2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点46 新定义型、阅读理解型问题（Word版附解析）

这是一份2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点46 新定义型、阅读理解型问题（Word版附解析），共21页。学案主要包含了2025•泸州，2025•眉山，2025•兰州15题，2025•新疆，2025•安徽14题，2025•重庆，2025•成都，2025•兰州26题等内容，欢迎下载使用。
1.【2025•泸州】对于任意实数a，b，定义新运算：a※b=a(a≥b)-a(a＜b)，给出下列结论：
①8※2＝8；
②若x※3＝6，则x＝6；
③a※b＝（﹣a）※（﹣b）；
④若（2x﹣4）※2＜5x，则x的取值范围为x＞47．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】①∵8＞2，∴8※2＝8，正确；
②若x≥3，则x＝6；
若x＜3，则﹣x＝6，此时x＝﹣6；错误；
③若a＞b，则﹣a＜﹣b，
∴a※b＝a，（﹣a）※（﹣b）＝a，
则a※b＝（﹣a）※（﹣b）；
若a＜b，则﹣a＞﹣b，
∴a※b＝﹣a，（﹣a）※（﹣b）＝﹣a；
若a＝b，则a※b＝a，（﹣a）※（﹣b）＝﹣a，此时a※b≠（﹣a）※（﹣b），
所以此结论错误；
④若2x﹣4≥2，即x≥3时，由（2x﹣4）※2＜5x得2x﹣4＜5x，解得x＞-43；此时x≥3；
若2x﹣4＜2，即x＜3时，由（2x﹣4）※2＜5x得﹣2x+4＜5x，解得x＞47；此时47＜x＜3；
综上，若（2x﹣4）※2＜5x，则x的取值范围为x＞47．此结论正确；
故选：B．
2．【2025•眉山】在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m，n），则向量OP→=（m，n），已知OA1→=（x1，y1），OA2→=（x2，y2），若x1•x2+y1•y2＝0，则OA1→与OA2→互相垂直．下列选项中两向量互相垂直的是（ ）
A．OB1→=（2，3），OB2→=（sin30°，π0）
B．OC1→=（3，﹣9），OC2→=（1，-13）
C．OD1→=（5，55），OD2→=（2，12）
D．OE1→=（2，1），OE2→=（2﹣1，﹣1）
【答案】D
【解析】∵2sin30°+3×π0＝1+3＝4≠0，∴OB1→与OB2→不相互垂直，故A选项不符合题意；
∵3×1+(-9)×(-13)=3+3＝6≠0，∴OC1→与OC2→不相互垂直，故B选项不符合题意；
∵5×2+55×12=25+510=21510≠0，∴OD1→与OD2→不相互垂直，故C选项不符合题意；
∵2×2﹣1+1×（﹣1）＝1﹣1＝0，∴OE1→与OE2→相互垂直，故D选项符合题意．
二、填空题
甘肃省
1．【2025•兰州15题】如图，黄金矩形ABCD中ABAD=5-12，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到四边形CDEF是黄金矩形．依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作AF，FH，HK，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD＝2，则“黄金螺线”AFHK的长为 ．（结果用π表示）
【答案】(5-1)π
【解析】∵黄金矩形ABCD中ABAD=5-12，且 AD＝2，∴AB=5-1，
∵四边形ABFE是正方形，∴AE=EF=BF=AB=5-1，
∴FC=ED=2-(5-1)=3-5，
∵四边形FGHC是正方形，∴GF=GH=HC=FC=3-5，
∵CD=AB=5-1，∴HD=CD-CH=(5-1)-(3-5)=25-4，
∵四边形LKDH是正方形，∴LH=HD=25-4，
∴“黄金螺线”AFHK的长为90π⋅AE180+90π⋅GH180+90π⋅LH180=12π(AE+GH+LH) =12π(AE+ED+LH)
=12π(AD+LH) =12π(2+25-4) =(5-1)π．
新疆
1.【2025•新疆】对多项式A，B，定义新运算“⊕”：A⊕B＝2A+B；对正整数k和多项式A，定义新运算“⊗”：k⊗A=A⊕A⊕A⊕⋯⊕A⏟k个A（按从左到右的顺序依次做“⊕”运算）．已知正整数m，n为常数，记M＝m⊗（x2+31xy），N＝n⊗（y2﹣14xy），若M⊕N不含xy项，则mn＝ ．
【答案】15
【解析】∵k⊗A=A⊕A⊕A⊕⋯⊕A⏟k个A，
∴当k＝1时，1⊗A＝A＝（21﹣1）A；
当k＝2时，2⊗A＝A⊕A＝2A+A＝3A＝（22﹣1）A；
当k＝3时，3⊗A＝A⊕A⊕A＝3A⊕A＝2×3A+A＝7A＝（23﹣1）A；
当k＝4时，3⊗A＝A⊕A⊕A⊕A＝3A⊕A⊕A＝7A⊕A＝15A＝（24﹣1）A；
…，
∴当k＝m时，m⊗A＝（2m﹣1）A，当k＝n时，n⊗A＝（2n﹣1）A，
∴M＝m⊗（x2+31xy）＝（2m﹣1）（x2+31xy），N＝（2n﹣1）（y2﹣14xy），
∴M⊕N＝2M+N＝2（2m﹣1）（x2+31xy）+（2n﹣1）（y2﹣14xy）
