2024年中考数学真题分类汇编：知识点33 与圆有关的位置关系2024（解析版）

这是一份2024年中考数学真题分类汇编：知识点33 与圆有关的位置关系2024（解析版），共35页。试卷主要包含了故答案为，故答案为5等内容，欢迎下载使用。
6．【2024·上海】在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（ ）
A．内含B．相交C．外切D．相离
【答案】B【解析】∵圆A半径为1，圆P半径为3，圆A与圆P内切，∴圆A含在圆P内，即PA＝3−1＝2，∴P在以A为圆心、2为半径的圆与△ABC边相交形成的弧上运动，如图所示，∴当到P'位置时，圆P与圆B圆心距离PB最大，为12+42=17，∵17＜3+2=5，∴圆P与圆B相交，故选B．
山西省
7．【2024·山西】如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
【答案】D【解析】∵AD=AD，∴∠B=12∠AOD=40°．∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，∴∠BAC＝90°，∴∠C＝90°−40°＝50°．故选D．
四川省
9．【2024·泸州】如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD＝236°，则∠E＝（ ）
A．56°B．60°C．68°D．70°
【答案】C【解析】如图，连接AD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°.∵∠BAE+
∠BCD＝236°，∴∠EAD+∠BAD+∠BCD＝∠EAD+180°＝236°，∴∠EAD＝56°.∵EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，∴EA＝ED，∴∠EDA＝∠EAD＝56°，∴∠E＝180°−∠EDA−∠EAD＝180°−56°−56°＝68°.故选C．
福建省
7．【2024·福建7题】如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为AB的中点，则∠ACM等于（ ）
A．18°B．30°C．36°D．72°
【答案】A【解析】∵C为AB的中点，∠AOB＝72°，∴∠AOC＝∠BOC＝36°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC＝72°，∵直线MN与⊙O相切，切点为C，∴∠OCM＝90°，∴∠ACM＝∠OCM−∠ACO＝90°−72°＝18°，故选A．
广东省
9．【2024·广州】如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定
【答案】C【解析】设AB与OC交于点D，∵弦AB的长为43，OC⊥AB，∴AD＝BD=12AB＝23，∵∠ABC＝30°，∴∠AOD＝2∠B＝60°，∴∠A＝90°−60°＝30°，∴OA＝2OD，设OD＝x，则OA＝2x，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，即x2+（23）2＝（2x）2，解得x＝±2（负值舍去），∴OA＝2x＝4，∵OP＝5，∴OP＞OA，
∴点P在圆外．故选C．
二、填空题
重庆
17．【2024·重庆B卷】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点．连接AC交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F．若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是 ；DF的长度是 ．
【答案】203 83【解析】∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°，∵BC＝5，CD＝3，∴BD=BC2−CD2=4，
∵BC切圆于B，∴直径AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵∠BCD＝∠ACB，∠CDB＝∠ABC＝90°，∴△CDB∽△CBA，
∴DB：BA＝CD：CB，∴4：AB＝3：5，∴AB=203，∵AF∥BE，∴∠BAF＝∠ABE，∵∠ABE＝∠ADE，∠F＝∠ADE，∴∠F＝∠BAF，∴BF＝AB=203，∴FD＝BF−BD=203−4=83．故答案为：203，83．
17．【2024·重庆A卷】如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，以AC为边作平行四边形ACDE，点D，E均在⊙O上，DE与AB交于点F，连接CE，与⊙O交于点G，连接DG．若AB＝10，DE＝8，则AF＝ ，DG＝ .
