2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点33 与圆有关的位置关系（Word版附解析）

这是一份2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点33 与圆有关的位置关系（Word版附解析），共44页。试卷主要包含了5，等内容，欢迎下载使用。
1.【2025•福建9题】如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P＝30°，则∠BCP的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】C
【解析】如图，连接OA、OB，
∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥PA，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣30°＝60°，
∵AB∥PC，∴∠OAB＝∠AOP＝60°，
∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠AOB＝60°，
∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BCP＝60°．
四川省
1.【2025•自贡】PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50°B．100°C．130°D．50°或130°
【答案】D
【解析】连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，
当点C在优弧AB上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°，
当点C′在劣弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣50°＝130°，
综上所述：∠ACB的度数是50°或130°．
二、填空题
北京
1．【2025•北京14题】如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°．夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为 °．
【答案】43
【解析】∵∠DOB＝∠FOB＝23.5°，∴∠DOF＝∠DOB+∠FOB＝47°，
∵GD∥HF，∴∠OFH＝180°﹣∠DOF＝180°﹣47°＝133°，
∵FI是⊙O的切线，∴OF⊥FI，∴∠OFI＝90°，
∴∠IFH＝133°﹣90°＝43°．
黑龙江省
1.【2025•龙东地区】如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，∠BAC＝35°，∠P＝ ．
【答案】70°
【解析】∵PA、PB是圆O的切线，∴PA＝PB，
∵AC是⊙O的直径，∠BAC＝35°，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，
∴∠P＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB＝180°﹣55°﹣55°＝70°．
云南省
1.【2025•云南】已知⊙O的半径为5cm．若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为 cm．
【答案】5
四川省
1.【2025•泸州】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝10，⊙O与梯形ABCD的各边都相切，且⊙O的面积为16π，则点B到CD的距离为 ．
【答案】645．
【解析】如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，连接BD，过点B作BH⊥DC于H，
则四边形AEFD为矩形，∴AD＝EF，
∵⊙O的面积为16π，∴⊙O的半径为4，∴AE＝8，
由勾股定理得：BE=AB2-AE2=102-82=6，
∵⊙O与梯形ABCD的各边都相切，AB＝CD＝10，∴AD+BC＝AB+CD＝20，
∴AD＝EF=12×（20﹣6×2）＝4，∴BC＝6+4+6＝16，
∵S△BDC=12BC•AE=12CD•BH，∴BH=16×810=645，
故答案为：645．
三、解答题
贵州省
1．【2025•贵州】如图，在⊙O中，∠ACB是直角，D为BC的中点，DE为⊙O的切线交AB的延长线于点E．连接CD，BD．
（1）点O与AB的位置关系是 ，线段CD与线段BD的数量关系是 ；
（2）过E点作EF⊥AE，与AD的延长线交于点F．根据题意补全图形，判断△DEF的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为3，DE＝4，求CD的长．
解：（1）∵∠ACB是直角，∴AB为直径，
∵O为圆心，∴O在线段AB上，
∵D为BC的中点，∴CD=BD，∴CD＝BD，
故答案为O在线段AB上，CD＝BD；
（2）补图如下，△DEF为等腰三角形，理由如下：
连接OD，
∵DE为⊙O的切线交AB的延长线于点E，
∴∠ODE＝90°，∴∠ADO+∠EDF＝90°，
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠DAO+∠EDF＝90°，
∵AE⊥EF，∴∠F+∠DAO＝90°，
∴∠F＝∠EDF，∴ED＝EF，
∴△EDF是等腰三角形；
（3）如图，过D作DH⊥AB于H，
∵⊙O的半径为3，DE＝4，∠ODE＝90°，∴OE=32+42=5，
∵S△ODE=12OD×DE=12DH×OE，∴12×3×4=12×5×DH，
∴DH=125，∴OH=OD2-DH2=95，
∴BH=3-95=65，∴BD=BH2+DH2=655，
∴CD=BD=655．
北京
1.【2025•北京24题】如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠ADB＝∠AOP；
（2）延长OP交DB的延长线于点E．若AP＝10，tan∠AOP=12，求DE的长．
解：（1）证明：∵AP，BP分别切⊙O于A点，B点，
∴OP平分∠AOB，∴∠AOP=12∠AOB，
又∵AB=AB，∴∠ADB=12∠AOB，
∴∠ADB＝∠AOP；
（2）延长AO交⊙O于点F，连接DF，则∠ADF＝90°，
∵AP，BP分别切⊙O于A点，B点，∴PA⊥OA，
∵C为OP的中点，∴PC＝OC，∴AC=OC=12OP，
又∵AP＝10，tan∠AOP=12，
∴AO=APtan∠AOP=20，OP=AO2+AP2=202+102=105，AC=OC=12OP=55，AF＝2AO＝40，
∵AC＝OC，∴∠CAO＝∠AOC，
又∵∠PAO＝∠ADF＝90°，∴POAO=FADA，
∴DA=20105×40=165，CD=DA-AC=115，
∵∠AOP＝∠ADB，∠ACO＝∠ECD，
∴△ACO∽△ECD，∴AOED=COCD，
∴DE=11555×20=44．
广东省
