2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点28 等腰三角形与等边三角形（Word版附解析）

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A．5B．4C．3D．2
【答案】D
北京
1.【2025•北京7题】如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（ ）
A．80°B．100°C．110°D．120°
【答案】B
【解析】连接AB，AC，BC，
由作图可得，OA＝OB，AC＝BC＝AB，
∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°．
∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠ACO＝∠BCO=12∠ACB=30°，∠AOC=∠BOC=12∠AOB=50°，
∴∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝180°﹣30°﹣50°＝100°．
吉林省
1.【2025•吉林6题】如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′；（3）过点M′画射线CM′交边AB于点D．下列结论错误的为（ ）
A．∠B＝∠DCBB．∠BDC＝90°C．DB＝DCD．AD+DC＝BC
【答案】D
天津
1.【2025•天津10题】如图，CD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N．则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ABN＝∠AB．BN⊥ACC．CM＝ADD．BM＝BD
【答案】D
【解析】由作图过程可知，∠CBN＝∠BAC．
∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD＝∠BCD．
∵∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，∠CBM+∠BCM+∠BMC＝180°，
∴∠ADC＝∠BMC，∴∠BDM＝∠BMD，∴BM＝BD，
故D选项一定正确．
江苏省
1.【2025•扬州】在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（ ）
A．∠ADB＝∠ADCB．∠B＝∠C
C．BD＝CDD．AD平分∠BAC
【答案】B
安徽省
1.【2025•安徽6题】如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC．若DE=3，则AC的长是（ ）
A．43B．6C．23D．3
【答案】B
【解析】∵∠A＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C=12×（180°﹣120°）＝30°，
∵ED⊥AC，∴∠CDE＝90°，
∵tanC＝tan30°=DEDC=3DC=33，∴DC＝3，
∵D是AC的中点，∴AC＝2DC＝6．
二、填空题
广西
1.【2025•广西16题】如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD=2，则AD＝ ．
【答案】3-1
【解析】延长AD交BC于E，
∵AB＝CA，BD＝CD，∴AE⊥BC，BE＝CE，
∵AB＝BC＝CA＝2，∴BE＝CE＝1，
∴AE=AB2-BE2=3，DE=BD2-BE2=2-1=1，∴AD＝AE﹣DE=3-1．
陕西省
1.【2025•陕西14题】如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，DN的长为 ．
【答案】5
【解析】如图，连接AP，交BC于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，
∵△MNP是等边三角形，∴MP＝PN，∠PMN＝∠PNM＝60°，△MNP的面积=34MP2，
∵AM＝AN，AP＝AP，∴△AMP≌△ANP（SSS），
∴∠BAP＝∠DAP＝60°，∠APM＝∠APN＝30°，∴∠AMP＝90°，
∴MP=3AM，AP＝2AM，∴MP=32AP，
∴△MNP的面积=3316AP2，∴当AP最大时，△MNP的面积的面积最大，
∵∠B＝∠BAH＝60°，∴△ABH是等边三角形，
∴AB＝AH＝6，
∵AM＝AN，AP＝AP，∴点P在MN上运动，
∵点P始终在▱ABCD的内部或边上．∴AP的最大值为AH的长，即AP＝6，
∴AM＝AN＝3，∴DN＝5．
福建省
1.【2025•福建12题】某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点．若AB＝AC＝8m，则DE的长为 m．
【答案】4
四川省
1.【2025•自贡】如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的顶点C，A分别在x轴，y轴正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．以BC为边作等边△BCD，连接OD，则OD的最大值为 ．
【答案】3+13
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，
∴AC=BC÷tan30°=2÷33=23，
