2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点36 解直角三角形及其应用（Word版附解析）

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1．【2025•长春】如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A、B两点之间的距离为（ ）
A．（m﹣n）sinα米 B．m-nsinα米C．（m﹣n）csα米 D．m-ncsα米
【答案】B
山东省
1.【2025•东营】如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC＝α，AC＝5米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（ ）米．
A．5tanα+5B．5tanα+5C．5csαD．5sinα
【答案】B
四川省
1.【2025•宜宾】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5．过点A作直线l∥BC，点E是直线l上一动点，连结EC，过点E作EF⊥CE，连结CF使tan∠ECF=12.当BF最短时，则AE的长度为（ ）
A．5B．4C．25D．213
【答案】B
【解析】如图1，在点A的右侧取一点G，使得AG=12AC=2，连结CG，GF，过点F作FH⊥l于点H，
∵直线l∥BC，∠ACB＝90°，∴∠CAG＝90°，
∵EF⊥CE，tan∠ECF=12，∴tan∠ECF=EFCE=12，∴EFCE=AGAC=12，
∵∠CEF＝∠CAG＝90°，∴△CEF∽△CAG，
∴CFCG=CECA，∠ECF＝∠ACG，∴CFCE=CGCA，∠GCF＝∠ACE，
∴△GCF∽△ACE，∴∠CGF＝∠CAE＝90°，
∴∠ACG+∠AGC＝90°，∠AGC+∠HGF＝90°，
∴∠HGF＝∠ACG，
∵tan∠ACG=AGAC=12，∴∠ACG和∠HGF都是定值，
∴点F在射线GF上运动，
∴当BF⊥GF时，BF最短（如图2所示），延长HF，CB相交于点N，
∵∠ACB＝∠CAH＝∠AHN＝90°，∴四边形ACNH是矩形，
∴HN＝AC＝4，AH＝CN，
∵BF⊥GF，∠CGF＝90°，∴BF∥CG，∴∠FBN＝∠GCN，
∵AH∥CN，∴∠CGA＝∠GCN，
∴∠FBN＝∠CGA，
∵∠FNB＝∠CAG＝90°，∴△FNB∽△CAG，∴FNCA=BNGA，
∵AG=12AC，∴FN＝2BN，
设BN＝x，则FN＝2x，CN＝5+x，∴FH＝4﹣2x，
∴AH＝CN＝x+5，∴GH＝（x+5）﹣2＝x+3，
∵tan∠ACG＝tan∠HGF，∴AGAC=FHGH，
∴24=4-2xx+3，解得x＝1，
∴BN＝1，FN＝2，FH＝2，GH＝4，
∴GF=FH2+GH2=22+42=25，CG=AG2+AC2=22+42=25，
∵△GCF∽△ACE，∴GFAE=GCAC，∴25AE=254，
解得AE＝4，
∴当BF最短时，则AE的长度为4．
二、填空题
辽宁省
1．【2025•辽宁14题】如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C，在C处测得∠ACB＝51°，BC＝6m，则树AB的高约为 m（结果精确到0.1m．参考数据：sin51°≈0.78，cs51°≈0.63，tan51°≈1.23）．
【答案】7.4
黑龙江省
1.【2025•绥化】如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1：2（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度是 ．
【答案】153m
内蒙古
1.【2025•内蒙古11题】如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为 m（结果保留根号）．
【答案】1203
【解析】如图：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
由题意得：EF∥AB，
∴∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°，
在Rt△ACD中，CD＝90m，∴AD=CDtan60°=903=303（m），
在Rt△BCD中，BD=CDtan30°=9033=903（m），
∴AB＝AD+BD＝1203（m），∴湖泊两端A，B的距离为1203m．
河北省
1.【2025•河北16题】2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字0～12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．
（参考数据：sin15°=6-24，sin75°=6+24）
【答案】6+22
【解析】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点D，
由图可得，线段AB的长与其他的都不相等，
∵其中数字1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上，∴360°÷12＝30°，
∴相邻两个数字与圆心O组成的圆心角为30°，
∴∠AOB＝30°×5＝150°，
∴∠OAB=∠OBA=12(180°-∠AOB)=15°，
∵OD⊥AB，∴∠BOD＝75°，
∴sin∠BOD=sin75°=BDOB，即6+24=BD1，
∴BD=6+24，
∵OA＝OB，OD⊥AB，∴AB=2BD=6+22，
∴这条线段的长为6+22．
浙江省
1.【2025•浙江13题】无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为500m，从点A观测点P的仰角为α，csα＝0.98，则A处到B处的距离为 m．
【答案】490
四川省
1.【2025•眉山】人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB、AC的长都为2m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是 m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【答案】1.8
三、解答题
青海省
1．【2025•青海】数学实践
【问题背景】