1.【2025•深圳17题】如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE＝CD，AD＝EC．
（1）求证：四边形ADCE为菱形；
（2）如图2，若点O为AC上一点，且E，A，D三点均在⊙O上，连接OD，CD与⊙O相切于点D，①求∠ACD＝ ；②求⊙O的半径r；
（3）利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线DF∥AC，交BC于点F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由．
解：（1）证明：∵AD＝CE，CD＝AE，∴四边形ADCE为平行四边形，
又∵∠ACB＝90°，且D为AB中点，∴CD=12AB=AD=BD，
∴平行四边形ADCE为菱形．
（2）①∵四边形ADCE为菱形，∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠ACD，
又∵OA＝OD＝r，∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠COD＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD＝2∠OCD，
∵CD切⊙O于D，∴∠CDO＝90°，
∴∠COD+∠ACD＝2∠ACD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝30°；
②设半径为r，
∵AC＝4，∴OC＝4﹣r，
∵∠ACD＝30°，∠CDO＝90°，
∴sin∠ACD=ODOC=r4-r=12，解得r=43；
（3）由题意，作图如下：
2．【2025•广东】如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D．求证：AD平分∠BAC．
证明：连接OD，如图，
∵以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D，∴OD⊥BC，
∵∠ABC＝90°，∴OD∥AB，
∴∠ODA＝∠BAD，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠BAD＝∠OAD，∴AD平分∠BAC．
黑龙江省
1.【2025•齐齐哈尔】如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD＝∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若点B是AD的中点，且BE＝3，求⊙O的半径．
解：（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠A+∠ABC＝90°．
∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，
∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；
（2）∵点B是AD的中点，∴BD＝AB＝2OC．
∵OB＝OC，∴OD＝OB+BD＝3OC，
∴OCOD=13，
∵BE⊥AD，∴∠DBE＝90°，
又∵∠OCD＝90°，∴sinD=BEDE=OCOD=13．∴DE＝3BE＝9，
在Rt△DBE中，
BD=DE2-BE2=92-32=62，∴OC=32，即⊙O半径为32．
2．【2025•绥化】如图，∠APO＝∠BPO，PA与⊙O相切于点M，连接OM，OP与⊙O相交于点C，过点C作CD⊥OM，垂足为E，交⊙O于点D，连接PD交OM于点F．
（1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）当PC＝6，PM=54CD时，求线段MF的长．
解：（1）方法一：证明：过点O作ON⊥PB于点N，
∵ON⊥PB，∴∠PNO＝90°，
∵PA与⊙O相切于点M，∴OM⊥PA，∴∠PMO＝∠PNO＝90°，
∵∠APO＝∠BPO，PO＝PO，∴△PMO≌△PNO（AAS），∴ON＝OM，
∵OM为⊙O的半径，∴ON为⊙O的半径，
∵ON⊥PB，∴PB是⊙O的切线；
方法二：证明：过点O作ON⊥PB于点N，
∵PA与⊙O相切于点M，∴OM⊥PA，
∵∠APO＝∠BPO，∴PO是∠APB的平分线，∴ON＝OM，
∵OM为⊙O的半径，∴ON为⊙O的半径，
∵ON⊥PB，∴PB是⊙O的切线；
（2）∵CD⊥OM，OM为半径，∴CE=DE=12CD，
∵PM=54CD，∴CDPM=45，∴CEPM=25，
∵∠OMP＝90°，∠OEC＝90°，∴CD∥PM，
∴△OMP∽△OEC，∴CEPM=OCOP，
∵PC＝6，∴25=OCOC+6，
∴OC＝4，∴OC＝OM＝4，
在Rt△MOP中，PM=OP2-OM2=(6+4)2-42=221，
∴CE＝DE=4215，OE=OC2-CE2=42-(4215)2=85，
∵∠FMP＝∠FED，∠MFP＝∠EFD，∴△MFP∽△EFD，∴MFEF=MPED，
设MF＝x，则EF=4-x-85=125-x，
∴x125-x=2214215，解得x=127，
∴MF=127．
内蒙古
1.【2025•内蒙古16题】如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB．垂足为O，OC＝2，P是BA延长线上一点，连接CP，交⊙O于点D，连接AD，∠OCP＝60°．过点P作⊙O的切线，切点为E．交CO的延长线于点F．
（1）求CD的长；
（2）求∠DAB的度数；
（3）求cs∠OFP的值．
解：（1）连接OD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∵OC＝2，∴CD的长=60π×2180=23π；
（2）∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝30°，
∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO=12×（180°﹣30°）＝75°；
（3）连接OE，
∵PE切圆与E，∴半径OE⊥PE，
∵∠POE+∠OPE＝∠OFP+∠OPE，∴∠POE＝∠OFP，
∵tanC＝tan60°=POOC=OP2=3，∴PO＝23，
∵OE＝OC＝2，∴cs∠POE=OEPO=223=33．
∴cs∠OFP＝cs∠POE=33．
陕西省
1.【2025•陕西24题】如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠F＝45°．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若sinA=35，AB＝8，求DG的长．
解：（1）证明：连接OD，
∵∠F＝45°，∴∠DOE＝2∠F＝90°，
∵⊙O与AB相切于点D，∴AB⊥OD于点D，
∴∠ODA＝∠DOE＝90°，∴AB∥OE，
∵OC＝OE，∴∠B＝∠OEC＝∠C，
∴AB＝AC．
（2）∵ODOA=sinA=35，∴OA=53OD，
∵OF＝OC＝OD，OA+OC＝AC＝AB＝8，∠DOF＝90°，
