2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点47 分类讨论思想（两个或者三个答案的填空题）（Word版附解析）

这是一份2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点47 分类讨论思想（两个或者三个答案的填空题）（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
黑龙江省
1.【2025•齐齐哈尔】等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交AB于点D，交直线AC于点E，连接BE，若AE＝5，tan∠AED=34，则△BEC的面积为 ．
【答案】125或1325
【解析】如图，
∵将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，
∴DE⊥AB，AD＝BD，AE＝BE＝5，∴∠ADE＝90°，
∵tan∠AED=ADDE=34，
设AD＝3x，DE＝4x，∴AE＝5x＝5，
∴x＝1，∴AD＝BD＝3，DE＝4，
∴AB＝AC＝6，∴CE＝1，
∴S△ABES△CBE=12×6×4S△CBE=51，
∴S△CBE=125；
如图，
∵将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，
∴DE⊥AB，AD＝BD，AE＝BE＝5，∴∠ADE＝90°，
∵tan∠AED=ADDE=34，
设AD＝3x，DE＝4x，∴AE＝5x＝5，
∴x＝1，∴AD＝BD＝3，DE＝4，
∴AB＝AC＝6，∴CE＝11，
∴S△ABES△CBE=12×6×4S△CBE=511，∴S△CBE=1325；
综上所述△BEC的面积为125或1325．
2．【2025•绥化】在边长为7的等边三角形ABC中，点D在AB上，BD＝2．点M是直线BC上的一个动点，连接MD，以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND，连接BN．当△BND为直角三角形时，则CM的长是 ．
【答案】6或8或9
【解析】过点D作DE∥BC交BC于点E，①当∠DBN＝90°时，如图（1），
∵△BAC，△DMN是等边三角形，∠DBN＝90°，
∴∠ABC＝∠DEB＝∠MDN＝∠BDE＝60°，DM＝DN，即△DBE是等边三角形，
∴BD＝DE＝BE＝2，∠NBE＝∠DBN﹣∠DBE＝30°，∠EDN+∠NDB＝∠NDB+∠MDB＝60°，
∴∠EDN＝∠BDM，∴△DEN≌△DBM（SAS），
∴∠DEN＝∠DBM＝180°﹣60°＝120°，BM＝NE，
∴∠BEN＝∠DEN﹣∠DEB＝60°，∴∠BNE＝90°，
∴NE=12BE=1，即BM＝1，∴MC＝BC+BM＝7+1＝8．
②当∠BDN＝90°时，如图（2）
同理可得△DEN≌△DBM，∠NDE＝∠BDN﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠NED＝∠MBD＝60°，即∠DMB＝∠DNE＝90°，
∴BM=BDcs60°=2×12=1，∴CM＝BC﹣BM＝6．
③当∠BND＝90°时，如图（3）
同理可证△DBN≌△DEM，DE＝BD＝2，∠DEM＝60°，
∴∠DME＝∠DNB＝90°，∴ME=DEcs60°=2×12=1．∴CM＝BC﹣BM＝6．
④当∠BDN＝90°时，如图（4）
同理可证△DBN≌△DME，DE＝BD＝BE＝2，∠DEM＝60°，
∴∠MDE＝∠NDB＝90°，BE＝BC﹣BE＝5，∴ME=DEcs60°=212=4，∴CM＝ME+BE＝9．
综上所述，CM的长是6或8或9．
3．【2025•龙东地区】如图，在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，点E是边CD的中点，点F是对角线AC上一动点，作点C关于直线EF的对称点P，若PE⊥AC，则CF的长为 ．
【答案】3或9
【解析】如图所示，连接PC，交直线EF于点G，延长PE交AC于点H，当点P在AC上方时，
∵在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝12，CD=AC2-AD2=63，∵
点E是边CD的中点，∴CE=12CD=33，
∵点C关于直线EF的对称点P，∴PE=CE=33，∠EGC＝∠EGP＝90°，
∵PH⊥AC，∴∠EHC＝∠EHF＝90°，∠ACD＝30°，∠ACD+∠CEH＝∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CEH＝∠CAD＝60°，∴∠PEC＝120°，∵PE＝CE，