＝（2m+1﹣2）x2+（2n﹣1）y2+[62•（2m﹣1）﹣14（2n﹣1）]xy，
∵M⊕N不含xy项，∴62•（2m﹣1）﹣14（2n﹣1）＝0，
∴31（2m﹣1）﹣7（2n﹣1）＝0．
设2m＝a，2n＝b，则3la﹣7b＝24，
∴b=31a-247，
∵a，b均为2的整数幂，为偶数，∴a=8b=32，
∴2m＝8，2n＝32，∴m=3n=5，∴mn＝15．
安徽省
1.【2025•安徽14题】对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；若余数为0，则m=n3；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次变换得到的数为3．
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ；
（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ．
【答案】（1）2；（2）11．
【解析】（1）∵15÷3＝，
∴15进行一次变换后得到的数为153=5；
∵5÷3＝1…2，
∴15进行二次变换后得到的数为5+1＝6；
∵6÷3＝2…0，
∴15进行三次变换后得到的数为2，
故答案为：2；
（2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为1×3＝3，此时符合题意；
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为12，此时不符合题意；
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为1﹣1＝0，此时不符合题意；
综上所述，第一次变换后所得的数为3，
当n除以3的余数为0时，则n＝3×3＝9，符合题意；
当n除以3的余数为1时，则n=32，不符合题意；
当n除以3的余数为2时，则n＝3﹣1＝2，符合题意；
∴符合题意的n的值是9或2，
∴所有满足条件的n的值之和为2+9＝11，
故答案为：11．
重庆
1.【2025•重庆】我们规定：一个四位数M=abcd，若满足a+b＝c+d＝10，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为1+9＝2+8＝10，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是 ；一个“十全数”M=abcd，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数M'=dcba，记F（M）=M-M'909，G（M）=M+M'11.若4F(M)+G(M)+1513与ab+cd17均是整数，则满足条件的M的值是 ．
【答案】1919，3782．
【解析】设四位数M=abcd，要求最小的“十全数”，
∴a＝1，c＝1，
∴b＝10﹣1＝9，d＝10﹣1＝9，
∴最小的“十全数”是1919；
∵一个“十全数”M=abcd，∴a+b＝c+d＝10，
∴b＝10﹣a，d＝10﹣c，
∴M=abcd=1000a+100（10﹣a）+10c+10﹣c＝900a+9c+1010，
∴M'=dcba=1000（10﹣c）+100c+10（10﹣a）+a＝﹣9a﹣900c+10100，
∴F（M）=M-M'909=900a+9c+1010-(-9a-900c+10100)909=a+c﹣10
∴G（M）=M+M'11=900a+9c+1010+(-9a-900c+10100)11=81a﹣81c+10104
∴4F(M)+G(M)+1513
=4(a+c-10)+81a-81c+1010+1513
=85a-77c+98513
=6a-6c+76+7a+c-313，
∴ab+cd17=10a+10-a+10c+10-c17=9a+9c+2017=a+c+1-8a+8c-317，
∵4F(M)+G(M)+1513与ab+cd17均是整数，
∴7a+c-313与8a+8c-317均是整数，
∴7a+c﹣3能被13整除，8a+8c﹣3能被17整除，
∵1≤a≤9，1≤c≤9，∴7≤7a≤63，﹣2≤c﹣3≤6，
∴5≤7a+c﹣3≤69，∴7a+c﹣3的值可以为13，26，39，52，65，
∴依次代入可得，当a＝3，c＝8时，7a+c-313=2，8a+8c-317=8a+8c-317=5均是整数，符合题意，
∴b＝10﹣a＝7，d＝10﹣c＝2，∴满足条件的M的值是3782．
四川省
1.【2025•成都】分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：35=12+110．将311拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（k＞2），将2k拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ．
【答案】311=14+144；2k=1k(k+1)2+1k+12．
【解析】311=1244=11+144=1144+144=14+144，
由题意，
当k＝3＝2×1+1时，23=1+36=16+12，
当k＝5＝2×2+1时，25=1+515=115+13，