∴53OD+OD＝8，∴OF＝OD＝3，
∴OA=53×3＝5，DF=OF2+OD2=2OF＝32，
∴AD=OA2-OD2=52-32=4，
∵AD∥OF，∴△AGD∽△OGF，
∴DGFG=ADOF=43，
∴DG=44+3DF=47DF=47×32=1227，∴DG的长是1227．
新疆
1.【2025•新疆】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CF⊥AB于点F，∠FCE＝2∠A，BD∥CE交CF于点G，交AC于点D．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若tan∠BCE=12，BE＝1，求DG的长．
解：（1）证明：∵CF⊥AB于点F，∴∠CFO＝90°．
∵OC＝OA，∴∠COF＝2∠A，
∵∠FCE＝2∠A，∴∠COF＝∠FCE．
∵∠COF+∠OCF＝90°，∴∠FCE+∠OCF＝90°，即∠OCE＝90°，
又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线．
（2）∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．
作DH⊥AB于点H，如图所示，
∵∠ACB＝∠OCE，∴∠ACO＝∠BCE，
∴∠A＝∠ACO＝∠BCE，
∵BD∥CE，∴∠BCE＝∠DBC，
∴tan∠BCE＝tanA＝tan∠DBC=12，
设CD＝a，BC＝2a，AC＝4a，AD＝3a，
由勾股定理可得AB=25a．
∵BD∥CE，∴ADCD=ABBE，即3aa=25a1，解得a=3510，
故AB＝3，AD=9510，BC=355．
又∵CF=AC⋅BCAB=4a⋅2a25a=45a5=65，
故BF=BC2-CF2=(355)2-(65)2=35，
∵tanA=12，∴csA=255，AH＝AD×csA=9510×255=95，
故BH＝AB﹣AH＝3-95=65，
∵BF=12BH，CF∥DH，∴DG=12DB，
又∵DB＝DC•5=3510•5=32，故DG=34．
湖北省
1.【2025•湖北】如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G．
（1）求证：FD＝FG；
（2）若AB＝12，FG＝10，求⊙O的半径．
解：（1）证明：∵DF⊥AB，GF是⊙O的切线，即DF⊥GF，∴AB∥GF，
∴∠BAC＝∠G＝45°，
∴∠FDG＝90°﹣45°＝45°，即△DFG是等腰直角三角形，
∴FD＝FG；
（2）∵DF⊥AB，∴AE=BE=12AB=6，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ADE＝90°﹣45°＝45°，即△ADE是等腰直角三角形，∴EA＝ED＝6．
由（1）得FD＝FG＝10，
∴EF＝DF﹣DE＝10﹣6＝4，
如图所示，连接OA，设OE＝x，则OF＝OE+EF＝x+4＝OA，
∴在Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴（x+4）2＝62+x2，解得，x=52，
∴OA=x+4=52+4=132，∴⊙O的半径为132．
湖南省
1.【2025•湖南21题】如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与⊙O相切于点C，连接OC．
（1）求∠ACO的度数；
（2）求证：AC＝BC．
解：（1）∵BC与⊙O相切于点C，∴OC⊥CB，
∴∠OCB＝90°，
∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝120°﹣90°＝30°；
（2）证明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠A＝∠B，∴AC＝BC．
2．【2025•长沙1题】如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点，连接CD，且始终满足CD＝AD+BC．
（1）求证：CD与该半圆相切；
（2）当半径r=2时，令AD＝a，BC＝b，m=22+a+22+b，n=a1+a+b1+b，比较m与n的大小，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，如图2，当半径r＝1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G，连接EG并延长交AB于点F，连接AE，BE，令EG＝x，4AE⋅BE+1FG+CD＝y，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围）
解：（1）证明：如图，连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作OE⊥CD于点E，
∵AD与BC均为该半圆的切线，∴AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD∥BC，∴∠M＝∠OCB，
∵O为AB的中点，∴OA＝OB，
在△OAM与△OBC 中，
∠M=∠OCB∠OAM=∠OBC=90°OA=OB，
∴△OAM≌△OBC（AAS），∴AM＝BC，
∵CD＝AD+BC，∴CD＝AD+AM＝DM，
∴∠M＝∠OCE，∴∠OCB＝∠OCE，即CO平分∠BCD，
又∵OE⊥CD，OB⊥CB，∴OE＝OB，
∴CD与该半圆相切；
（2）m＝n．理由如下：
如图，过点C作CM⊥AD，交AD于点M，
在△CDM中，由勾股定理可得CD2＝DM2+CM2，
∵CD＝AD+BC＝a+b，DM＝|a﹣b|，CM＝2r，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4r2，
∴r2＝AD•BC＝ab＝2，代入可得m=22+a+22+b=abab+a+abab+b=b1+b+a1+a=n；
（3）∵CD，AD，BC均为该半圆的切线，∴DA＝DE，CB＝CE，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD∥BC，
∴△DAG∽△BCG，∴CGGA=CBAD=CEED，∴CGCA=CECD，
∵∠ACD＝∠GCE，∴△ACD∽△GCE，
∴∠ADC＝∠GEC．
∴EG∥AD∥BC，FG∥AD∥BC，
∴FGBC=AFAB，FGAD=BFAB，∴FGBC+FGAD=1，∴1BC+1AD=1FG，
同理可得1BC+1AD=1EG，∴FG＝EG＝x，
由（2）可知r2＝AD•BC＝DE•EC＝1，
∴1DE+1CE=1BC+1AD=1EG=DE+CEDE⋅CE=DC=1x，
又在Rt△ABE 中，
∵12AE⋅BE=12(2x)(2r)=2x，
∴AE•BE＝4x，∴4AE⋅BF=1x，
∴y=1AE⋅BE+1FG+DC=1x+1x+1x=3x．
甘肃省
1.【2025•甘肃25题】如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，∠BAO＝∠BCO，直径BE与弦AC相交于点F，点D是EB延长线上的一点，∠BCD=12∠AOB．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若四边形ABCO是平行四边形，EF＝3，求CD的长．
