2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点50 动态型问题（Word版附解析）

这是一份2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点50 动态型问题（Word版附解析），共9页。学案主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.
二、填空题
湖北省
1.
三、解答题
黑龙江省
1.【2025•龙东地区】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，tan∠COA=3，OA的长是一元二次方程x2﹣3x﹣18＝0的根，过点C作CQ⊥OA交OA于点Q，交对角线OB于点P．动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OA向终点A运动，动点N从点B以每秒3个单位长度的速度沿BO向终点O运动，M、N两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求点P坐标；
（2）连接MN、PM，求△PMN的面积S关于运动时间t的函数解析式；
（3）当t＝3时，在对角线OB上是否存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由x2﹣3x﹣18＝0，解得x1＝6，x2＝﹣3，
∵OA的长是x2﹣3x﹣18＝0的根，∴OA＝6，
∵四边形OABC为菱形，∴OA＝OC＝6，
∵tan∠COA=3，∴∠COA＝60°，
又∵CQ⊥OA，∴∠OCQ＝30°，∴OQ＝3，
∵四边形OABC为菱形，∴OB平分∠COA，
∴∠POQ＝30°，∴PQ=3，
∴点P的坐标为(3，3)；
（2）过点M作MK⊥OB于点K，
由题可知BN=3t，OM＝t，则MK=12t，
由（1）得：OP=23，则PB=43，
当0＜﹣t﹣＜4时，PN=43-3t，∴S=12⋅12t(43-3t)=-34t2+3t；
当4＜t≤6时，PN=3t-43，∴S=12⋅12t(3t-43)=34t2-3t；
综上所述，S=-34t2+3t(0＜t＜4)34t2-3t(4＜t≤6)；
（3）如图，
当t＝3时，OM＝3，点M和点Q重合，BN=33，ON=33，∠ONM＝∠NOM＝30°，
假设在对角线OB上存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形，
当∠EMN为顶角时，点E1与点O重合，E1（0，0）；
当∠MEN为顶角时，点E2与点P重合，E2(3，3)；
当∠ENM为顶角时，NE1＝NM＝OM＝3，
设E3(3a，a)，则OE3＝2a，
∵OE3+NE3＝ON，∴2a+3=33，
∴a=33-32，∴3a=9-332，∴E3(9-332，33-32)
综上，当t＝3时，在对角线OB上存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形，E1（0，0），E2(3，3)，E3(9-332，33-32)
吉林省
1.【2025•吉林19题】如图，在△ABC中，AB＝32，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（s）（x＞0），正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
（1）AC的长为 ．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围．
（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
解：（1）当 B，D重合时，如下图：
∵∠BAC＝45°，以AP为边作正方形APDE，
∴△APD是等腰直角三角形，AP＝BP，AB2=AP2+DP2，即18＝2AP2，解得：AP＝3 （负的舍去），
∵BC＝5，∠DPC＝90°，∴PC=BC2-BP2=52-32=4，
∴AC＝AP+PC＝3+4＝7；
（2）当D在线段AB上运动时，y=12AP⋅BP=12x2（0＜x≤3），
当D在线段AB的延长线上运动时，即点P在线段PC上运动，
如下图：AP＝x，PP＝x﹣3，CP＝7﹣x，CP＝4，BP＝3，
∵FP′BP，∴∠CFP＝∠CBP，∠CPF＝∠CPB，
∴△CFP∽△CBP，∴CP'CP=CFCB，
∴7-x4=FP'3，解得：FP'=21-3x4，
∴y＝S△APD+S梯形PP′FB=12x2+3+21-3x42×（x﹣3）=-38（x﹣7）2+10.5，（3＜x≤7）′
∴y=12x2，0＜x≤3-38(x-7)2+10.5，3＜x≤7；
（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，
∴AD=2AB=62，
∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD2，即2AP2＝72，
解得AP＝6，∴x＝6．
2．【2025•长春】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D为边AC的中点，点E为边AB上一动点，连结DE，将线段DE绕点E顺时针旋转45°得到线段EF．
（1）线段AB的长为 ；
（2）当EF∥AC时，求AE的长；
（3）当点F在边BC上时，求证：△ADE≌△BEF；
