2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点32 圆的基本性质（Word版附解析）

这是一份2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点32 圆的基本性质（Word版附解析），共18页。

A．80°B．50°C．40°D．25°
【答案】B
【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠CAB+∠B＝90°，
∵∠CAB＝40°，∴∠B＝50°，∠ADC＝∠B＝50°．
湖南省
1．【2025•长沙8题】如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【答案】C
山东省
1.【2025•东营】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝130°，则∠ECD的度数是（ ）
A．50°B．55°C．65°D．70°
【答案】C
新疆
1.【2025•新疆】如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC＝30°，则∠BOC＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】C
山西省
1.【2025•山西】如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD．若AC=BC，则∠D的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】B
湖北省
1.【2025•湖北】如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°．分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交⊙O于点E，连接OA，OE，则∠AOE的度数是（ ）
A．30°B．50°C．60°D．75°
【答案】C
重庆
1.【2025•重庆】如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【答案】B
四川省
1.【2025•泸州】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径．若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠CBD＝（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】B
2．【2025•宜宾】如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则OD的长是（ ）
A．3B．2C．6D．52
【答案】A
甘肃省
1.【2025•甘肃7题】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=BC，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（ ）
A．20°B．35°C．55°D．70°
【答案】C
二、填空题
湖南省
1．【2025•长沙14题】如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，则OA的长为 ．
【答案】6
四川省
1.【2025•宜宾】如图，已知∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC＝40°，则∠OBC＝ °．
【答案】50
2．【2025•内江】如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8，OC＝5．则DC的长是 ．
【答案】2
【解析】∵OC⊥AB，∴AD＝BD=12AB=12×8＝4，
在Rt△OAD中，OA＝5，AD＝4，∴OD=OA2-AD2=3，∴DC＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．
3．【2025•广安】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，⊙O的半径为6，则BD的长为 ．
【答案】63．
【解析】如图，作直径DE，连接BE，
则由圆周角定理得：∠A＝∠E，∠EBD＝90°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠E＝60°，
∵⊙O的半径为6，∴DE＝12，
∴BD＝DE×sin∠E＝12×sin60°＝12×32=63．
陕西省
1.【2025•陕西12题】如图，AB为⊙O的直径，BC=BD，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为 ．
【答案】66°．
【解析】连接BC，如图，
∵BC=BD，∴∠BCD＝∠CDB＝24°，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣24°＝66°．
浙江省
1.【2025•浙江16题】如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是AD上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为 ．
【答案】214
【解析】∵四边形ABCD是矩形，且矩形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＝∠BAD＝90°，∴AC是⊙O的直径，
∵AF＝1，EG＝FG＝3，∴∠BEC＝∠GFE＝∠AFB，
∵∠BEC＝∠BAC，∴∠AFB＝∠BAC，
∴∠ALB＝∠GAC+∠AFB＝∠GAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，
∴∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC，
∵∠ABE＝∠ACG，∴∠GAC＝∠ACG，∴CG＝AG＝AF+FG＝1+3＝4，
∵∠CDG＝∠AEG＝90°，∠CGD＝∠AGE，∴△CDG∽△AEG，
∴DGEG=CGAG=1，∴DG＝EG＝3，
∴AD＝AG+DG＝4+3＝7，CD=CG2-DG2=42-32=7，
∴AC=AD2+CD2=72+(7)2=214，
∴⊙O的直径为214，