解：（1）证明：∵OA＝OC＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，
∵∠BAO＝∠BCO，∴∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＝∠COB，∴AB=BC，
连接CE，
∵BE是⊙O的直径，∴∠OCE+∠OCB＝90°，
∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，
∵∠E=12∠AOB，∠BCD=12∠AOB，∴∠BCD＝∠ECO，
∴∠DCO＝∠DCB+∠BCO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；
（2）∵四边形ABCO是平行四边形，OA＝OC，∴四边形ABCO是菱形，
∴BC＝OC＝OB，AC⊥OB，OF=12OB=12OE，
∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，
∴∠E=12∠BOC＝30°，
∵EF＝3，∴OF＝1，OE＝2，∴OC＝2，
∵∠DOC＝60°，∴CD＝OC•tan60°＝2×3=23．
2．【2025•兰州24题】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点B的切线交AC的延长线于点D，连接DO并延长，交⊙O于点E，连接AE，CE．
（1）求证：∠ADB＝∠AEC；
（2）若AB＝4，cs∠AEC=53，求OD的长．
解：（1）证明：∵BD为⊙O的切线，
∴AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠ADB+∠BAD＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ADB＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠AEC，∴∠ADB＝∠AEC；
（2）∵∠ADB＝∠AEC，∴cs∠ADB＝cs∠AEC=53，
在Rt△ABD中，∵cs∠ADB=DBAD=53，
∴设BD=5x，AD＝3x，∴AB=(3x)2-(5x)2=2x，
即2x＝4，解得x＝2，
∴BD＝25，
在Rt△OBD中，∵OB＝2，BD＝25，∴OD=22+(25)2=26．
云南省
1.【2025•云南】如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径．连接AC，BE，CE，∠AEC＝∠ACF．
（1）若CE＝CB，且∠CBE＝60°，求∠BCE的度数；
（2）求证：直线CF是⊙O的切线；
（3）探究，发现与证明：
已知AC平分∠BAE，是否存在常数a，b，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵CE＝CB，且∠CBE＝60°，
∴△CBE是等边三角形，∴∠BCE＝60°；
（2）证明：延长CO交⊙O于点M，连接EM，如图，
∵CM是⊙O的直径，∴∠CEM＝90°，∴∠AEC+∠AEM＝90°，
∵∠AEM＝∠ACM，∠AEC＝∠ACF，
∴∠ACF+∠ACM＝90°，∴∠MCF＝90°，∴OC⊥CF，
∵OC是⊙O的半径，∴直线CF是⊙O的切线；
（3）存在常数a＝1，b＝1，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；理由如下：
如图，设AC与BE交于点N，
∵AC平分∠BAE，∴∠EAC＝∠BAC，
∵∠EAC＝∠EBC，∠BEC＝∠BAC，∴∠EAC＝∠EBC＝∠BAC＝∠BEC，
∴CE＝CB，
∵∠BCN＝∠ACB，∠CBE＝∠BAC，∴△BCN∽△ACB，
∴BCAC=CNCB，∴BC2＝AC•CN①，
∵∠AEN＝∠BEA，∠EAC＝∠BAC，∴△AEN∽△ACB，
∴AEAC=ANAB，∴AE•AB＝AC•AN②，
①+②得：BC2+AE•AB＝AC•CN+AC•AN＝AC（CN+AN）＝AC2，
∵CE＝CB，∴AC2＝BC•CE+AB•AE，∴此时a＝1，b＝1．
∴存在常数a＝1，b＝1，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立．
江苏省
1.【2025•连云港】已知AD是△ABC的高，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作△ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2，若⊙O的半径为R，求证：R=AC⋅AB2AD；
（3）如图3，延长AD交⊙O于点E，过点E的切线交OC的延长线于点F．若BC＝7，AD=33，∠ACB＝60°，求CF的长．
解：（1）如图所示，即为所求；
（2）证明：如图，作⊙O的直径AM，连接BM，
∴∠ABM＝90°，AM＝2R，
∵AD是△ABC 的高，∴∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝∠AMB，∴△ABM∽△ADC，
∴ABAD=AMAC，即ABAD=2RAC，∴R=AB⋅AC2AD；
（3）如图，连接OE，
∵EF为⊙O的切线，∴∠OEF＝90°，
∵∠ACB＝60°，∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠EOC＝60°，∠F＝30°，
∵OE＝OC，
∴△OEC是等边三角形，∠OEC＝∠OCE＝60°，
∴∠CEF＝30°，∠CEF＝∠F，
∴CE＝CF＝R．
在Rt△ADC中，AD=33，∠ACB＝60°，tan60°=ADCD=33CD，
∴CD＝3，BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4，
在Rt△ACD中，AC=AD2+CD2=(33)2+32=6，
在Rt△ABD中，AB=AD2+BD2=42+(33)2=43，
代入R=AB⋅AC2AD，得R=1293，
即CF=1293．
2．【2025•苏州】如图，在四边形ABCD中，BD＝CD，∠C＝∠BAD．以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E，连接AE，BE．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB=10，sin∠AED=1010，求BE的长．
解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，
∵∠C＝∠BAD，∴∠DBC＝∠BAD，
∴∠OBC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAD＝90°，
∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB，∴BC为⊙O的切线．
