初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）第一章 三角形的证明2 等腰三角形第2课时教案

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）第一章 三角形的证明2 等腰三角形第2课时教案，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教学目标
1.能够综合应用全等三角形的判定定理和等腰三角形的判定定理.
2.引导学生学习从反面思考问题的证明方法，了解反证法的含义，并能运用反证法证明结论.
3.要求学生不仅能够借助直观得出结论，而且要求能够证明结论，体会证明的必要性.
4.通过独立思考和完成证明过程，提高学生分析问题和解决问题的能力.

二、教学重难点
重点：能够综合应用全等三角形的判定定理和等腰三角形的判定定理．
难点：学习从反面思考问题的证明方法，了解反证法的含义，并能运用反证法证明结论.

三、教学过程
复习回顾
教师活动：教师提出问题，让同学回答问题，之后进一步提出问题，自然引出新课的学习.
问题：等腰三角形有哪些性质？让我们回顾一下吧!
预设答案：等腰三角形的两腰相等.
等腰三角形的两个底角相等.
追问：对于“等腰三角形的两个底角相等”，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
接下来我们一起探究吧！
设计意图：回顾旧知，为学习新知识做铺垫，同时自然引出新知的探究.
探究新知
活动一：等腰三角形的判定
求证：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(提示：像这样的证明题，首先需要写出已知和求证，然后分析思考并写出证明过程.)
已知：在△ABC中，∠B=∠C.求证：△ABC是等腰三角形.
分析：要想证明AB=AC，只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.
证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB=∠ADC.
在△ABD与△ACD中，又有∠B=∠C，AD为公共边，
∴△ABD≌△ACD(AAS).
∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.
总结：等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形.简述为：等角对等边.
设计意图：在此探究过程中，教师应注意引导，鼓励学生自主按照要求将证明过程书写出来.
思考：如图，AB=DC，BD=CA.求证：△AED是等腰三角形.
思路：
△ABD≌△DCA(SSS) 条件：AB=DC
AC=BD
AD=AD
∠DAC=∠ADB
等腰三角形
证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS) .
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等).
∴ AE=DE(等角对等边).
∴△AED是等腰三角形.
设计意图：衔接上边内容，培养同学能够综合应用全等三角形的判定定理和等腰三角形的判定定理.
活动二：反证法
尝试·思考：小明说:“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.”
你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?
预设答案：小明是这样想的：
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等.
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C.
“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.
问题：你能理解他的推理过程吗？
教师活动：根据小明回答的答案，教师进行总结，从而引出反证法.
预设答案：① 先假设结论不成立，即AB=AC；
② 利用已知定理“等边对等角”证明∠B=∠C，得到与题干中的条件相矛盾，说明假设不成立；
③ 假设不成立，从而证明若∠B≠∠C，则AB≠AC.
这种证明方法称为反证法.
设计意图：引导学生从反面思考问题的证明方法，了解反证法的含义，并且能够运用反证法证明结论.
总结：定义：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.
反证法证明的一般步骤是：
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已证定理或已知条件相矛盾的结果；
(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
设计意图：归纳整理，方便学生对知识进行系统认识.
应用新知
教师活动:教师通过提问的方式，让同学们找到解决问题的思路，最后由教师完善解题步骤.
【经典例题】
例1.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2.求证：AB=AC.
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC.(等角对等边)
例2.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
分析：用假设法证明的一般步骤：①假设命题结论不成立；(一个三角形中能有两个直角)
②从假设出发，并结合已知得出矛盾结果；③由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
证明：假设△ABC中的三个内角有2个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，
则∠A+∠B+∠C＞180°.
这与“三角形内角和为180°”相矛盾，
因此假设不成立.
所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
例3.已知直线a∥c,b∥c,求证a∥b.
分析：用反证法进行证明，先假设原命题不成立（两直线相交），然后经过推导得出与已知或者定理相矛盾，从而证明原命题成立.
证明：假设a与b相交，交点为M.
则过M点有两条直线平行于直线c，
这与过直线外一点平行于已知直线有且只有一条相矛盾，所以a∥b.
设计意图：根据上面的归纳整理，及时进行例题分析，以便使学生对本节课知识的理解掌握.
课堂练习
【教材练习】
教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作DE//BC，交AB于点E.请△BDE的形状.并说明理由.
分析：根据BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠CBD，再根据两直线平行，内错角相等得到∠BDE=∠CBD，从而得到∠ABD=∠BDE，再根据等腰三角形的判定解答.
解：△BDE是等腰三角形.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.
∵BC//ED，∴∠BDE=∠CBD.
∴∠ABD=∠BDE.∴△BDE是等腰三角形.
【自选练习】
2.已知：如图，D是△ABC内的一点，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，且BD=CD.求证：AB=AC.
分析：先由 DB = DC，证明∠DBC = ∠DCB，再证∠ABC =∠ACB.
证明：∵DB = DC，∴∠DBC = ∠DCB.
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB ，
∴∠ABC = 2∠DBC，∠ACB = 2∠DCB ，
∴∠ABC =∠ACB ，∴AB = AC.(等角对等边)
3.已知：△ABC，
求证：∠A、∠B、∠C中最多有一个钝角.
证明：假设△ABC中∠A和∠B是钝角.
∵∠A和∠B是钝角，
∴∠A＞90°，∠B＞90°.
∴∠A+∠B＞180°.
∵三角形内角和是180°，
∴∠A+∠B＋∠C=180°.
∵∠C＞0°，
∴∠A+∠B＜180°.
∵假设与已知条件矛盾，
∴假设不成立.
同理若假设∠A、∠B、∠C都是钝角，也与已知条件矛盾，假设不成立.
∴∠A，∠B、∠C中最多有一个钝角.
读一读：
反证法
反证法是一种独特的证明方法，它的独特之处有两点：
一是否定命题的结论，并且可以将这个否定的结论作为证明的条件；
二是从这个新条件出发，结合命题原有的条件一起推出矛盾，从而使问题获证，与运用其他方法证明一样，运用反证法证明时，推理的过程必须有理有据；
反证法在日常生活和数学证明中应用非常广泛.例如，在本册《平行线的有关证明》中曾经用反证法证明了平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，在七年级上册读一读“无理数的发现”中曾经用它说明边长为1的正方形的对角线长(即)不是有理数.
思考：我们再看一个用反证法证明的例子.
4.已知：△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C中至多有一个直角.
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个或三个直角，
不妨设∠A=∠B=90°，
则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°.
这与三角形内角和定理矛盾.故∠A=∠B=90°不成立.
当有三个直角时，也不存在△ABC.
所以一个三角形中至多有一个直角.
5.已知：直线a、b，
求证：直线a、b相交时只有一个交点P.
证明：假设a、b相交时不止一个交点P，不妨设其他交点中有一个为P'，
则点P和点P'在直线a上又在直线b上，那么经过P和P'的直线就有两条，
这与“两点决定一条直线”相矛盾，因此假设不成立，
所以两条直线相交只有一个交点.
教师及时发现并对学生不熟悉的知识进行深入讲解，让同学在课上深刻牢记知识点并学会运用.
设计意图：培养学生不仅能够借助直观得出结论，而且要求能够证明结论，体会证明的必要性．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：培养学生总结知识的能力，巩固新知，形成本节课重点内容框架.