2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点31 矩形、菱形与正方形（Word版附解析）

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A．95°B．100°C．110°D．145°
【答案】C
【解析】过点E作EG∥BC交BD于点G，连接FG，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，∠ADB＝35°，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴AD∥EG∥BC，∴∠EGP＝∠ADB＝∠FBP＝35°，
∵点P为EF的中点，∴PE＝PF，
在△PEG和△PFB中，
∠EGP=∠FBP∠EPG=∠FPBPE=PF，∴△PEG≌△PFB（AAS），∴EG＝FB，
又∵EG∥FB，∴四边形BEGF是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，∴平行四边形BEGF是矩形，
∴PG＝PE，∴∠GEP＝∠EGP＝35°，
在△PEG中，∠EPG＝180°﹣（∠GEP+∠EGP）＝110°．
广东省
1．【2025•广东】如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG．若AB＝8，BC＝12，则tan∠GCF的值是（ ）
A．1010B．13C．31010D．23
【答案】B
【解析】过点G作GM⊥BC于点M，如图所示：
在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝90°，
∵点E，F是BC的三等分点，∴BE＝EF＝CF=13BC＝4，
∴BF＝BE+EF＝8，∴AB＝BF＝8，
∴△ABF是等腰直角三角形，∴∠BFA＝45°，
同理：△CDE是等腰直角三角形，∴∠CED＝45°，
∴∠BFA＝∠CED＝45°，∴△GEF是等腰直角三角形，
∵GM⊥EF，∴GM＝EM＝FM=12EF＝2，∴CM＝CF+MF＝4+2＝6，
在Rt△GMC中，tan∠GCF=GMCM=26=13．
黑龙江省
1.【2025•绥化】一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°．则这个矩形的面积是（ ）
A．25B．253C．255D．503
【答案】B
2．【2025•龙东地区】如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE＝BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①MN＝AF；②∠EAH＝∠EHA；③EN•BF＝EC•HN；④若BF：FC＝3：4，则tan∠FAC=25；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤B．①②④⑤C．①②③④D．①③④⑤
【答案】C
【解析】如图1，过点B作BK∥EN，交CD于点K，
在正方形ABCD中，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°，AB∥CD，
∴△ABC、△ADC是等腰三角形，又BE＝BF，AB＝AB，∴△AEB≌△AFB（SAS），
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE，∠BAE＝∠BAF，∴△AEF是等腰三角形，
∵EG⊥AF，∴∠NEC+∠AFE＝90°，
又∵∠BAF+∠AFE＝90°，∴∠NEC＝∠BAF，
∵BK∥EN，∴∠KBC＝∠NEC，∠BKC＝∠ENC，
∴∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE，
设∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE＝α，
∵∠EAH＝∠BAE+∠BAC＝α+45°，∠AHE＝∠HEC+∠ACB＝α+45°，
∴∠EAH＝∠AHE，故结论②正确；
∴EA＝EH，即△AEH是等腰三角形，
∵在△ABF和△BCK中，
AB=BC∠KBC=∠BAF∠ABF=∠BCK，∴△ABF≌∠BCK（AAS），
∴BK＝AF，∠CKB＝∠AFE＝∠AEF＝90°﹣α，
∵BK∥EN，AB∥CD，∴四边形BMNK是平行四边形，
∴MN＝BK，∴MN＝AF，故结论①正确，
∵∠NEC＝∠BAF，∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴△NEC﹣△BAF，∴ENAF=CNBF，
∴EN•BF＝CN•AF，
∵∠EAH＝∠AHE＝∠CHN＝45°+α，∠ACE＝∠ACN＝45°，
∴△AEC∽△HNC，∴AEHN=ECNC，∴CN•AE＝EC•HN，
∵AE＝AF，∴CN•AF＝EC•HN，
∴EN•BF＝EC•HN，故结论③正确，
过点F作FP⊥AC，如图2；
设BF＝3x，由BF：FC＝3：4可得FC＝4x，AB＝BC＝7x，∴AF2＝AB2+BF2＝（7x）2+（3x）2＝58x2，
∵PF=FC⋅sin∠ACB=4x⋅22=22x'∴AP=AF2-PF2=58x2-8x2=52，
∴tan∠FAC=PFAP=22x52x=25，
故结论④正确，∠CNE＝90°﹣α，∠CHN＝∠AHE＝α+45°，α＜45°，
∴∠CNE不一定等于∠CHN，α＜45°，∴△CNH不一定是等腰三角形，
故等腰三角形有△ABC、△ADC、△AEF、△AEH，共四个，故结论⑤错误，
综上所述：正确结论有①②③④．
山东省
1.【2025•东营】如图，在△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与点B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q．下列结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②④B．①②③C．①②③④D．②③④
【答案】C
【解析】∵四边形ADEF为正方形，∴∠ADE＝∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，
∴∠CAD+∠FAG＝90°，
∵FG⊥CA，∴∠G＝90°＝∠ACB，
∴∠AFG+∠FAG＝90°，∴∠CAD＝∠AFG，
在△FGA和△ACD中，
∠G=∠C∠AFG=∠CADAF=AD，∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC＝FG，故①正确；
∵BC＝AC，∴FG＝BC，
∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF＝90°，
S△FAB=12FB⋅FG=12S四边形CBFG，即S△FAB：S四边形CBFG＝1：2，故②正确；
∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，
∴∠ABC＝∠ABF＝45°，故③正确；
∠FQE＝∠DQB＝∠ADC＝90°﹣∠BDQ，∠E＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△FEQ，∴AC：FE＝AD：FQ，
∴AD•FE＝AD2＝FQ•AC，故④正确；
∴正确的有①②③④．
陕西省
1.【2025•陕西7题】如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（ ）
A．10B．8C．5D．4
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴AB＝BC＝4，∠A＝∠B＝90°，
∵点E是AB的中点，∴AE＝BE=12AB＝2，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE=BC2+BE2=42+22=25，
∠A＝∠B＝90°，EF⊥EC，
∴∠BCE+∠BEC＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，
∴∠BCE＝∠AEF，∴△BCE∽△AEF，
∴EFCE=AEBC，∴EF=CE⋅AEBC=25×24=5，
∴△CEF的面积为：12CE•EF=12×25×5=5．
湖南省
1.【2025•湖南8题】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．6B．9C．12D．18
【答案】C
江苏省
1.【2025•苏州】如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接A′C，A′D，则下列结论不正确的是（ ）
A．A′D∥BE
B．A'C=2A'D
C．△A′CD的面积＝△A′DE的面积
D．四边形A′BED的面积＝△A′BC的面积
【答案】D