（2）作DF⊥BC于点F，则∠BFD＝∠CFD＝∠ABC＝90°，BF＝CF，∴DF∥AB，
∵∠ABD＝∠AED，AB=10，
∴ADAB=sin∠ABD＝sin∠AED=1010，
∴AD=1010AB=1010×10=1，
∴BD=AB2-AD2=(10)2-12=3，
∵∠BDF＝∠ABD，∴BFBD=sin∠BDF＝sin∠ABD=1010，
∴BF=1010BD=1010×3=31010，
∵∠BEC＝∠BAD＝180°﹣∠BED，∠C＝∠BAD，∴∠BEC＝∠C，
∴BE＝BC＝2BF＝2×31010=3105，
∴BE的长是3105．
3．【2025•扬州】材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而 （选填“变强”“不变”“变弱”）．
【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）．
（3）请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
【创新思考】
（4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
解：（1）①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC；
②分别作MC，NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；
③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求；
（2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强，
故答案为：变强；
（3）∠CAD＝2∠BAC，理由如下：
连接OA，则：OA＝OB，
∴∠ABC＝∠OAB，
∵AD为切线，∴OA⊥AD，∴∠OAB+∠BAD＝90°，
∵BC⊥AC，∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝∠OAB，∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC；
（4）∵水滴弧的长度为：l=nπr180，∴lr=π180n，
∴可以根据lr的大小，进行判断，lr越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）．
四川省
1.【2025•成都】如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在AC上取点E，使EC=BC，连接BE，交AC于点F．
（1）求证：BE∥CD；
（2）若sinD=23，BD＝1，求半圆O的半径及EF的长．
解：（1）证明：连接OC，则OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∵过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，∴OC⊥CD，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠OCA＝∠BCD，
∴∠CAB＝∠BCD，
∵EC=BC，∴∠CAE＝∠CAB＝∠BCD，
∵∠CAB＝∠EBC，∴∠EBC＝∠BCD，∴BE∥CD；
（2）设半圆O的半径为r，则OC＝OB＝r，
∵BD＝1，∵OD＝r+1，
∵OC⊥CD，∴sinD=OCOD=rr+1=23，
∴r＝2，即半圆O的半径为2，
∴AB＝2r＝4，
连接AE，则：∠AEB＝90°，
∵BE∥CD，∴∠ABE＝∠D，
∴sin∠ABE=sinD=AEAB=AE4=23，∴AE=83，
∴BE=AB2-AE2=453，
∵EC=BC，∴∠EAF＝∠BAF，∴AF平分∠BAE，
∴F到AE，AB的距离相等，都等于EF的长，
∴S△AEFS△ABF=12AE⋅EF12AB⋅EF=EFBF，∴EFBF=AEAB=23，∴EFBE=25，∴EF=25BE=8515．
2．【2025•泸州】如图，AB，CD是⊙O的直径，过点C的直线与过点B的切线交于点E，与BA的延长线交于点F，且EB＝EC，连接DE交AB于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AF＝10，sinF=13，求EG的长．
解：（1）证明：如图所示，连接OE，
∵BE是⊙O的切线，
∴OB⊥BE，即∠OBE＝90°，
在△OEC和△OEB中，
OC=OBOE=OCCE=BE，∴△OEC≌△OEB（SSS），∴∠OCE＝∠OBE＝90°，∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；
（2）如图所示，过点C作CH⊥BF于H，过点D作DM⊥BF于M，
设OA＝OC＝r，则OF＝OA+AF＝r+10，
由（1）可得∠OCF＝90°，
在Rt△OCF中，sinF=OCOF=13，∴3OC＝OF，∴3r＝r+10，∴r＝5，
∴OA＝OC＝5，∴AB＝CD＝2OA＝10，OF＝15，∴BF＝OF+OB＝20，
在Rt△OCF中，由勾股定理得CF=OF2-OC2=152-52=102，
∴csF=CFOF=10215=223，
在Rt△BEF中，EF=BFcsF=20223=152，
∴CE=EF-CF=52，BE＝EF⋅sinF=52，
在Rt△CDE中，由勾股定理得DE=CE2+CD2=(52)2+102=56，
∵S△OCF=12CH⋅OF=12OC⋅CF，∴CH=OC⋅CFOF=5×10215=1023，
∵∠CHO＝∠DMO＝90°，∠COH＝∠DOM，OC＝OD，∴△DOM≌△COH（AAS），
∴DM＝CH=1023，∴DMG＝∠EBG＝90°，∠DGM＝∠EGB，
∴△DGM∽△EGB，∴EGDG=BEDM，即EGDG=521023=32，∴EG=32+3DE=36．
3．【2025•自贡】如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AB，作直径AC，延长O2B到点D，使DB＝O2B，连接DC．
（1）∠ABO2＝ 度；
（2）求证：DC为⊙O2的切线；
（3）若DC＝33，求⊙O2上AB的长．
解：（1）连接O1A，O1B，O1O2，BC，如图所示：

∵⊙O1和⊙O2是等圆，∴O1B＝O2B＝O1O2＝O1A＝O2A＝O1O2，
∴△O1O2B和△O1O2A都是等边三角形，∴∠O1BO2＝60°，
根据相交圆的性质得：O1O2⊥AB，∴∠ABO2=12∠O1BO2＝30°；
（2）证明：∵△O1O2B和△O1O2A都是等边三角形，∴∠AO2O1＝∠BO2O1＝60°，∴∠BO2C＝60°，
∵O2B＝O2C，∴△O2BC是等边三角形，∴∠O2CB＝∠O2BC＝60°，BC＝O2B，
∵DB＝O2B，∴DB＝BC，∴∠D＝∠BCD，
∵∠O2BC是△BCD的外角，∴∠D+∠BCD＝∠O2BC＝60°，∴∠D＝∠BCD＝30°，
∴∠O2CD＝∠O2CB+∠BCD＝90°，即O2C⊥CD，
∵O2C是⊙O2的半径，∴DC为⊙O2的切线；