∴∠CPE=∠PCE=12(180°-∠PEC)=30°，
∵∠PEG＝∠FEH，∠EGP＝∠EHF＝90°，∴∠CPE＝∠EFC＝30°，
∴△CEF是等腰三角形，CH=FH=12CF，
在Rt△CEH中，CE=33，
∠HCE＝30°，CH＝CE•cs∠HCE＝33×32=92，∴CF＝2CH＝9；
如图，当点P在AC下方时，
∵PE⊥AC，∴∠CHE＝90°，
∵∠ACD＝30°，∴∠CEP＝60°，CH＝CE•cs∠ACD＝33×32=92，
由对称的性质得PE＝CE，
∴△CEP是等边三角形，∴∠P＝60°，CE＝PC＝PE＝33，
∴∠HEF＝30°，EH=PH=12PE=332，HF=EH⋅tan∠PEF=332×33=32，
∴CF＝CH﹣HF＝3；综上，CF的长为3或9．
江西省
1.【2025•江西12题】如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB′，折痕与边BC交于点P．当AB′与AB，AD中任意一边的夹角为15°时，∠APB的度数可以是 ．
【答案】82.5°或52.5°或37.5°
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，
由折叠得∠PAB′＝∠PAB=12∠BAB′，
如图1，∠BAB′＝15°，
∵∠PAB=12×15°＝7.5°，∴∠APB＝90°﹣∠PAB＝82.5°；
如图2，∠DAB′＝15°，且点B′与点B在直线AD同侧，
∵∠BAB′＝∠BAD﹣∠DAB′＝75°，∴∠PAB=12×75°＝37.5°，∴∠APB＝90°﹣∠PAB＝52.5°；
如图3，∠DAB′＝15°，且点B′与点B在直线AD异侧，
∵∠BAB′＝∠BAD+∠DAB′＝105°，∴∠PAB=12×105°＝52.5°，∴∠APB＝90°﹣∠PAB＝37.5°，
综上所述，∠APB的度数可以是82.5°或52.5°或37.5°．
河南省
1.【2025•河南】定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为 ．
【答案】254或112
【解析】∵AB＝AC＝5，∴∠B＝∠C，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＞∠B，
∴∠APC＞∠C，
若△APC为“反直角三角形”，
①当∠APC﹣∠C＝90°时，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴BD=CD=12BC=4，
∴AD=AB2-BD2=3，
∵∠B＝∠C，∴∠APC﹣∠B＝∠BAP＝90°，
∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠PAB＝90°，∴△ADB∽△PAB，
∴ABBP=BDAB，∴5BP=45，∴BP=254；
②当∠APC﹣∠CAP＝90°时，过点P作PM⊥BC交AC于点M，
∴∠APC﹣∠APM＝∠CPM＝90°，∴∠CAP＝∠APM，
∴AM＝PM，
∵PM⊥BC，AD⊥BC，∴PM∥AD，
∴△CMP∽△CAD，∴CPCD=PMAD=CMAC，
设CP＝x，则BP＝8﹣x，
∴x4=PM3=CM5，∴PM=34x，CM=54x，
∴AC＝AM+CM＝PM+CM=34x+54x=5，∴x=52，
∴BP=8-52=112；
③当∠CAP＝∠C+90°时，
∵sin∠C=ADCC=35，sin30°=12，且35＞2，∴∠C＞30°，∴∠BAC＜120°，
若∠CAP＝∠C+90°，则∠CAP＞120°，即∠CAP＞∠BAC，
∴此种情况不存在，
④当∠CAP＝∠APC+90°时，
∵当点P与点B重合时，∠APC最小，此时∠APC＝∠B＞30°，
同③理可证，此种情况不存在；
综上可知，BP的长为254或112．
三、解答题
四川省
1.【2025•宜宾】如图，过原点O的直线与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于A、B两点．一次函数y＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C，与x轴交于点M，其中A（﹣2，1），C（﹣1，n）．
（1）求一次函数y＝mx+b的表达式，并求△AOM的面积；
