北师大版（2024）八年级下册（2024）第一章 三角形的证明3 直角三角形第1课时教案及反思

这是一份北师大版（2024）八年级下册（2024）第一章 三角形的证明3 直角三角形第1课时教案及反思，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教学目标
1.了解并掌握勾股定理及其逆定理的证明方法.
2.结合具体例子了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
3.进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.
4.在数学活动中，获得成功的体验，磨练克服困难的意志，建立自信心，对数学命题的获得产生好奇心和求知欲.

二、教学重难点
重点：了解勾股定理及其逆定理的证明方法，结合具体例子了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
难点：进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.

三、教学过程
复习回顾
教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答.
问题：直角三角形的性质有哪些？
预设答案：1.直角三角形的两个锐角互余. ∠A+∠B=90°
2.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. a2+b2=c2
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. BC = 12 AB
设计意图：回顾以前学习的内容，从学生熟悉的知识入手，加深学生印象，提出问题，引发学生思考，进而导入新课内容.
探究新知
活动一：直角三角形两锐角互余
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？.
预设答案：在直角三角形中，两个锐角的和等于90°，即这两个锐角互余.
理由：由三角形内角和定理，易得：两锐角的和=180°–90°=90° .
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
预设答案：是直角三角形.
理由如下：
已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：在△ABC中，根据三角形内角和定理有：∠A+∠B+∠C=180°，
又有∠A+∠B=90°，∴∠C=180°–90°=90°.
∴△ABC是直角三角形.
总结：有两个角互余的三角形是直角三角形.
设计意图：此活动是从角的角度研究直角三角形的性质与判定并对其结论进行证明，同时培养学生解决问题的逻辑思维能力.
活动二：勾股定理及其逆定理
勾股定理的各种表达式：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则:
预设答案：a2+b2=c2，b²=c²−a²，a²=c²−b²
c=a2+b2 a=c2−b2 b=c2−a2
求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
预设答案：① c=5 ②c=6.5 ③c=8.5
设计意图：通过练习题强化学生对勾股定理的理解和应用.
思考：之前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？
教师活动：教师重视学生的课堂参与，让学生在活动中自主探究以及与同伴交流，有条理的进行思考和表达思考的过程，获得分析问题和解决问题的能力.
勾股定理证明的方法：
方法一：拼图计算
方法二：割补法
方法三：赵爽弦图
方法四：总统证法
方法五：青朱出入图
方法六：达·芬奇证明法
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
思考：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论. 你能证明这个结论吗？
教师活动：讲解证明思路及证明过程，引导学生领会证明思路及证明过程，得出结论.
已知：如图，在△ABC中，满足AB 2+ AC 2=BC2．
求证：△ABC是直角三角形．
分析：

证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′=90°，A′B′=AB，A′C′=AC，
则A′B′2+ A′C′2= B′C′2(勾股定理)
∵ AB2+ AC2= BC2，A′B′=AB，A′C′=AC，
∴ BC2=B′C2，∴BC=B′C′.
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，
∴∠A= ∠A′=90°(全等三角形的对应角相等)，
因此，△ABC是直角三角形.
定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