【答案】8 201313【解析】连接OE，OD，OG，过O点作OH⊥DG于H点，CE交AF于P点，如图，∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，∴AB⊥AC，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC∥DE，∴AB⊥DE，∴DF＝EF=12DE＝4，∵AB＝10，∴OA＝OE＝5，在Rt△OEF中，OF=OE2−EF2=52−42=3，∴AF＝OA+OF＝5+3＝8；∵DE∥AC，∴FPPA=EFAC=12，∠DEG＝∠PCA，∴PA=23×8=163，在Rt△ACP中，PC=82+(163)2=8133，∵∠DOG＝2∠DEG，∠DOG＝2∠DOH，∴∠DEG＝∠DOH，∴∠DOH＝∠PCA，∴Rt△DOH∽Rt△PCA，
∴DH：AO＝OD：PC，即DH：163=5：8133，∴DH=101313，∵OH⊥DG，∴DG＝2DH=201313．故答案为8，201313．
山东省
17．【2024·泰安】如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为AC的中点，连结BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F．若DF＝1，tanB=12，则AE的长为 ．
5【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵AH是⊙O的切线，∴∠BAF＝90°，∴∠DAF＝∠ABD＝90°−∠DAB，∴△DAF∽△DBA，∴DFAD=ADBD=tanB=12.∵DF＝1，∴AD＝2，∴AF=AD2+DF2=5.∵点D为AC的中点，∴AD=CD，∴∠ABD＝∠DAC＝∠DAF.∵∠ADE＝∠ADF＝90°，∴90°−∠DAE＝90°−∠DAF，即∠AED＝∠AFD，∴AE＝AF=5．故答案为5．
浙江省
3．【2024·浙江A卷13题（回忆版）】如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为 ．
【答案】40°【解析】∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，∴BA⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝50°，∴∠B＝90°−50°＝40°．故答案为40°．
内蒙古
14．【2024·包头】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB．若∠AOB＝140°，∠BCP＝35°，则∠ADC的度数为 ．
【答案】105°【解析】如图，连接OC.∵点C为切点，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°.∵∠BCP＝35°，∴∠OCB＝90°−∠BCP＝55°.∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝55°，∴∠BOC＝180°−∠OCB−∠OBC＝70°.∵∠AOB＝140°，∴∠AOC＝360°−∠AOB−∠BOC＝150°，∴∠ABC=12∠AOC＝75°，∴∠ADC＝180°−∠ABC＝105°．故答案为105°．
三、解答题
北京
24．【2024·北京24题】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC．
（1）求证：OD∥BC；
（2）延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P．若OFBF=56，PE＝1，求⊙O半径的长．
解：（1）证明：连接AC交OD于H，
∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，
∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD，
∴AD=CD，∴OD⊥AC，
∴OD∥BC.
（2）∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，
∴OEBC=OFBF=56，∴设OE＝5x，BC＝6x，
∵AO＝OB，OH∥BC，∴AH＝CH，
∴OH=12BC＝3x，
∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90，∴∠PBO＝∠AHO，
∵∠BOP＝∠AOH，∴△AOH∽△POB，
∴POAO=OBOH，∴5x+15x=5x3x，
∴x=310或x＝0（不合题意舍去），
∴OE=32，∴⊙O半径的长为32．
天津
21．【2024·天津21题】已知△AOB中，∠ABO＝30°，AB为⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C．
（Ⅰ）如图①，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D，求∠AOB和∠BCE的大小；
（Ⅱ）如图②，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA＝3，求线段OF的长．
解：（I）∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO，
∵∠A+∠ABO+∠AOB＝180°，∠ABO＝30°，
∴∠AOB＝180°−2∠ABO＝120°，
∵直线MN与⊙O相切于点C，CE为⊙O的直径，
∴∠ECM＝90°，
∵AB∥MN，∴∠CDB＝∠ECM＝90°，
∵∠BOE＝90°−∠ABO＝60°，
∵∠BCE=12∠BOE，∴∠BCE＝30°.
（II）如图，连接OC．
同（I），得∠COB＝90°，
∵CG⊥AB，∴∠FGB＝90°，
∵∠ABO＝30°，∴∠BFG＝90°−∠ABO＝60°，
∴∠CFO＝∠BFG＝60°，
在Rt△COF中，tan∠CFO=OCOF，OC=OA=3，
∴OF=OCtan∠CFO=3tan60°=3．
陕西省
24．【2024·陕西】如图，直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与⊙O交于点E，F，连接EF，AF．
（1）求证：∠BAF＝∠CDB；
（2）若⊙O的半径r＝6，AD＝9，AC＝12，求EF的长．
解：（1）证明：∵直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥CD，∴∠BAC＝∠BAD＝90°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，
∵∠BAF+∠ABD＝90°，∠CDB+∠ABD＝90°，
∴∠BAF＝∠CDB；
（2）在Rt△ABD中，
∵AB＝2r＝12，AD＝9，
∴BD=92+122=15，
在Rt△ABC中，
∵AB＝12，AC＝12，
∴BC=122+122=122，
∵∠ABF＝∠DBA，∠AFB＝∠BAD，
∴△BAF∽△BDA，
∴BF：BA＝BA：BD，即BF：12＝12：15，
解得BF=485，
∵∠BEF＝∠BAF，∠BAF＝∠CDB，
∴∠BEF＝∠CDB，
∵∠EBF＝∠DBC，∴△BEF∽△BDC，
∴EF：CD＝BF：BC，即EF：21=485：122，
解得EF=4225，即EF的长为4225．
江西省
1．【2024·江西17题】如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°．
（1）求证：BD是半圆O的切线；
（2）当BC＝3时，求AC的长．
解：（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°.
∵∠D＝∠ABC，∴∠D+∠A＝90°，
∴∠ABD＝90°，.
∵AB是半圆O的直径，
∴BD是半圆O的切线.
（2）连接OC，
∵∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，
∴OC＝BC＝3，∴AC的长=120π×3180=2π．
山东省
19. 【2024·济宁】如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接．
（1）若，求的长；
（2）求证：是的切线．
解：（1）∵，∴，
又∵，，
∴，∴.
