2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点29 直角三角形、勾股定理（Word版附解析）

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A．1B．5C．22D．10
【答案】D
【解析】在矩形ABCD中，AB＝3，AE＝4，
∴∠A＝∠D＝90°，AD＝BC，CD＝AB＝3，
在直角三角形ABE中，由勾股定理得：BE=AE2+AB2=5，
∴BC＝BE＝5，∴AD＝5，∴DE＝AD﹣AE＝1，
在直角三角形CDE中，由勾股定理得：CE=CD2+DE2=10．
山东省
1.【2025•东营】如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3m，摆动水平距离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是（ ）
A．0.9cmB．1.3cmC．1.6cmD．2cm
【答案】A
【解析】如图，过点C作CE⊥OA于点E，则∠OEC＝90°，
∵∠BOC＝90°，∴∠BOD+∠COE＝90°，
由题意可知，OB＝CO，OA＝OB＝OC＝2m，BD＝1.6m，DF＝1.3m，BD⊥OA，
∴∠BDO＝90°，∴OD=OB2-BD2=22-1．62=1.2（m），
∴OF＝OD+DF＝1.2+1.3＝2.5（m），
∵∠BDO＝∠OEC＝90°，∴∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠COE＝∠OBD，
在△OBD和△COE中，
∠BDO=∠OEC∠OBD=∠COEOB=CO，∴△OBD≌△COE（AAS），
∴OE＝BD＝1.6m，∴EF＝OF﹣OE＝2.5﹣1.6＝0.9（m），
即小丽在C处时距离地面的高度是0.9m．
陕西省
1.【2025•陕西5题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
浙江省
1.【2025•浙江9题】如图，在Rt△ABC中，∠A＝35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E．若AB＝2，则DE的长为（ ）
A．19πB．29πC．1136πD．718π
【答案】B
【解析】∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD=12AB，
∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝35°，
∴∠CDE＝∠A+∠ACD＝70°，
由题意知：CD＝CE，∴∠CED＝∠CDE＝70°，
∴∠DCE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵AB＝2，∴CD=12×2＝1，
∴DE的长=40π×1180=29π．
四川省
1.【2025•南充】如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【答案】D
2．【2025•德阳】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD＝1，则GE＝（ ）
A．3B．2C．1D．12
【答案】B
二、填空题
四川省
1.【2025•广安】如图，在△ABC中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线AF交BC于点E．若∠C＝2∠B，BC＝23，BD＝13，则AE的长为 ．
【答案】12
【解析】连接AD，
由作图过程可知，AD＝AC，AE⊥BC，
∴∠ADC＝∠C＝2∠B，∠AED＝90°，DE＝CE．
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝∠B，∴AD＝BD＝13．
∵BC＝23，BD＝13，∴CD＝BC﹣BD＝10，∴DE=12CD=5，
∴AE=AD2-DE2=132-52=12．
山东省
1.【2025•威海】如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12cm，则折成立方体的棱长为 cm．
【答案】1225
【解析】如图，设BC＝x cm，则AB＝（12﹣x）cm，BD=2x cm，BE＝42x cm，
在Ry△ABE中，由勾股定理得，AE2+AB2＝BE2，
即（12﹣x）2+（12﹣x）2＝（42x）2，解得x=125或x＝﹣4（舍去），
所以正方体的棱长为1225 cm．
江苏省
1.【2025•连云港】如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为 m．
【答案】2.4．
2．【2025•扬州】清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯⋯根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ．
【答案】11，60，61
【解析】通过观察得：
第①组勾股数分别为：2×1+1＝3，2×12+2×1＝4，2×12+2×1+1＝5；
