2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点45 规律猜想型问题（Word版附解析）

这是一份2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点45 规律猜想型问题（Word版附解析），共12页。学案主要包含了2025•内江，2025•威海，2025•江西5题，2025•重庆，2025•云南，2025•青海，2025•绥化，2025•龙东地区等内容，欢迎下载使用。
1.【2025•内江】对于正整数x，规定函数f(x)=3x+1(x为奇数)12x(x为偶数)．在平面直角坐标系中，将点（m，n）中的m，n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中m，n均为正整数）．例如，点（8，5）经过第1次运算得到点（4，16），经过第2次运算得到点（2，8），经过第3次运算得到点（1，4），经过有限次运算后，必进入循环圈．按上述规定，将点（2，1）经过第2025次运算后得到点是（ ）
A．（2，1）B．（4，2）C．（1，2）D．（1，4）
【答案】A
【解析】初始点：（2，1）（第0次运算）．
第1次：横坐标2为偶数，f(2)=22=1，纵坐标1为奇数，f（1）＝3×1+1＝4；，得到点（1，4）．
第2次：横坐标1为奇数，f（1）＝3×1+1＝4，纵坐标4为偶数，f(4)=42=2，得到点（4，2）．
第3次：横坐标4为偶数，f(4)=42=2，纵坐标2为偶数，f(2)=22=1，得到点（2，1），与初始点相同，即三次一循环，
∴2025÷3＝675，∴第2025次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即（2，1）．
山东省
1.【2025•威海】某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为（1，1），其右边瓷砖的位置记为（2，1），其上面瓷砖的位置记为（1，2），按照这样的规律，下列说法正确的是（ ）
A．（2024，2025）位置是B种瓷砖
B．（2025，2025）位置是B种瓷砖
C．（2026，2026）位置是A种瓷砖
D．（2025，2026）位置是B种瓷砖
【答案】B
【解析】A种瓷砖：（1，2），（1，4），（1，6），…，
（2，1），（2，3），（2，5），…，
B种瓷砖：（1，1），（1，3），（1，5），…，
（2，2），（2，4），（2，6），…，
由此可得，A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），（双数，单数），B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双数），
（2024，2025）位置是A种瓷砖，故A不符合题意；
（2025，2025）位置是B种瓷砖，故B符合题意；
（2026，2026）位置是B种瓷砖，故C不符合题意；
（2025，2026）位置是A种瓷砖，故D不符合题意；
故选：B．
江西省
1.【2025•江西5题】如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到△A1B1C1；再分别取A1C，B1C，A1B1的中点得到△A2B2C2；…依此类推，则△AnBn∁n的面积为（ ）
A．(12)n+1B．(13)nC．(14)nD．(14)n-1
【答案】C
【解析】由题知，
因为点A1，B1，C1分别是AC，BC，AB的中点，
所以A1B1∥AB，B1C1∥AC，A1C1∥BC，A1B1=12AB，
所以△A1B1C1∽△BAC，则S△A1B1C1S△ABC=(A1B1AB)=14．
又因为△ABC的面积为1，所以△A1B1C1的面积为14．
同理可得，△A2B2C2的面积为142，△A3B3C3的面积为143，…，
所以△AnBn∁n的面积可表示为14n．故选C．
重庆
1.【2025•重庆】按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ）
A．32B．28C．24D．20
【答案】C
【解析】第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有8个黑色圆点，
第③个图案中有12个黑色圆点，
第④个图案中有16个黑色圆点，
…，
则第n个图案中有4n个黑色圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是4×6＝24个，
故选：C．
云南省
1.【2025•云南】按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，⋯，第n个代数式是（ ）
A．（2n﹣1）aB．（2n+1）aC．（n+1）aD．2025a
【答案】A
二、填空题
青海省
1．【2025•青海】如图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ．
【答案】35或243
【解析】∵第1个图案中有30＝1个，
第2个图案中有31＝3个，
第3个图案中有32＝9个，
第4个图案中有33＝27个，
…，
按此规律，第⑥个图案中有35＝243个涂有阴影的三角形．
故答案为35或243．
黑龙江省
1.【2025•绥化】观察如图，图（1）有2个三角形，记作a1＝2；图（2）有3个三角形，记作a2＝3；图（3）有6个三角形，记作a3＝6；图（4）有11个三角形，记作a4＝11；按此方法继续下去，则an＝ （结果用含n的代数式表示）．
【答案】n2﹣2n+3
【解析】图（1）有2个三角形，记作a1＝02+2＝2；
图（2）有3个三角形，记作a2＝12+2＝3；
