2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点37 相似、位似及其应用（Word版附解析）

这是一份2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点37 相似、位似及其应用（Word版附解析），共21页。

A．1B．2C．4D．8
【答案】C
甘肃省
1．【2025•兰州4题】如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O．已知BC：B′C′＝1：2，则B（2，0）的对应点B′的坐标是（ ）
A．（3，0）B．（4，0）C．（6，0）D．（8，0）
【答案】B
吉林省
1．【2025•长春】将直角三角形纸片ABC（∠C＝90°）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（ ）
A．MN∥DE∥PQB．BC＝2DE＝4MN
C．AN＝BQ=12NQD．MNDE=DEPQ=PQBC
【答案】D
【解析】由折叠可得：DE⊥AC，PQ⊥AC，MN⊥AC，AM＝MD＝DP＝PC，
∴MN∥DE∥PQ∥BC，故A正确，不符合题意；∴△ADE∽△ACB∽△AMN，
∴DEBC=ADAC=12，MNDE=AMAD=12，∴BC＝2DE，DE＝2MN，
∴BC＝4MN，∴BC＝2DE＝4MN，故B正确，不符合题意；
∵MN∥PQ∥BC，∴PCAC=BQAB=14，AMAC=ANAB=14，PMAC=QNAB=12，
∴BQ=AN=14AB，QN=12AB，AN=BQ=12NQ，故C正确，不符合题意；
∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，∴MNDE=AMAD=12，DEPQ=ADAP=23，PQBC=APAC=34，
∴MNDE≠DEPQ≠PQBC，故D错误，符合题意．
黑龙江省
1.【2025•绥化】两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（ ）
A．14cmB．18cmC．30cmD．34cm
【答案】B
内蒙古
1.【2025•内蒙古4题】如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O（0，0），A（2，1），B（1，2），以原点O为位似中心，在第三象限画△OA′B′与△OAB位似，若△OA′B′与△OAB的相似比为2：1．则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣4）
【答案】B
河北省
1.【2025•河北4题】“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图2）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7cm和4cm，笔的实际长度为14cm，则该化石的实际长度为（ ）
A．2cmB．6cmC．8cmD．10cm
【答案】C
2．【2025•河北9题】如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（ ）
A．∠B+∠4＝180° B．CD∥ABC．∠1＝∠4D．∠2＝∠3
【答案】D
浙江省
1.【2025•浙江6题】如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）．若DE的长为3，则D′E′的长为（ ）
A．72B．4C．92D．5
【答案】C
山东省
1.【2025•威海】如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE．下列结论错误的是（ ）
A．S△DEF=14S△BCF B．S△ADE=12S四边形BCED C．S△DBF=12S△BCF D．S△ADC＝S△AEB
【答案】B
四川省
1.【2025•眉山】如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是（ ）
A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4
【答案】B
2．【2025•宜宾】如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则AEEC的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】如图所示，过点D作DF∥BC交AC于点F，
∵AD＝2DB，∴ADBD=2，∴ADAB=23
∵DF∥BC，∴△AFD∽△ACB，
∴AFAC=ADAB=23，∴S△AFDS△ACB=(ADAB)2=49，
∴设S△AFD＝4s，S△ACB＝9s，
∴沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，∴S△ADE=92s，
∴S△AFDS△ADE=4s92s=89=AFAE，
∴AFAE+AFAC=AFAE⋅ACAF=ACAE=89÷23=43，∴AEEC=3．
3．【2025•内江】阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（ ）
A．80cmB．60cmC．50cmD．40cm
【答案】B
江苏省
1.【2025•连云港】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则ADBE的值为（ ）
A．23B．733C．523D．833
【答案】A
【解析】∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴AB＝2BC，AC=3BC，
设BC＝x，则AB＝2x，AC=3x，