（2）证明：如图，连接，
由（1）得：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线．
22．【2024·威海】如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝CD．点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F．∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H＝45°．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，CE＝4，求AF的长．
解：（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∵BC＝CD，
∴∠DAC＝∠BAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AF.
∵EH平分∠FEG，∴∠FEH＝∠GEH.
∵∠GEH＝∠H+∠BAC，∠FEH＝∠F+∠BAF，
∴2∠H+2∠BAC＝∠F+∠BAF，
∴∠BAF＝2∠BAC，
∴∠F＝2∠H＝90°，
∴∠OCE＝∠F＝90°，即OC⊥EF.
∵OC是半径，∴EF是⊙O的切线.
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即∠OCB+∠BCE＝90°，
∴∠OBC+∠BAC＝90°.
又∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BCE＝∠EAC.
∵∠CEB＝∠CAE，
∴△BCE∽△CAE，∴BECE=CEAE=BCAC=24=12，
∴CE2＝BE•AE，即16＝2AE，解得AE＝8，
∴AB＝8−2＝6.
在Rt△ABC中，AB＝6，BCAC=12，
∴BC=655，AC=1255.
∵∠F＝∠ACB＝90°，∠FAC＝∠BAC，
∴△FAC∽△CAB，∴AFAC=ACAB，∴AF=AC2AB=245．
湖北省
20．【2024·武汉】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．（1）求证：AB与半圆O相切；
（2）连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值．
解：（1）证明：连接OD，OA，作OH⊥AB于H，如图，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC.
∵AC与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AC.
而OH⊥AB，∴OH＝OD，
∴AC是⊙O的切线.
（2）由（1）知OD⊥AC，
在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF+CF＝OD+2，OD2+CD2＝OC2，
∴OD2+42＝（OD+2）2，
∴OD＝3，∴OC＝5，∴csC=CDOC=45.
在Rt△OCA中，csC=OCAC=45，
∴sin∠OAC=OCAC=45．
江苏省
1．【2024·盐城23题】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、BC．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径．
解：（1）证明：连接OC，
∵l是⊙O的切线，∴OC⊥l.
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB.
∵∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ABC∽△ACD.
（2）∵AC＝5，CD＝4，∠D＝90°，
∴AD=AC2−CD2=3.
∵△ABC∽△ACD，
∴ABAC=ACAD，∴AB5=53，∴AB=253，∴半径为256．
四川省
21．【2024·资阳】如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D在⊙O外，延长DC，AB相交于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点G，DG＝DC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，点F为线段OA的中点，CE＝8，求DF的长．
解：（1）证明：连接OC，
∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG.
∵∠DGC＝∠AGF，∴∠DCG＝∠AGF.
∵DF⊥AB，∴∠AFG＝90°，∴∠A+∠AGF＝90°.
∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠DCG+∠ACO＝90°，
∴∠DCO＝90°.
∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线.
（2）由（1）知，∠OCE＝90°，
∵OC＝6，CE＝8，∴OE=OC2+CE2=10.
∵OA＝6，点F为线段OA的中点，
∴OF=12OA＝3，∴EF＝13.
∵∠DFE＝∠OCE＝90°，∠E＝∠E，
∴△OCE∽△DFE，
∴CEEF=OCDF，∴813=6DF，∴DF=394．
23．【2024·雅安】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若sin∠B=12，求证：AC＝AP；
（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的长．
解：（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠BCO+∠OCA＝90°.
∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO.
∵∠PCA＝∠B，∴∠PCA＝∠BCO，
∴∠PCA+∠OCA＝90°，
∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线.
（2）证明：∵sin∠B=12，
∴∠B＝30°，∴∠PCA＝∠B＝30°.
由（1）知∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，∴∠P＝∠CAB−∠PCA＝30°，
∴∠PCA＝∠P，∴AC＝AP.
（3）设AD＝x，
在Rt△ACB中，CD⊥AB，
∴CD2＝AD×BD＝6x，
∵∠P＝∠P，∠PCA＝∠B，
∴△PAC∽△PCB，∴PAPC=PCPB，
∴PC2＝PA•PB＝4（6+4+x）＝4（10+x），
在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2，
即（4+x）2+6x＝4（10+x），
整理得x2+10x−24＝0，
解得x1＝2，x2＝−12（舍去），故AD＝2．
20．【2024·甘孜州】如图，AB为⊙O的弦，C为AB的中点，过点C作CD∥AB，交OB的延长线于点D．连接OA，OC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若OA＝3，BD＝2，求△OCD的面积．
解：（1）证明：设OC交AB于点E，
∵OC是⊙O的半径，C为AB的中点，
∴OC垂直平分AB，
∵CD∥AB，∴∠OCD＝∠OEB＝90°.
∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵OA＝OC＝OB＝3，BD＝2，
∴OD＝OB+BD＝3+2＝5，
∵∠OCD＝90°，
∴CD=OD2−OC2=52−32=4，
∴S△OCD=12CD•OC=12×4×3＝6，
∴△OCD的面积是6．
27．【2024·凉山州】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接EO并延长，分别交⊙O于M、N两点，交AD于点G，若⊙O的半径为2，∠F＝30°，求GM•GN的值．
解：（1）证明：连接OD.
∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠OAD.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
∴∠DAE＝∠ODA，∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.
∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线.
（2）连接MD，AN，
在Rt△ODF中，OB＝OD＝2，∠F＝30°，
∴OD=12OF，∠BOD＝60°，∴OF＝4，
∴DF=OF2−OD2=23，∴AF＝2+4＝6.
在Rt△AEF中，∠F＝30°，∴AE=12AF＝3.
∵∠F＝30°，OD⊥EF，∴∠DOF＝60°＝∠2+∠3，
∵OA＝OD，∠2＝∠3，∴∠2＝30°，
∴∠2＝∠F，∴AD＝DF＝23，
∵OD∥AE，∴△DGO∽△AGE，
∴DGAG=ODAE=23，∴DG=25AD，AG=35AD，
∵∠ANM＝∠MDG，∠MGD＝∠AGN，
∴△MGD∽△AGN，∴MGAG=GDGN，
∴GM•GN＝GD•GA=25AD•35AD=625AD2=625×（23）2=7225．
22．【2024·眉山】如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连结DE．
（1）求证：CA是⊙O的切线；
（2）当AC＝8，CE＝4时，求DE的长．
解：（1）证明：连接OA，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，∴∠BAO+∠OAE＝90°.
∵OA＝OB，∴∠ABC＝∠BAO.
∵∠EAC＝∠ABC，
∴∠CAE＝∠BAO，
∴∠CAE+∠OAE＝90°，
∴∠OAC＝90°.
∵OA是⊙O的半径，
∴CA是⊙O的切线.
（2）∵∠EAC＝∠ABC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△EAC，∴ACBC=CEAC，∴8BC=48，
∴BC＝16，∴BE＝BC−CE＝12.
连接BD，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD＝∠EAD，
∴BD=DE，∴BD＝DE.
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，∴DE＝BD=22BE＝62．
24．【2024·广元】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O经过A、C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AC＝4，tan∠CFD＝2，求⊙O的半径．
解：（1）证明：连接OD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，∴∠COD＝2∠CAB＝90°，
∵DE∥CF，∴∠COD+∠EDO＝180°，
∴∠EDO＝90°∴DE为⊙O的切线.
（2）过点C作CH⊥AB于点H，
∵△ACB为等腰直角三角形，AC＝4，
∴CH＝AH=12AB=22，
∵tan∠CFD=CHFH=2，∴FH=2.
在Rt△CFH中，由勾股定理得CF2＝CH2＝FH2，
∴CF=10.
∵tan∠CFD=ODOF=ODCF−OC=OD10−OD=2，
∴OD=2103．
故⊙O的半径为2103．
24．【2024·宜宾】如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连结CD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE=12，求CD和DE的长．
解：（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OB＝OC，
∵AB＝AC，∴∠AOB＝∠AOC，
∴∠FOB＝∠FOC，∴OF⊥BC.
∵AE∥BC，∴∠OAE＝∠OFB＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线．
（2）∵OB＝OA，∴∠BAF＝∠ABE，
∴BFAF=tan∠BAF＝tan∠ABE=12，
∴AF＝2BF.
∵AB=AF2+BF2=(2BF)2+BF2=5BF＝10，
∴BF＝25，AF＝45.
∵BF2+FO2＝OB2，且OB＝OA＝45−FO，
∴（25）2+FO2＝（45−FO）2，解得FO=352，
∴OD＝OB＝OA＝45−352=552.
∵OB＝OD，BF＝CF，
∴CD＝2FO＝2×352=35.
∵OAOE=cs∠AOE＝cs∠FOB=FOOB，
∴OE=OA⋅OBFO=552×552352=2556，
∴DE＝OE−OD=2556−552=553，
∴CD的长是35，DE的长是553．
24．【2024·遂宁】如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是AC的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连结DB交AC于点C．
（1）求证：AF＝DF；
（2）延长GD至点M，使DM＝DG，连结AM．
①求证：AM是⊙O的切线；
②若DG＝6，DF＝5，求⊙O的半径．
解：（1）证明：连接AD，设OD交AC于点I，
∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD.
∵点D是AC的中点，∴OD⊥AC于点I.
∵DN⊥AB于点E，∴∠OED＝∠OIA＝90°，
∴∠ODF＝∠OAF＝90°−∠AOD，
∴∠ODA−∠ODF＝∠OAD−∠OAF，
∴∠FDA＝∠FAD，
∴AF＝DF．
（2）①证明：∵AB是⊙O的直径，DM＝DG，
∴∠ADB＝90°，∴AD垂直平分GM，
∴AM＝AG，∴∠MAD＝∠CAD.