图（3）有6个三角形，记作a3＝22+2＝6；
图（4）有11个三角形，记作a4＝32+2＝11；
按此方法继续下去，则an＝（n﹣1）2+2＝n2﹣2n+3．
2．【2025•龙东地区】如图，在平面直角坐标系中，直线y=-12x+3交x轴于点A，交y轴于点B．四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，A3A4B4C4，⋯都是正方形，顶点A1，A2，A3，A4，⋯都在x轴上，顶点B1，B2，B3，B4，⋯都在直线y=-12x+3上，连接BA1，B1A2，B2A3，B3A4，⋯分别交C1B1，C2B2，C3B3，C4B4，⋯于点D1，D2，D3，D4，⋯．设△BB1D1，△B1B2D2，△B2B3D3，△B3B4D4，⋯的面积分别为S1，S2，S3，S4，⋯，则S2025＝ ．
【答案】(23)4049
【解析】当x＝0时，y=-12x+3=3，∴点B的坐标是（0，3），
∵点B1在直线y=-12x+3上，
设点B1的坐标是(x1，-12x1+3)，则点A1的坐标是（x1，0），点C1的坐标是(0，-12x1+3)，
∵四边形OA1B1C1是正方形，∴OA1＝A1B1，OA1∥C1B1，
∴x1=-12x1+3，解得：x1＝2，
∴B1的坐标是（2，2），∴正方形OA1B1C1的边长为2，
∴OC1＝OA1＝A1B1＝B1C1＝2，∴BC1＝BC﹣OC1＝3﹣2＝1，
∵OA1∥C1B1，∴△BC1D1∽△BOA1，
∴BC1BO=C1D1OA1，∴13=C1D12，解得：C1D1=23，
∴B1D1=B1C1-C1D1=2-23=43，
∴S△BB1D1=12B1D1⋅BC1=12×43×1=23；
设点B2的坐标为(x2，-12x2+3)，
则点A2的坐标是（x2，0），点C2的坐标是(2，-12x2+3)，∴A1A2＝x2﹣x1＝x2﹣2，
∵四边形A1A2B2C2是正方形，∴A1A1＝B2A2，A1A2∥C2B2，
∴x2-2=-12x2+3，解得：x2=103，
∴A1A2=x2-x1=103-2=43，∴B2的坐标是(103，43)，
∴A1A2=A2B2=B2C2=A1C2=43，∴B1C2=2-43=23，
∵A1A2∥C2B2，∴△B1C2D2∽△B1A1A2，
∴B1C2B1A1=C2D2A1A2，∴232=C2D243，解得C2D2=49，
∴B2D2=B2C2-C2D2=43-49=89，
∴S△B1B2D2=12×B2D2⋅B1C2=12×89×23=827，
∵B1的坐标是（2，2），B2的坐标是(103，43)，∴B1B2=(103-2)2+(43-2)2=253，
∵B1的坐标是（2，2），点B的坐标是（0，3），∴BB1=(2-0)2+(3-2)2=5，
∵B1D1B2D2=4389=32，BB1B1B2=5253=32，∴B1D1B2D2=BB1B1B2，
又∵四边形OA1B1C1和A1A2B2C2均为正方形，∴B1C1∥x轴，B2C2∥x轴，
∴B1C1∥B2C2，∴∠BB1C1＝∠B1B2C2，
∴△BB1D1∽△B1B2D2，且相似比为32，∴S△B1B2D2S△BB1D1=(23)2=49，
∴当S△BB1D1=23时，S△B1B2D2=23×(23)2=827=(23)3=(23)1+1×2，
同理可证△B1B2D2∽△B2B3D3，且相似比为32，
则S△B2B3D3=(23)3×(23)2=(23)5=(23)1+2×2，
…，
∴S2025=S△B2024B2025D2025=(23)1+2×2024=(23)4049．
河南省
1.【2025•河南】观察2x，4x2，6x3，8x4，⋯，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为 ．
【答案】2nxn
陕西省
1.【2025•陕西10题】生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，…则第10个图案需要用矩形的个数为 ．
【答案】21
山东省
1.【2025•临沂、枣庄、聊城、菏泽、济宁】取直线y＝﹣x上一点A（x1，y1），①过点A1作x轴的垂线，交y=1x于点A（x2，y2）；②过点A2作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A3（x3，y3）；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点A1的坐标为（1，﹣1），则点A2025的坐标是 ．
【答案】（1，﹣1）
【解析】已知A1（1，﹣1），过点A1作x轴的垂线，交y=1x于点A2，
∵作x轴垂线时，横坐标不变，∴A2的横坐标x2＝1，
把x＝1代入y=1x，得y2=11=1，∴A2（1，1）．
过点A2作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A3，作y轴垂线时，纵坐标不变，
∴A3的纵坐标为y3＝1，
把y＝1代入y＝﹣x，得1＝﹣x，即x3＝﹣1，∴x3＝﹣1，∴A3（﹣1，1），
过点A3作y轴的垂线，交y=1x于点A4，
作x轴垂线时，横坐标不变，∴A4的横坐标x4＝﹣1，
把x＝﹣1代入y=1x，得y4=1-1=-1，∴A4（﹣1，﹣1），
过点A4作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A5，
作y轴垂线时，纵坐标不变，∴A5的纵坐标y5＝﹣1，
把y＝﹣1代入y＝﹣x，得﹣1＝﹣x，即x5＝1，∴A5（1，﹣1），
∴观察可得，每4个点为一个循环周期，
∴2025÷4＝506…1，∴A2025坐标与A1相同，
∴A2025的坐标为（1，﹣1）．