∵AD平分∠CAB，∠ACB＝90°，
∴点D到AC，AB的距离相等均为CD的长，∠CAD＝∠BAD，
∴S△ACDS△ABD=12AC⋅CD12AB⋅CD=CDBD，∴CDBD=ACAB=32，
∴CD=32+3BC=(23-3)x，∴AD=AC2+CD2=(32-6)x，
∵BE⊥AD，∠CAD＝∠BAD，∴sin∠CAD＝sin∠BAD，
∴CDAD=BEAB，即：BE2x=23-332-6，
∴BE=(6-22)x，∴ADBE=(32-6)x(6-22)x=23；
解法二：延长AC与BE相交于点F，
利用相似三角形求出比值；
故选A．
云南省
1.【2025•云南】如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边上的点，且DE∥BC．若ADAB=12，则DEBC=（ ）
A．12B．13C．14D．15
【答案】A
二、填空题
青海省
1．【2025•青海】如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2，则AEAC的值是 ．
【答案】35
广东省
1．【2025•广东】如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是 ．
【答案】1：3
黑龙江省
1.【2025•绥化】在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A′B′C′．若点A和它的对应点A′的坐标分别为（3，7），（﹣9，﹣21），则△ABC与△A′B′C′的相似比为 ．
【答案】13
山东省
1.【2025•烟台】如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（6，32），△ABC的顶点A的坐标为（4，3）．以点P为位似中心作△A1B1C1与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧；以点P为位似中心作△A2B2C2与△A1B1C1位似，相似比为2，且与△A1B1C1位于点P同侧…，按照以上规律作图，点A3的坐标为 ．
【答案】（﹣10，272）．
【解析】设直线AP的解析式为：y＝kx+b，
则6k+b=324k+b=3，
解得：k=-34b=6，
则直线AP的解析式为y=-34x+6，
AP=(6-4)2+(32-3)2=52，
由题意得：AP1＝2AP＝5，AP2＝2AP1＝10，AP3＝2AP2＝20，
设A3的坐标为（m，-34m+6），
则（m﹣6）2+（-34m+6-32）2＝202，
解得：m1＝﹣10，m2＝22（舍去），
当m＝﹣10时，-34m+6=272，
∴点A3的坐标为（﹣10，272），
故答案为：（﹣10，272）．
2．【2025•东营】如图，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，点D为AC中点，点E在AB上，当AE为 时，△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
【答案】3或43
【解析】当AEAD=ABAC时，
∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，
∴AE=AB⋅ADAC=6×24=3，
当ADAE=ABAC时，
∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，
∴AE=AC⋅ADAB=4×26=43，
综上，AE＝3或43．
甘肃省
1.【2025•甘肃15题】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝．风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知大、小风筝的对应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为 cm．
【答案】195
【解析】∵小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，
∴小风筝两条对角线长的和为30+35＝65（cm），
∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为3：1，
∴大风筝和小风筝相似，相似比为3：1，
∴大风筝两条对角线长的和：小风筝两条对角线长的和＝3：1，
∴大风筝两条对角线长的和＝3×65＝195（cm）．
四川省
1.【2025•成都】若ab=3，则a+bb的值为 ．
【答案】4
2．【2025•成都】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，AD＝3，CD＝2，∠CBD＝45°，则tan∠ACB的值为 ；点E在BC的延长线上，连接DE，若∠CED＝∠ABD，则CE的长为 ．
【答案】4，2173．
【解析】作AH⊥BC，DG⊥BC，DF⊥AH，垂足分别为H，G，F，则四边形DFHG为矩形，
∴DG＝FH，DF＝HG，DF∥HG，DG∥AH，
∵∠DBC＝45°∴△BDG为等腰直角三角形，
∴BG＝DG，
∵AB＝AC，∴BH＝CH，∠ABC＝∠ACB，
∵DF∥BC，∴△ADF∽△ACH，
∴DFCH=ADAC=ADAD+CD=35，
∴设DF＝3x，CH＝5x，
则HG＝DF＝3x，BH＝CH＝5x，
∴DG＝BG＝BH+HG＝8x，CG＝CH﹣HG＝2x，∴BD=82x，
∴在Rt△CGD中，tan∠ACB=DGCG=8x2x=4，
由勾股定理，得（2x）2+（8x）2＝22，∴x=1717（负值舍去），
∴BD=82x=83417，BC＝2CH＝10x=101717，
∵∠CED＝∠ABD，∠ACB＝∠E+∠CDE，∠ABC＝∠ABD+∠CBD，∠ABC＝∠ACB，