中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成65°夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷．
【问题呈现】
用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角？
【模型建立】
环节一：数据收集
两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为65°．
环节二：数学抽象
如图：已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F，AB＝CD＝1.8m，BE＝DF＝0.3m，∠AEF＝∠CFE＝65°，EF＝0.6m，求OE的长度．（结果精确到0.1，参考数据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【模型求解】
【问题总结】
交叉点O距顶端A的长度即OA为 m时，支架与地面形成65°夹角，这样更贴合作物的生长规律．
解：如图，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵∠AEF＝∠CFE＝65°，∴OE＝OF，
∵EF＝0.6m，∴EH=12EF＝0.3（m），
∵在Rt△OEH中，∠OHE＝90°，∠OEF＝65°，
∴OE=EHcs∠OEF=0.3cs65°≈≈0.7（m），
∵AB＝1.8m，BE＝0.3m，
∴OA＝AB﹣OE﹣BE＝1.8﹣0.7﹣0.3＝0.8（m），
问题总结：OA＝0.8m．
贵州省
1．【2025•贵州】某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知BD＝28m，CD＝21m，该地冬至正午太阳高度角α为35°．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务．
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离AB的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿BD方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？
（参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70．结果保留小数点后一位）
解：任务一：如图，过A作AE⊥CD于E，
结合题意可得：四边形AEDB为矩形，∠AEC＝90°，
∵BD＝28m，CD＝2lm，∴AE＝BD＝28m，AB＝DE，
∵∠CAE＝α＝35°，∴在Rt△ACE中，CE＝AE•tanα＝28×0.7＝19.6（m），
∴AB＝DE＝CD﹣CE＝21﹣19.6＝1.4（m）；
任务二：如图，过B作AC的平行线，过C作BD的平行线，两线交于点Q，BQ，AE交于点T，过Q作QK⊥BD于K，
∴∠QBK＝∠ATB＝∠CAE＝35°，四边形CDKQ为矩形，∴CD＝QK＝21（m），
∴在Rt△BKQ中，BK=QKtan∠QBK=21tan35°=30（m），∴DK＝30﹣28＝2（m）；
∴该活动中心移动了2米．
广东省
1．【2025•广东】综合与实践
【阅读材料】
如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则有asinA=bsinB=csinC．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题．
【问题提出】
万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用洲距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究．
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤1：如图2，在空旷地找一点C；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m，AC≈388.5m．
【问题解决】
（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离．
（参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998）
【评价反思】
（2）设计其他方案计算A，B两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识．
解：（1）∵∠A≈43°，∠B≈51°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B≈180°﹣43°﹣51°＝86°，由题意得，BCsinA=ABsinC，
又∵BC≈341m，∴AB=BCsinCsinA=BCsin86°sin43°≈341×，
答：A，B两岛间的距离为499m；
（2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：步骤1：如图，在空旷地找一点C，使得△ABC是锐角三角形；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的度数；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC＝a m，AC＝b m．
计算过程：过点A作AD⊥BC，则∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵在 Rt△ACD中，sinC=ADAC，csC=CDAC，∴AD＝bsinC（m），CD＝bcsC（m），
∴BD＝BC﹣CD＝（a﹣bcsC）（m），
∵在Rt△ACD 中，AD2+BD2＝AB2，∴AB=(bsinC)2+(a-bcsC)2(m)，
答：A，B两岛间的距离为(bsinC)2+(a-bcsC)2m⋅
吉林省
1.【2025•吉林18题】综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：如图是某城市规划展览馆，树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据．
项目报告表 时间：2025年5月29日
请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．
