初中北师大版（2024）2 等腰三角形第1课时教案设计

这是一份初中北师大版（2024）2 等腰三角形第1课时教案设计，共5页。教案主要包含了教学与建议，方法指导，学生活动，教学说明等内容，欢迎下载使用。
教师备课 素材示例
●情景导入 我们欣赏下列两个建筑物和交通标志，如图，图中的三角形是什么样的特殊三角形？这样的三角形我们是怎样定义的？有什么性质？
从图中我们可以看到等腰三角形及等边三角形，这一节我们继续学习等腰三角形的一些性质，并学习等边三角形的有关知识．
【教学与建议】教学：通过观察发现等腰三角形和等边三角形，激发学生学习热情，对新课的导入作好铺垫．建议：先复习等腰三角形的“等边对等角”的性质，再理解等腰三角形的特殊性质．
●操作实验 如图，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？要求学生自己动手折一折．
(1)什么是等腰三角形？
(2)用折纸的办法探究等腰三角形，你能发现它有哪些性质？
【教学与建议】教学：从学生动手剪折等腰三角形入手，借助于适当的问题引导，激发学生的学习兴趣．建议：学生先动手剪出一个等腰三角形，再利用等腰三角形是轴对称图形，折纸发现等腰三角形的性质．
命题角度1 等边对等角的应用
等边对等角是等腰三角形的一个重要性质，相等线段对应相等的角，结合三角形内角和，利用方程求出角的度数．
【例1】如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为(A)
A．60° B．70° C．75° D．90°

【例2】如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，求∠ADC的度数．
解：∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C.
设∠B＝∠BAD＝x°，则∠ADC＝2x°，∴∠C＝2x°，
∴∠B＋∠C＝3x°.
∵∠BAC＝102°，∴∠B＋∠C＝78°，∴3x＝78.
∴x＝26，∴∠ADC＝52°.
命题角度2 “三线合一”的应用
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，利用这个性质解决有关等腰三角形的计算或证明题．
【例3】在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝13 cm，BC＝10 cm，则BC边上的高是__12__cm.
【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线交BC于点E.求证：AE⊥BC.
证明：在△ABD和△ACD中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(AB＝AC，,BD＝CD，,AD＝AD，))
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAD＝∠CAD，即AD为∠BAC的平分线．
又∵在△ABC中，AB＝AC，点E在AD上，
∴AE⊥BC.
命题角度3 利用分类讨论思想解决等腰三角形性质问题
在等腰三角形性质的运用过程中，当此类题目没有给出相应的示意图时，要进行分类讨论，常采取的方式就是通过画图找到所有符合题意的情况．
【例5】如果等腰三角形有两条边长分别为4 cm和5 cm，那么它的周长是__13_cm或14_cm__．
当等腰三角形锐角与钝角不明确时，需要讨论高在三角形外部还是内部，一般画图解决．
【例6】在等腰三角形中，一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__120°或60°__．
【例7】已知△ABC的高AD，BE所在的直线交于点F，若BF＝AC，求∠ABC的度数．
解：先证△BDF≌△ADC.当∠ABC为锐角时，如答图①，∠ABC＝45°；当∠ABC为钝角时，如答图②，∠ABC＝135°.故∠ABC的度数为45°或135°.
命题角度4 等边三角形性质的应用
等边三角形是一种特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质．
【例8】如图，AD是等边三角形ABC的高，且BD＝1 cm，那么AB的长是(B)
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
eq \(\s\up7(),\s\d5(（例8题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（例9题图）))
【例9】如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β＝__20°__．
命题角度5 等边三角形与“手拉手”模型的综合
由于等边三角形的边角特性，当出现“手拉手”模型时，要能联想到等角转换，进而借助全等三角形的判定与性质解决问题．
【例10】如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE∥BC.
证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ABC＝∠BCA＝∠DCE＝60°.
∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE.
∴△DBC≌△EAC(SAS).∴∠DBC＝∠EAC.
又∵∠DBC＝∠BCA＝60°，
∴∠BCA＝∠EAC.∴AE∥BC.
高效课堂 教学设计
1．理解作为证明基础的几条公理的内容，利用公理证明一般三角形和等腰三角形的性质定理．
2．能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理的推论．
3．让学生借助等腰三角形的轴对称性探索等边三角形的性质定理．
4．熟练应用全等、等边三角形的性质解决问题．
▲重点
证明等腰(等边)三角形的性质定理．
▲难点
灵活利用等腰(等边)三角形的性质解决问题．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)