∴∠CDE＝∠CBD＝45°，
又∵∠E＝∠E，∴△DEC∽△BED，
∴DEBE=CEDE=CDDB=283417=348，
∴DE=834CE，DE2＝BE•CE＝（BC+CE）•CE，
∴(834CE)2=(101717+CE)⋅CE，
解得：CE＝0（舍去）或CE=2173，
故答案为：4，2173．
3．【2025•眉山】如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若OA＝1，∠OAB＝90°，则点G的坐标为 ．
【答案】（-6427，0）．
【解析】∵图中的12个直角三角形是相似三角形，∴∠AOB=360°12=30°，
在Rt△AOB中，cs30°=OAOB=32，∴OA=32OB，
同理可得：OB=32OC，OC=32OD，
∴OA＝（32）2OC，OA＝（32）3OD，
…
∴OA＝（32）6OG=2764OG，
∵OA＝1，∴OG=6427，∴点G的坐标为（-6427，0）．
4．【2025•广安】已知△ABC的面积是1．
（1）如图1，若D，E分别是边BC和AC的中点，AD与BE相交于点F，则四边形CDFE的面积为 ．
（2）如图2，若M，N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点，AM与BN相交于点G，则四边形CMGN的面积为 ．
【答案】（1）13；（2）121．
【解析】（1）如图所示，连接DE，
∵D，E分别是边BC和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE=12AB，∴△CDE∽△CBA，
∴S△CDES△CBA=(DEAB)2=(12ABAB)2=14，
∵△ABC 的面积是1，∴S△CDE=14，
∵D是BC的中点，∴S△BDE=S△CDE=14，
∵DE∥AB，∴△DEF∽△ABF，
∴EFBF=DEAB=12ABAB=12，∴BF＝2EF，
∴BE＝BF+EF＝3EF，
∴S△DEFS△BDE=EFBE=EF3EF=13，∴S△DEF=112，
∴S四边形CDFE=S△DEF+S△CDE=14+112=13；
（2）如图所示，连接MN，
∵M，N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点，∴CM=16BC，CN=16AC，
∴CMCB=CNCA=16，
又∵∠C＝∠C，∴△CMN∽△CBA，
∴S△CMNS△ABC=(CMBC)2=(16BCBC)2=136，MNAB=CMBC=16BCBC=16，∠CMN＝∠CBA，
∴MN∥AB；
∵△ABC的面积是1，∴S△CMN=136；
∵M是BC靠近点C的六等分点，∴BMCM=5，
∴S△BMNS△CMN=BMCM=5，∴S△BMN=536；
∵MN∥AB，∴△MNG∽△ABG，
∴NGBG=MNAB=16，∴BG＝6NG，
∴BN＝BG+NG＝7NG，
∴S△MNGS△BMN=NGBN=NG7NG=17，
∴S四边形CMGN=S△MNG+S△CMN=5252+136=121．
三、解答题
河南省
1.【2025•河南】焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由．
（2）求纪念碑AB的高度．
（3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．
解：（1）∵太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，∴ACCD=DEDF，
∵标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，即DE＝DF，
∴CD＝CA；
（2）如图，令BN与DE的交点为H，
则四边形BCDH和MNHD是矩形，
∵DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m，
∴CD＝BH，BC＝DH＝MN＝1.2m，NH＝DM＝1m，
∴EH＝DE﹣DH＝0.9m，
设AB＝x m，则AC＝AB+BC＝（1.2+x）m，
∴BH＝CD＝（1.2+x）m，∴NB＝BH+NH＝（2.2+x），
∵EH|AB，∴△NEH∽△NAB，
∴EHAB=NHNB，∴0.9x=12.2+x，
解得：x＝19.8，
答：纪念碑AB的高度为19.8m．
（3）纪念碑的实际高度为19.64m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5m，（2）中纪念碑AB的高度为19.8m，则小红的结果误差较大，
理由是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果．
湖北省
1.【2025•湖北】在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上，连接BE．
（1）如图1，求证：△BCE∽△ACD；
（2）如图2，当BC＝2，AC＝1时，求BE的长；
（3）如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，过点B作AC的平行线交EF于点G，DE与BC交于点K．
①求证：AC＝CF；
②当GFGB=56时，直接写出KDKE的值．
解：（1）证明：∵将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上，
∴AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，∴ACCB=CDCE，
∴△BCE∽△ACD；
（2）∵BC＝2，AC＝1，∠ACB＝90°，
∴AC＝CD＝1，AB=AC2+BC2=22+12=5，
∴tan∠A=BCAC=2，
过D作DH⊥AC，