第②组勾股数分别为：2×2+1＝5，2×22+2×2＝12，2×22+2×2+1＝13；
第③组勾股数分别为：2×3+1＝7，2×32+2×3＝24，2×32+2×3+1＝25；
第④组勾股数为：2×4+1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41；
所以第⑤组勾股数为：2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61．
故答案为：11，60，61．
三、解答题
广东省
1．【2025•广东】《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．如表中的每一组数都是勾股数．
（1）请补全如表中的勾股数．
（2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．
（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
解：（1）由表中勾股数的规律可知，令a＝10，b，c＝26，
则由勾股数定义可知a2+b2＝c2，即102+b2＝262，
∴b2＝262﹣102＝（26+10）（26﹣10）＝36×16，
解得b＝24或b＝﹣24（舍去）；故答案为24；
（2）令n为正整数，则由表中规律可知，表中第一行、第三行中a为奇数：a＝2n+1，则b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，
证明如下：
∵a2＝（2n+1）2，b2＝[2n（n+1）]2，c2＝[2n（n+1）+1]2，
∴c2﹣b2＝[2n（n+1）+1]2﹣[2n（n+1）]2＝{[2n（n+1）+1]+[2n（n+1）]}{[2n（n+1）+1]﹣[2n（n+1）]}
＝4n（n+1）+1＝4n2+4n+1＝（2n+1）2＝a2，
表中第二行、第四行中a为偶数：a＝2n，则b＝n2﹣1，c＝n2+1，
证明如下：
∵a2＝4n2.b2＝（n2﹣1）2，c2＝（n2+1）2
∴c2﹣b2＝（n2+1）2﹣（n2﹣1）2＝[（n2+1）+（n2﹣1）][（n2+1）﹣（n2﹣1）]＝2n2×2 ＝（2n）2＝a2；
（3）查表可以知道他的最短是20 21 29这个勾股数，
一个直角三角形三条边的长度之和为20+21+29＝70米，
因为图案是由四个全等的直角三角形组成，
所以需要种花70×4＝280株．
四川省
1.【2025•德阳】在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用，如图，点E、F处是它的两个门，且DE＝CF，要修建两条直路AF、BE，AF与BE相交于点O（两个门E、F的大小忽略不计）．
（1）请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由；
（2）同学们测得AD＝4米，AE＝3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与点B处的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由．
解：（1）两条路等长；它们有什么位置关系是：互相垂直，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝AD＝CD，∠BAE＝∠D＝90°，
∵DE＝CF，∴AD﹣DE＝CD﹣CF，∴AE＝DF，
在△BAE和△ADF中，
BA=AD∠BAE=∠D=90°AE=DF，∴△BAE≌△ADF（SAS）
∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，
∵∠BAE＝∠BAO+∠DAF＝90°，∴∠BAO+∠ABE＝90°，
在△AOB中，∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABE）＝90°，
∴AF⊥BE，
∴道路AF与BE等长，且它们相互垂直；
（2）能建成一条这样的直路，且点P在边界BC上，理由如下：
∵AD＝AB＝CD＝4米，AE＝3米，∴DE＝CF＝1米，
在RtABE中，由勾股定理得：BE=AB2+AE2=42+32=5（米），
由（1）得：AF＝BE＝5米，AF⊥BE，
∴由三角形的面积公式得：S△ABE=12BE•OA=12AB•AE，
∴OA=AB⋅AEBE=3×45=2.4（米），
∴OF＝AF﹣OA＝5﹣2.4＝2.6（米），
根据“垂线段最短”得：点F到路段OB的最短距离为2.6米，
∴路段OB上不存在点P到点F的距离等于2.5米，∴点P不在路段OB上，
设点P在边界BC上时，
在Rt△PCF中，由勾股定理得：PC=FP2-FC2=2．52-12=212，
∴BP＝BC﹣PC=4-212，
∵4-212＞4-252，∴4-212＞1.5，∴点P符合题意，即能建成一条这样的直路．3，4，5
7，24，25
11，60，61
15，112，113
19，180，181
4，3，5
8，15，17
12，35，37
16，63，65
20，21，29
5，12，13
9，12，15
13，84，85
17，144，145
21，28，35
6，8，10
10， ，26
14，48，50
18，80，82
22，120，122