∵AD=CD，∴∠B＝∠CAD，
∴∠MAD＝∠B，
∴∠OAM＝∠BAD+∠MAD＝∠BAD+∠B＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AM⊥OA，
∴AM是⊙O的切线．
②∵∠FDG+∠FDA＝90°，∠FGD+∠FAD＝90°，且∠FDA＝∠FAD，
∴∠FDG＝∠FGD，∴GF＝DF＝AF＝5，
∴AG＝2AF＝10.
∵DG＝6，
∴AD=AG2−DG2=102−62=8.
∵∠AID＝∠ADG＝90°，∴AIAD=ADAG=cs∠DAG，
∴AI=AD2AG=8210=325，
∴DI=AD2−AI2=82−(325)2=245.
∵∠OIA＝90°，OI＝OD−245=OA−245，
∴OI2+AI2＝OA2，
∴（OA−245）2+（325）2＝OA2，
解得OA=203，
∴⊙O的半径长为203．
22．【2024·南充】如图，在⊙O中，AB是直径，AE是弦，点F是AE上一点，AF=BE，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD＝∠CDA．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BE＝4，AD＝25，求⊙O的半径长．
解：（1）证明：∵AF=BE，∴∠ABF＝∠BAE，
∵∠CAD+∠BAE+∠CDA+∠ABF＝180°，且∠CAD＝∠CDA，
∴∠CAD+∠BAE+∠CAD+∠BAE＝180°，
∴∠OAD＝∠CAD+∠BAE＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线．
（2）如图，连接AF，
∵AF=BE，BE＝4，AD＝25，∴AF＝BE＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFD＝∠AFB＝90°，
∴DF=AD2−AF2=(25)2−42=2，
∵∠BAD＝∠AFD＝90°，
∴ABAD=AFDF=tanD=42=2，∴AD=12AB，
∴OA=12AB＝AD＝25，
∴⊙O的半径长为25．
25．【2024·广安】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在BA的延长线上，∠DCA＝∠CBA．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）点G是半径OB上的点，过点G作OB的垂线与BC交于点F，与DC的延长线交于点E，若sinD=45，DA＝FG＝2，求CE的长．
解：（1）证明：如图，连接OC.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵∠DCA＝∠OBC，∴∠DCA＝∠OCB.
而AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DCA+∠OCA＝∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，∴DC是⊙O的切线.
（2）设OC＝OA＝r，
∵sinD=OCOD=45，
∴rr+2=45，∴r＝8，
∴OC＝OA＝8.
在 Rt△OCD 中，CD=OD2−OC2=(8+2)2−82=6，
∵∠DCA+∠ECF＝∠BFG+∠CBA＝90°，
∴∠ECF＝∠BFG，
又∵∠BFG＝∠EFC，∴∠ECF＝∠EFC，
∴EC＝EF，设EC＝EF＝x，
∵∠D＝∠D，∠DCO＝∠DGE，
∴△DOC∽△DEG，
∴DODE=OCEG，则 10x+6=8x+2，解得x＝14，
经检验x＝14是所列方程的解，
∴CE＝14．
23．【2024·达州】如图，BD是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，且AB＝AC，以AD为边作∠DAF＝∠ACD交BD的延长线于点F．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）过点A作AE⊥BD交BD于点E，若CD＝3DE，求cs∠ABC的值．
解：（1）证明：如图所示，连接OA，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，∴∠OAB+∠OAD＝90°.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
∵∠DAF＝∠ACD，∠OBA＝∠ACD，
∴∠DAF＝∠OAB，
∴∠DAF+∠OAD＝∠OAB+∠OAD＝90°，
∴∠OAF＝90°，∴OA⊥AF.
又∵OA是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线.
（2）如图所示，延长CD交AF于H，延长AO交BC于G，连接OC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，即CH⊥BC，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴OA垂直平分BC，∴AG⊥BC，∴AG∥CH，
∵∠OAF＝90°，
∴AE⊥BD，∴∠AEB＝∠AHC＝90°.
又∵∠ABE＝∠ACH，
∴△ABE≌△ACH（AAS），∴AE＝AH，BE＝CH，
∵AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），
∴DH＝DE，设DH＝DE＝a，则CD＝3a，
∴BE＝CH＝DH+CD＝4a，
∴BD＝BE+DE＝5a，∴OA＝OD＝2.5a，
∴OE＝OD−DE＝1.5a，∴AE=OA2−OE2=2a，
∴AD=AE2+DE2=5a，∴cs∠ADE=DEAD=55.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ADE＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADE，∴cs∠ABC=cs∠ADE=55．
1．【2024·德阳】已知⊙O的半径为5，B、C是⊙O上两定点，点A是⊙O上一动点，且∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交⊙O于点D．
（1）证明：点D为BC上一定点；
（2）过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F．
①判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
②若△ABC为锐角三角形，求DF的取值范围．
解：（1）证明：连接OB，OC，如图.