当k＝7＝2×3+1时，27=1+728=128+14，
…，
当k＝2n+1时，2k=1(2n+1)(n+1)+1n+1，
又∵n=k-12，
∴对于任意奇数k（k＞2），2k=1k(k+1)2+1k+12，
故答案为：311=14+144，2k=1k(k+1)2+1k+12．
三、解答题
甘肃省
1．【2025•兰州26题】在平面直角坐标系xOy中，对于图W上或内部有一点N（不与原点O重合），及平面内一点P，给出如下定义：若点P关于直线ON的对称点P′在图W上或内部，则称点P是图W的“映射点”．
（1）如图1，已知图W1：线段AB，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．在P1（﹣1，0），P2（1，2）中， ______是图W1的“映射点”；
（2）如图2，已知图W2：正方形ABCD，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）．若直线l：y＝x+b上存在点P是图W2的“映射点”，求b的最大值；
（3）如图3，已知图W3：⊙T，圆心为T（0，t），半径为1．若x轴上存在点P是图W3的“映射点”，请直接写出t的取值范围．
解：（1）如图，当A，N重合时，P1关于ON的对称点为（0，﹣1），在线段AB上，
∵P1（﹣1，0）是图W的“映射点”，
而P2（1，2）关于ON的对称点不在AB上，则P2（1，2）不是图W1的“映射点”，
故答案为：P1（﹣1，0）；
（2）依题意，正方形的顶点到O的距离为12+12=2，
∴当l：y＝x+b上存在点P是图W2的“映射点”，则点O到y＝x+b的距离为2，
∴当y＝x+b经过点D时，b的值最大，
将D（﹣1，1）代入y＝x+b得，1＝﹣1+b，
解得b＝2，∴b的最大值2；
（3）如图，ON，OP'分别为⊙T的切线，
当p为W3的“映射点”，∴∠P'ON＝∠PON，
又∵∠P'ON＝∠TON＝90°﹣∠PON，
设∠PON＝α，则∠TON＝90°﹣α，∴∠P'ON＝∠PON＝2∠TON＝180°﹣2α，
∴180°﹣2α＝α，解得α＝60°，∴∠PON＝60°，∠TON＝30°，
∵TN＝1，∴OT＝2，
当t减小时，P关于W3的“映射点”，在W3即⊙T的内部，符合题意，∴t≤2，
当t＜0时，根据对称性可得t≥﹣2，
综上所述，﹣2≤t≤2．
湖南省
1．【2025•长沙24题】我们约定：当x1，y1，x2，y2满足（x1+y2）2+（x2+y1）2＝0，且x1+y1≠0时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“✓”，错误的打“×”）；
①函数y=kx（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；
②函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”；
③函数y＝x2+x﹣1的图象上至少存在两对“对偶点”．
（2）若关于x的一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（b1，b2都是常数，且b1•b2＜0）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；
（3）若关于x的二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”，求实数a的取值范围．
解：（1）①设函数y=kx图象上任意一点（m，km），可知（-km，﹣m）也在函数y=kx图象上，
而（m，km）与（-km，﹣m）是“对偶点”，
∴函数y=kx（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；
故答案为：✓；
②设（n，﹣2n+1）和（2n﹣1，﹣n）是y＝﹣2x+1图象上一对“对偶点”，
∴﹣n＝﹣2（2n﹣1）+1，
解得n＝1，
此时n+（﹣2n+1）＝0，不符合“对偶点”定义，
∴函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”，
故答案为：✓；
③设（t，t2+t﹣1）和（﹣t2﹣t+1，﹣t）是函数y＝x2+x﹣1的图象上的“对偶点”，
∴（﹣t2﹣t+1）2+（﹣t2﹣t+1）﹣1＝﹣t，
变形整理得：（t+1）（t﹣1）（t2+2t﹣1）＝0，
解得t1＝﹣1，t2＝1，t3=2-1，t4=-2-1，
当t1＝﹣1或t2＝1时，（1，1）和（﹣1，﹣1）是一对“对偶点”，符合题意；
当t3=2-1，t4=-2-1时，t+（t2+t﹣1）＝0，不符合“对偶点”定义；
∴函数y＝x2+x﹣1的图象上只有一对“对偶点”，
故答案为：×；
（2）由题意可得：x2＝﹣y1，y2＝﹣x1，则点（x1，y1）与点（﹣y1，﹣x1）在x1≠﹣y1是一对“对偶点”，
∵y＝k1x+b1是“对偶函数”，
∴其图象上必存在一对“对偶点”，有y1=k1x1+b1-x1=-k1y1+b1，两式相减可得k1＝1，
同理可得k2＝1，
∴两个一次函数为y＝x+b1，y＝x+b2，
∵b1，b2都是常数，且b1•b2＜0，
∴两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如图：