【解析】连接AA′交BE于点L，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵E为边AD的中点，∴AE＝DE=12AD=12AB，
∵将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，∴A′E＝AE＝DE，点A′与点A关于直线BE对称，
∴BE垂直平分AA′，∴∠ALE＝90°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠EA′D＝∠EDA′，
∴∠AA′D＝∠EA′A+∠EA′D＝∠EAA′+∠EDA′=12×180°＝90°，
∴∠AA′D＝∠ALE，∴A′D∥BE，故A正确；
作A′H⊥CD于点H，设A′H＝m，则∠A′HD＝∠A′HC＝∠ADC＝90°，∴A′H∥AD，
∴∠DA′H＝∠ADA′＝∠AEB，
∴DHA'H=tan∠DA′H＝tan∠ADA′=AA'A'D=tan∠AEB=ABAE=2，
∴DH＝2A′H＝2m，AA′＝2A′D，AB＝2AE，
∴A′D=A'H2+DH2=m2+(2m)2=5m，AD=A'D2+AA'2=A'D2+(2A'D)2=5A′D，
∴AB＝CD＝AD=5×5m＝5m，∴CH＝CD﹣DH＝5m﹣2m＝3m，
∴A′C=A'H2+CH2=m2+(3m)2=10m，
∴A'CA'D=10m5m=2，∴A′C=2A′D，故B正确；
∵AA′＝2A′D＝25m，∴S△A′AD=12×5m×25m＝5m2，∴S△A′DE＝S△A′AE=12S△A′AD=52m2，
∵S△A′CD=12×5m2=52m2，∴S△A′CD＝S△A′DE，故C正确；
∵AE=12AD=52m，∴S△A′BE＝S△ABE=12×5m×52m=254m2，∴S四边形A′BED=254m2+52m2=354m2，
∵S正方形ABCD＝（5m）2＝25m2，∴S△A′BC＝25m2﹣2×254m2﹣2×52m2=152m2，
∴S四边形A′BED≠S△A′BC，故D不正确．
四川省
1.【2025•泸州】矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角相等
【答案】A
2．【2025•泸州】如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE上的点，且DF＝DC，则AF的长为（ ）
A．2109B．2105C．41015D．4109
【答案】B
【解析】过点D作DQ⊥CE交CE于点P，交BC于点Q，过点F作MN⊥AB于点M，交CD于点N，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴AB＝BC＝CD＝2，∠B＝∠DCB＝90°，CD∥AB，
∵点E是AB的中点，∴AE＝BE=12AB＝1，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE=BC2+BE2=5，∴∠DCP+∠BCE＝90°，
∵DQ⊥CE，∴∠CDQ+∠DCP＝90°，∴∠BCE＝∠CDQ，
在△BCE和△CDQ中，
∠BCE=∠CDQBC=CD∠B=∠DCB=90°，
∴△BCE≌△CDQ（ASA），∴CE＝DQ=5，BE＝CQ＝1，
∵DQ⊥CE，∠B＝90°，∴∠CPQ＝∠B＝90°，
又∵∠PCQ＝∠BCE，∴△CPQ∽△CBE，
∴CPBC=PQBE=CQCE，∴CP2=PQ1=15，
∴CP=255，PQ=55，
∴DP＝DQ﹣PQ=5-55=455，
∵DF＝DC，DQ⊥CE，∴FP＝CP=255，∴CF＝FP+CP=455，
∴EF＝CE﹣CF=5-455=55，
∵CD∥AB，MN⊥AB，∴MN⊥CD，∴∠MNC＝∠DCB＝∠B＝90°，
∴四边形BCMN是矩形，∴MN＝BC＝2，
由三角形的面积公式得：S△DCF=12CD•FN=12DP•CF，
∴12×2×FN=12×455×455，
∴FN=85，∴FM＝MN﹣FN=2-85=25，
在Rt△EFM中，由勾股定理得：EM=EF2-FM2=(55)2-(25)2=15，
∴AM＝AE+EM=1+15=65，
在Rt△AFM中，由勾股定理得：AF=AM2+FM2=(65)2+(25)2=2105．
故选：B．
3．【2025•内江】按如下步骤作四边形ABCD：（1）画∠EAF；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE、AF于点B、D；（3）分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC、DC、BD．若∠A＝40°，则∠BDC的度数是（ ）
A．64°B．66°C．68°D．70°
【答案】D
【解析】由尺规作图可知：AB＝AD＝BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠BDC＝∠ADB=12∠ADC，∴∠A+ADC＝180°，
∵∠A＝40°，∴∠ADC＝180°﹣∠A＝140°，∴∠BDC=12∠ADC＝70°．
4．【2025•德阳】如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（ ）
A．AB∥CDB．AB＝BCC．∠B＝∠DD．AC＝BD
【答案】D
5．【2025•德阳】如图：点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，如果BD＝AC，四边形EFGH的面积为24．且HF＝6，则GH＝（ ）
A．4B．5C．8D．10
【答案】B
【解析】如图：连接EG，HF交于点O，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，∴EH∥BD，EH=12BD，
FG∥BD，FG=12BD，EF∥AC，EF=12AC，GH∥AC，GH=12AC，
∵BD＝AC，∴EH＝FG＝EF＝GH，
∴四边形EFGH是菱形．
∴EG⊥HF，OH=12HF=3，OG=12EG，∴∠HOG＝90°，
∵四边形EFGH面积为24，HF＝6，∴24=12×6×EG，解得EG＝8，
∴OG=12EG=4，
在Rt△HOG中，GH=(OH)2+(OG)2=32+42=5．
山东省
1.【2025•烟台】如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，反比例函数y=kx（x＞0）的图象过点C和菱形的对称中心M，则k的值为（ ）
A．4B．42C．2D．22
【答案】D
【解析】∵菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，
∴AM＝CM，OC＝OA＝BC＝AB＝3，∴A（3，0），
设C（x，y），∴M（x+32，y2），∴xy=x+32⋅y2，
解得：x＝1，
过C作CH⊥AO于H，
∴OH＝1，CH=32-12=22，∴C(1，22)，∴k=1×22=22．
重庆
1.【2025•重庆】如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为（ ）
A．58B．54C．558D．554
【答案】A
【解析】如图，连接GE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝∠BAC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA＝2，
∵点E是BC边的中点，∴BE＝CE＝1，
∵将△DCE沿直线DE翻折得△DFE，
∴∠EFD＝∠C＝90°，CE＝FE＝BE＝1，DC＝DF＝2，
∴∠GFE＝∠GBE＝90°，
∵GE＝GE，∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），
∴GF＝GB，
设GB＝GF＝x，则AG＝2﹣x，DG＝2+x，
根据勾股定理可得AG2+AD2＝DG2，
即（2﹣x）2+22＝（2+x）2，解得x=12，
∴DG=52，AG=32，
∵∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，
∴点H到AD，AG，GD的距离相等，
∴S△GDH=GDGD+AG+AD⋅S△ADG=5252+32+2×12×32×2=58
二、填空题
青海省
1．【2025•青海】如图，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF＝2，则菱形ABCD的面积为 ．
【答案】12
【解析】∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，
∴AC＝2EF＝2×2＝4，∴菱形ABCD的面积=12BD•AC=12×6×4＝12．
贵州省
1．【2025•贵州】如图，在矩形ABCD中，点E，F，M分别在AB，DC，AD边上，BE＝2CF，FM分别交对角线BD、线段DE于点G，H，且H是DE的中点．若CF＝2，∠ABD＝30°，则HG的长为 ．