解：任务二，计算实际高度，
∵依题意，四边形EBDC为矩形，∴CE＝DB＝42m，EB＝CD＝1.4m，
∵在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝61°，∴AE＝CE•tan∠ACE＝42×tan61°≈75.8（m），
∴AB＝AE+EB＝75.8+1.4＝77（m），
答：该城市规划展览馆AB的高度约为77m；
任务三，换算模型高度，
设3D打即模型的高度为x m，
∵x：77＝1：400，解得x＝0.1925，∴3D打即模型的高度为0.1925m，
∵0.1925m＝19.25cm≈19cm，∴3D打即模型的高度约为19cm．
天津
1.【2025•天津22题】综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝1.7m．在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°，CE＝32m．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度（结果取整数）．
参考数据：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6．
解：如图，延长DF与AB相交于点G，
根据题意可得四边形GAEF和四边形FECD是矩形，∠GDB＝22°，∠GFB＝31°，∠DGB＝90°，
∴AG＝EF＝CD＝1.7m，DF＝CE＝32m，
在Rt△FGB中，tan∠GFB=GBGF，∴GF=GBtan31°，
在Rt△DGB中，tan∠GDB=GBGD，∴GD=GBtan22°．
∵GF+DF＝GD，∴GBtan31°+32=GBtan22°．
∴GB=32×tan22°tan31°tan31°-tan22°≈32×0.4×．
∴AB＝AG+GB≈1.7+38.4≈40（m），
答：世纪钟建筑AB的高度约为40m．
陕西省
1.【2025•陕西21题】小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m．已知DE＝1.7m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高AB．（参考数据：sin72.5°≈0.95，cs72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17）
解：过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，如图所示：
∵AB，DE均与水平线FC垂直，∴DE∥AC，
∴∠DBH＝∠BDE＝72.5°，
∵DH⊥AC，∴∠DHI＝90°，
在Rt△DBH中，BD=22m，sin72.5°=DHBD，
则HD＝BD×sin72.5°＝22×0.95＝20.9（m），
在Rt△DBH中，BD＝22m，cs72.5°=BHBD，
则BH＝BD×cs72.5°＝22×0.30＝6.6（m），
∵过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，DE∥AC，
∴∠EDH＝∠DHI＝∠HIE＝90°，
∴四边形EDHI是矩形，∴EI＝HD＝20.9m，
∴∠AEI＝45°，∠AIE＝90°，∴∠EAI＝45°，
∴AI＝EI＝20.9m，∴AB＝AI+IH﹣BH＝20.9+1.7﹣6.6＝16（m），
信号杆的高AB为16m．
新疆
1.【2025•新疆】某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：
请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值．
解：由题意得，四边形FGAB，四边形NHAG为矩形，
∴FG＝AB＝AD+BD＝10+4＝14m，NG＝AH＝AD+DB+BH＝4+10+13.5＝27.5m，
∵在Rt△EFG中，tan∠EFG=EGFG，∴tan43°=EG14≈0.93，
∴EG＝14×0.93＝13.02m，
在Rt△MNG中，tan∠MNG=MGNG，∴tan21.8=MG27.5≈0.40，
∴MG＝1lm，∴EM＝EG﹣MG＝13.02﹣11＝2.02m，
答：校徽的高度约为2.02m．
山西省
1.【2025•山西】项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米．参考数据：（sin8.5°≈0.15，cs8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
解：由题意得：EF＝AD＝26，AD∥EF，
∴∠ABE＝∠DAB＝37°，∠ACE＝∠DAC＝8.5°，
设BE＝CF＝x米，则CE＝EF﹣CF＝（26﹣x）米，BC＝EF﹣CF﹣BE＝（26﹣2x）米，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠ABE=AEBE，
∴AE＝BE•tan∠ABE＝x•tan37°，
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，tan∠ACE=AECE，
∴AE＝CE•tan∠ACE＝（26﹣x）•tan8.5°，
∴x•tan37°＝（26﹣x）•tan8.5°，解得：x≈133，
∴BC=26-2×133≈17（米），
答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米．
湖北省
1.【2025•湖北】如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°，A到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：tan35°≈0.7）
解：过A作AC⊥BC于C，
则∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝35°，AC＝30m，
∴BC＝AC•tan35°≈30×0.7＝21（m），
∴乙楼的高＝21+18＝39（m）．
湖南省
1.【2025•湖南24题】如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l．
（1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度；
（2）如图2，未避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？
