2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点35 锐角三角函数（Word版附解析）

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A．223B．3C．24D．13
【答案】D
广西
1.【2025•广西6题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝3，则sinB＝（ ）
A．710B．37C．310D．17
【答案】B
云南省
1.【2025•云南】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5，则sinA＝（ ）
A．15B．112C．113D．513
【答案】D
天津
1.【2025•天津6题】tan45°-2cs45°的值等于（ ）
A．0B．1C．1-22D．1-2
【答案】A
二、填空题
山东省
1.【2025•东营】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积=12（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cs∠OAB的值为 ．
【答案】45
【解析】在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，
∴AB＝8，HC＝2，
设OA＝x，由OC＝x，∴OH＝x﹣2，
∵OH⊥AB，OC为半径，∴AH=BH=12AB=4，
在Rt△OAH中，由勾股定理得：AH2+OH2＝OA2，
∴42+（x﹣2）2＝x2，解得x＝5，
∴OA＝5，∴cs∠OAB=AHOA=45．
江苏省
1.【2025•苏州】如图，∠MON＝60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，6为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则tan∠BCO＝ .（结果保留根号）
【答案】55
【解析】如图，过点B作BD⊥OC于点D，
由作图过程可知：OC平分MON，∴∠BOD=12∠MON＝30°，∴BD=12OB=12×2＝1，
∵BC=6，∴CD=BC2-BD2=6-1=5，
∴tan∠BCO=BDCD=15=55．
2．【2025•扬州】如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝ ．
【答案】49
【解析】如图，延长AN，交直线BC于点E，
由题意得：AD＝BC＝CD＝9cm，∠D＝90°，AD∥BC，AN∥FG，
设DN＝x cm，则CN＝CD﹣DN＝（9﹣x）cm，
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为 （9﹣x）cm的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为x cm的长方体的体积的一半之和，
∴9×9(9-x)+12×9×9x=9×9×7，解得x＝4，即DN＝4cm，
∵AN∥FG，∴∠AEF＝∠F＝α，
∵AD∥BC，∴∠DAN＝∠AEF＝α，
∴tanα=tan∠DAN=DNAD=49．
四川省
1.
三、解答题
山东省
1.【2025•威海】问题提出
已知∠α，∠β都是锐角，tanα=12，tanβ=13，求∠α+∠β的度数．
问题解决
（1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α+∠β的度数．（点A，B，C，D都在格点上）
策略迁移
（2）已知∠α，∠β都是锐角，tanα=23，tanβ=32，则∠α+∠β＝ °；
（3）已知∠α，∠β，∠θ都是锐角，tanα=13，tanβ=17，∠α+∠β＝∠θ，求tanθ的值．
（提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案）
解：（1）如图1中，连接BC，
∵AB＝BC=5，BC=10，∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，∴∠α+∠β＝45°；
（2）如图2中，连接BC，
由题意，α＝∠BAD，β＝∠DAC，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴α+β＝90°．
（3）如图2中，α＝∠CDH，β＝∠HDF，
在Rt△DGF中，tan（α+β）=FGDG=12．