【答案】233．
【解析】如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，
∵BE＝2CF，CF＝2，∴BE＝4，
∵矩形ABCD，∴AN＝CN＝BN＝DN，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BAC＝30°，∠BAC＝∠NCF＝30°，
∵H是DE的中点，∴HN是△BDE的中位线，
∴HN∥BE，HN=12BE=2，∴∠ABD＝∠HNQ＝30°，
∴HQ=12HN=1，
∵HN∥AB，AB∥CD，∴HN∥CF，
∵HN＝CF＝2，∴四边形HFCN是平行四边形，
∴∠NCF＝∠NHG＝30°，而HQ⊥BD，∠HNQ＝30°，
∴∠HGQ＝60°，∴∠GHQ＝30°，
∴cs∠GHQ=cs30°=HQHG=1HG，∴HG=1÷32=233．
甘肃省
1．【2025•兰州14题】如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE＝CE．若AB=43，则AF＝ ．
【答案】4
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝43，∠ABD＝∠CBD，
∵BE＝CE，∴BE＝CE＝23，
∵sin∠BAE=BEAB=12，∴∠BAE＝30°，
∴∠ABE＝60°，∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴∠BAE＝∠CBD＝∠ABD，BF＝2EF，BE=3EF，
∴AF＝BF，EF＝2，∴AF＝BF＝2EF＝4．
辽宁省
1．【2025•辽宁15题】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为 ．
【答案】13
【解析】在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，
∴OA=12AC=4，OB=12BD=6，AC⊥BD，
∵AE＝2，∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，
如图，取OE中点H，连接GH，
∵点G为BE的中点，点H为OE的中点，∴GH是三角形EBO的中位线，
∴GH=12OB=3，GH∥OB，∴∠GHE＝∠BOA＝90°，
∵OF＝1，∴HF=OH+OF=12OE+OF=12×2+1=2，
在直角三角形GFH中，由勾股定理得：GF=GH2+HF2=32+22=13．
吉林省
1．【2025•长春】如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．点E在线段OA上，连结BE，作CF⊥BE于点F，交OB于点P．给出下面四个结论：
①∠OCP＝∠OBE；
②OE＝OP；
③当CE＝CB时，BP＝EF；
④点A与点F之间的距离的最小值为25-2．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②④．
【解析】∵正方形ABCD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，
∵CF⊥BE，∴∠COP＝90°＝∠BFP，
∵∠CPO＝∠BPF，∴∠OCP＝∠OBE，故①符合题意；
∵∠COP＝90°＝∠BOE，OC＝OB，∴△COP≌△BOE（ASA），∴OP＝OE，故②符合题意；
当CE＝CB时，CF⊥BE，∴EF＝BF，∠BFP＝90°，∴BP＞BF＝EF，故③不符合题意；
如图，取BC的中点R，连接AF，RF，
∵∠CFB＝90°，∴F在以R为圆心，BC为直径的圆上，
当A，F，R共线时，AF最小，
∵AB＝BC＝4，∴RF＝RB＝2，
∴AR=42+22=25，∴AF=25-2，
∴点A与点F之间的距离的最小值为25-2，故④符合题意；故答案为①②④．
北京
1．【2025•北京15题】如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为 ．
【答案】38
【解析】过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠FMC，∴AB∥FM，∴FN＝BM，
∵S△ABF=12AB⋅FN，S△ABM=12AB⋅BM，∴S△ABF＝S△ABM，
∵CF⊥BE，垂足为F，AB＝1＝BC，∠EBC＝30°，
∴∠BFC＝90°，CF=12BC=12，∴∠CFM＝90°﹣∠BCF＝30°，
∴CM=12CF=14，∴BM=BC-CM=34，
∴S△ABF=S△ABM=12×1×34=38．
内蒙古
1.【2025•内蒙古12题】如图，在菱形ABCD中，AB＝45，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF＝3，则EF的长为 ．
【答案】85
【解析】如图，连接AC交BD于O，过点E作EG⊥BD于G，
∵四边形ABCD是菱形，对角线BD的长为16，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝8，AB＝AD＝45，
∴AO=AD2-OD2=80-64=4，
∵E是AD的中点，∴AD＝2DE，
∵EG⊥BD，∴EG∥AC，
∴△EGD∽△AOD，
∴EGAO=DGDO=DEAD=12，
∴EG=12AO＝2，DG=12DO＝4，
∵BF＝3，∴FG＝BD﹣GD﹣BF＝9，
∴EF=EG2+FG2=81+4=85，
故答案为：85．
天津
1.【2025•天津17题】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在边BC上，且EC＝2BE．
（Ⅰ）线段AE的长为 ；
（Ⅱ）F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN＝75°，则线段MN的长为 ．
【答案】（Ⅰ）5；（Ⅱ）153．
【解析】（Ⅰ）∵EC＝2BE，BC＝3，∴BE＝1，EC＝2，
∴AE=AB2+BE2=1+4=5，故答案为：5；
（Ⅱ）如图，过点M作MH⊥EF于H，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝2，
∵F为CD的中点，∴CF＝DF＝1，
∴BE＝CF＝1，AB＝EC＝2，
∴△ABE≌△ECF（SAS），
∴AE＝EF=5，∠BAE＝∠CEF，
∴∠BAE+∠AEB＝90°＝∠CEF+∠AEB，∴∠AEF＝90°，
∴∠EAF＝∠AFE＝45°，AF=2EF=10，
∵M为AF的中点，∴MF=102，
∵MH⊥EF，∴∠MFH＝45°＝∠FMH，MH＝HF=52，
∵∠FMN＝75°，∴∠NMH＝30°，
∴MN=MHcs∠NMH=5232=153．
山西省
1.【2025•山西】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝4，点E在边AB上，AE＝3，连接CE，且∠DCE＝∠BCE．点F在BC的延长线上，连接DF．若DF＝DC，则线段CF的长为 ．
【答案】185
【解析】如图，延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD＝90°，
∵DF＝DC，∴CH=FH=12CF，
∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠B＝∠GAE＝90°，∠B+∠BAD＝180°，
∴∠B＝∠BAD＝∠BHD＝90°，∴四边形ABHD是矩形，
∴AB＝DH＝8，AD＝BH，
∵∠AEG＝∠BEC，∴△AEG∽△BEC，
∴AGBC=AEBE，
∵AB＝8，AE＝3，∴BE＝5，
∴AG4=35，∴AG=125，
∵AD∥BC，∴∠G＝∠BCE，
∵∠DCE＝∠BCE，∴∠DCE＝∠G，
∴CD＝GD，
设CH＝FH＝x，则AD＝BH＝4+x，
∴CD=GD=4+x+125=x+325，
由勾股定理得：CD2＝CH2+CD2，
∴(x+325)2=x2+82，解得：x=95，即CH=95，
∴CF=2CH=185．
湖北省
1.【2025•湖北】一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是 ．
【答案】2m
福建省
1.【2025•福建14题】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为 ．
【答案】1
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴DO＝BO＝1，CD∥AB，
∴∠ODF＝∠OBE，∠OFD＝∠OEB，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴△DOF的面积＝△BOE的面积，
∴△AOE与△DOF的面积之和＝△BOA的面积=12×2×1＝1．
云南省