（2）连结BC，在直线AC上是否存在点D，使以O、A、D为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把A（﹣2，1）代入到y=kx(k≠0)中得：1=k-2，解得k ＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y=-2x，
在y=-2x中，当 x＝﹣1时，y=-2-1=2，∴C（﹣1，2），
把A（﹣2，1），C（﹣1，2）代入到y＝mx+b中得：-2m+b=1-m+b=2，
解得m=1b=3，∴一次函数y＝mx+b的表达式为y＝x+3，
在y＝x+3中，当y＝x+3＝0时，x＝﹣3，
∴M（﹣3，0），∴OM＝3，
∴S△AOM=12OM⋅|yA|=12×3×1=32；
（2）∵直线AB经过原点，
∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为B（2，﹣1），OA＝OB，
∵A（﹣2，1），C（﹣1，2），
∴AC=[-2-(-1)]2+(1-2)2=2，BC=[2-(-1)]2+(-1-2)2=32，AB=[2-(-2)]2+(-1-1)2=25，
∴AC2+BC2=(2)2+(32)2=2+18=20，AB2=(25)2=20，
∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，
∵BC⊥AC，∴OA与AC不垂直，
∵△OAD与△ABC相似，
∴只存在△OAD∽△BAC和△OAD∽△CAB这两种情况，
当△OAD∽△BAC时，则ADAC=OAAB=12，∠ODA＝∠BCA＝90°，
∴AD=12AC，OD∥BC，
∴此时点D为AC的中点，∴点D的坐标为(-32，32)，
当△OAD∽△CAB时，则ADAB=ODBC=OAAC，
AD25=OD32=52，∴AD=52，OD=35，
设D（d，d+3），
∴(-2-d)2+(1-d-3)2=(52)2(0-d)2+(0-d-3)2=(35)2，
解得d＝3，∴d+3＝6，
∴点D的坐标为（3，6）；
综上所述，点D的坐标为(-32，32)或（3，6）．
山西省
1.【2025•山西】综合与探究
问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB＞BC，点D在边AB上，AD＞BD．沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB′与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB′E，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边形BDB'E的形状，并说明理由；
拓展延伸：（2）如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A′落在射线DB′上，且折痕与边AC交于点F，然后展平．连接A′E交边AC于点G，连接A′F．
①若AD＝2BD，判断DE与A′E的位置关系，并说明理由；
②若∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，当△A′FG是以A′F为腰的等腰三角形时，请直接写出A′F的长．
解：（1）四边形BDB'E是菱形，理由如下：
由折叠的性质可得BD＝B'D，BE＝B'E，∠B'DE＝∠BDE，
∵B'D∥BC，∴∠B'DE＝∠BED，
∴∠BDE＝∠BED，∴BD＝BE，
∴BE＝BD＝B'D＝B'E，∴四边形BDB'E是菱形；
（2）①DE⊥A'E，理由如下：
由（1）知四边形BDB'E是菱形，∴BD＝B'E＝B'D，
由折叠的性质得到AD＝A'D，
∵AD＝2BD，∴A'D＝2BD＝2B'D＝2B'E，
∴B'D＝A'B'＝B'E，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°，
∴DE⊥A'E；
②∵∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，
∴AC=AB2-BC2=12，
当△A'FG是以A'F为腰A'G为底的等腰三角形时，如图，延长A'F交AB于点H，设AC，A'D交点为M，则FG＝A'F，
∴∠C＝90°，A'D∥BC，∴∠AMD＝∠C＝90°，
∴∠AMA'＝90°，
由折叠的性质得AD＝A'D，∠ADF＝∠A'DF，AF＝A'F，
∴△ADF≌△A'DF（SAS），∴∠A＝∠DA'F，
∵∠AFH＝∠A'FG，∴∠AHF＝∠AMA'＝90°，
∵∠A＝∠A，∴△AFH∽△ABC，
∴AFAB=HFBC=AHAC，
∴HF：AH：AF＝BC：AC：AB＝3：4：5，
∵∠A＝∠DA'F，AF＝A'F，∠AHF＝∠A'MF，