2．【2025•东营】如图所示，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2025的值为 ．
【答案】122022
【解析】∵正方形ABCD的边长为2，∴S1＝DC2＝4，
∵△DEC是等腰直角三角形，∴2DE2＝DC2＝S1，
∴S2＝ED2=S12，
同理：S3=12S2=S122，
按照此规律继续下去，则S2025=S122024=2222024=122022．
甘肃省
1.【2025•甘肃16题】勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形．
【答案】31．
【解析】由图可知：第一个图形有1个正方形，
第2个图形有1+21＝3个正方形，
第3个图形有1+21+22＝7个正方形，
∴第5个图形中共有1+21+22+23+24＝31个正方形．
四川省
1.【2025•自贡】如图，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，AB＝DC＝2．以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1，以点C为圆心，CE1的长为半径画弧，交CD于点D1，过点D1作D1F1⊥DC，交AC于点F1；再以点F1为圆心，F1D1的长为半径画弧，交AC于点F2，以CF2的长为半径画弧，交DC于点D2，过点D2作D2E2⊥DC，交BC于点E2；又以点E2为圆心…重复以上操作，则D2025F2025的长为 ．
【答案】(5-12)2025．
【解析】∵在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，AB＝DC＝2，∴AD＝BD＝1，
∴AC＝BC=12+22=5，
∵以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1，∴BE1＝BD＝1，
∴CE1=BC-BE1=5-1，
∵以点C为圆心CE1的长为半径画弧，交CD于点D1，∴CD1=CE1=5-1，
∵过点D1作D1F1⊥DC交AC于点F1，∴AD∥D1F1，∴△CD1F1∽△CDA，
∴CD1CD=D1F1AD=CF1AC，即5-12=D1F11=CF15，
∴D1F1=5-12，CF1=5-52，
∵以点F1为圆心，F1D的长为半径画弧，交AC于点F2，∴D1F1=F1F2=5-12，
∴CF2=CF1-F1F2=3-5，
∵以CF2的长为半径画弧，交DC于点D2，∴CD2=CF2=3-5，
∵过点D2作D2E2⊥DC，交BC于点E2，∴∠CD1F1＝∠CD2E2＝90°，
∴∠F1CD1＝∠D2CE2，∴△CD2E2∽△CD1F1，
∴CD2CD1=D2E2D1F1，则3-55-1=D2E25-12，∴D2E2=(5-12)2，
同理可得：D3F3=(5-12)3，D4E4=(5-12)4，⋯，
∴D2025F2025的长为(5-12025)2025．
2．【2025·达州】定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换．现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2为第二次变换，…，经γ（n，180°）变换得△AnBn∁n，则点C2025的坐标是 ．
【答案】(-20272，-12)
【解析】过点C作CD⊥x轴，
∵△ABC为斜边为1的等腰直角三角形，∴CD=12AB=AD=12，∴C(12，12)，
∴C1是由C(12，12)先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转180°，即根据平移后的点关于原点对称得到的，∴C1(-12-1，-12)，
同理：C2(12+1-2，12)，C3(-12-1+2-3，-12)，C4(12+1-2+3-4，12)，C5(-12-1+2-3+4-5，-12)，⋯，
∴C1(-12-1，-12)，C3(-12-2，-12)，C5(-12-3，-12)，…，
∴C2n-1(-12-n，-12)，
∵2025＝2×1013﹣1，∴C2025(-12-1013，-12)，即C2025(-20272，-12)．
3．【2025•德阳】如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，23），点C在直线m：y=33x-233上，且AC＝3，连接AB，BC，将△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C1，点B的对应点B1落在直线m上，再将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转到△A2B2C2，点A1的对应点A2也落在直线m上．如此下去，⋯，则A1001的纵坐标是 ．
【答案】2004
【解析】如图，设直线m与y轴交于点D，分别过A2、A5作A2E⊥x轴，A5F⊥x轴，垂足分别为点E、F，
由直线m：y=33x-233得，当y＝O时，y=-233
∴点D(0，-233)，∴OD=233，
∵A（2，0），B(0，23)，∴OA＝2，OB=23，
由勾股定理得AB=OB2+OA2=4，tan∠OAD=ODOA=2332=33，tan∠OAB=OBOA=232=3，
∴∠OAD＝∠CAE＝30°，∠OAB＝60°，∴∠BAC＝90°，
∴BC=AB2+AC2=42+32=5，
由旋转性质可知C1B1＝BC＝5，B1A2＝AB＝4，
∴AA2＝AC+CB1+B1A2＝12，∴A2E=12AA2=6，
即A2（A3）的纵坐标为6，同理A5（A6）的纵坐标为12，
∵A1001＝A3×333+2，∴A1001在直线m上，∴A1001（A1002）的纵坐标为334×6＝2004．