（结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cs76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04）
解：（1）∵由题可知：在Rt△AGM中，AM＝13分米，MG＝12分米，AG⊥GM，
∴AG=132-122=5（分米），
∵AB＝19分米，∴BG＝AB﹣AG＝19﹣5＝14（分米），
∴MN＝BG＝14（分米），
∴该连衣裙MN的长度为14分米；
（2）如图2，过M作MK⊥AB于K，
∵在Rt△AKM中，AM＝13分米，∠BAM＝76.1°，AK⊥KM，
∴AK＝AM•cs76.1°＝13×0.24＝3.12（分米），
∵AB＝19分米，∴BK＝AB﹣AK＝19﹣3.12＝15.88（分米），
∴BK﹣MN＝15.88﹣14＝1.88≈2（分米），
∴该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米．
2．【2025•长沙23题】如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）
解：（1）如图，由题意点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上，
∴∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM，
∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°，
∴∠ACB＝∠BCM﹣∠ACM＝60°﹣30°＝30°；
（2）方法一：
∵∠CBE＝60°，∴∠CBM＝90°﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°，
由（1）得∠ACB＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
又∵AB＝800m，∴AB＝AC＝800m，
在Rt△ACM中，sin∠ACM=AMAC，cs∠ACM=CMAC，
∴AM=AC⋅sin∠ACM=800×sin30°=800×12=400（m），
CM=AC⋅cs∠ACM=800×cs30°=800×32=4003（m），
∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m），
∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，∴DM＝BM＝1200m，
∴DC=DM-CM=1200-4003(m)，
∴景点C与景点D之间的距离为(1200-4003)m．
方法二：
∵∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，BE∥AF∥DM，
∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°．
设AM＝x m，∴AC＝2x m，∴CM=3AM=3x（m），
在Rt△BCM中，
tan∠BCM=BMCM=800+x3x，即3=800+x3x，
解得x＝400，经检验得x＝400是原方程的解，
∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m），
∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，∴BM＝DM＝1200m，
∴DC=DM-CM=1200-4003(m)．
∴景点C与景点D之间的距离为（1200-4003）m．
甘肃省
1.【2025•甘肃22题】如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系．随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低．为了解长城第一墩的现存高度．某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动．如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B、F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得∠ACG＝16.7°，∠AEG＝22°，其中CD＝EF＝1.7m（测角仪的高度），DF＝CE＝5.5m，求长城第一墩的高度AB（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin16.7°≈0.29，cs16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30）
解：由题意得：CG⊥AB，CD＝EF＝BG＝1.7m，
设EG＝x m，
∵CE＝DF＝5.5m，∴CG＝CE+EG＝（x+5.5）m，
在Rt△ACG中，∠ACG＝16.7°，∴AG＝CG•tan16.7°≈0.3（x+5.5）m，
在Rt△AEG中，∠AEG＝22°，∴AG＝EG•tan22°≈0.4x（m），
∴0.4x＝0.3（x+5.5），解得：x＝16.5，
∴AG＝0.4x＝6.6（m），∴AB＝AG+BG＝6.6+1.7≈8.3（m），
∴长城第一墩的高度AB约为8.3m．
2．【2025•兰州20题】天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表：
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米）
（参考数据：tan89°25′37.43''≈100.00，10089°22′38.09''≈92.00，sin89°25′37.43''≈040.99995，sin89°22′38.09′′≈0.99994，cs89°25′37.43′′≈0.00999，cs89°22′38.09′′≈0.01087）
解：设PH＝x万千米，
∵在Rt△PHB中，∠PHB＝90°，∠ABP＝89°25'37.43′′，
∴BH=PHtan∠ABP=xtan89°25'37.43″≈x100，
∵在Rt△PHA中，∠PHA＝90°，∠BAP＝89°22'38.09′′，
∴AH=PHtan∠BAP=xtan89°22'38.09″≈x92，
∵AH+BH＝AB≈0.8（万千米），
∴x100+x92=0.8，解得x≈38，即PH≈38（万千米），