（3）设O2C＝O2B＝R，∴DB＝O2B＝R，∴O2D＝DB+O2B＝2R，
∵∠O2CD＝90°，∴△O2CD是直角三角形，
在Rt△O2CD中，由勾股定理得：DC=O2D2-O1C2=(2R)2-R2=3R，
∵DC=33，∴3R=33，解得：R＝3，∴O1A＝O2B＝R＝3，
∵△O1O2B和△O1O2A都是等边三角形，∴∠AO1O2＝∠BO1Q2＝60°，∴∠AO1B＝120°，
∴⊙O2上弧AB的长为：120π×3180=2π．
4．【2025•南充】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，M为线段DB上一点，ME＝MD．
（1）求证：ME是⊙O的切线．
（2）若CF＝3，sinB=45，求OM的长．
解：（1）证明：连接OE，DF，如图所示：

∵CD为⊙O的直径，点E在⊙O上，∴OD＝OE＝OC，
在△OME和△OMD中，
OE=OCME=MDOM=OM，∴△OME≌△OMD（SSS），∴∠OEM＝∠ODM，
∵CD⊥AB，∴∠ODM＝90°，∴∠OEM＝90°，即OE⊥ME，
又∵OE是⊙O的半径，∴ME是⊙O的切线；
（2）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠DCF＝90°，∴∠B＝∠DCF，
∵sinB=45，∴sin∠DCF＝4/5，
∵CD为⊙O的直径，∴∠DCF＝90°，
在Rt△DCF中，sin∠DCF=DFCD=45，
设DF＝4x，CD＝5x，
由勾股定理得：CF=CD2-DF2=(5x)2-(4x)2=3x，
∵CF＝3，∴3x＝3，解得：x＝1，∴CD＝5x＝5，∴OD=12CD＝2.5，
由（1）可知：△OME≌△OMD，∴∠EOM＝∠DOM，
∴∠DOE＝∠EOM+∠DOM＝2∠DOM，
∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，
∵∠DOE是△OCE的外角，∴∠DOE＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE，
∴2∠DOM＝2∠OCE，∴∠DOM＝∠OCE，
∴OM∥BC，∴∠OMD＝∠B，∴sin∠OMD＝sin∠B=45，
在Rt△ODM中，sin∠OMD=ODOM，∴45=2.5OM，∴OM=258．
5．【2025•遂宁】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连结AC、BC，延长AB至点D，连结CD，使∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）点E是AC的中点，连结BE，交AC于点F，过点E作EH⊥AB交⊙O于点H，交AB于点G，连结BH，若BD＝2，CD＝4，求BF•BH的值．
解：（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，即∠1+∠2＝90°，
∵OA＝OB，∴∠A＝∠1，
∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＝∠1，
∴∠BCD+∠2＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接EC，
∵∠BCD＝A，∠D＝∠D，∴△BCD∽△CAD，∴CDAD=BCAC=BDCD，
∵BD＝2，CD＝4，∴4AD=BCAC=24，
∴AD＝8，BCAC=12，
∴AB＝AD﹣BD＝8﹣2＝6，
设BC＝a，则AC＝2a，
∵AC2+BC2＝AB2，∴（2a）2+a2＝62，∴a=655，∴BC=655，
∵点E是AC的中点，∴AE=EC，∴∠3＝∠4，
∵∠CEB＝∠A，∴△CEB∽△FAB，∴BEAB=BCBF，即BE•BF＝AB•BC，
∵EH⊥AB，∴AB垂直平分EH，∴BE＝BH，
∴BE•BF＝BH•BF＝AB•BC，∴BF⋅BH=6×655=3655．
6．【2025•眉山】如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点D，过点B作BE∥DC，交⊙O于点E，连接AE、AC．
（1）求证：CE=CB；
（2）若∠BAE＝60°，⊙O的半径为2，求AC的长．
解：（1）证明：如图，连接OC，
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，
∵BE∥DC，∴OC⊥BE，∴CE=CB；
（2）如图，过点O作OH⊥AC于H，则AH＝HC，
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∵BE∥DC，∴∠D＝∠ABE＝30°，
∴∠AOC＝∠OCD+∠D＝120°，
∵OA＝OC，∴∠OAC=12×（180°﹣120°）＝30°，
∴AH＝OA•cs∠OAC＝2×32=3，
∴AC＝2AH＝23．
7．【2025•凉山州】如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，连接PB交⊙O于点C，连接AC，则∠PAC＝∠B．理由如下：∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB＝90°
∴∠CAB+∠B＝90°
∵PA与⊙O相切于点A
∴PA⊥AB
∴∠PAB＝90°
∴∠CAB+∠PAC＝90°
∴∠PAC＝∠B
（1）小明根据以上结论，自主探究发现：如图甲，当AB是非直径的弦，而其他条件不变时，∠PAC＝∠B仍然成立，请说明理由；
（2）小明进一步探究发现：如图乙，线段PA与线段PC，PB存在如下关系：PA2＝PC•PB．请你替小明证一证；
（3）拓展应用：如图丙，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°，∠AOB＝150°，BC的延长线与过点A的切线相交于P，若⊙O的半径为1，请你利用小明的探究结论求PC的长．
解：（1）如图所示，连接OA，OC，如图，
∵PA与⊙O相切于点A，∴PA⊥OA，
∴∠PAO＝90°，∴∠CAO+∠PAC＝90°，
∴2∠CAO+2∠PAC＝180°．
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，∴∠AOC+2∠OAC＝180°，
∴∠AOC＝2∠PAC，
又∵∠AOC＝2∠ABC，∴∠PAC＝∠B；
（2）证明：由（1）可得：∠PAC＝∠B，
又∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PBA，
∴PAPB=PCPA，∴PA2＝PB•PC；
（3）∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵⊙O的半径为1，∴OA＝OB＝OC＝1，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=OC2+OB2=12+12=2；
∵∠AOB＝150°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°．
又∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，
