北师大版（2024）八年级下册（2024）2 等腰三角形第3课时教案设计

这是一份北师大版（2024）八年级下册（2024）2 等腰三角形第3课时教案设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第3课时

一、教学目标
1.能够正确运用已知性质和判定定理自主探究、思考形成等边三角形的条件.
2.掌握等边三角形判定定理，并且运用到证明中.
3.利用等边三角形的判定定理推导30°的直角三角形直角边和斜边的关系.
4.要求学生在学习过程中注意证明思路的过程，培养全面思考问题的能力，并且有意识地向学生渗透分类思想.

二、教学重难点
重点：能够正确运用已知性质和判定定理自主探究、思考形成等边三角形的条件.
难点：掌握等边三角形判定定理，并且运用到证明中.

三、教学过程
情景引入
教师活动：教师提出问题，让学生思考问题，之后带领学生学习本节课有关等边三角形的知识.
问题1：一个三角形满足什么条件时才是等边三角形？
预设答案：三条边相等的三角形是等边三角形.（概念）
问题2：你还有其他想法吗？
答案：三个角都相等的三角形是等边三角形.
预设答案：你可以证明这些结论吗？
教师带动学生，让学生积极回答问题.
设计意图：通过教师提出的问题，引入本节课知识点，让学生快速进入状态，为下面的课程做好铺垫.
探究新知
教师活动：针对引入的猜想，让学生思考下面提出的问题，让学生对等腰三角形的知识进行延伸运用，引导学生探寻等边三角形的判定及性质，及时做出相应的总结.
活动一：等边三角形的判定
猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形.
如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C=60°，求证：△ABC是等边三角形.
预设答案：证明：∵∠A=∠B，∴AC=BC.
∵∠B=∠C，∴AB=AC.
∴AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形.
总结：等角对等边.
想一想：那一个等腰三角形满足什么条件时，便成为等边三角形呢？
答案：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
追问：你能证明这个结论吗？把你的证明思路与同伴进行交流.
教师可以让学生思考该问题并回答一下自己的想法.
证明：有一个角等于60°等腰三角形是等边三角形.
分析：有一个角是60°，有几种可能？
两种可能：①顶角是60°；②底角是60°；
则证明该结论需要讨论上面两种情况.
①顶角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【问题】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，证明：△ABC为等边三角形.
证明：
∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵∠A=60°，∠A+∠B+∠C=180° ，
∴∠A+2∠B=180°，∴∠B=60°
∴∠A=∠B，∴AC=BC（等角对等边），
∵AB=AC，∴AB=BC=AC，
即△ABC为等边三角形 .
②底角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【问题】如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，证明：△ABC为等边三角形.
证明：
∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵∠B=60°，∴∠C=60°，
∴∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=60°，
∴∠A=∠B，∴AC=BC，
∵AB=AC，∴AB=BC=AC，即△ABC为等边三角形.
【归纳总结】
由前面两个证明得到结论：
由①得：顶角是60°的等腰三角形是等边三角形.
由②得：底角是60°的等腰三角形是等边三角形.
定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
设计意图：引发学生的思考，对本节课知识进行理解把握，培养学生独立思考的能力.
活动二：等边三角形的性质
尝试·交流：用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由.
结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么他所对的直角边等于斜边的一半.
分析：
①30°的直角三角形里面有60°的角；
②两个含30°角的三角尺是全等的；
③利用全等三角形对应边相等，可以得到一个角是60°的等腰三角形，即等边三角形；
④利用等边三角形ABC可以证明结论.
【问题】
已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°.
求证：BC=AB.
证明：延长BC至点D，使CD=BC，连接AD.
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°，
∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS)，
∴ AB=AD(全等三角形的对应边相等)
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理)，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，∴∠B=180°-30°-90°=60°，
∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）
所以BC=BD=AB.
思考：你还有其他方式证明吗？
【问题】已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°.求证：BC=AB.
提示：可以换一下辅助线，延长BC到D，使BD=AB，连接AD，直接得到等边三角形.
证明：延长BC到D，令BD=AB.
∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，
∵BD=AB，∴△ABD为等边三角形，（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴AD=AB，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BD，
∴BC=BD（等腰三角形三线合一）
∴BC=AB.
【归纳】由此前面证明可得出下面的定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
设计意图：拓展延伸，开拓学生思路，加深学生对新知识的积累，培养学生创新性思维.
应用新知
教师活动:教师通过提问的方式，让同学们找到解决问题的思路，最后由教师完善解题步骤.
【教材例题】
例1.证明：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的是腰长的一半.
如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高.求证：CD=AB.

分析：
等腰三角形中已知底角15°
则顶角的邻补角为30°
利用30°所对的直角边等于斜边的一半求解.
证明：在△ABC中，∵AB=AC，∠B=15°，
∴∠ACB=∠B=15°(等边对等角).
∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°.（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC=90°.
∴
∴
注意：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
设计意图：根据上面的归纳整理及时进行例题分析，以便使学生对拓展知识的理解掌握.
课堂练习
教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【教材练习】
1.已知：如图，BD∥AC，∠C=60°，DA平分∠BDC.
求证：△ACD是等边三角形.
证明：∵BD∥AC，∴∠BDC+∠C=180°，
∵∠C=60°，∴∠BDC=180°-∠C=180°-60°=120°.
∵DA平分∠BDC，∴∠ADC=12∠BDC=12×120°=60°，
在△ACD中，∠CAD=180°-∠C-∠ADC=180°-60°-60°=60°，
∴△ACD是等边三角形.(三个角都相等的三角形是等边三角形)
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，且BD=1，求AD的长.
分析：在两个直角三角形中应用“在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半”.
解：∵CD⊥AB，∠B=60°，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD，
∵BD=1，∴BC=2，
在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，
∴AB=2BC=4，∴AD=AB -BD=3.
【自选练习】
3.直角三角形的一个角等于30°，斜边长为4，用四个这样的直角三角形拼成如图所示的正方形，求正方形EFGH的边长.
分析：
①根据“在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半”， 可以求出短直角边；
②勾股定理求另外一条直角边.
证明：在Rt△ADE中，∵∠ADE=30°，AD=4
∴AE=AD=2
在Rt△ADE中，由勾股定理，得：AD2=AE2+DE2
∴DE=AD2−AE2=23
∵Rt△ADE≌Rt△DCH，∴DH=AE=2
∴EH=DE– HD=
∴正方形EFGH的边长是.
4.如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4 m，∠A= 30°. 立柱BC，DE要多长.
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°
∴，
∴BC=12×7.4=3.7(m)
又AD=12AB，∴DE=12AD=12×3.7=1.85(m).
设计意图：通过本环节的练习，让学生梳理并巩固所学知识，提高学生解答问题的能力，进一步加强学生对本章内容的掌握程度，拓展学生的思维．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.