∵∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD=12∠BAC＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，
∴BD的度数是60°.
∵B为定点，
∴D为BC上一定点.
（2）①DF与⊙O相切，理由如下：
连接OD，如图：
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴BD=CD，
∴OD⊥BC.
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF.
∵OD为⊙O的半径，
∴DF与⊙O相切.
②当∠A1BC为直角时，连接OD交BC于M，如图：
∵∠BA1C＝60°，
∵∠A1BC＝90°，
∴∠C＝30°，A1C为⊙O的直径.
∵⊙O的半径为5，
∴A1C＝10，A1B=12A1C＝5，
∴BC＝53，
由①知，BD=CD，
∴BM=12BC=532，∠BMD＝90°.
∵∠FBC＝180°−∠A1BC＝90°，∠FDM＝90°，
∴四边形BFDM是矩形，
∴DF＝BM=532；
当∠A2CB为直角时，连接OD，BD，如图.
∵∠A2CB＝90°，∠BA2C＝60°，
∴A2B是⊙O的直径，∠A2BC＝30°.
∵DF∥BC，
∴∠F＝∠A2BC＝30°，
∵DF与⊙O相切，
∴∠FDO＝90°，
∴OF＝2OD＝10，
∴DF=OF2−OD2=102−52=53.
由图可知，当A由A1运动到A2（不包括A1，A2）时，△ABC是锐角三角形，
∴DF的取值范围是532＜DF＜53．
1．【2024·泸州】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线与AC的延长线交于点D，点E在⊙O上，AC＝CE，CE交AB于点F．
（1）求证：∠CAE＝∠D；
（2）过点C作CG⊥AB于点G，若OA＝3，BD＝32，求FG的长．
解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠D+∠CBD＝90°.
∵BD是⊙O的切线，
∴∠ABD＝90°，∴∠ABC+∠CBD＝90°，∴∠ABC＝∠D.
∵AC=AC，
∴∠E＝∠ABC，∴∠E＝∠D，
∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠E，∴∠CAE＝∠D.
（2）过点C作CH⊥AE于H，如图.
∵OA＝3，∴AB＝2OA＝6，
在Rt△ABD中，AD=AB2+BD2=62+(32)2=36，
∵S△ABD=12AB⋅BD=12AD⋅BC，
∴BC=AB⋅BDAD=6×3236=23，
∴AC=AB2−BC2=62−(23)2=26，
同理可得CG=22，AG=AC2−CG2=(26)2−(22)2=4，
∴BG＝2；
∵AC＝CE，CH⊥AE，∴AE＝2AH.
由（1）可得∠ABC＝∠CAH，∠ACB＝∠CHA＝90°，
∴△ACB∽△CHA，
∴AHBC=ACAB，∴AH23=266，
∴AH=22，∴AE=42，
设FG＝x，则AF＝4+x，
∵∠E＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF，
∴△AEF−△CBF，∴CFAF=BCAE，即 CF4+x=2342，
∴CF=46+6x4，
∵CF2＝CG2+FG2，
∴(46+6x4)2=(22)2+x2，解得x=45或x＝4（舍去），
∴FG的长为45．
广东省
17．【2024·广东】如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．求证：AB与⊙D相切．
解：（1）如图，AD即为所求．
（2）证明：过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DE＝CD，∴DE为⊙D的半径，
∴AB与⊙D相切．
18．【2024·深圳18题（回忆版）】如图，在△ABD中，AB＝BD，⊙O为△ABD的外接圆，BE为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，连接DC并延长交BE于点E．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）若AB＝56，BE＝5，求⊙O的半径．
解：（1）证明：连接BO并延长交AD于H点，如图，
∵AB＝BD，OA＝OD，∴BO垂直平分AD，
∴∠BHD＝90°，
∵BE为⊙O的切线，∴OB⊥BE，
∴∠OBE＝90°
∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，
∴四边形BEDH为矩形，
∴∠E＝90°，∴BE⊥DE.
（2）∵BO垂直平分AD，∴AH＝DH=12AD＝35，
∵四边形BEDH为矩形，∴DH＝BE＝5.
在Rt△BDH中，∵BD＝AB＝56，DH＝5，
∴BH=(56)2−52=55.
设⊙O的半径为r，则OH＝55−r，OD＝r，
在Rt△ODH中，（55−r）2+52＝r2，解得r＝35，
即⊙O的半径为35．
贵州省
23．【2024·贵州23题】如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC＝DE．
（1）写出图中一个与∠DEC相等的角： ；
（2）求证：OD⊥AB；
（3）若OA＝2OE，DF＝2，求PB的长．
解：（1）∠DCE＝∠DEC，
理由：∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC.