∴AC＝OA＝1，∠OAC＝60°，
∵BC的延长线与过点A的切线相交于P，∴PA⊥OA，
∴∠PAO＝90°，∴∠CAO+∠PAC＝90°，
∵∠OAC＝60°，∴∠PAC＝30°，
∴∠PAB＝∠PAC+∠BAC＝45°+30°＝75°．
∴∠ABC=12∠AOC=30°，∴∠P＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝75°，
∴∠ACP＝180°﹣∠P﹣∠PAC＝75°，∴∠P＝∠ACP，∴AP＝AC＝1．
设PC＝x，则PB=PC+BC=(x+2)，
由（2）可得：PA2＝PB•PC，
∴12=x(x+2)，
∴x2+2x-1=0，
解得：x=-2+62或x=-2-62（负数不合题意，舍去），
∴PC=-2+62．
8．【2025•宜宾】如图，已知AE是⊙O的直径，D是⊙O上一点．过D作直线DB与AE的延长线交于B点．过点A作AC⊥BD于C点，连结AD、DE，且∠AED＝∠ADC．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AE＝10，tan∠CAD=34，求DE与BD的长度；
（3）在（2）的条件下，若F为AE上的一动点，且F在直线AB上方，连结AF、DF、EF．当四边形ADEF面积最大时，求DF的长度．
解：（1）证明：连接OD，则OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠AED＝∠ADC，∴∠ODE＝∠ADC，
∵AE是⊙O的直径，∠ADE＝90°，
∵∠ODC＝∠ADC+∠ODA＝∠ODE+∠ODA＝90°，
∵OD是⊙O的半径；∴直线BC是⊙O的切线；
（2）∵∠C＝∠ADE＝90°，∠ADC＝∠AED，∴∠CAD＝∠DAE，
∵tan∠CAD＝tan∠DAE＝2，tan∠DAE=DEAD，∴DEAD=34，∴AD=43DE，
∵AD2+DE2＝AE2AE＝10，∴(43DE)2+DE2=102，∴DE＝6，
∵∠BDE＝∠CAD，∠CAD＝∠DAE，∴∠BDE＝∠DAE，
∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAD，
∴BEBD=DEAD=34，∴BE=34BD，
∵OD=OE=12AE=5，∴OB=OE+BE=5+34BD，
∵OD2+BD2＝OB2，∴52+BD2=(5+34BD)2，
解得BD＝0（舍去）或BD=1207；
（3）过点E作EG⊥BF于点G，则∠DGE＝90°，
当四边形ADEF面积最大时，△AEF面积最大，点F到AE的距最大，点F是AE⌢的中点，
∴AF⌢=EF⌢，∴AF＝EF，
∵∠AFE＝90°，∴∠AEF=∠EAF=12(180°-∠AFE)=45°，
∴∠EDF＝∠EAF＝45°，∴∠DEG＝90°﹣∠EDF＝45°，
∴DG＝EG，DG2+EG2＝DE2，DE＝6，∴DG=EG=32，
∵AE＝10，∴EF=22AE=52，
∴FG=EF2-EG2=42，
∴DF=DG+FG=72．
9．【2025•内江】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点O是边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，⊙O恰好经过点D，交AB于点E．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）若点E为AO的中点，AD＝3，求阴影部分的面积；
（3）连接DE，若sin∠DBA=55，求csA的值．
解：（1）证明：连接OD，如图所示：

∵∠C＝90°，∴BC⊥AC，
∵BD是∠ABC的平分线，∴∠OBD＝∠CBD，
∵OB是⊙O的半径，⊙O恰好经过点D，交AB于点E，∴OE＝OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，∴OD⊥AC，
又∵OD是⊙O半径，∴直线AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，∴OD＝OE＝OB＝R，
∵点E是AO的中点，∴AE＝OE＝R，∴AO＝2R，
由（1）可知：OD⊥AC，
∴在Rt△AOD中，sinA=ODAO=R2R=12，
∴∠A＝30°，∴∠AOD＝60°，
∵AD＝3，∴tanA=ODAD，
∴OD＝AD•tanA＝3×tan30°=3，
∴S△AOD=12AD•OD=12×3×3=332，S扇形EOD=60π×(3)2360=π2，
∴阴影部分的面积为：S△AOD﹣S扇形EOD=33-π2；
（3）∵BE是⊙O直径，∴∠BDE＝90°，
在Rt△BDE中，sin∠DBA=DEBE=55，
设DE=5a，BE＝5a，
由勾股定理得：BD=BE2-DE2=(5a)2-(5a)2=25a，
∴OD=12BE＝2.5a，
∵∠OBD＝∠CBD，∠BDE＝∠C＝90°，
∴△BDE∽△BCD，
∴DECD=BDBC=BEBD，∴5aCD=25aBC=5a25a，
∴CD＝2a，BC＝4a，
∵由（1）可知：OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，
∴ADAC=ODBC，∴ADAD+2a=2.5a4a，∴AD=10a3，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=AD2+OD2=(10a3)2+(2.5a)2=25a6，
∴csA=ADAO=10a325a6=45．
10．【2025•广安】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，点E在BC的延长线上，连接AE，∠ABE＝∠CAE．
（1）求证：AE是⊙O的切线．
（2）过点C作CD⊥AE，垂足为D，若△ABC的面积是△ADC的面积的3倍，CE＝12，求AE的长．
解：（1）证明：连接OA，则OA＝OC，
∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，
∵∠ABE＝∠CAE，∠OCA＝∠OAC，∴∠OAE＝∠CAE+∠OAC＝∠ABE+∠OCA＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，∴AE是⊙O的切线．
（2）∵S△ABC＝3S△ADC，∴S△ABCS△ADC=3，
∵CD⊥AE于点D，∴∠BAC＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝∠DAC，∴△ABC∽△ADC，
∴S△ABCS△ADC=(BCAC)2=3，
∴BCAC=3或BCAC=-3（不符合题意，舍去），∴BC=3AC，
∴BA=BC2-AC2=(3AC)2-AC2=2AC，
∵∠ABE＝∠CAE，∠E＝∠E，CE＝12，∴△ABE∽△CAE，
∴AECE=BAAC=2ACAC=2，∴AE=2CE＝122，
∴AE的长为122．
11．【2025·达州】如图．在⊙O中，AB是弦，PA是⊙O的切线，PA＝PB，点C，D，E分别是线段AB，AP，BP上的动点．连接CD，CE，∠DCE＝∠P＝α．