答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米．
山东省
1.【2025•烟台】【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25）．
解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，
设BE＝x，
依题意，∠EBC＝53°，∠EBD＝45°，CD＝10×12=5，
∴∠C＝90°﹣∠EBC＝37°，ED＝x，
∴EC＝ED+DC＝x+5，
在Rt△BCE中，EC=BEtanC=xtan37°≈x0.75=43x，
∴43x=x+5，
解得：x＝15，
∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里；
（2）在Rt△ABE中，∠ABE＝14°，BE＝15，
∴AE＝BE•tan14°≈15×0.25＝3.75，
∴AC＝AE+DE+DC＝15+3.75+5＝23.75，
23.75÷10＝2.375小时＝142.5分钟，
从14：30，经过142.5分钟是16：52：30，在17：30之前到达，
∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A．
2．【2025•临沂、枣庄、聊城、菏泽、济宁】【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1．
【问题提出】
部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）．
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，⊙O分别与AC，AD相切于点B，D．用游标卡尺测量出CC′的长度y．
【问题解决】
已知∠CAD＝∠C′A′D′＝60°，l的长度要求是1.9cm∼2.1cm．
（1）求∠BAO的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y＝7.52cm．根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求．（参考数据：3≈1.73）
【结果反思】
（3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．
解：（1）∵⊙O分别与AC，AD相切于点B，D，
∴AB＝AD，∠OAB=∠OAD=12∠CAD=30°；
（2）∵钢柱的底面圆半径为1cm，∴BC＝OB＝1，
∵∠OAB＝30°，∠OBA＝90°，∴AB=OBtan30°=3，
∴AC=BC+AB=1+3，
同理A'C'=1+3，
∴l=7.52-2(1+3)≈2.06，
∵1.9＜2.06＜2.1，
该部件l的长度符合要求；
（3）能，将圆柱换成正方体．
3．【2025•威海】小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）．
参考数据：sin52°≈0.8，cs52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cs65°≈0.4，tan65°≈2.1．
解：过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，
则四边形CDHG是矩形，∴GH＝CD＝10m，CG＝DH，
∵∠1＝45°，∴CG＝AG，
设CG＝AG＝DH＝x m，
在Rt△BCG中，∵∠2＝52°，∴BG＝CG•tan52°≈1.3x m，
在Rt△BDH中，∵∠3＝65°，∴$BH＝DH•tan65°≈2.1x\;\dllar m，
∴GH＝BH﹣BG＝2.1x﹣1.3x＝10，
∴x＝12.5，
∴AB＝BG+AG＝1.3×12.5+12.5≈29（m），
答：大楼的高度AB约为29m．
安徽省
1.【2025•安徽17题】某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°．已知AB＝13.20m，求AD的长（精确到0.1m）．
参考数据：sin23.8°≈0.40，cs23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈0.60，cs36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．
解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E，
由题意得：四边形ABCE为矩形，
所以CE＝AB＝13.20m，
在Rt△ACE中，tan∠CAE=CEAE，
所以AE=CEtan∠CAE=13.20tan23.8°≈（m），
在Rt△ADE中，cs∠DAE=AEAD，
所以AD=AEcs∠DAE=30.0cs36.9°≈（m），
因此，AD的长约为37.5m．
江苏省
1.【2025•连云港】如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC＝6km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，DC=52BD．
（1）求岛A与港口B之间的距离；
（2）求tanC．
（参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34）
解：（1）如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M，
∵AC⊥AD，∴BM∥AC，∴△BDM∽△CDA，
∴BMCA=BDCD，
∵DC=52BD，AC＝6km，∴BM6=25，得BM=125，
在Rt△ABM中，由sin∠BAD=sin37°=BMAB=125AB≈35，
得AB＝4，
答：岛A与港口B之间的距离为4km；
（2）在Rt△ABM 中，AM=AB×cs37°≈4×45=165，
∵△BDM∽△CDA，∴DMAD=BDCD=25，
∴AD=57AM=165×57=167，
在Rt△ADC 中，tanC=ADAC=1676=821．
2．【2025•苏州】综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，AB＝CE＝12cm．
【观察感知】
（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE交于点F，求∠AFD的度数和线段AD的长．（结果保留根号）