故答案为∠DCE.
（2）证明：如图，连接OC.
∵PC与半圆相切于点C，
∴∠OCD＝90°，∴∠DCE+∠ACO＝90°.
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO.
∵∠DCE＝∠DEC＝∠AEO，
∴∠A+∠AEO＝90°，
∴∠AOE＝90°，∴OD⊥AB.
（3）∵OA＝2OE，
∴设OE＝x，AO＝2x，∴EF＝OF−OE＝x.
∴DE＝DC＝x+2，OD＝2x+2，
∵OC2+CD2＝OD2，
∴（2x）2+（x+2）2＝（2x+2）2，
∴x＝4或x＝0（不合题意舍去），
∴OD＝10，OC＝OB＝8，CD＝6，
∵∠DOP＝∠OCD＝∠DOP＝90°，
∴∠D+∠DOC＝∠DOC+∠COP＝90°，
∴∠D＝∠COP，∴△CDO∽△COP，∴ODOP=CDOC，
∴10OP=68，∴OP=403，
∴BP＝OP−OB=163．
云南省
1．【2024·云南】如图，AB是⊙O的直径，点D、F是⊙O上异于A、B的点．点C在⊙O外，CA＝CD，延长BF与CA的延长线交于点M，点N在BA的延长线上，∠AMN＝∠ABM，AM•BM＝AB•MN．点H在直径AB上，∠AHD＝90°，点E是线段DH的中点．
（1）求∠AFB的度数；
（2）求证：直线CM与⊙O相切；
（3）看一看，想一想，证一证：以下与线段CE、线段EB、线段CB有关的三个结论：CE+EB＜CB，CE+EB＝CB，CE+EB＞CB，你认为哪个正确？请说明理由．
解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°.
（2）证明：∵AM•BM＝AB•MN，
∴AMMN=ABBM.
∵∠AMN＝∠ABM，
∴△AMN∽△ABM，
∴∠NAM＝∠MAB．
∵∠NAM+∠MAB＝180°，
∴∠NAM＝∠MAB＝90°.
∴OA⊥CM．
∵OA为⊙O的半径，
∴直线CM与⊙O相切.
（3）正确的结论为CE+EB＝CB，理由：
连接OC，OD，过点B作⊙O的切线，交CD的延长线于点K，设BC与DH交于点G，如图，
在△OAC和△ODC中，OA=ODOC=OCCA=CD，
∴△OAC≌△ODC（SSS），
∴∠OAC＝∠ODC．
由（2）知：OA⊥CM，
∴∠OAC＝∠ODC＝90°，∴OD⊥CD．
∵OD为⊙O的半径，
∴CK为⊙O的切线．
∵BK为⊙O的切线，
∴DK＝BK，BK⊥AB．
∵DH⊥AB，CA⊥AB，
∴AC∥DH∥BK，
∴△BHG∽△BAC，△CDG∽△CKB，BHAB=DKCK．
∴GHAC=BHAB，GDBK=CDCK，
∴GHAC=DKCK，GDCD=BKCK=DKCK，
∴GHAC=GDCD．
∵CA＝CD，
∴GH＝GD，
∴点G是线段DH的中点，
∵点E是线段DH的中点，
∴点G与点E重合．
∴线段BC经过点E，
∴CE+EB＝CB．
甘肃省
26. 【2024·兰州】如图，内接于，为的直径，点D为上一点，，延长至E，使得．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
解：（1）连接，则，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，即：，
∴.
∵是的半径，
∴是的切线.
（2）∵，∴.
由（1）知：，
∴.
由（1）知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
解得（舍去）或，
∴.
24．【2024·临夏州】如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）如果BC＝1，DC＝3，求⊙O的半径．
解：（1）证明：连接OD，如图.
∵直线l与⊙O相切于点D，∴OD⊥CE.
∵AE⊥CE，
∴OD∥AE，∴∠ODA＝∠EAD.
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠EAD，∴AD平分∠CAE.
（2）设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r，
在Rt△OCD中，∵OD＝r，CD＝3，OC＝r+1，
∴r2+32＝（r+1）2，解得r＝4，
即⊙O的半径为4．
25．【2024·甘肃25题】如图，AB是⊙O的直径，BC=BD，点E在AD的延长线上，且∠ADC＝∠AEB．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当⊙O的半径为2，BC＝3时，求tan∠AEB的值．
解：（1）证明：如图，连接BD，OC，OD，
∵BC=BD，∴BC＝BD，
∵OC＝OD，
∴点O、B在CD的垂直平分线上，
∴OB垂直平分CD，∴∠AFD＝90°.
∵∠ADC＝∠AEB，
∴CD∥BE，∴∠ABE＝∠AFD＝90°，
∴AB⊥BE.
∵AB是⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线.