∴tan∠A=DHAH=2，∴DH＝2AH，
在△CDH中，CH2+DH2＝CD2，
即（1﹣AH）2+（2AH）2＝12，解得AH=25，AH＝0（舍去），
∴DH=45，
在△ADH中，AH2+DH2＝AD2，
∴AD=AH2+(2AH)2=5AH=255，
∵△BCE∽△ACD，∴BEAD=BCAC，即BE255=21，
∴BE=455；
（3）①证明：设旋转角为α，则∠ACD＝∠BCE＝α，AC＝CD，CB＝CE，
∴∠CDA=∠A=180°-α2=90°-12α，∠CEB=∠CBE=180°-α2=90°-12α，
∵∠ACB＝90°，∴∠BCF＝90°，∠DCB＝90°﹣α，
∴∠ECF＝90°﹣α，∴∠DCB＝∠ECF，
∵GF∥AB，∴∠F+∠A＝180°，
∴∠CDA+∠CDB＝180°，∠CDA＝∠A，∴∠CDB＝∠F，
∵∠DCB＝∠ECF，∠CDB＝∠F，CB＝CE，
∴△BCD≌△ECF（AAS），∴CD＝CF，
∵CD＝AC，∴AC＝CF；
②∵GFGB=56，∴设GF＝5k，GB＝6k，
∵GF∥AB，BG∥AF，∴四边形ABGF是平行四边形，
∴AB＝GF＝5k，AF＝BG＝6k，∠G＝∠A，
由①得CD＝AC＝CF＝3k，
在Rt△ADC中，AB2＝BC2+AC2，
∴BC=AB2-AC2=(5k)2-(3k)2=4k，
∴sin∠A=BCAB=4k5k=45，∴sin∠G=sin∠A=45，
∵△CBD≌△CEF，∴∠CBD＝∠CEF，
∵GF∥AB，∴∠FEB+∠ABE＝180°，
即∠CEF+∠CEB+∠CBE+∠CBD＝180°，
即2（∠CEF+∠CEB）＝2∠FEB＝180°，∴∠FEB＝90°，
∴∠BEG＝90°，∴sin∠G=BEBG=45，即BE6k=45，
∴BE=245k，
由①可得∠ADC=∠CEB=90°-12α，∠ADC+∠CDB＝180°，
∴∠CEB+∠CDB＝180°，
∴点C，D，B，E四点共圆，∴∠BED＝∠BCD，
∵∠BEK＝∠KCD，∠BKE＝∠DKC，∴△BEK∽△DCK，
∴DKBK=CKEK=CDBE=3k245k=58，
设DK＝5x，BK＝8x，CK＝5y，EK＝8y，
则BC＝BK+CK＝8x+5y＝4k①，
根据旋转可得DE＝AB＝5k，∴DE＝DK+EK＝5x+8y＝5k②，
联立①②可得x=739k，y=2039k，
∴KDKE=5x8y=5×139k8×2039k=732．
安徽省
1.【2025•安徽16题】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（﹣1，﹣3）和（2，6）．
（1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1．
解：（1）如图，点D即为所求．
由图可得，点D的坐标为（﹣2，﹣1）．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
江苏省
1.【2025•连云港】一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长2m，面积为1.5m2．
（1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
（2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积y（m2）与DE的长x（m）之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值．
解：（1）∵BC＝2m，面积为1.5m2，∴AC=1.512×2=1.5(m)，
∴AB=BC2+AC2=2.5(m)，
设正方形的边长为 x m，
∵四边形CDEF是正方形，∴DE∥CF，∠ADE＝∠C＝90°，DE＝CD＝x，AD＝1.5﹣x，
∵∠A＝∠A，∴Rt△ADE∽Rt△ACB，
得DECB=ADAC，即x2=1.5-x1.5，解得x=67(m)，
∵四边形GDEF是正方形，
∴DE∥GF，∴∠CED＝∠B，∠EDC＝∠A，
∴Rt△DEC∽Rt△ABC，
得DCDE=ACAB=35，即DCDE=35，
∴DC=35x，
∴AD=AC-DC=32-35x，
∵∠A＝∠A，∠AGD＝∠C＝90°，∴Rt△ADG∽Rt△ABC，
得DGDA=BCAB，即x32-35x=45，
解得x=3037(m)，
∵67＞3037，∴图1的正方形面积较大；
（2）∵四边形CDEF是长方形，
∴DE∥CF，∠ADE＝∠C＝90°，DE＝CD＝x，AD＝1.5﹣x，
∵∠A＝∠A，∴Rt△ADE∽Rt△ACB，
得ADDE=ACCB=34，
则AD=34x，DC＝AC﹣AD=6-3x4，
∴长方形的面积y＝DE×DC=x×6-3x4=34x(2-x)=-34(x-1)2+34，
∵-34＜0，
∴开口向下，当x＝1m时，长方形的面积有最大值为34m2，
在图4中，同理得Rt△DEC∽Rt△ABC，
得DEDC=ABAC=53，
∴DC=35x，DA=AC-DC=32-35x，
同理得Rt△ADG∽Rt△ABC，
得DGDA=BCBA=45，
则DG=45DA=45(32-35x)，
∴长方形的面积y=DE×DG=x×45(32-35x)=-1225(x-54)2+34，
∵-1225＜0，∴开口向下，
∴当x=54m时，长方形的面积有最大值为34m2．
四川省
1.
活动主题
测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图

测量说明
如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上．
测量数据
DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m．
备注
点F，M，D，C在同一水平线上．