∴△AHF≌△A'MF（AAS），
∴HF＝FM，AH＝A'M，
设HF＝FM＝3x，AH＝A'M＝4x，AF＝A'F＝5x，
∴AM＝AF+FM＝8x，
∵A'D∥BC，∴△AMD∽△ACB，
∴AMAC=ADAB，即8x12=AD15，∴AD＝10x，
∴BE＝BD＝AB﹣AD＝15﹣10x，∴CE＝BC﹣BE＝10x﹣6，
∵FG＝A'F＝5x，∴MG＝FG﹣FM＝2x，
∴CG＝AC﹣AM﹣MG＝12﹣8x﹣2x＝12﹣10x，
∵A'D∥BC，∴△A'MG∽△ECG，
∴A'MCE=MGCG，∴4x10x-6=2x12-10x，
解得：x＝1，∴A'F＝5x＝5；
当△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形时，如图，则A'F＝AG，
同理得HF：AH：AF＝BC：AC：AB＝3：4：5，HF＝FM，AH＝A'M，AF＝A'F，
设HF＝FM＝3y，AH＝A'M＝4y，AF＝A'F＝5y，∴AM＝AF+FM＝8y，
∵A'D∥BC，∴△AMD∽△ACB，
∴AMAC=ADAB，即8y12=AD15，
∴AD＝10y，∴BE＝BD＝AB﹣AD＝15﹣10y，
∴CE＝BC﹣BE＝10y﹣6，
∵△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形，A'M⊥AC，∴GM＝FM＝3y，
∴FG＝GM+FM＝6y，∴CG＝AC﹣AF﹣FG＝12﹣11y，
∵A'D∥BC，∴△A'MG∽△ECG，
∴A'MCE=MGCG，∴4y10y-6=3y12-11y，
解得：x=3337，∴A'F＝5y=16537；
综上，A'F的长为5或16537．
江苏省
1.【2025•苏州】两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工作，∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，直线BD为生产流水线，且BD平分△ABC的面积（即D为AC中点）．机器人甲从点A出发，沿A→B的方向以v1（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿B→C→D的方向以v2（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到BD的距离（即垂线段PP′的长）为d1（m），点Q到BD的距离（即垂线段QQ′的长）为d2（m）．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时d1＝7.5m．d2与t的部分对应数值如表（t1＜t2）：
（1）机器人乙运动的路线长为 m；
（2）求t2﹣t1的值；
（3）当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即d1＝d2）时，求t的值．
解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，∴AC=302+402=50m，
∵D为AC中点，∴CD=12AC=25m，
∵BC+CD＝30+25＝55m，∴机器人乙运动的路线长为55m，
故答案为：55；
（2）根据题意，得v2=555.5=10，
∵△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，∴BD＝CD＝AD＝25，
∴∠ABD＝∠BAC，∠DBC＝∠C，
∴sin∠ABD＝sin∠BAC＝53，sin∠DBC=sinC=45，
当点Q在BC上时，d2=BQ⋅sin∠DBC=10t×45=8t，
∴8t1＝16，解得t1＝2，
当点Q在CD上时，作AH⊥BD，垂足为H（如图），
则AH=AB⋅sin∠ABD=40×35=24，
∵∠CDB＝∠ADH，∴sin∠CDB＝sin∠ADH=2425，
∴d2=QD⋅sin∠CDB=(55-10t)×2425=2645-485t，
∴2645-485t2=16，解得t2=236，
∴t2-t1=236-2=116；
（3）当t＝5.5时，d1＝7.5，
此时，BP=PP'sin∠ABD=7.535=12.5，
∴AP＝AB﹣BP＝40﹣12.5＝27.5，
∴v1=AP5.5=，
∴d1=BP⋅sin∠ABD=(40-5t)×35=24-3t，
当点Q在BC上时，由d1＝d2，得24﹣3t＝8t，解得t=2411，
当点Q在CD上时，由d1＝d2，得24-3t=2645-485t，解得t=4811，
∴t=2411或t=4811．t（min）
0
t1
t2
5.5
d2（m）
0
16
16
0