已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC.完成下列各题：
(1)∵AB＝AC，∴∠B＝__∠C__．根据是__等边对等角__；
(2)若AD是△ABC的角平分线，BC＝8，则CD＝__4__．根据是__三线合一__；
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝__20°__；
(4)若BD＝CD，则AD__⊥__BC，∠BAD＝__∠CAD__.
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】等腰三角形的性质
议一议：
1．什么是等腰三角形？
2．你会画等腰三角形吗？请你画一个等腰三角形并把它裁剪下来．
3．试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？
等腰三角形的性质：
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)．
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合(等腰三角形的“三线合一”)．
4．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.
求证：∠B＝∠C.
eq \(\s\up7(),\s\d5(图①)) eq \(\s\up7(),\s\d5(图②)) eq \(\s\up7(),\s\d5(图③))
方法1：如图②，取BC的中点D，连接AD，构造三角形全等(SSS).
证明：取BC的中点D，连接AD.
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等).
方法2：如图③，作∠BAC的平分线，交BC边于点D，构造三角形全等(SAS).
证明：作∠BAC的平分线，交BC边于点D.
∵AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等).
定理：等腰三角形的两底角相等，简述为等边对等角．
想一想：在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
归纳推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合，简称“三线合一”．
【探究2】等边三角形的性质
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么性质呢？
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC.
求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°.
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C(等边对等角).
又∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B(等边对等角)，
∴∠A＝∠B＝∠C.
在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
【归纳】定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
【方法指导】利用等腰三角形的性质定理，等边对等角求△ABC各角度数．
解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD.
设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，
解得x＝36°，
∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.
【例2】如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD.
【方法指导】利用等边三角形的性质定理证明△ABE和△CBD全等得到AE＝CD.
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CBD＝60°，AB＝BC，BE＝BD.
在△ABE和△CBD中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(AB＝CB，,∠ABE＝∠CBD，,BE＝BD，))
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE＝CD.
【例3】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一条直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________.
【方法指导】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∴∠ACD＝120°.又∵CG＝GD，
∴∠CDG＝30°，∴∠FDE＝150°.又∵DF＝DE，∴∠E＝15°.
答案：15°
◆活动4 随堂练习
1．如图，等边三角形ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则AD的长为(D)
A．3 B．6 C．3 eq \r(2) D．3 eq \r(3)
2．若(a－5)2＋|b－10|＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为__25__．
3．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是__70°和40°或55°和55°__．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE.
(1)求∠ECD的度数；
(2)若CE＝5，求BC的长．
解：(1)∵DE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE.
又∵∠A＝36°，∴∠ECD＝∠A＝36°.
(2)∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°.
∵∠ECD＝36°，∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°.
∴∠BEC＝180°－∠B－∠BCE＝72°＝∠B.
∴BC＝CE＝5.
5．课本P15随堂练习T1
6．课本P15随堂练习T2
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课的主要收获是什么？
2．在探索等腰三角形与等边三角形的性质时，我们运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要知识和方法，加深对知识的理解．
【作业】课本P20－21习题1.2中的T1、T2、T3、T4.
本节课为了展示重点、突破难点，把问题作为教学的出发点，激发学生的学习兴趣，充分发挥学生的主观能动性，以使他们比较好地掌握知识、增强学习数学的兴趣．