∵△BCD为等边三角形，∴CD＝BC＝2，∠BCD＝60°，
如图，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于F，
则AE=CE=OE=12AC=3，∠FCE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝30°，
∴EF=12CE=32，CF=CE2-EF2=32，∴DF=DC+CF=72，∴DE=EF2+DF2=13，
根据三角形三边关系可得：OD≤DE+OE，
∴OD≤3+13，∴OD的最大值为3+13．
2．【2025•南充】如图，∠AOB＝90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E．设OC＝1，则OE的长是 ．
【答案】3．
【解析】连OD，由作图可得OD＝OD＝CD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，
∴OE=OC×tanC=3×1=3．
三、解答题
湖南省
1．【2025•长沙19题】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D．
（1）求∠BCD的度数；
（2）若BC＝2.5，求AD的长．
解：（1）∵AB＝AC，∠B＝72°，∴∠ACB＝∠B＝72°，
由作图可知：CD是∠ACB的角平分线，
∴∠BCD=∠ACD=12∠ACB=36°；
（2）∵∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∠B＝72°，
∴∠BDC＝∠B，∴CD＝CB，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠ACD＝36°，
∴∠A＝∠BDC﹣∠ACD＝72°﹣36°＝36°，
∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD，
∴AD＝BC＝2.5．
黑龙江省
1.【2025•龙东地区】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，设∠BAC＝α，点D是直线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转α至AE，连接DE、BE，过点E作EF⊥BC，交直线BC于点F．探究如下：
（1）若α＝60°时，
如图①，点D在CB延长线上时，易证：BF＝DF+BC；
如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．
（2）若α＝120°，点D在CB延长线上时，如图③，猜想线段BF、DF、BC之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明．
解：（1）①证明：∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠ACB＝60°，
∵∠BAC＝∠EAD＝α＝60°，∴∠BAC+∠BAD＝∠EAD+∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，
∴在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，
∴∠EBF＝180°﹣∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵EF⊥BC，∴在Rt△BEF 中，BE=BFcs∠EBF=BFcs60°=2BF，
∵CD＝BD+BC＝BF+DF+BC，CD＝BE＝2BF，∴2BF＝BF+DF+BC，
∴BF＝DF+BC；
②BF＝DF﹣BC，理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BCA＝60°，∴∠ACD＝180°﹣∠BCA＝120°，
∵4∠BAC＝∠EAD＝α＝60°，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAD，
∴在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝120°，
∴∠EBF＝∠ABE﹣∠ABC＝120°﹣60°＝60°，
∵EF⊥BC，∴在Rt△BEF中，BE=BFcs∠BEF=BFcs60°=2BF，
∵CD＝BD﹣BC＝BF+DF﹣BC，CD＝BE＝2BF，∴2BF＝BF+DF﹣BC，∴BF＝DF﹣BC；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝α＝120°，∴∠ABC=∠BCA=12(180°-∠BAC)=30°，
∵∠BAC＝∠EAD＝α＝120°，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，即∠DAC＝∠EAB，
∴在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝30°
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝30°+30°＝60°，
∵EF⊥BC，∴在Rt△BEF 中，
BE=BFcs∠BEF=BFcs60°=2BF，
∵CD＝BC﹣BD＝DF﹣BF+BC，CD＝BE＝2BF，∴2BF＝DF+BC﹣BF，∴3BF＝DF+BC．
天津
1.【2025•天津24题】在平面直角坐标系中，O为原点，等边△ABC的顶点A（0，2），B（0，﹣1），点C在第一象限，等边△EOF的顶点E(-3，0)，顶点F在第二象限．
