初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）3 直角三角形第2课时教案

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）3 直角三角形第2课时教案，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教学目标
1.能够证明直角三角形全等的“HL”定理，能用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形；
2.利用“HL”定理解决实际问题；
3.通过对一般三角形与直角三角形全等判定方法的比较，初步感受普遍性与特殊性之间的辩证关系；
4.进一步掌握推理证明的方法，提升演绎推理能力和思维能力.

二、教学重难点
重点：掌握判定直角三角形全等的条件；证明“斜边、直角边”(HL)定理的思路探究和分析.
难点：能运用直角三角形全等解决一些简单的实际问题.

三、教学过程
复习回顾
教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答.
问题1：勾股定理：
预设：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
a2+b2=c2
问题2：勾股定理的逆定理：
预设：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
a2+b2=c2
问题3：三角形全等的公理及推论有哪些？
预设：判定公理：SSS，SAS，ASA； 推论：AAS.
问题4：在△ABC和△DEF中，已知∠A= ∠D， AB= DE，欲证△ABC ≌△DEF，还需条件__ 或 或 .
预设：∠B= ∠E；∠C= ∠F；AC=DF.
教师带动学生，让学生积极回答问题.
设计意图：通过回顾三角形全等的判定方法，为直角三角形全等判定定理HL的探究做好铺垫.
探究新知
教师活动：教师重视学生的课堂参与，让学生在活动中自主探究以及与同伴交流，有条理地进行思考和表达思考的过程，获得分析问题和解决问题的能力.
思考：已知两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？
答案：不一定全等.
追问：如果其中一组等边所对的角是直角呢?
【练一练】
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
已知: 线段a、c(a﹤c)，直角α.
求作：Rt△ABC，使∠C=90°，BC=a，AB=c.
追问：你能画出这个三角形吗？
教师活动：鼓励学生先自主思考这一尺规作图的方法，对有困难的学生进行必要的指导，然后通过交流使所有学生理解这一作图步骤.在完成作图后，引导学生用数学语言归纳、概括由此获得的猜想.
作法：
1.作射线CN；
2.过点C作射线CN的垂线CM；
2.在射线CM上截取线段CB=a；
3.以点B为圆心，线段c的长为半径画弧，交射线CN于点A；
4.连接AB，△ABC就是所要作的直角三角形 .
交流探索：
(1)你作的△ABC是唯一的吗？
(2)拿着你刚画好的直角三角形，和同桌的及小组内比比看，这些直角三角形有怎样的关系呢？
教师活动：要求学生先独立思考，然后小组展开交流，最后派两位同学上台讲解，并及时对学生肯定和鼓励.
定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
前提：两个直角三角形.
条件1：斜边对应相等.
条件2：一条直角边对应相等.
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示.
设计意图：按照一定长度的线段和角度要求同学们所作的直角三角形应该是全等的.通过作图活动，引入对直角三角形全等的判定定理的证明.
追问：你能证明它的正确性吗？
已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′．
【分析】根据勾股定理求出BC及B′C′，再根据SSS定理进行判定.
证明：在△ABC中，
∵∠C=90°，∴BC2=AB2-AC2 (勾股定理)
同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2.
∵AB=A′B′，AC=A′C′，∴BC= B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
几何语言：
在Rt△ ABC与Rt△ DEF中
AC =DF，AB=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)，

“HL”仅适用直角三角形.
设计意图：通过严格的推理证明，让学生掌握几何证明题的步骤，并进一步培养学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.
想一想：你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
判定两个直角三角形全等的方法：
“边、边、边”或“SSS”
“边、角、边”或“SAS”
“角、边、角”或“ASA”
“角、角、边”或“AAS”
“斜边、直角边”或“HL”
HL：直角三角形特殊判定方法.
设计意图：归纳直角三角形全等判定方法及定理HL，并掌握其几何语言.培养学生的逻辑思维能力及表达能力.
应用新知
教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【教材例题】
例1.如图，有两个长度相同的梯子，左边梯子的高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相等，两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系?

【分析】由图可得△BAC与△EDF均是直角三角形，由已知可根据HL定理判断两三角形全等.∠B的对应角是∠DEF，而∠DEF是∠F的余角.
解：根据题意，可知∠BAC=∠EDF=90°，
BC=EF，AC=DF，
∴Rt△BAC≌Rt△EDF (HL)，
∴∠CBA=∠DEF(全等三角形对应角相等)，
∵∠DEF+∠EFD=90°(直角三角形的两个锐角互余)，
∴∠CBA+∠EFD=90°.
设计意图：例题设计了一个利用“斜边、直角边”定理解决的实际问题，使学生体会数学结论在实际生活中的应用. 教学中应要求学生能用数学语言清楚地表达自己的想法，并能将解题过程规范地书写出来.
课堂练习
教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【教材练习】
1.判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(2)斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(3)两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
(4)一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.
答案：(1)假命题；(2)真命题； (3)真命题； (4)真命题.
2.如图，两根长度为12 m 的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.
解：相等，理由如下：
∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中
∵AB=AC，AD=AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD ( HL )
∴BD=DC.即两个木桩离旗杆底部的距离相等.
【经典练习】
3.如图，点P是∠BAO内一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AO于点F，PE＝PF，则直接得到△PEA≌△PFA的理由是( )
A．HL B．ASA C．AAS D．SAS

第3题图 第4题图
答案：A
4.如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE，若BD＝3，CE＝5，则DE＝ ．
答案：8
5.已知：如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥ AC，DF⊥ AB，垂足分别为点E，F，且DE=DF.
求证：△ABC是等腰三角形.
【分析】要证明△ABC是等腰三角形，就需要证明AB=AC；从而需要证明∠B=∠C；进而需要证明∠B，∠C所在的△BDF≌△CDE；而△BDF≌△CDE的条件：BD=CD，DF=DE均为已知.因此，△ABC是等腰三角形可证.
证明：∵D是△ABC的边BC的中点，∴BD=CD.
∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，
在Rt△BDF与Rt△CDE中，
BD=CD，DF=DE，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE( HL)，
∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形.
设计意图：通过练习来巩固强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.