【探索发现】
（2）在图①的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上（如图②）．
①求线段AD的长；（结果保留根号）
②判断AB与DE的位置关系，并说明理由．
解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，∴∠CDE＝60°，
∴∠AFD＝∠CDE﹣∠A＝60°﹣45°＝15°，
在Rt△ABC中，AC=AB⋅sin∠ABC=12×22=62(cm)，
在Rt△CDE 中，CD=CE⋅tanE=12×33=43(cm)，
∴AD=AC-CD=(62-43)cm；
（2）①如图，过点C 作CG⊥DE，垂足为G，
∵△CDG 中，∠CGD＝90°，∠CDE＝60°，CD=43cm，
∴DG=CD⋅cs∠CDE=23cm，CG＝CD•sin∠CDE＝6cm，
∵△CGA中，∠CGA＝90°，CA=62cm，CG＝6cm，
∴AG=AC2-CG2=6cm，
∴AD=AG+DG=(6+23)cm；
②AB⊥DE，理由如下：
∵在 Rt△CGA中，∠CGA＝90°，AG＝CG＝6cm，∴∠CAG＝∠ACG＝45°，
又∵∠BAC＝45°，∴∠DAB＝∠CAG+∠BAC＝45°+45°＝90°，
∴AB⊥DE．
四川省
1.【2025•成都】在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，3≈1.73）
解：由题意，得：∠CAB＝∠ACD＝90°，∠ABC＝30°，CD＝60米，
在Rt△ACD中，AC＝CD•tan63.4°≈120米；
在Rt△ABC中，AB=ACtan30°=1203≈207.6米，
答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米．
2．【2025•泸州】如图，在水平地面上有两座建筑物AD，BC，其中BC＝18m．从A，B之间的E点（A，E，B在同一水平线上）测得D点，C点的仰角分别为75°和30°，从C点测得D点的仰角为30°．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求建筑物AD的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
解：（1）过点C作CF⊥AD，垂足为F，
由题意得：CF∥AB，∴∠FCE＝∠CEB＝30°，
∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝∠DCF+∠FCE＝60°，
∵∠AED＝75°，∴∠CDE＝180°﹣∠DEC﹣∠DCE＝45°；
（2）过点E作EG⊥CD，垂足为G，
由题意得：AF＝BC＝18m，
在Rt△ABC中，BC＝18m，∠CEB＝30°，∴CE＝2BC＝36（m），
在Rt△CEG中，∠ECD＝60°，
∴CG＝CE•cs60°＝36×12=18（m），EG＝CE•sin60°＝36×32=183（m），
在Rt△BEG中，∠EDG＝45°，∴DG=EGtan45°=183（m），
∴CD＝CG+DG＝（18+183）m，
在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，∴DF=12CD＝（9+93）m，
∴AD＝AF+DF＝18+9+93=（27+93）m，
∴建筑物AD的高度为（27+93）m．
3．【2025•自贡】如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．
（1）制作工具
如图2，在矩形木板HIJK上O点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物G，过点O画射线QM∥HK．测量时竖放木板，当重垂线OG∥HI时，将等腰直角三角尺ACB的直角顶点C紧靠铁钉，绕点O转动三角尺，通过OB边瞄准目标N，测量∠MOB可得仰角度数，采用同样方式，可测俯角度数．
测量时，QM是否水平呢？小蕊产生了疑问，组长对她说：“因为OG始终垂直于水平面，满足OG⊥QM就行．”求证：OG⊥QM．
（2）获取数据
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台P处测得塔底U的仰角为5.1°，在25楼对应位置D处测得塔底U的俯角为9.1°，塔顶T的仰角为14.5°．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个Rt△VWZ，∠W＝90°，∠WVZ＝14.5°，VW＝10.0cm．在边WZ上取两点X，Y，使∠YVW＝5.1°，∠XVY＝4.0°，量得YW＝0.91cm，XY＝0.70cm，ZX＝0.94cm，则tan5.1°≈ ，tan9.1°≈ ，tan14.5°≈ （结果保留小数点后两位）．
（3）计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．
（4）反思改进
小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．
解：（1）证明：∵四边形HIJK为矩形，∴∠H＝90°，
∵QM∥HK，∴∠IQM＝∠H＝90°，
又∵OG∥HI，∴∠MOG＝∠IQM＝90°，∴OG⊥QM；
（2）在Rt△VWY中，∠W＝90°，∠YVW＝5.1°，VW＝10.0cm，YW＝0.91cm，
∴tan5.1°=tan∠YVW=YWVM=0.9110≈0.09；
∵∠XVY＝4.0°，∠YVW＝5.1°，XY＝0.70cm，YW＝0.91cm，
∴∠XVW＝∠XVY+∠YVW＝9.1°，XW＝XY+YW＝1.6lcm，
∵在Rt△VWX中，∠W＝90°，∠XVW＝9.1°，VW＝10.0cm，XW＝16．lcm，
∴tan9.1°=tan∠XVW=XWVM=1.6110≈0.16，
∵YW＝0.91cm，XY＝0.70cm，ZX＝0.94cm，∴ZW＝ZX+XY+YW＝2.55cm，
∵在Rt△VWZ中，∠W＝90°，∠ZVW＝14.5°，VW＝10.0cm，ZW＝2.55cm，
∴tan14.5°=tan∠ZVW=ZWVM=2.5510≈0.26，
故答案为：0.09，0.16，0.26；
（3）如图，延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，
则∠DFE＝∠PEF＝∠DFT＝∠DPE＝90°，∴四边形DPEF为矩形，
∴DP＝EF，DF＝PE，