1.【2025•云南】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O．若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是 ．
【答案】15
四川省
1．【2025•南充】如图，AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACB，交AB于点E，把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF，延长CE交AF于点M，连接DM，交AC于点N．给出下列结论：①CM⊥AF；②CF＝AF；③∠CMD＝45°；④ANCN=2-1．以上结论正确的是 ．（填写序号）
【答案】①③④
【解析】∵把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF，∴△CBE≌△ABF，
∴CE＝AF，∠BCE＝∠FAB，BE＝BF，
∵正方形ABCD，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
又∵∠AEM＝∠BEC，
∴∠BEC+∠BCE＝∠FAB+∠AEM＝90°，∴∠AMC＝90°，即CM⊥AF，
故①结论正确，符合题意；
∵AB+BF＞AF，CF＝BC+BF＝AB+BF，∴CF＞AF，
故②结论错误，不符合题意；
∵正方形ABCD，∴∠CAB＝∠CAD＝∠ACB＝45°，∴∠AMC＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、M、B、C、D在以AC为直径的圆上，如图，
∵CD=CD，∴∠CAD＝∠CMD＝45°，
故结论③正确，符合题意；
如图，过N点作NG⊥AC，交AD于G，
∵CE平分∠ACB，∠ACB＝45°，∴∠ACM＝22.5°，
∵AM=AM，∴∠ACM＝∠ADM＝22.5°，
∵∠CAD＝45°，
∴∠AGN＝90°﹣∠CAD＝45°，∠DNG＝180°﹣∠CAD﹣∠ANG﹣∠ADN＝22.5°，
∴∠CAD＝∠AGN＝45°，∠GDN＝∠DNG＝22.5°，∴AN＝NG＝GD，
设AD＝CD＝BC＝a，
在Rt△ANG中，AN2+NG2＝AG2，∴2AN2＝（a﹣AN）2，∴AN=(2-1)a（负根已舍去），
∵AC=AD2+CD2=2a，∴CN=AC-AN=2a-(2-1)a=a，∴ANCN=(2-1)aa=2-1，
故结论④正确，符合题意；
综上，①③④结论正确．
2．【2025•遂宁】如图，在边长为1的正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使∠BAE＝15°，连结CE并延长至点F，连结BF，使BF＝BC，CF与AB相交于点H．有下列结论：
①AE＝CE；②BE+AE＝EF；③AHHB=23-1；④点M是BC边上一动点，连结HM，将△BHM沿HM翻折，点B落在点P处，连结BP交HM于点Q，连结DQ，则DO的最小值为7+3-22．
其中正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①②④
【解析】∵四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD的对角线BD上的点，
∴∠ADE＝∠CDE，AD＝CD，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝EC，故①正确；
如图，在FC上取一点G，使得BG＝BE，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴∠ADE＝45°，∠BAD＝90°，AD＝CD，
∵∠BAE＝15°，∴∠DAE＝90°﹣15°＝75°，∴∠AED＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∵△ADE≌△CDE，∴∠AED＝∠CED＝60°，∠DAE＝∠DCE＝75°，
∴∠HEB＝∠CED＝60°，∠BCE＝∠BAE＝15°，
∴△GEB是等边三角形，∴∠EBG＝60°，EG＝BE，
又∵BF＝BC，∴∠F＝∠BCF＝15°，
∴∠FBC＝180°﹣15°﹣15°＝150°，∴∠DBC＝45°，
∴∠FBG＝∠FBC﹣∠GBE﹣∠CBE＝150°﹣60°﹣45°＝45°＝∠CBE，
∴△FBG≌△CBE（SAS），∴FG＝CE，
∴EF＝EG+FG＝EC+BE＝AE+BE，即BE+AE＝EF，故②正确；
如图，连接AC交BD于点O，则∠DAO＝45°，过点A，B分别作FC的垂线，垂足分别为K，N，
∵AB＝1，∴AO=BO=22AB=22，AC=2AB=2，
∵∠DAE＝75°，∠DAO＝45°，∴∠EAO＝30°，
∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴EO=AOtan∠EAO=33×22=66，
∴BE=OB-OE=22-66，
∵∠BCE＝15°，∠ACB＝45°，∴∠ACK＝30°，∴AK=12AC=22，
在Rt△BEN中，BN=sin∠NEB×BE=sin60°×BE=32(22-66)=6-24，
∵AK⊥FC，BN⊥FC，∴KA∥BN，∴△AHK∽△BHN，
∴AHHB=AKBN=226-24=3+1，故③错误；
如图，
∵AB＝AH+HB＝1，AH=(3+1)HB，∴(3+1)HB+HB=1，
即HB=13+2=2-3，
∵点M是BC边上一动点，连结HM，将△BHM沿HM翻折，点B落在点P处，
∴PQ⊥HM，∴∠HQB＝90°，∴Q在以HB为直径的圆上运动，
取HB的中点T，连接TD，∴当Q在TD上时，DQ取得最小值，最小值为DT的长，
∴BT=12HB=12(2-3)=1-32，∴AT=AB-BT=32，
∴TD=AD2+AT2=1+(32)2=72，
∴DT-12HB=72-12(2-3)=7+3-22，故④正确．
故答案为：①②④．
3．【2025•眉山】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP＝45°，点F在射线DP上，且AE：DF＝1：2，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论：
①sin∠BFE=22；②AE2+CG2＝EG2；③△DEF的面积最大值是2；④若AE=13AD，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】①在AB上截取AH＝AE，连接EH，如图1所示：
∵AE：DF＝1：2，∴设AE＝a，DF=2a，
∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴AB＝AD＝CB＝CD＝4，∠BAD＝∠ADC＝∠C＝∠ABC＝90°，
∴AH＝AE＝a，∴△AHE是等腰直角三角形，
∴∠AEH＝∠AHE＝45°，∴∠BHE＝180°﹣∠AHE＝135°，
由勾股定理得：HE=AE2+AH2=2a，∴HE＝DF，
∵∠CDP＝45°，∴∠EDF＝∠ADC+∠CDP＝135°，∴∠BHE＝∠EDF＝135°，
∵AB＝AD，AH＝AE，∴AB﹣AH＝AD﹣AE，即BH＝ED，
在△BHE和△EDF中，
HE=DF∠BHE=∠EDFBH=ED，△BHE≌△EDF（SAS），
∴BE＝FE，∠HBE＝∠FED，
∵∠HBE+∠BEH＝180°﹣∠BHE＝45°，∴∠FED+∠BEH＝45°，
∴∠FED+∠BEH+∠AHE＝90°，即∠FED+∠AEB＝90°，
∴∠BEF＝180°﹣（∠FED+∠AEB）＝90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FBE＝45°，
∴sin∠BFE＝sin45°=22，故结论①正确；
②过点B作BM⊥BF，交DA的延长线于点M，如图2所示：
∴∠MBF＝∠ABC＝90°，∴∠MBA+∠ABF＝∠ABF+∠GBC，∴∠MBA＝∠GBC，
∵∠BAD＝∠C＝90°，∴∠BAM＝∠C＝90°，
在△BAM和△BCG中，
∠MBA=∠GBCAB=CB∠BAM=∠C=90°，∴△BAM≌△BCG（SAS），∴AM＝CG，BM＝BG，∴AE+CG＝AE+AM＝ME，
∵∠ABC＝90°，∠FBE＝45°，∴∠ABE+∠GBC＝45°，
∴∠ABE+∠MBA＝45°，即∠MBE＝45°，∴∠MBE＝FBE＝45°，
在△MBE和△GBE中，
BM=BG∠MBE=FBEBE=BE，∴△MBE≌△GBE（SAS），
∴ME＝EG，∴AE+CG＝EG，故结论②不正确；
③过点F作FN⊥AD，交AD的延长线于点N，如图3所示：
由（1）可知：设AE＝a，DF=2a，∴ED＝AD﹣AE＝4﹣a，
∵∠CDN＝∠ADC＝90°，∠CDP＝45°，∴∠FDN＝∠CDN﹣∠CDP＝45°，
∴△NDF是等腰直角三角形，∴DN＝FN，
由勾股定理得：DF=DN2+FN2=√2DN，
∴DN＝FN=22DF=22×2a=a，
∴△DEF的面积S=12DE•FN=12(4-a)⋅a，
整理得：S=-12(a-2)2+2，∴当a＝2时，S为最大，最大值为2，故结论③正确；