（1）试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若α＝60°，CD：CE＝1：2，试求4AD+BE与⊙O半径r的数量关系．
解：（1）PB是⊙O的切线，理由如下：
如图，连接OA，OB，
∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO，
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，
∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝∠BAO+∠PAB＝90°，
∴∠PBO＝∠ABO+∠PBA＝90°，
又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线；
（2）∵∠P＝60°，PA＝PB，∴△ABP是等边三角形，
∴AB＝PA＝PB，∠PAB＝∠PBA＝60°，
∵∠DCE＝60°，∴∠BCE+∠ACD＝180°﹣∠DCE＝120°，
∴∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠PAB＝120°，
∴∠ADC＝∠BCE，∴△ADC∽△BCE，
∴ADBC=ACBE=CDCE，
∵CDCE=12，∴AD=12BC，AC=12BE，
∴4AD+BE＝2BC+2AC＝2AB，
如图，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB于点F，则AF=12AB，
∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°，
∴∠OAF＝∠PAO﹣∠PAB＝90°﹣60°＝30°，
∴在Rt△AOF中，AO＝r，OF=12AO=12r，
∴AF=AO2-OF2=r2-(12r)2=32r，
∴AB=2AF=2×32r=3r，∴4AD+BE=23r．
山东省
1.【2025•烟台】如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝2∠C，点D在线段CB的延长线上，且BD＝AB，连接AD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）当AB＝5，AC＝8时，求BC的长及⊙O的半径．
解：（1）证明：作直径AE，连接BE，如图，
∵BD＝AB，∴∠D＝∠BAD，∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝2∠BAD，
∵∠ABC＝2∠C，∴∠C＝∠BAD，
∵∠E＝∠C，∴∠E＝∠BAD，
∵AE为直径，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，
∴∠BAD+∠BAE＝90°，即∠DAE＝90°，∴AE⊥AD，
∵AE为直径，∴AD是⊙O的切线；
（2）∵∠D＝∠C，∴AD＝AC＝8，
∵∠BAD＝∠C，∠ADB＝∠CDA，
∴△DAB∽△DCA，∴DB：DA＝DA：DC，
即5：8＝8：DC，解得DC=645，
∴BC=645-5=395；
∵AD＝AC，AH⊥CD，∴CH=12CD=325，
在Rt△ACH中，∵AC＝8，CH=325，
∴AH=82-(325)2=245，
∵AE为直径，∴∠ABE＝90°，
∵∠E＝∠C，∠ABE＝AHC，
∴△ABE∽△AHC，∴AE：AC＝AB：AH，即AE：8＝5：245，
解得AE=253∴⊙O的半径为256．
2．【2025•临沂、枣庄、聊城、菏泽、济宁】如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C，AD⊥OB于点D．AC是∠BAD的平分线．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠AOB＝45°，求CB的长．
解：（1）证明：∵AD⊥OB于点D，∴∠ADB＝90°，
∵AC是∠BAD的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝∠OAD+∠BAC，∠OCA＝∠B+∠BAC，
∴∠OAD+∠BAC＝∠B+∠BAC，
∴∠OAD＝∠B，
∴∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠B+∠BAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AB⊥OA，∴AB为⊙O的切线．
（2）∵∠OAB＝90°，∠AOB＝45°，∴∠B＝∠AOB＝45°，
∴AB＝OA，
∵⊙O的半径为2，∴AB＝OA＝OC＝2，
∴OB=AB2+OA2=2OA＝22，
∴CB＝OB﹣OC＝22-2，∴CB的长是22-2．
3．【2025•威海】如图，PA是⊙O的切线，点A为切点．点B为⊙O上一点，射线PB，AO交于点C，连接AB，点D在AB上，过点D作DF⊥AB，交AP于点F，作DE⊥BP，垂足为点E．AD＝BE，BD＝AF．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AP＝4，sin∠C=23，求⊙O的半径．
解：（1）证明：连接OB，
∵DF⊥AB，作DE⊥BP，∴∠ADF＝∠DEB＝90°，
在Rt△BDE与Rt△AFD中，
AD=BEBD=AF，∴Rt△BDE≌Rt△AFD（HL），
∴∠DBE＝∠FAD，
∵PA是⊙O的切线，点A为切点，∴∠CAP＝90°，
∴∠CAB+∠PAB＝90°，
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠OBA+∠ABE＝90°，∴∠OBE＝90°，
∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线；
（2）∵∠CAP＝90°，AP＝4，sin∠C=APPC=23，
∴PC＝6，
∴AC=PC2-AP2=25，
∵∠CBO＝∠CAP＝90°，∠C＝∠C，∴△CBO∽△CAP，
∴OBAP=OCPC，∴OB4=25-OB6，
∴OB=455，即⊙O的半径为455．
4．【2025•东营】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若OAOD=23，BE＝10，求DA的长．
解：（1）证明：连接OC，
∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠DCA＝∠ABC，∴∠DCA＝∠OCB，
又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠DCA+∠ACO＝90°，即∠DCO＝90°，
∴OC⊥DC，
∵OC是半径，∴DC是⊙O的切线；
（2）∵OAOD=23，且OB＝OA，
设OA＝OB＝2x，OD＝3x，∴DB＝OD+OB＝5x，
∴ODDB=35，
又∵OC⊥DC，BE⊥DC，∴OC∥BE，
∴△DCO∽△DEB，∴OCBE=ODDB=35，
∵BE＝10，∴OC＝6，
∴2x＝6，∴x＝3，
∴AD＝OD﹣OA＝x＝3．