由题意可得：DP＝（25﹣15）×3＝30米，∠EPU＝5.1°，∠FDU＝9.1°，∠TDF＝14.5°，
设EU＝x米，则FU＝EF﹣EU＝（30﹣x） 米，
∵tan∠EPU=EUPE=xPE=tan5.1°≈0.09，tan∠FDU=FUDF=30-xDF=tan9.1°≈0.16，
∴PE=x0.09，DF=30-x0.16，∴30-x0.16=x0.09，解得：x＝10.8，
∴FU＝30﹣10.8＝19.2米，PE＝DF=米，
∵tan∠TDF=TFDF=TF120=tan14.5°≈0.26，∴TF＝31.2米，
∴TU＝TF+UF＝19.2+31.2≈50米，即该塔高度为50米；
（4）提出合理建议为：①多次测量取平均值；②取角的正切值用分数．
4．【2025•遂宁】在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°．求摩天轮CF的高度．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
解：连接DE，延长线交CF于点G，∴DG⊥CF，
∵DA⊥AF，BE⊥AF，CF⊥AF，∴四边形DEBA和四边形EGFB是矩形，
∴DE＝AB＝30m，BE＝GF＝1.6m，
设CG＝x m，在Rt△CEG中，tan∠CEG＝tanβ=CGEG，∴EG=CGtan50°≈x1.19，
∴DG＝DE+EG＝30+x1.19，
在Rt△CDG中，tan∠CDG＝tanα=CGDG，∴x30+x1.19≈0.75，解得x≈60.85，
经检验x是方程的解，
∴CF＝CG+GF＝60.85+1.6＝62.45≈62.5（m），
答：摩天轮CF的高度约为62.5米．
5．【2025•凉山州】某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cs18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73，结果精确到1米）
（1）求直吊臂OB的长；
（2）直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米？
解：（1）由题意得，BM⊥OM，
∵∠BOM＝18.17°，BM＝3米，∴在Rt△BOM中，OB=MBsin∠BOM=30.31≈10（米），
答：直吊臂OB的长为10米；
（2）如图，记旋转后的点B，M的对应点为B′，M′，延长B′M′交OM于点F，过点B作BE⊥B′F于点E，
则∠BEF＝90°，
由题意得B′M＝BM＝3米，OB′＝OB＝10 米，∴∠BEF＝∠EFM＝∠BMF＝90°，
∴四边形EFMB为矩形，∴BM＝EF＝3米，
在Rt△B′OF中，B′F＝OB′×cs∠OB′M＝10×0.81＝8.1（米），
∴M′F＝B′F﹣B′M′＝8.1﹣3＝5.1≈5（米），
∴货物M上升了5米．
6．【2025•宜宾】如图，扇形OPN为某运动场内的投掷区，PN所在圆的圆心为O，A、B、N、O在同一直线上．直线AP与PN所在⊙O相切于点P，此时测得∠PAO＝45°；从点A处沿AO方向前进8.0米到达B处．直线BQ与PN所在⊙O相切于点Q，此时测得∠QBO＝60°．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，π≈3.14）．
（1）求圆心角∠PON的度数；
（2）求PN的弧长（结果精确到0.1米）．
解：（1）∵直线AP与PN所在⊙O相切于点P，∴∠APO＝90°，
∵∠PAO＝45°，∴∠PON＝90°﹣∠PAO＝45°；
（2）∵直线BQ与PN所在⊙O相切于点Q，∴∠BQO＝90°，
∵∠QBO＝60°，∴cs∠QBO=cs60°=BQBO=12，
设BQ＝x，BO＝2x，∴OQ=OP=BO2-BQ2=3x，
∵AB＝8.0m，∴AO＝AB+BO＝（8.0+2x）m，
∵在Rt△APO中，∠A＝45°，∴sinA=sin45°=POAO=22，
∴3x8.0+2x=22，解得：x=(46+8)m，
∴OP=3×(46+8)=(122+83)m，
∴PN的弧长为：45π×(122+83)180≈24.1m，
答：PN的弧长为24．lm．
7．【2025•内江】在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔AD的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角（∠ABD）为45°，在C处测得桥塔顶部A的仰角（∠ACD）为30°，又测得BC＝80m，AD⊥BC，垂足为D，求桥塔AD的高度（结果保留根号）．
解：设AD＝x m，
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴BD=ADtan∠ABD=xtan45°=x（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴CD=ADtan∠ACD=xtan30°=3x（m），
∵BC＝BD+CD＝80m，∴x+3x＝80，
解得x＝403-40，∴AD＝（403-40）m，
答：桥塔AD的高度为（403-40）m．
8．【2025•广安】随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为30°，A，C两点的距离为24m．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（结果精确到0.1m）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：sin36.9°≈0.60，cs36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，3≈1.73）
解：如图：
由题意得：DB∥AE∥CO，
∴∠DBC＝∠BCO＝36.9°，∠EAC＝∠ACO＝30°，
在Rt△ACO中，AC＝24m，
∴AO=12AC＝12（m），CO=3AO＝123（m），
在Rt△BCO中，BO＝CO•tan36.9°≈123×0.75＝93（m），
∴AB＝BO﹣AO＝93-12≈3.6（m），
∴无人机从A点到B点的上升高度AB约为3.6m．
9．【2025·达州】为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度．（结果不取近似值）
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
设BD＝x米，
