北师大版（2024）数学八年级下册 1.3 直角三角形 第1课时（课件+教案）

北师版-数学-八年级下册第一章 三角形的证明及其应用3 直角三角形第1课时 直角三角形的性质与判定1.什么是勾股定理？定理：______三角形___________的平方和等于____的平方．直角两条直角边斜边 4  B古埃及人曾经用下面的方法画直角： 将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？命题角度1　判定直角三角形问题：直角三角形的两锐角互余，为什么？根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”.如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？判断直角三角形的方法：(1)有一个角为直角；(2)两个锐角互余；(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．例1 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( )A．三内角之比为1∶2∶3 B．三边长分别为5，12，14C．三边长之比为3∶4∶5 D．三角形三个内角中有两个角互余例2 若三角形的三边长分别为6，8，10，则它的最长边上的高为____．B4.8 定理 直角三角形的两个锐角互余. 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.∵∠B = 90°，∴∠A +∠C = 90°.性质定理1：直角三角形的两个锐角互余．证明：在△ABC中，已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A＋∠B＝90°.∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝180°－90°＝90°.∠A＋∠B＋∠C＝180°，性质定理1逆定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B＝90°.求证：△ABC是直角三角形．∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－90°＝90°∴△ABC是直角三角形． 利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理. 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.命题角度2　折叠问题理解折叠前后的图形全等，找准相等的角和边，利用方程思想，结合勾股定理算出要求的线段或角．EFGHI 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，BC = a，AC = b，AB = c.分别以 Rt△ABC 的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG. 连接 EB，CH.勾股定理的证明D过点 C 作 AB 的垂线，分别交 AB 和 HI 于点 M，N.∵EA = CA,∠EAB =∠CAH=90°+ ∠CAB ， AB = AH，∴△EAB ≌△CAH（SAS）.又∵S正方形 ACDE= 2S△EAB，S长方形AHNM = 2S△CAH，∴b2 = S长方形AHNM.同理 a2 = S长方形MNIB.∴ c2 = a2 + b2. D例4 如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，则EC＝___cm.3命题角度3　勾股定理的应用【勾股定理及其逆定理】问题1：直角三角形的三条边有什么样的数量关系？问题2：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，它是直角三角形吗？已知：如图1-24（1），在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.求证：△ABC是直角三角形．分析：要从边的关系推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．证明：如图1-24（2），作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′＝AC，∵AB2＋AC2＝BC2，∴BC2＝B′C′2，∴BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．因此，△ABC是直角三角形．则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2(勾股定理)．A’B’C’图1-24（2） 定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.例5 如图，在高为3 m，斜坡长为5 m的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少是 ( )A．5 m B．7 m C．8 m D．9 mB例6 如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4 m，AB＝8 m，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD约为____m(结果精确到0.1)．2.9命题角度4　最短路程此类问题一般将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短，确定最短路程．求解过程中常构建直角三角形，用勾股定理求出相关线段的长．例7 图①所示的正方体木块的棱长为4 cm，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为_____________cm. 例8 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面半径等于3 cm，在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)  ∴需要爬行的最短路程是15 cm.命题角度5　互逆命题(定理)的识别交换命题的条件部分与结论部分，则得到的新命题与原命题为互逆命题，但互逆命题不一定是互逆定理，而互逆定理一定是互逆命题．【互逆命题和互逆定理】观察下面三组命题，它们的条件和结论之间有什么关系？如果两个角是对顶角，那么它们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角.如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等.想一想：如果原命题是真命题，那么逆命题一定是真命题吗？互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例9 下列说法正确的是 ( )A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是假命题例10 下列定理中，没有逆定理的是( )A．等腰三角形的两个底角相等B．对顶角相等C．三边对应相等的两个三角形全等D．直角三角形两个锐角的和等于90°AB1.填空．(1)每个命题都是由________、________两部分组成，命题“对顶角相等”的条件是__________，结论是______；(2)“对顶角相等”是______命题；“我们是小学生”是______命题；(选填“真”或“假”)(3)把“等腰三角形两底角相等”改写成“如果……那么……”的形式：______________________________________________；条件结论对顶角相等真假如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两底角相等(4)直角三角形的两个锐角_____；有两个角互余的三角形是___________；(5)说出你知道的勾股数，勾股定理的内容是：____________________________________________．互余直角三角形直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方2．已知两条线段的长为3 cm和4 cm，当第三条线段的长为________cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．3．如图，在四边形ABCD中，AD⊥DC，AD＝8，DC＝6，CB＝24，AB＝26，则四边形ABCD的面积为_______． 1444. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E 为 BC 上的一点，且∠BAE = 25°，∠CDE = 65°，AE = 2，DE = 3，求 AD 的长.解：∵AB∥CD，∴ ∠BAD +∠ADC = 180°，又∵∠BAE = 25°，∠CDE = 65°，∴∠EAD +∠ ADE = 90°，根据勾股定理，AD2 = AE2 + DE2 = 22 + 32 = 13, 直角三角形角的性质边的性质互逆命题与互逆定理互逆命题互逆定理一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理第一个命题的条件是第二个命题的结论；第一个命题的结论是第二个命题的条件.