rt△ADC和Rt△BDE中,AC=BE,DC=DE,∴Rt△ADC≌Rt△BDE(HL),∴AD=BD=4.故答案为4.
4.如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD和CE交于点O,则图中全等的直角三角形有_________对. 
解析　∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠ADB=∠AEC=∠BDC=∠BEC=90°.又∵AC=AB,∠CAE=∠BAD,∴△AEC≌△ADB(AAS),∴CE=BD.又∵BC=CB,∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL),∴BE=CD,∵∠BEC=∠CDB=90°,∠EOB=∠DOC,BE=CD,∴△BOE≌△COD(AAS).∴共有3对全等的直角三角形.故答案为3.
5.(2025上海实验学校期末)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC于点D,EC⊥BC于点C,且AB=BE,CD=CE.求证:(1)AB=AC.(2)Rt△ABD≌Rt△BEC. 
证明    (1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ADB和△ADC中,∠BAD=∠CAD,AD=AD,∠ADB=∠ADC,∴△ADB≌△ADC(ASA),∴AB=AC.(2)∵△ADB≌△ADC,∴BD=CD,∵CD=CE,∴BD=CE.∵EC⊥BC,∴∠BCE=90°.在Rt△ABD和Rt△BEC中,AB=BE,BD=EC,∴Rt△ABD≌Rt△BEC(HL).
6.(2025山东德州期中)证明命题:如果两个直角三角形有一条直角边和斜边上的高分别对应相等,那么这两个直角三角形全等.画出图形,写出已知、求证,并证明.
解析　已知:如图,在Rt△ABC和Rt△DFE中,∠ACB=∠DEF=90°,CG⊥AB于点G,EH⊥DF于点H,AC=DE,CG=EH.求证:Rt△ABC≌Rt△DFE.      证明:∵EH⊥DF,CG⊥AB,∴∠DHE=∠AGC=90°.在Rt△ACG与Rt△DEH中,AC=DE,CG=EH,
∴Rt△ACG≌Rt△DEH(HL),∴∠A=∠D,在Rt△ABC与Rt△DFE中,∠A=∠D,AC=DE,∠ACB=∠DEF,∴Rt△ABC≌Rt△DFE(ASA).
7.【学科特色·易错题】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当AP的长为何值时,△ABC与△PQA全等? 
解析　∵AO⊥AC,∴∠PAQ=90°=∠C,当AP=BC=5时,∵PQ=AB,AP=BC,∴Rt△QAP≌Rt△ACB(HL).当AP=AC=10时,∵PQ=AB,AP=AC,∴Rt△PAQ≌Rt△ACB(HL).综上,当AP的长为5或10时,△ABC与△PQA全等.
易错警示　本题要考虑AP=BC和AP=AC两种情况,易因考虑问题不全面而出错.
8.【学科特色·一线三垂直模型】(2025云南昭通昭阳期末,★★☆)如图,∠D=∠E=∠ACB=90°,下列条件中,能使Rt△ADC≌Rt△CEB的有 ( )①∠ABC=45°;②AD=CE;③AC=2AD;④CD=BE.
A.1个　　    B.2个　　    C.3个　　    D.4个
解析　由∠D=∠E=∠ACB=90°,易知∠DAC=∠ECB,∠DCA=∠EBC,①∵∠ACB=90°,∠ABC=45°,∴AC=BC,根据ASA可以判定△ADC≌△CEB,∴①符合题意.②∵∠DAC=∠ECB,∠DCA=∠EBC,AD=CE,∴△ADC≌△CEB(AAS),∴②符合题意.③由∠D=90°,AC=2AD,易得∠ACD=30°,∴∠EBC=30°,∴BC=2CE,不能判定Rt△ADC≌Rt△CEB,∴③不符合题意.
④∵∠DAC=∠ECB,∠DCA=∠EBC,CD=BE,∴△ADC≌△CEB(AAS),∴④符合题意.故选C.
模型解读　一线三垂直模型如图,AC⊥BC,AD⊥DE,BE⊥DE,AC=BC(或AD=CE或DC=BE),则△ADC≌△CEB,DE=AD+BE. 
9. 【新考向·数学文化】(2025广东湛江寸金培才学校期中,★★★)勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠.被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生给出了多种勾股定理的证法.其中一种是在下图的基础上,运用“出入相补”原理完成的,即把一个几何图形分割成若干部分后,面积的总和保持不变.在△ABC中,∠ACB=90°,四边形ABDE、四边形ACFG、四边形BCHI均为正方形,HI与AE相交于点J,点D在直线HI上.若△AHJ,△DEJ的面积分别为2和6,则直角边AC的长为____.
解析　由题意可知AB=BD,BC=BI,∠ACB=∠DIB=90°,∴Rt△ABC≌Rt△DBI(HL),∴S△ABC=S△DBI,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,∴S正方形ACFG+S正方形BCHI=S正方形ABDE,∴S正方形ACFG+S△ABC+S△AHJ+S四边形AJIB=S△BID+S△DEJ+ ,∴S正方形ACFG+S△AHJ=S△DEJ,∴S正方形ACFG=S△DEJ-S△AHJ=6-2=4,∴AC2=4,∴AC=2(已舍负值).故答案为2.
10.【学科特色·多解法】(2025山东青岛期中,★★☆)数学兴趣小组在解答一道数学题:如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AD=BC.求证:BD=AC.小丽说:“我可以根据全等三角形的判定定理AAS证明两个三角形全等,进而推得BD=AC.”
小贾说:“我可以根据直角三角形全等的判定定理HL证明两个三角形全等,从而得到BD=AC.”小雨说:“我可以根据三角形的面积相等,来证明BD=AC.”你认为他们的方法可行吗?并试着选择一种方法给出证明.
解析　他们的方法都可行.选择小丽的方法,证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠D=∠C=90°.在△AOD和△BOC中,∠D=∠C,∠AOD=∠BOC,AD=BC,∴△AOD≌△BOC(AAS),∴AO=BO,DO=CO,∴AO+CO=BO+DO,∴BD=AC.选择小贾的方法,证明:如图,连接AB,∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠D=∠C=90°.
在Rt△ABD和Rt△BAC中,AB=BA,AD=BC,∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL),∴BD=AC.选择小雨的方法,证明:如图,连接AB,∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠D=∠C=90°.在△AOD和△BOC中,∠D=∠C,∠AOD=∠BOC,AD=BC,
∴△AOD≌△BOC(AAS),∴S△AOD=S△BOC,∴S△AOD+S△AOB=S△BOC+S△AOB,∴S△ABD=S△ABC,∴ AD·BD= BC·AC.∵AD=BC,∴BD=AC.
11. 【新课标·推理能力】(2025安徽阜阳太和期末)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是AC边上一点,连接BD,EC⊥AC,且AE=BD,AE与BC交于点F,与BD交于点O.(1)求证:CE=AD.(2)BD与AE有怎样的位置关系?证明你的结论.(3)若BD平分∠ABC,求证:AD=CF.
解析    (1)证明:∵EC⊥AC,∴∠ACE=90°,在Rt△ABD与Rt△CAE中,BD=AE,AB=AC, ∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL),∴CE=AD.(2)BD⊥AE.证明:∵Rt△ABD≌Rt△CAE,∴∠ABD=∠CAE,∵∠ABD+∠ADB=90°,∴∠CAE+∠ADB=90°,∴∠AOD=90°,∴BD⊥AE.(3)证明:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,又∵∠ABD=∠CAE,∴∠CBD=∠CAE,