④设CG＝x，则DG＝CD﹣CG＝4﹣x，
∵AE=13AD=43，∴DE＝AD﹣AE=4-43=83，
由②可知：AE+CG＝EG，∴EG=x+43，
在Rt△DEG中，由勾股定理得：EG2＝DE2+DG2，
∴(x+43)2=(83)2+(4-x)2，解得：x＝2，
∴CG＝2，∴DG＝4﹣x＝2，
∴CG＝DG＝2，∴点G是线段CD的中点，故结论④正确，
综上所述：正确结论的序号是①③④．
4．【2025•凉山州】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，若AC＝12，BD＝16，则FG的长为 ．
【答案】5
【解析】连接OE，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，且AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，OC=12AC＝6，OD=12BD＝8，
∴∠COD＝90°，
在Rt△COD中，由勾股定理得：CD=OC2+OD2=62+82=10，
∵E是边CD的中点，∴OE是Rt△OCD斜边上的中线，∴OE=12CD＝5，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，∴∠OGE＝∠OFE＝∠COD＝90°，∴四边形OGEF是矩形，
∴FG＝OE＝5．
5．【2025•宜宾】如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EF∥BD，把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上M处．若A、M、E三点共线，则ADDC的值为 ．
【答案】22
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝90°，
∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBA，∠FEM＝∠EMB，
由翻折得∠CEF＝∠FEM，MF＝CF，∴∠EMB＝∠EBM，∴CE＝BE＝ME，
∵AD∥BC，∴∠ADM＝∠EBM，∴∠ADM＝∠AMD，
∴AD＝AM，设BE＝ME＝x，则AD＝AM＝2x，AE＝AM+EM＝3x，
∴AB=AE2-BE2=22x，∴ADCD=2x22x=22．
三、解答题
青海省
1．【2025•青海】如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接AD，BE．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若AB＝AC，试判断四边形AEBD的形状，并证明．
解：（1）证明：∵点O，D分别是边AB，BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，
∵AE∥BC，
∴四边形AEDC是平行四边形，∴AE＝CD，
∵点D是边BC的中点，
∴BD＝CD，∴AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形；
（2）当AB＝AC时，四边形AEBD是矩形，证明如下：
∵AB＝AC，点D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
由（1）可知，四边形AEBD是平行四边形，
∴平行四边形AEBD是矩形．
贵州省
1．【2025•贵州】如图，在▱ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E．延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G．
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）若BE＝EF，EC＝4，求△DCF的面积．
解：（1）证明：∵E为对角线AC上的中点，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，∴AB＝BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD是菱形；
（2）∵BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB，
∵CF＝CE，∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠BCE＝∠CEF+∠CFE＝2∠CFE＝2∠EBF，
∵∠BEC＝90°，∴∠CBE＝30°，∠BCA＝60°，
∴∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠DCF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BCE＝∠DCF，
∵BC＝CD，CE＝CF，∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠DFC＝∠BEC＝90°，
∵CF＝CE＝4，∴DF=3CF＝43，
∴△DCF的面积=12DF•CE=12×4×43=83．
吉林省
1．【2025•长春】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，OA＝4，OB＝3．求证：▱ABCD是菱形．
证明：∵AB＝5，OA＝4，OB＝3，
∴AB2＝25＝9+16＝OA2+OB2，
∴∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形．
湖南省
1．【2025•长沙21题】如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长．
解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∵BE＝DF，∴AB﹣BE＝CD﹣DF，∴AE＝CF，
又∵AB∥CD，∴四边形AECF是平行四边形；
（2）过点E作EH⊥CD于点H，如图所示：
∴∠EHC＝∠EHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，BC＝12，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠BCD＝90°，
∴∠EHC＝∠B＝∠BCD＝90°，∴四边形EBCH是矩形，
∴EH＝BC＝12，CH＝BE＝5，∴DH＝CD﹣CH＝12﹣5＝7，
∵BE＝DF＝5，∴HF＝DH﹣DF＝7﹣5＝2，
在Rt△EFH中，由勾股定理得：EF=EH2+HF2=122+22=237．
北京
1．【2025•北京20题】如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC．
（1）求证：四边形DFCG是矩形；
（2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长．
解：（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，
∵DG＝FC，∴四边形DFCG是平行四边形，
又∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°，
∴平行四边形DFCG是矩形；
（2）∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°，
∵∠B＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BF＝DF＝3，
∵DG＝FC＝5，∴BC＝BF+FC＝3+5＝8，
由（1）可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴DE=12BC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°，∴EG＝DG﹣DE＝5﹣4＝1，
∴CE=CG2+EG2=32+12=10，
∵E为AC的中点，∴AC＝2CE＝210．
黑龙江省
1.【2025•绥化】综合与实践
如图．在边长为8的正方形ABCD中，作射线BD，点E是射线BD上的一个动点，连接AE，以AE为边作正方形AEFG，连接CG交射线BD于点M，连接DG．（提示：依题意补全图形，并解答）
【用数学的眼光观察】
（1）请判断BD与DG的位置关系，并利用图（1）说明你的理由．
【用数学的思维思考】
（2）若DG＝a，请你用含a的代数式直接写出∠CMB的正切值 ．
【用数学的语言表达】
（3）设DE＝x，正方形AEFG的面积为S，请求出S与x的函数解析式．（不要求写出自变量x的取值范围）
解：（1）BD⊥DG，理由如下；