∴其面积之和S=12b12+12b22；
（3）由题意可得a≠0，且x1≠﹣y1时，有y1=2ax12-1①-x1=2a(-y1)2-1②，
两式相减可得x1-y1=12a，∴y1=x1-12a，
代入①整理可得2ax12-x1+12a-1＝0，
∵二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”，
∴关于x1的一元二次方程2ax12-x1+12a-1＝0必有实数根，
而Δ＝1﹣8a（12a-1）＝8a﹣3，
当Δ＝0，即8a﹣3＝0时，a=38，由34x12-x1-1316=0可得x1=23，
∴y1=34×（23）2﹣1=-23，
∴x1+y1＝0，此时不符合题意，这种情况舍去；
∴必有Δ＝﹣3+8a＞0，解得a＞38．
广东省
1．【2025•广东】定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．
（1）如图1，点P是线段MN的中外比点，MP＞PN，MN＝2，求PN的长．
（2）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）如图3，动点B在第一象限内，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D，E，与对角线OB相交于点F．当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明．
解：（1）设PN＝x，则MP＝MN﹣PN＝2﹣x，
根据题意，得：MNMP=MPPN，即22-x=2-xx，
整理，得：x2﹣6x+4＝0，解得：x1=3+5，x2=3-5，
∵3+5＞2，∴x1=3+5舍去，∴PN=3-5；
（2）如图所示，点C为所求．
设BD＝x，
∴根据题意，得：AD＝BD＝BF＝FG＝x，AB＝2x，
∴AF=AB2+BF2=(2x)2+x2=5x，
∴AG=AC=x5-x=(5-1)x，BC=AB-AC=2x-(5-1)x=(3-5)x，
∵ABAC=2x(5-1)x=5+12，ACBC=(5-1)x(3-5)x=5+12，
∴ABAC=ACBC，∴点C为线段AB的中外比点．
（3）当△ODE是等腰三角形时，点D、E、F分别为AB，BC，OB的中外比点，理由如下：
第一种情况：当△OED＝90°，则OE＝ED，
∴∠OEC+∠DEB＝90°，
∵四边形OABC是矩形，∴∠OCE＝∠EBD＝90°，
∴∠COE+∠OEC＝90°，∴∠COE＝∠DEB，
∴△COE≌△BED（AAS），
设点E（m，n），
∴OC＝EB＝n，CE＝BD＝m，则D（m+n，n﹣m），
∵点D、E在反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象上，
得：km=n①km+n=n-m②，
由①得：k＝mn，将其代入②，得：mnm+n=n-m，
整理，得：n2﹣mn﹣m2＝0，
解得：n=m±(-m)2-4×1×(-m2)2=m±m52，
∴n1=1+52m，n2=1-52m（舍去），
∴E(m，1+52m)，D(3+52m，5-12m)，B(3+52m，1+52m)，
∴BE=1+52m，CE＝m，BC=3+52m，BD＝m，AD=5-12m，AB=1+52m，
∵BE2=(1+52m)2=3+52m2，BC⋅CE=3+52m⋅m=3+52m2，BD2＝m2，AB⋅AD=1+52m⋅5-12m=m2，
∴BCBE=BECE，ABBD=BDAD，∴点E、D为BC、AB的中外比点．
∵点E在反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象上，E(m，1+52m)，
∴k=mn=1+52m2，∴反比例函数为y=1+52m2x，
∵B(3+52m，1+52m)，
设直线OB的函数解析式为y＝ax（a≠0），
将点B(3+52m，1+52m)，O（0，0）代入，得：a=5-12，
∴直线OB的函数解析式为y=5-12x，
联立方程组y=5-12xy=1+52m2x，解得x=5+12my=m，
∴F(5+12m，m)，∴OBOF=OFBF，
∴点F为OB的中外比点．
第二种情况：当∠ODE＝90°，则OD＝DE，∴∠ODA+∠EDB＝90°，
∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD＝∠EBD＝90°，
∴∠ODA+∠DOA＝90°，∴∠EDB＝∠DOA，
∴△OAD≌△DBE（AAS），
设点D（a，b），
∴OA＝DB＝a，AD＝BE＝b，则E（a﹣b，a+b），
∵点D、E在反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象上，
得：ka=b①ka-b=a+b②，
由①得：k＝ab，将其代入②，得：aba-b=a+b，
整理，得：b2+ab﹣a2＝0，解得b=-a±a2-4×1×(-a2)2=-a±5a2，
∴b1=-1+52a，b2=-1-52a（舍去），
∴D(a，5-12a)，E(3-52a，5+12a)，B(a，1+52a)，
∴BE=5-12a，CE=3-52a，BC＝a，BD＝a，AD=5-12a，AB=1+52a，