故答案为：214．
江苏省
1.【2025•扬州】如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝50°，则∠OBC＝ °．
【答案】40
安徽省
1.【2025•安徽12题】如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为 °．
【答案】20．
【解析】连接OB，
∵PB与⊙O相切于点B，
∴PB⊥OB，
∴∠OBP＝90°，
∵∠P＝50°，
∴∠POB＝90°﹣∠P＝40°，
∴∠PAB=12∠POB＝20°．
重庆
1.【2025•重庆】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC．以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G．连接AD，交⊙O于点H，连接EH．若AG＝12，GF＝5，则DF的长度为 ，EH的长度为 ．
【答案】3，13413．
【解析】∵AB⊥CD，AG＝12，GF＝5，∴CG＝GF＝5，即CF＝2CG＝10，
∴AC=AG2+CG2=122+52=13，
∵四边形ACDE是菱形，
∵CD＝AC＝13，∴GD＝CD﹣GC＝13﹣5＝8，DF＝CD﹣CF＝13﹣10＝3，
∴AD=AG2+GD2=122+82=413，
如图，连接BC，BH，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠AHB＝90°，
∴cs∠CAB=AGAC=ACAB，即1213=13AB，解得：AB=16912，
∴cs∠DAB=AGAD=AHAB，即12413=AH16912，解得：AH=13413，
∵四边形ACDE是菱形，∴CD∥AE，∴∠DAE＝∠CDA，
如图，过H作HF⊥AE于F，
∴sin∠DAE＝sin∠GDA，cs∠DAE＝cs∠GDA，
∴FHAH=AGAD，AFAH=GDAD，∴FH13413=12413，AF13413=8413，
∴FH=394，AF=132，∴FE=AE-AF=13-132=132，
∴EH=EF2+FH2=(132)2+(394)2=13413．
三、解答题
辽宁省
1．【2025•辽宁21题】如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E．
（1）如图1，连接DE，求∠ADE的度数；
（2）如图2，若点D为AC的中点，且AC＝6，求DE的长．
解：（1）连接OD，
在△OAC和△OBC中，
CA=CBOA=OBOC=OC，∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∵OA＝OD＝OE，∴∠OAD＝∠ODA，∠ODE＝∠OED，
设∠OAD＝∠ODA＝x，∠ODE＝∠OED＝y，
在四边形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC＝360°
∴x+x+y+y+90°＝360°，∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝x+y＝135°；
（2）连接OD，
∵∠AOC＝90°，D为AC中点，∴OD=AD=12AC=12×6=3，
∴OD＝OA＝AD＝3，∴△ADO为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，∴∠DOE＝90°﹣60°＝30°，
∴DE的长为：30π×3180=12π．
广西
1.【2025•广西20题】如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝65°，BC=CD．
（1）求证：△BOC≌△DOC；
（2）求∠ABD的度数．
解：（1）证明：∵BC=CD，∴∠BOC＝∠DOC，
∵OC＝OC，OD＝OB，
∴△BOC≌△DOC（SAS）；
（2）∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB＝65°，
∴∠COB＝180°﹣∠ABC﹣∠OCB＝50°，
∴∠DOC＝∠BOC＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠DOC﹣∠BOC＝80°，
∴∠ABD=12∠AOD＝40°．
天津
1.【2025•天津21题】已知AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，∠AOB＝80°，OB与⊙O相交于点D，E为⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，求∠CED的大小；
（Ⅱ）如图②，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，延长BO与⊙O相交于点G，若⊙O的半径为3，求ED和EG的长．
解：（I）如图①，连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，∠AOB＝80°，∴∠COB＝∠COA=12∠AOB＝40°，
∴∠CED=12∠COB＝20°，∴∠CED的度数为20°．
（Ⅱ）如图②，连接OC，
∵DG是⊙O的直径，⊙O的半径为3，∴∠DEG＝90°，DG＝6，
∵EC∥OA，∴∠EFG＝∠AOB＝80°，
由（I）得∠CED＝20°，
∴∠EDG＝∠EFG﹣∠CED＝60°，∴∠G＝90°﹣∠EDG＝30°，
∴ED=12DG＝3，
∴EG=DG2-ED2=62-32=33，
∴ED的长是3，EG的长是33．

福建省
1.【2025•福建25题】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB＝AC，BG＝DG．
（1）求证：∠ABC＝∠DBE+∠E；
（2）求证：AH2＝HF•HC；
（3）若tan∠ABC=5，AD＝2DE，CD=6，求△AGH的周长．
解：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ADB．
∵∠ADB＝∠DBE+∠E，∴∠ABC＝∠DBE+∠E；
（2）证明：连接CD，如图，
∵BG＝DG，∴∠ABD＝∠GDB，
由（1）知：∠ABC＝∠ADB，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠ADB＝∠GDB+∠GDA，∴∠DBE＝∠GDA，
∵∠DBE＝∠CAD，∴∠CAD＝∠GDA，∴AH＝HD．
∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ACD＝∠GDB．
∵∠CHD＝∠DHF，∴△CHD∽△DHF，∴HDHF=HCHD，
∴HD2＝HC•HF，∴AH2＝HF•HC；
（3）连接AO并延长交CB于点M，连接CD，如图，
∵AB＝AC，∴AB=AC，
∴AM⊥BC，CM＝BM，
∴tan∠ABC=AMBM=5，
设BM＝k，则AM=5k，BC＝2k，
∴AB=BM2+AM2=6k，
∵AD＝2DE，∴设DE＝a，则AD＝2a，
∴AE＝AD+DE＝3a．
∵∠ADB＝∠ACB，∠ACB＝∠ABC，∴∠ADB＝∠ABC，
∵∠BAD＝∠EAB，∴△BAD∽△EAB，
∴BAEA=ADAB，∴6k3a=2a6k，∴k＝a，
∴DE＝k，AE＝3k，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠EDC＝∠ABC，
∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA，
∴DEBE=CEAE，∴kCE+2k=CE3k，
∴CE2+2k•CE﹣3k2＝0，
∵CE＞0，∴CE＝k，
∵△EDC∽△EBA，∴CDAB=CEAE，∴6AB=k3k，
∴AB＝36．
由（2）知：AH＝HD，BG＝DG，
∴△AGH的周长＝AG+GH+AH＝AG+GH+HD＝AG+GD＝AG+GB＝AB＝36．
安徽省
1.【2025•安徽20题】如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°．
（1）求证：OC∥AD；
（2）若AD＝2，BC＝23，求AB的长．
解：（1）证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB+2∠ABC＝180°．
∴∠DAB+∠AOC＝180°，∴OC∥AD．
（2）解：连接BD，交OC于点E，
∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵OC∥AD，∴OBOA=EBDE，
∵OA＝OB，∴EB＝DE，
∴OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线，
∴OE=12AD=1，
设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1，
在Rt△OEB中，BE2＝OB2﹣OE2＝r2﹣1，
在Rt△CEB中，BE2＝BC2﹣CE2＝12﹣（r﹣1）2，
即r2﹣1＝12﹣（r﹣1）2，
解得r1＝3，r2＝﹣2（舍去），故AB＝2r＝6．
四川省
1.【2025•遂宁】我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”．
（1）请同学们判断下列分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有 （填序号）．
（2）如图，四边形ABCD是邻等内接四边形，且∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AB＝AD．求四边形ABCD的面积．
解：（1）依题意，图①、图②和图④没有对角互补，不是邻等对补四边形，
图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形，
故答案为：③；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC=AB2+AC2=5，
∵四边形ABCD是邻等内接四边形，∠BAC＝90°，
∴A，B，C，D四点共圆，且BC为直径，
把BC的中点记为点O，即A，B，C，D四点在⊙O上，
连接BD，AO，相交于点H，
∵BC＝5，∴BO=OA=52，
设OH＝x，AH=52-x，
∵AB＝AD，∴AO⊥BD，BH＝DH，
则在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2，
在Rt△BOH 中，BH2＝BO2﹣OH2，∴BO2﹣OH2＝AB2﹣AH2，
即(52)2-x2=32-(52-x)2，解得x＝0.7，∴AH＝2.5﹣0.7＝1.8，
则BH=32-1.82=2.4，即BD＝2.4×2＝4.8，
∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，
∵BH＝DH，BO＝OC，∴OH是△BDC的中位线，∴DC＝2HO＝1.4，
则S△BDC=12×BD×DC=12×4.8×1.4=3.36，S△BDA=12×BD×AH=12×4.8×1.8=4.32，
∴四边形ABCD的面积＝S△BDC+S△BDA＝3.36+4.32＝7.68．
2．【2025•德阳】在⊙O中直径AB与弦CD交于点E，AC=2BD，连接AD，过点B作⊙O的切线与AD的延长线相交于点F，CD的延长线与BF的延长线相交于点G．
（1）若∠AFB＝70°，求∠G的度数；
（2）连接CO，AC，再连接DO并延长交AC于点M，
①证明：DM⊥AC；
②若CD•AF＝16，求⊙O的直径．
解：（1）∵AB是⊙O直径，BG是⊙O的切线，∴∠ABF＝90°，
∵∠AFB＝70°，∴∠BAF＝20°，
∵AC=2BD，∴∠ADC＝2∠BAF＝40°，
∴∠GDF＝∠ADC＝40°，∴∠G＝∠AFB﹣∠GDF＝70°﹣40°＝30°；
（2）①∵AC=2BD，∴∠ADC＝2∠BAD，
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠ADC＝2∠ADO，∴∠ODC＝∠ODA，
∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠OCD＝∠OAD，
又∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠CAD＝∠ACD，
又∵MD＝MD，∴△CMD≌△AMD（AAS），
∴∠AMD=∠CMD=180°2=90°，∴DM⊥AC；
②连接BD，
∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠ABF，
又∵∠BAD＝∠BAD，∴△ABD∽△AFB，
∴ADAB=ABAF，∴AB2＝AD•AF，
由①知，∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB2＝CD•AF，
∵CD•AF＝16，∴AB＝4．