在正方形ABCD和正方形AEFG中，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAC＝90°﹣∠DAE，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠ADG+∠ADB＝90°，即∠BDG＝90°，∴BD⊥DG；
（2）连接AC交BD于点O，则∠COD＝90°，
∵正方形边长为8，∴AC＝BD=2AB=82，
∴OC＝OD＝42，∴OM＝OD﹣DM＝42-DM，
∵∠COM＝∠GDM＝90°，∠CMO＝∠GMD，∴△CMO∽△GMD，
∴DGOC=DMOM，即a42=DM42-DM，解得DM=42a42+a，
∵∠BDG＝90°，∴tan∠CMB＝tan∠DMG=DGDM=a⋅42+a42a=2a+88，
故答案为2a+88；
（3）当点E在线段BD上时，如图，过E作EK⊥AD于点K，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝45°，∴△DEK为等腰直角三角形，
∴DK＝EK＝DE•sin45°=22x，∴AK＝AD﹣DK＝8-22x，
在Rt△AKE中，AE2＝EK2+AK2＝（22x）2+（8-22x）2＝x2﹣82x+64，
∴S＝AE2＝x2﹣82x+64；
当点E在BD延长线上时，如图，过E作EL⊥AD交AD延长线于点L，
同理可得EL＝DL=22x，∴AL＝AD+DL＝8+22x，
在Rt△ALE中，AE2＝EL2+AL2＝（22x）2+（8+22x）2＝x2+82x+64，∴S＝AE2＝x2+8x+64；
综上，S与x的函数解析式为S＝x2﹣82x+64或S＝x2+82x+64．
河北省
1.【2025•河北21题】如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF（DE≥2），扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为EMF．
（1）如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数；
（2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；
（3）当∠EOF＝150°时，求EMF的长．
解：（1）∵四边形ABCD为边长为5的正方形，∴AD＝BC＝5，∠ADC＝90°，
∵AE＝3，∴DE＝2，
∵DE＝DF，∴DE＝DF＝2．
∵OE＝OF＝2，∴DE＝DF＝OE＝OF＝2，
∴四边形OEDF为正方形，∴∠EOF＝90°，
∴∠EMF=12∠EOF＝45°；
（2）连接EF，交BD于点H，如图，
∵四边形OEMF为菱形，∴OE＝EM＝OF＝MF＝2，EH⊥MD，
∵OM＝OE＝OF＝2，∴△OEM，△OFM为等边三角形，
∴∠OEM＝∠OME＝∠OMF＝∠OFM＝60°，
∴EH＝ME•sin60°＝2×32=3．
∵四边形ABCD为边长为5的正方形，
∴BD平分∠ADC，∴∠ADB＝45°，
∴△EDH为等腰直角三角形，
∴DH＝EH=3，∴DE=2DH=6；
（3）当∠EOF＝150°时，如图，
∴EMF的长=150π×2180=5π3；
当∠EOF＝150°时，如图，
∴EMF的长=210π×2180=7π3．
综上，当∠EOF＝150°时，EMF的长为53π或73π．
浙江省
1.【2025•浙江19题】【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．（2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，
∵DE＝DA，∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝22.5°．
四川省
1.【2025•泸州】如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF．求证：AF＝CE．
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，
∵AE＝CF，∴AB﹣AE＝BC﹣CF，即BE＝BF，
在△ABF和△CBE中，
AB=CB∠B=∠BBF=BE，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE．
2．【2025•遂宁】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）连结AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
解：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE，
∵AF⊥AB，CE⊥CD∴∠BAF＝∠DCE＝90°，
∵BE＝EF＝FD，∴BE+EF＝FD+EF，即BF＝DE，
在△ABF和△CDE中，
∠ABF=∠CDE∠BAF=∠DCE=90°BF=DE，∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）四边形AECF是菱形，理由如下：
如图所示：

∵∠ABD＝30°，AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD＝30°，
∵BE＝EF，∠BAF＝90°，∴AE是Rt△ABF斜边BF上的中线，∴AE=12BF，
在Rt△ABF中，∠ABD＝30°，∴AF=12BF，∴AE＝AF=12BF，
同理：CE＝CF=12DE，
∵BF＝DE，∴AE＝AF＝CE＝CF，
又∵∠EAF≠90°，∴四边形AECF是菱形．
3．【2025•广安】如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若四边形AECF的周长为434，求EF的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝BC，BC∥AD，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE 和△CBF 中，
AD=BC∠ADE=∠CBFDE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）连接AC交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，BD＝10，
∴BD垂直平分AC，OA＝OC＝OB＝OD＝12BD＝5，
∴AF＝CF，AE＝CE，
由（1）可知：△ADE≌△CBF，∴AE＝CF，
∴AF＝CF＝AE＝CE，∴四边形AECF是菱形，
∴OF＝OE，∴EF＝2OF，
∵四边形AECF的周长为：4AF=434，∴AF=34，
在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF=AF2-OA2=(34)2-52=3，
∴EF＝2OF＝6．
4．【2025·达州】归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形．通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙．
（1）尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质
① ；
② ；
③ ．
（2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，BE∥AC，AE∥BD，试帮他判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论．
解：（1）①a2+b2＝c2，
②∠A+∠B＝90°；
③sinA=ac，csA=bc，tanA=ab；
故答案为：a2+b2＝c2；∠A+∠B＝90°；sinA=ac，csA=bc，tanA=ab；
（2）四边形ADBE是菱形，
证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
∴BD＝AD=12AC，
∴四边形ADBE是菱形．
云南省
1.【2025•云南】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点．延长BO至点D，使OD＝OB．连接AD，CD．记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若l2﹣l1＝2，l3＝28，求AC的长．
解：（1）证明：∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3，
∴l2﹣l1＝BC﹣AB＝b﹣a＝2，l3＝2（AB+BC）＝2（a+b）＝28，
∴b-a=2b+a=14，
∴a=6b=8，
∴AB＝6，BC＝8，
∴AC=AB2+BC2=10．
安徽省
1.【2025•安徽22题】已知点A′在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA′的垂直平分线，连接A′E，A′B．