∴BCBE=BECE，ABBD=BDAD，∴点E、D为BC、AB的中外比点．
∵点E在反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象上，E(3-52a，5+12a)，
∴k=ab=5-12a2，∴反比例函数为y=5-12a2x，
∵B(a，1+52a)，
设直线OB的函数解析式为y＝gx（g≠0），
将点B(a，1+52a)，O（0，0）代入，得：g=5+12，
∴直线OB的函数解析式为y=5+12x，
联立方程组，y=5+12xy=5-12a2x，解得x=5-12ay=a，
∴F(5-12a，a)，∴OBOF=OFBF，∴点F为OB的中外比点．
第三种情况：当∠EOD＝90°，则点E、D分别位于y轴、x轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在．
∴综上所述，当△ODE是等腰直角三角形时，点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点．
北京
1．【2025•北京28题】在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP＝AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）
（1）如图，⊙O的半径为1．
①在点A1（12，0），A2（43，0），A3（2，0）中，点 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，该点与⊙O的关联角度为 °；
②点B（1，m）在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为 ；
（2）已知点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α．若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围．
解：（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有∠PAQ≤∠MAN；
当A在⊙O内部时，过A的直径MN使得⊙O的关联角度为180°；
当A在⊙O的外部时，且AM，AN为⊙O的切线时，∠MAN最大；
如图，A3是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，A1与⊙O的关联角度为180°，A2与⊙O的关联角度大于90°，
∵A3（2，0），⊙O的半径为1，∴OM＝1，OA3＝2，且MA3是⊙OO的切线，
∴sin∠MA3O=OMOA3=12，∴∠MA3O＝30°，
∴∠MA3N＝60°，即与⊙O的关联角度为60°，故答案为A3，60；
②根据定义可得B为⊙O外一点，
∵BD＜1，⊙O的半径为1，∴BO≥2，
当OB＝2时，如图，取点G（1，0），则∠OBG＝90°，
∴m≥BG=OB2-OG2=22-12=3，∴m的最小值为3，故答案为3；
（2）由（1）可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时，∠MAN最大，且A距离圆心越近，
∵90°≤α≤180°，∴当∠MAN＝90°时，由∠TMA＝∠TNA＝90°，如图，
∴四边形TMAN是矩形，
∵TM＝TA，∴四边形TMAN是正方形，
∴TA=2TM=2r，
当∠MAN≥90°时，r＜TA≤2r，
∵点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，则r＝|t|，
∴EF上距离T最近的点在t＜TA≤2t的圆环内，
①EF和2t的圆相切，如图，
∴TA=3=2t，解得t=322；
②EF和半径为t的圆相切时，如图，
∴t＝3 （不包含临界值），∴322≤t＜3；
③当E在半径为t的圆，如图，
∴t2＝（t﹣1）2+32，解得t＝5 （不包含临界值），
∴t＞5时，E，F都在⊙T内部，此时α＝180°；
④当F在半径为2t的圆，如图，
设⊙T的半径为r，则t＝﹣r，
∴32+(r+1)2=(2r)2，解得r=1+11，
∴t≤-1-11时，此时90°≤α≤180°；
综上所述，322≤t＜3或t＞5或t≤-1-11．
广西
1.【2025•广西23题】【平行六边形】如图1，在凸六边形ABCDEF中，满足AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中AB与DE，BC与EF，CD与FA叫做“主对边”；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F叫做“主对角”；AD，BE，CF叫做“主对角线”．
（1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”．
【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．
（2）如图2，已知平行六边形OPQRST满足OP＝PQ＝QR＝RS．求证：平行六边形OPQRST是菱六边形；