（4）当点E到BC的距离是点F到BC距离的2倍时，直接写出AE的长．
解：（1）∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，
∴AB=AC2+BC2=42，故答案为42；
（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D为边AC的中点，
∴∠A＝∠B＝45°，AD＝CD＝2，
∵EF∥AC，∴∠FEB＝∠A＝45°，
而∠DEF＝45°，∴∠DEB＝90°＝∠AED，
∴AE=AD⋅cs45°=2×22=2；
（3）证明：∵将线段DE绕点E顺时针旋转45°得到线段EF，
∴DE＝DF，∠DEF＝45°，
如图，∵∠DEF+∠BEF＝∠DEB＝∠A+∠ADE，∠DEF＝∠A＝45°，∴∠BEF＝∠ADE，
∴∠A＝∠B＝45°，DE＝FE，∴△ADE≌△BEF（AAS）；
（4）如图，当F在BC的左边时，结合题意可得：EG⊥BC，FQ⊥BC，EG＝2FQ，
过D作DH⊥AB于H，过F作FK⊥EG于K，
∴四边形FKGQ为矩形，∴FQ＝GK＝GE，
结合（1）可得：DH=AH=2，
∵EG⊥BC，∠B＝45°，∴∠GEB＝∠B＝45°，∴GB＝GE＝2GK＝2EK，
∵∠DEF＝45°，∴∠DEF+∠GEB＝90°，∴∠DEH+∠FEK＝90°，
∴∠DHE＝90°＝∠HDE+HED，∴∠HDE＝∠KEF，
∵DE＝EF，∴△DHE≌△EKF（AAS），
∴EK=DH=2，∴EG=BG=22，
∴BE=EG2+BG2=4，AE=42-4；
如图，当F在BC的右边时，过D作DH⊥AB于H，过F作FK⊥EG于K，
同理：EK=DH=2，
∴四边形四边形FKGQ为矩形，∴FQ＝GK，
∵GE＝2FQ，∴GE＝2GK，EG=223，GK＝FQ=23，
同理可得：EG＝BG=223，BE=223×2=43，∴AE=42-43，
综上：AE的长为42-4或42-43．
江苏省
1.【2025•扬州】问题：如图1，点P为正方形ABCD内一个动点，过点P作EF∥AD，GH∥AB，矩形PHCF的面积是矩形PGAE面积的2倍，探索∠FAH的度数随点P运动的变化情况．
【从特例开始】
（1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中∠FAH＝ °．
（2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中PE＝PF＝6，PG＝4，PH＝8，求此图形中∠FAH的度数；
【一般化探索】
（3）利用图1，探索上述问题中∠FAH的度数随点P运动的变化情况，并说明理由．
解：（1）如图，MN即为所求：
连接AH，AF与格线的交点记为M，N，
由网格可得，EM∥BH，∴△AEM∽△ABH，
∴EMBH=AEAB=12，
∵BH＝2，∴EM＝1，∴M为格点，同理N为格点，
∵AM=AE2+EM2=10，MN=12+32=10，AN=22+42=20，
∴AM2+MN2＝AN2，AM＝MN，∴∠AMN＝90°，
∴△AMN为等腰直角三角形，∴∠FAH＝45°
故答案为：45；
（2）延长CB至点T，使得BT＝DF，连接AT，FH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABT＝90°，
∴△ABT≌△ADF（SAS），
∴AT＝AF，∠TAB＝∠FAD，
∴∠FAD+∠BAH＝90°﹣∠HAF＝∠TAB+∠BAH＝∠TAH，
∵EF∥AD，GH∥AB，∴四边形AEPG是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，∴四边形AEPG是矩形，
同理可得四边形PEBH，PGDF，PHCF为矩形，
∴PE＝BH＝6，PG＝DF＝TB＝4，∠HPF＝90°，
∴TH＝TB+BH＝4+6＝10，HF=PH2+PF2=62+82=10，
∴HT＝HF，
∴在△AHT和△AHF中，
AH=AHHT=HFAT=AF，∴△AHT≌△AHF（SSS），
∴∠TAH＝∠HAF，
∵∠TAH＝90°﹣∠HAF，∴90°﹣∠HAF＝∠HAF，
∴∠HAF＝45°，即∠FAH＝45°；
（3）随点P的运动，∠FAH的度数不变，且为45°，理由如下：
延长CB至点T，使得BT＝DF，连接AT，FH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABT＝90°，
∴△ABT≌△ADF（SAS），
∴BT＝DF，AT＝AF，∠TAB＝∠FAD，
∴∠FAD+∠BAH＝90°﹣∠HAF＝∠TAB+∠BAH＝∠TAH，
同（2）可得四边形AEPG是矩形，四边形PEBH，PGDF，PHCF为矩形，
设正方形的边长为x，AG＝a，PG＝b，
∴AG＝PE＝BH＝a，PG＝DF＝BT＝b，
∴CH＝BC﹣BH＝x﹣a，CF＝CD﹣DF＝x﹣b，
∴HT＝BH+BT＝a+b，
∵S矩形PHCF＝2S矩形PGAE，∴（x﹣a）（x﹣b）＝2ab，
整理得x2＝ab+ax+bx，
∵在Rt△CHF中，CH2+CF2＝HF2，
∴HF2＝（x﹣a）2+（x﹣b）2
＝2x2﹣2ax+a2﹣2bx+b2
＝2ab+2ax+2bx﹣2ax+a2﹣2bx+b2
＝（a+b）2，
∴HF＝a+b（舍负），∴HF＝HT，
∴在△AHT和△AHF 中，
AH=AHHT=HFAT=AF，∴△AHT≌△AHF（SSS），
∴∠TAH＝∠HAF，
∵∠TAH＝90°﹣∠HAF，∴90°﹣∠HAF＝∠HAF，
∴∠HAF＝45°，即∠FAH＝45°．