作用：判断三角形是否为直角三角形.
注意：不要拘泥于a2+b2=c2的形式.
核心：只要满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
设计意图：逆定理证明是本节课难点，在证明时只要求学生能够接受证明的方法和过程即可,不需要对学生提出更高的要求.
活动三：原命题、逆命题与互逆命题，逆定理
教师活动：引导学生观察这些成对命题的条件和结论之间的关系，归纳出它们的共性，进一步得出“互逆定理”的概念.
观察·交流：前面我们学习了两个定理，分别为：
定理1 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
定理2 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形.
问题1：两个命题的条件和结论分别是什么？
预设答案：
问题2：两个命题的条件和结论有何联系？
预设答案：它们是条件和结论正好相反的两个命题.
观察·交流：再观察下面三组命题:
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
如果a=b，那么a²=b²；
如果a²=b²，a=b.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?
设计意图：通过几对数学中的命题，让学生观察这些成对命题的结论与条件之间的关系，引导学生归纳出它们的共性，以得到“互逆命题”的概念.
总结：命题与逆命题：
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题.
例：等腰三角形有两个角相等.
互逆命题
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
教师活动：引导学生理解掌握互逆命题的定义.
练一练：你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗?
教师活动：学生先独立思考，然后小组展开交流，最后派两位同学上台讲解，并及时对学生给予肯定和鼓励.
预设答案：如果两个有理数的平方相等，那么这两个数相等.
追问：它们都是真命题吗?
预设答案：第二个是假命题.
思考: 一个命题是真命题，它的逆命题是真命题还是假命题?
设计意图：这个命题的条件和结论都比较明显、简单，写出其逆命题对学生来说没有什么问题，关键是让学生验证逆命题的正确性，并能意识到一对互逆命题的真假性不一定一致.
总结：原命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理，如：
1.勾股定理及其逆定理；
2.两直线平行，内错角相等； 内错角相等，两直线平行.
追问：你还能举出一些例子吗?
预设答案：如“全等三角形的对应边相等”和“三边对应相等的三角形是全等三角形”；
“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”等.
设计意图：通过师生的共同探究，使学生掌握互逆命题和互逆定理的定义,提高学生的推理及归纳能力，进一步发展学生的逻辑思维和发展演绎推理能力，同时，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又让学生感受到数学逻辑关系存在的必然性，掌握对数学问题初步的推理证明方法.
应用新知
教师活动：教师通过提问的方式，让同学们找到解决问题的思路，最后由教师完善解题步骤.
【经典例题】
例1.若△ABC的三边a，b，c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC是否是直角三角形？
分析：把所给的等式进行因式分解，分解后的每项因式整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
∴ a2－6a +b2 －8b +c2 －10c +50 =0，
a2－6a +9+b2－8b+16+c2－10c+25=0，
即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0 .
∴ a=3，b=4，c=5，即：a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
设计意图：通过例题提高学生应用勾股定理及其逆定理的能力，让学生经历知识的探索、发现、掌握、应用的过程.培养学生数学思考的严谨性，语言表述的准确性.
课堂练习
【自选练习】
教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是 a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A.∠B=∠C-∠A B.a2=(b+c)(b-c)
C.∠A：∠B：∠C=5 ：4 ：3
D.a : b : c=5 : 4 : 3
答案：C
2.下列定理中，有逆定理的定理个数是（ ）
①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形；③全等三角形的对应角相等；④若a=b，则a2 =b2.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：B
【教材练习】
3.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
(1)四边形是多边形；
(2)两直线平行，同旁内角互补；
(3)如果 ab =0，那么 a =0，b =0.
解：(1)四边形是多边形为真命题，
逆命题：多边形是四边形，此逆命题为假命题；
(2)两直线平行，同旁内角互补为真命题，
逆命题：同旁内角互补，两直线平行，此逆命题为真命题；
(3)如果 ab =0，那么 a =0，b =0为假命题；
逆命题：如果 a =0，b =0 ，那么ab =0，此逆命题为真命题.
4.在△ABC中，已知∠A =∠B = 45°，BC = 3，求 AB 的长.
分析：由等腰三角形的判定可得AC=BC=3，由三角形的内角和定理可求得∠C=90°，再利用勾股定理计算可求解.
解：∵∠A =∠B = 45°，
∴AC=BC=3，∠C=180°−45°−45°=90°，
∴AB=AC2+BC2=32+32=32.
【自选练习】
5.已知：在△ABC 中，∠ACB =90°，D 为边 AC 上的任意一点.
求证：BD2+ AC2= CD2+ AB2.
证明：∵∠ACB= 90°，在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB2= AC2+BC2，∴BC2=AB2−AC2；
又∵在Rt△BCD中，BC2=BD2−CD2，∴AB2−AC2= BD2−CD2.
即 BD2+ AC2= CD2+ AB2.
设计意图：通过本环节的练习，让学生梳理并巩固所学知识，提高学生解答问题的能力，进一步加强学生对本章内容的掌握程度，拓展学生的思维．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.