（1）如图1，若BA′的延长线经过点D，AE＝1，求AB的长；
（2）如图2，点F是AA′的延长线与CD的交点，连接CA′．
（i）求证：∠CA′F＝45°；
（ii）如图3，设AF，BE相交于点G，连接CG，DG，DA′，若CG＝CB，判断△A′DG的形状，并说明理由．
解：（1）∵BE是线段AA′的垂直平分线，∴A′E＝AE＝1，BA′＝BA，∴BE＝BE，
∴△ABE≌△A'BE（SSS），∴∠BAE＝∠BA'E＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°，
∴△A'DE是等腰直角三角形，∴A'D＝A'E＝1，∴DE=2，
∴AD＝AE+DE=2+1，∴AB＝AD＝A'B=2+1；
（2）（i）证明：由题意知，BA＝BA′＝BC，
∴∠BAA′＝∠BA′A，∠BCA′＝∠BA′C，
∴∠AA'C＝∠AA'B+∠CA'B=12（180°﹣∠ABA'）+12（180°﹣∠CBA'）＝180°﹣45°＝135°，∴∠CA′F＝180°﹣∠AA′C＝45°；
（ii）△A′DG是等腰直角三角形，理由如下：作CN⊥BG交BG于点M，交AB于点N，
∵CN⊥BG，CG＝CB，∴M为BG的中点，
∵AA′⊥BE，∴CN∥AF，∴MN是△ABG的中位线，∴BN=12AB，
∵∠ABE＝90°﹣∠CBG＝∠BCN，∠BAE＝∠CBN＝90°，AB＝BC，
∴△ABE≌△BCN（ASA），∴AE=BN=12AB=12AD，
∵E为AD的中点，AG＝GA′，∴EG∥A′D，∴∠DA′G＝∠EGA＝90°，
同理可证△ADA′≌△BAG（ASA），
∴A′D＝AG＝A′G，∴△A′DG是等腰直角三角形．
江苏省
1.【2025•连云港】综合与实践
【问题情境】
如图，小昕同学在正方形纸板ABCD的边AB、BC上分别取点E、F，且AE＝BF，AF交DE于点O．连接AC，过点F作FG⊥AC，垂足为G，连接GD、GE，DE交AC于点P，GE交AF于点Q．
【活动猜想】
（1）GD与GE的数量关系是 ，位置关系是 ；
【探索发现】
（2）证明（1）中的结论；
【实践应用】
（3）若AD＝3，AE＝1，求QF的长；
【综合探究】
（4）若AD＝3，则当AP＝ 时，△DPG的面积最小．
解：（1）相等，垂直；
（2）证明：过点G作GM⊥BC于M，过点G作NT⊥GM分别交AB、CD于T、N，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∠B＝∠BCD＝90°，
∴∠TGM＝∠B＝∠GMB＝∠GMC＝∠BCD＝∠NGM＝90°，
∴四边形TBMG为矩形，四边形GMCN为正方形，
∴GN＝GM＝MC＝CN＝BT，∠CNT＝∠BTG＝90°，BM＝GT，
∴∠DNG＝∠GTE＝90°，∴DC﹣CN＝BC﹣CM，即DN＝BM＝GT，
∵FG⊥AC，∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠CFG＝45°，
∴CG＝GF，∴CM＝MF，∴GN＝GM＝MC＝CN＝BT＝MF，
∵AE＝BF，∴AB﹣AE﹣BT＝BC﹣BF﹣MF，
∴ET＝NG，∴Rt△DNG≌Rt△GTE，
∴DG＝GE，∠NDG＝∠EGT，
又∵∠NDG+∠NGD＝90°，∴∠EGT+∠NGD＝90°，
∴∠DGE＝90°，∴DG⊥GE；
（3）在正方形ABCD中，由AB＝AD，∠DAE＝∠ABF＝90°，AE＝BF，
∴Rt△DAE≌Rt△ABF，∴∠ADE＝∠BAF，AF＝DE，
∴∠ADE+∠DEA＝∠BAF+∠DEA＝90°，
∴∠AOE＝90°，∴AF⊥DE，
在Rt△DAE中，AD＝3，AE＝1，
得DE=AE2+AD2=12+32=10，
由等面积法得AO×DE×12=AE×AD×12，
即AO×10×12=1×3×12，∴AO=31010，
在Rt△OAE中，OE=AE2-AO2=12-(31010)2=1010，
由（2）可知DG＝GE，DG⊥GE，
∴∠GED＝45°，∴△EOQ为等腰直角三角形，
∴QO=EO=1010，∴QF=AF-AO-OQ=10-31010-1010=3105；
（4）如图，构造△DGP的外接圆⊙H，连接DH，PH，GH，过点H作HR⊥AC于点R，
设⊙H的半径为r，过点D作DT⊥AC于T，
由（2）可知DG＝GE，DG⊥GE，∴∠GDP＝45°，∴∠PHG＝2∠GDP＝90°，
∵HP＝HG，∴△HPG是等腰直角三角形，HR=PR=GR=12PG=PH2=22r，
∴PG=2r，
∵正方形ABCD中，AD＝3，△ACD是等腰直角三角形，AC=2AD=32，DT=AT=CT=12AC=322，
∴S△DPG=12PG×DT=12PG×322=324PG，
∴当PG最小时，△DPG的面积最小，
∴当r最小时，△DPG的面积最小，DH+HR=r+22r=(1+22)r，
∴当DH+HR最小时，△DPG的面积最小，由点到直线的最短距离可得，
当D、H、R依次共线，且DR⊥AC时，DH+HR最小，此时如图，点T与R重合，
则DR=(1+22)r=322，解得：r=62-62，
∴PR=22r=6-322，∴AP=AR-PR=AT-PR=322-6-322=32-3．
2．【2025•扬州】如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长．
解：（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，FA＝FC，OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
∠AOE=∠COF=90°OA=OC∠OAE=∠OCF，∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴EA＝FC，∴EA＝EC＝FA＝FC，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）过点B作BP⊥AC于点P，在AP上截取PQ＝PA，连接BQ，如图所示：
设PA＝x，∠ACB＝α，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，BC＝5，
∴AD＝BC＝5，AB∥CD，OA＝OC=12AC
∵四边形AFCE是菱形，∴∠ACB＝∠ACE＝α，AE＝CF，EF⊥AC，
∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝α，∴∠ACD＝2α，
∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝2α，
∵BP⊥AC，PQ＝PA＝x，∴BP是AQ的垂直平分线，
∴BQ＝AB＝3，
∴∠BQA＝∠BAC＝2α，
∵∠BQA是△QBC的外角，∴∠BQA＝∠QBC+∠ACB，
∴2α＝∠QBC+α，∴∠QBC＝α，
∴∠QBC＝∠ACB＝α，
∴BQ＝CQ＝3，∴CP＝CQ+PQ＝3+x，
在Rt△ABP和Rt△CBP中，由勾股定理得：BP2＝AB2﹣AP2＝BC2﹣CP2，
∴32﹣x2＝52﹣（3+x）2，解得：x=76，
∴AP＝x=76，CP＝3+x=256，
∴AC＝AP+PC=76+256=163，
∴OC=12AC=83，
∴BP=AB2-AP2=32-(76)2=5116，
∵EF⊥AC，BP⊥AC，
∴EF∥BP，∴△OCF∽△PCB，∴OCCP=OFBP，
∴CP•OF＝OC•BP，
∴256×OF=83×5116，∴OF=81115，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF=OF2+OC2=(81115)2+(83)2=165，
∴AE＝CF=165，∴DE＝AD﹣AE=5-165=95．
山东省
1.【2025•烟台】【问题呈现】
如图1，已知P是正方形A1A2A3A4外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2＝180°，探究PA1，PA2，PA3三条线段的数量关系．
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：如图2，构造△QA3A2与△PA1A2全等，从而得出PA1+PA3与PA2的数量关系；
思路二：如图3，构造△MA1A2与△NA3A2全等，从而得出PA1+PA3与PA2的数量关系．
（1）请参考小颖的思路，直接写出PA1+PA3与PA2的数量关系 ；
【类比探究】
（2）如图4，若P是正五边形A1A2A3A4A5外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2＝180°，PA1＝11，PA3＝49，求PA2的长度（结果精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81，sin72°≈0.95，cs54°≈0.59，cs72°≈0.31）；
【拓展延伸】