（3）如图3是一张边长为3，4，6的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长．
解：（1）连接BE，CF，AD，BE，AD交于点O，
由图可知：
①AB平行于DE，只能知道△AOB∽△DOE，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的；
②AB平行于DE，∠ABE＝∠BED，同理可得∠CBE＝BEF，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的；
③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的．
故答案为：①错误；②正确；③错误；
（2）证明：过点Q作QH平行且相等于PO，连接OH，HS，
则平行四边形PQHO是平行四边形，∴PQ平行于OH，PQ＝OH，
在平行六边形OPQRST中，PO平行于RS，PO＝RS，
∴QH平行且相等于RS，∴QRSH为平行四边形，
∴QR平行于HS，QR＝HS，
在平行六边形OPQRST中，PQ平行于ST，QR平行于OT，
∴OH平行于ST，HS平行于OT，∴HSTO为平行四边形，
∴HS＝OT，OH＝ST，∴QR＝OT，PQ＝ST，
∵OP＝PQ＝QR＝RS，∴PQ＝QR＝RS＝ST＝OT＝PO，
∴平行六边形OPQRST是菱六边形．
（3）设三角形纸片为△ABC，裁剪后的纸片为菱六边形DEFGHK，
∴DE平行于HG，HK平行于EFHG，GF平行于AB，DE＝EF＝FG＝HG＝KH＝DK，
∴△ADE∽△ABC，△BKH∽△BAC，∴DEBC=ADAB=AEAC，KHAC=BKAB，
设DE＝EF＝FG＝HG＝KH＝DK＝x，
则x6=AD3=AE4，x4=BK3，∴AD=12x，AE=23x，BK=34x，
∵AB＝AD+DK+BK＝3，
∴12x+x+34x=3，解得：x=43，
∴AD=12x=23，AE=23x=89，DE=x=43．
江西省
1.【2025•江西22题】问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0＝m时，其对应的函数值y0＝m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点（m，m）为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数y＝x2中，当x＝1时，y＝1，则我们称函数y＝x2为“不动点函数”，点（1，1）为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1
（1）对一次函数y＝kx+b（k≠0）进行探究后，得出下列结论：
①y＝x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②y＝﹣3x+2是“不动点函数”，且不动点是(12，0)；
③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是 （填写正确结论的序号）．
（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件．
探究2
（3）对二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线y＝x2﹣2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式．
探究3
（4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（12﹣x）件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
解：（1）①对于y＝x+2，
由于m≠m+2，所以y＝x+2不是“不动点函数”，原说法错误；
②对于y＝﹣3x+2，代入点（m，m），
得m＝﹣3m+2，解得m=12，
所以y＝﹣3x+2是“不动点函数”，且不动点是(12，12)，原说法错误；
③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确．
故答案为：③；
（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）是“不动点函数”，
∴代入点（m，m），得m＝mk+b，整理得（1﹣k）m＝b，
当1﹣k≠0即k≠1且k≠0时，b为任意实数；
当1﹣k＝0即k＝1时，b＝0；
（3）由抛物线y＝x2﹣2bx+c＝（x﹣b）2+c﹣b2得，
顶点坐标为（b，c﹣b2），
∵抛物线y＝x2﹣2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，∴b＝c﹣b2；
（4）根据题意得，y＝（x﹣6）（12﹣x）＝﹣x2+18x﹣72，
∴令x＝﹣x2+18x﹣72，整理得x2﹣17x+72＝0，解得x1＝8，x2＝9，
∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等．猜想
判断正误
①平行六边形的三组主对边分别相等

②平行六边形的三组主对角分别相等

③平行六边形的三条主对角线互相平分