（2）∵⊙O的半径为2，∴AB＝2×2＝4.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵BC＝3，
∴AC=AB2−BC2=42−32=7，
∴tan∠ABC=ACBC=73.
∵AC=AC，∴∠ADC＝∠ABC.
∵∠AEB＝∠ADC，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴tan∠AEB=tan∠ABC=73．
黑龙江省
26．【2024·绥化】如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O与AD相切于点E，与AC相交于点F．（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若正方形ABCD的边长为2+1，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点M是半径OC上的一个动点，过点M作MN⊥OC交CE于点N．当CM：FM＝1：4时，求CN的长．
解：（1）证明：如图，
连接OE，过点O作OG⊥AB于点G，
∵⊙O与AD相切于点E，∴OE⊥AD.
∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴OE＝OG.
∵OE 为⊙O的半径，∴OG为⊙O的半径，
∵OG⊥AB，∴AB与⊙O相切.
（2）如图，
∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠DAC＝45°，
∵⊙O与AD相切于点E，∴∠AEO＝90°，
∴由（1）可知 AE＝OE，
设AE＝OE＝OC＝OF＝R，
在Rt△AEO中，∵AE2+EO2＝AO2，
∴AO2＝R2+R2.
∵R＞0，∴AO=2R.
又∵正方形ABCD的边长为2+1，
在Rt△ADC中，∴AC=AD2+CD2=2(2+1)，
∵OA+OC＝AC，∴2R+R=2(2+1)，
∴R=2，
∴⊙O的半径为 2.
（3）如图，
连接FN，ON，设CM＝k，
∵CM：FM＝1：4，∴CF＝5k，
∴OC＝ON＝2.5k，∴OM＝OC−CM＝1.5k，
在Rt△OMN中，由勾股定理得MN＝2k，
在Rt△CMN中，由勾股定理得CN=5k，
又∵FC=5k=2R=2×2=22，
∴k=225，∴CN=5×225=2105．
广西
24．【2024·广西24题】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC．点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE并延长至点F，使DE＝EF，连接AF．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）求证：AF与⊙O相切；
（3）若tan∠BAC=34，BC＝12，求⊙O的半径．
解：（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，
∴BD＝DC，AE＝EC.
在△EDC和△EFA中，EC=AE∠DEC=∠FEADE=FE，
∴△EDC≌△EFA（SAS），
∴DC＝AF，∠EDC＝∠F，∴BC∥AF，BD＝AF，
∴四边形ABDF是平行四边形.
（2）证明：连接AD，如图，
∵AB＝AC，BD＝DC
∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，
∴AD经过圆心O.
由（1）知：AF∥BC，∴DA⊥AF.
∵OA为⊙O半径，∴AF与⊙O相切.
（3）连接OB，OC，OD，如图，
∵OB＝OC，BD＝CD=12BC＝6，
∴OD⊥BC，∠BOD=12∠BOC.
∵∠BAC=12BOC，∴∠BOD＝∠BAC．
∵tan∠BAC=34，∴tan∠BOD=34.
∵tan∠BOD=BDOD，
∴BDOD=34，∴OD＝8，
∴OB=BD2+OD2=10，
∴⊙O的半径为10．
内蒙古
22．【2024·通辽22题】如图，△ABC中．∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．
（1）求证：∠ABC＝2∠ACD；
（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径．
解：（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为⊙O的切线，∴OD⊥AB，
∴∠ODA＝∠ODB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠COD＝180°，
∵∠AOD+∠COD＝180°，∴∠ABC＝∠AOD，
∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ABC＝2∠ACD.
（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8−r，
在Rt△ACB中，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=62+82=10，
∵∠OAD＝∠BAC，∠ADO＝∠ACB，
∴△AOD∽△ABC，
∴ODBC=AOAB，即r6=8−r10，
解得r＝3，
即⊙O的半径为3．
24．【2024·赤峰24题】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，⊙O经过B，C两点，与斜边AB交于点E，连接CO并延长交AB于点M，交⊙O于点D，过点E作EF∥CD，交AC于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BM＝42，tan∠BCD=12，求OM的长．
解：（1）证明：连接OE，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，∴∠COE＝2∠ABC＝90°，
∵EF∥CD，∴∠COE+∠OEF＝180°，
∴∠FEO＝90°，
∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线.
（2）过M作MH⊥BC于H，
则△BMH是等腰直角三角形，
∵BM＝42，∴BH＝MH=22BM＝4，
在Rt△CHM中，∵tan∠BCD=HMCH=12，
∴CH＝2MH＝8，
∴CM=CH2+MH2=45，CB＝CH+BH＝12，
连接BD，
∵CD是⊙O的直径，∴BD⊥BC，
∴MH∥BD，∴CMDM=CHBH，
∴45DM=84，∴DM＝25，
∴OD=12CD=35，∴OM＝OD−DM=5．