（3）如图5，若P是正十边形A1A2⋯A10外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2＝180°，则PA1，PA2，PA3三条线段的数量关系为 （结果用含有锐角三角函数的式子表示）．
解：（1）PA1+PA3=2PA2，
如图，在射线PA3上截取A3Q＝PA1，连接A2Q，
∵∠PA1A2+∠PA3A2＝180°，∠QA3A2+∠A2A3P＝180，
∴∠A2A1P＝∠A2A3Q，
又∵四边形A1A2A3A4是正方形，∴A2A1＝A2A3，
∴△QA3A2≌△PA1A2，∴∠A1A2P＝∠A3A2Q，A2P＝A2Q，
又∵四边形A1A2A3A4是正方形，∴∠A1A2A3＝90°，
∴∠PA2Q＝90°，∴△A2PQ是等腰直角三角形，
∴PQ=PA3+A3Q=PA3+PA1=2PA2，
故答案为：PA1+PA3=2PA2；
（2）正五边形的一个内角为(5-2)×180°5=108°，
如图，在射线PA3上截取A3Q＝PA1，连接A2Q，过点A作AT⊥PQ于点T，
同理可得△QA3A2≌△PA1A2，∴∠PA2Q＝∠A1A2A3＝108°，A2P＝A2Q，
∴∠PA2T=12∠PA2Q=54°，
∵PA1＝11，PA3＝49，∴PQ＝PA3+A3Q＝PA3+PA1＝60，∴PT=12PQ=30，
∴PA2=PTsin54°≈300.81≈37.0；
（3）如图，在射线PA3上截取A3Q＝PA1，连接A2Q过点A2作A2T⊥PQ于点T，
同理可得∠PA2Q=∠A1A2A3=(10-2)×180°10=144°，∴∠PA2T=12∠PA2Q=72°，
∴PA2=PTcs54°≈300.59≈50.8，
∵PQ＝PA3+A3Q＝PA3+PA1，∴PT=12PQ=12(PA1+PA3)，
∴PA2=PTsin72°=12(PA1+PA3)sin72°，即PA1+PA3＝2PA2•sin72°，
故答案为：PA1+PA3＝2PA2•sin72°．
2．【2025•临沂、枣庄、聊城、菏泽、济宁】【图形感知】
如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝∠ABC＝∠BDC＝90°，AD＝2，AB＝4．
（1）求CD的长；
【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．
在线段CD上取一点E，连接BE．将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A′BED′，其中A′，D′分别是A，D的对应点．
（2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点D′恰好落在边BC上，延长A′D′交CD于点F，如图2．判断四边形DBA′F的形状，并说明理由；
②乙：点A′恰好落在边BC上，如图3．求DE的长；
（3）如图4，连接DD′交BE于点P，连接CP．当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．
解：（1）∵∠BAD＝∠ABC＝∠BDC＝90°，∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，∴△ADB∽△DBC，∴ADBD=ABCD，
∵∠BAD＝90°，AD＝2，AB＝4，∴BD=22+42=25，
∴225=4CD，∴CD=45；
（2）①四边形DBA'F是矩形，理由如下，
由折叠的性质得∠A＝∠A'＝90°，∠ABD＝∠A'BD'，
∵∠ABD+∠DBC＝∠ABC＝90°，
∴∠A'BD＝∠A'BD'+∠DBC＝90°，
∴四边形DBA'F是矩形；
②延长AD和A'D'相交于点Q，连接BQ，
由折叠的性质得∠A＝∠A'＝90°，∠ABD＝∠A'BD'，∠EBD＝∠EBD'，
∵点A'恰好落在边BC上，∴AB＝A'B＝4，∠ABA'＝90°，
∴四边形ABA'Q是矩形，
∵AB＝A'B＝4，∴四边形ABA'Q是正方形，
∵∠ABE＝∠ABD+∠EBD＝∠A'BD'+∠EBD′＝∠ABE＝5×90°＝45°，
∴点E在对角线BQ上，
∴DQ＝AQ﹣AD＝2，BC=BD2+CD2=(25)2+(45)2=10，
∵四边形ABA'Q是正方形，∴AQ∥CB，
∴△DQE∽△CBE，∴DECE=DQBC=210=15，
∴DE=16CD=253；
（3）由折叠的性质得∠EBD＝∠EBD'，BD＝BD'，
∴BE是线段DD'的垂直平分线，
∴∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的⊙O上，连接OC，OP，
∴CP≥OC﹣OP，即点P在OC上时，线段CP存在最小值，
∵OC=OD2+CD2=(5)2+(45)2=85，
线段CP的最小值为85-5．
甘肃省
1.【2025•甘肃26题】四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外），△EFG是直角三角形，EG＝EF，点G在CD的延长线上．
（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并将明理由；
（2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果EF＝EP，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由．
解：（1）BF＝DG，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△EFG是直角三角形，EG＝EF，∴∠FEG＝90°，
当点E与点A重合时，
则∠FAG＝90°＝∠BAD，∴∠DAG＝∠BAF＝90°﹣∠DAF，
又∵AB＝AD，AG＝AF，
∴△ADG≌ABF，∴BF＝DG；
（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠DAB＝90°，
∵点G在CD的延长线上，FE的延长线与BA的延长线交于点P，
∴∠PAE＝∠EDG＝90°，∴∠P+∠AEP＝90°，
∵∠FEG＝∠DEF+∠DEG＝90°，∠AEP＝∠DEF，∴∠P＝∠DEG，
∵EG＝EF，EF＝EP，∴EG＝EP，
在△APE和△DEG中，
∠PAE=∠EDG=90°∠P=∠DEGEP=EG，
∴△PAE≌△EDG，∴AE＝DG；
（3）BF=5DG，理由如下：
由（2）可知：△PAE≌△EDG，∴AE＝DG，AP＝DE，
作FH⊥AB于点H，
则∠FHB＝∠FHA＝90°＝∠PAE，
∴AE∥FH，∴PAAH=PEEF=1，∴PA＝AH，
∵PE＝EF，∴AE为△PHF 的中位线，∴HF＝2AE，
∵AP＝DE，PA＝AH，∴DE＝AH，
又∵AD＝AB，∴AE＝BH，
在Rt△BHF中，由勾股定理，得：BF=HF2+BH2=5AE，
∵AE＝DG，∴BF=5DG．
江西省
1.【2025•江西23题】综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．
特例研究
在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O．
（1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为 ，k的值为 ；
（2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求BFOE的值；
类比探究
（3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想BFOE的值是否与α有关，并说明理由；
（4）若（3）中∠ABC＝β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAB＝∠DAC＝45°，AD=2OA，
∴旋转角为45°，k=ADOA=2，故答案为：45°，2；
（2）根据题意得△AEF∽△AOB，
∴∠EAF＝∠OAB，AFAB=AEAO，∴∠FAB＝∠EAO，AFAE=ABAO，
∴△AFB∽△AEO，∴BFOE=ABAO，∠OAB＝45°，∠AOB＝90°，
∴ABAO=2，∴BFOE=ABAO=2，
（3）BFOE的值与α无关，理由如下，如图，
同理可证△AFB∽△AEO，∴BFOE=ABAO，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，
∵O是AB的垂直平分线与BD的交点，∴AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABO＝30°，
过点O作OG⊥AB于点G，
∴AB＝2BG，cs∠ABO=BGOB=BGOA=cs30°=32，
∴ABOA=3，∴BFOE=ABAO=3，
∴BFOE的值与α无关；
（3）同理可证，∠BAO=β2，BFOE=ABOA=2csβ2，
∴BF＝OE⋅2csβ2，BA=OB⋅2csβ2，
∵BE＝OE+OB，
∴BF+BA=OE⋅2csβ2+OB⋅2csβ2
=2(OE+OB)csβ2=2BEcsβ2，即BF+BA=2BEcsβ2．