（Ⅰ）填空：如图①，点F的坐标为 ，点C的坐标为 ；
（Ⅱ）将等边△EOF沿水平方向向右平移，得到等边△E′O′F′，点E，O，F的对应点分别为E′，O′，F′．设OO′＝t．
①如图②，若边E′F′与边AB相交于点G，当△E′O′F′与△ABC重叠部分为四边形OO′F′G时，试用含有t的式子表示线段GA的长，并直接写出t的取值范围；
②设平移后重叠部分的面积为S，当334≤t≤332时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
解：（Ⅰ）作 FG⊥OE于点G，作CH⊥AB于点H，
∵△OEF，△ABC均为等边三角形，∴OG=12OE，OF＝OE，AH=12AB，AC＝AB，
∵A（0，2），B（0，﹣1），E(-3，0)，∴OF=OE=3，AC＝AB＝2+1＝3，OA＝2，
∴OG=32，AH=32，∴FG=OF2-OG2=32，OH＝OA﹣AH=12，CH=AC2-AH2=332，
∴F（-32，32），C(332，12)，故答案为：（-32，32），C(332，12)；
（Ⅱ）①∵平移，∴∠F'E'O'＝∠OEF＝60°，O'E'=OE=3，
∵OO'＝t，∴OE'=O'E-OO'=3-t，
∴OG=OE'⋅tan60°=3(3-t)=3-3t，
∴AG=OA-OG=2-3+3t=3t-1，
当点F'落在y轴上时，此时，点O为O'E'的中点，则：t=32，
当点E'与点O重合时，t=3，
∴当△E'O'F′与△ABC重叠部分为四边形OO'F′G时，32＜t＜3；
②当334≤t＜3时，则重叠的部分为四边形OO'F′G，
如图，作F'M⊥x轴，
由（1）和（2）①可知：F'M=32，OG=3-3t，OE'＝\sqrt 3﹣t，
∴S=SΔO'E'F'-SΔOE'G=12×3×32-12⋅(3-t)(3-3t)=-32(t-3)2+334，
∴当t=334时，S的值最小，为-32×(334-3)2+334=9316，∴9316≤S＜334，
设BC交x轴于点N，则：ON=OB⋅tan60°=3=O'E'，
∴当t=3时，此时点E'于O重合，O'与N点重合，重叠的部分恰为△O'E'F'，
∴S=12×3×32=334，
当3＜t≤332，S随着t的增大而减小，
∴当t=332时，S有最小值，此时点C'O'⊥x轴，如图：
此时重叠部分为五边形，O'N=332-3=32，
∵∠CNO'＝∠BNO＝90°﹣∠ABC＝30°，∠E'O'F'＝60°，
∴∠NQO'＝90°，
∴O'Q=12O'N=34，QN=3O'Q=34，
∴SΔO'NQ=12×34×34=3332，
∵∠ACB＝60°，∠CQP＝∠NO'Q＝90°，
∴∠F''PG＝∠CPQ＝30°，
∴∠F''GP＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
由平移可得：F'F″=NO'=32，F'F''∥NO'=32，
∴∠F'F''G＝∠O'E'F''＝60°
∴∠F''F'G＝30°＝∠F''PG，
∴F''P＝F'F''=32
同法可得：SΔF'GP=12×34×34=3332，
S=SΔO'E'F″-SΔO'NQ-SΔF″GP=334-3332-3332=9316；
综上：9316≤S≤334．
福建省
1.【2025•福建21题】如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G．
（1）求∠DCE的大小；
（2）求证：△CEG是等边三角形．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°．
∵D是AB的中点，
∴∠DCB＝∠DCA=12∠ACB=12×60°＝30°．
∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝60°．
（2）证明：由平移可知：CD∥EF，
∴∠EAC＝∠DCA＝30°，
又∵∠ECA＝∠BCE﹣∠ACB＝30°，∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，∠AEC＝120°，
又∵AB＝CB，∴BE垂直平分AC，
∴∠GEC=12∠AEC=12×120°＝60°，
由（1）知，∠GCE＝60°，
∴∠EGC＝60°，
∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC，
∴△CEG是等边三角形．
浙江省
1.【2025•浙江22题】如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD，OE．
（1）求证：OD⊥OE．
（2）若AB＝BC，OB=3，求四边形ODCE的面积．
解：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
由作图可知：OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，
∵以点O为圆心，OB长为半径的半圆与AC相切于点E，
∴OE⊥AC，∴OD⊥OE；
（2）∵AB＝AC，AB＝BC，∴△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
在Rt△AEO中，OE＝OD＝OB=3，
则OA=OEsinA=332=2，AE=OEtanA=33=1，
∴AB＝2+3，
∴EC＝AC﹣AE＝2+3-1＝1+3，
则四边形ODCE的面积为：12×（3+3+1）×3=3+32．