∵AB＝x米，∴AD＝AB+BD＝（x+30）米，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝AD•tan30°=33（x+30）米，
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴CD＝BD•tan45°＝x（米），
∴x=33（x+30），解得x＝153+15，
∴CD＝（153+15）米，
∴无人机离湖面的高度为（153+15）米．
重庆
1.【2025•重庆】为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上．
（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，7≈2.65）
（1）求BD的长度（结果保留小数点后一位）；
（2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？
解：（1）如图所示，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，
∴∠AED＝∠BFC＝90°，
由题意得，∠DAE＝30°，
在Rt△ADE中，AE=AD⋅cs∠DAE=20⋅cs30°=103（千米），
DE＝AD•sin∠DAE＝20•sin30°＝10（千米），
∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，
∴AB∥CD，
∴AE⊥AB，BF⊥AB，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝10千米，BF=AE=103米，
∴DF＝DE+EF＝20千米，
∴BD=DF2+BF2=202+(103)2=107≈26.5（千米），
答：BD的长度约为26.5千米；
（2）如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足MN＝20千米，过点M作MT⊥CD于T，
由题意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°，
在 Rt△FBC中，BC=BFsin∠BCF=103sin60°=20千米，
CF=BFtan∠BCF=103tan60°=10千米，
∴CD＝DF+CF＝30千米，
设 BM＝x千米，则DN＝2x千米，CM＝（20﹣x） 千米，
在 Rt△CMT 中，CT=CM⋅cs∠MCT=(20-x)⋅cs60°=(10-12x)千米，
MT＝CM•sin∠MCT＝（20﹣x）•sin60°＝（103-32x）千米，
∴TN＝CD﹣DN﹣CT＝30﹣2x﹣（10-12x）＝（20-32x）千米，
在Rt△MNT中，由勾股定理得MN2＝MT2+NT2，
∴202=(103-32x)2+(20-32x)2，
∴x=15-55或x=15+55（此时大于BC的长，舍去），
∴BM=15-55≈3.8（千米），
答：甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．
眼肌运动训练图

使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行．
眼肌运动训练图

使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行．
项目分析
活动目标
测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度
测量工具
测角仪、皮尺
灰⁢实施
任务一
测量数据
以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图．
1．测出测角仪的高CD＝1.4m．
2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE＝61°．
3．测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的距离DB＝42m．
任务二
计算实际高度
根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度．（结果精项到1m）
（参考数据：sin61°≈0.875，cs61°≈0.485，tan61°≈1.804）
任务三
换算模型高度
将该城市规划展览馆AB的高度按1：400等比例缩小，得到其3D打即模型的高度约为 19 cm．（结果精确到1cm）
项目结果
为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据
实验主题
测量校徽的高度
工具准备
测角仪，卷尺等
实验过程
1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）；
2．测量A，D两点和B，D两点间的距离；
3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG；
4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离；
5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG．
实验图示


测量数据
1．AD＝4m
2．BD＝10m
3．BH＝13.5m
4．∠EFG＝43°
5．∠MNG＝21.8°
备注
1．图上所有点均在同一平面内；
2．AE，CD，FB，NH均与地面垂直．
参考数据：sin21.8°≈0.37，cs21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40；sin43°≈0.68，cs43°≈0.73，tan43°≈0.93．
项目主题
景物的测量与计算
驱动问题
如何测量内栏墙围成泉池的直径
活动内容
利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程
方案说明
图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径，图中点A，B，C，D在同一条直线上．
图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且AE＝DF．BE，CF均表示步道的宽，BE＝CF．图中各点都在同一竖直平面内．
数据测量
在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB＝37°，∠DAC＝8.5°，AD＝26米．图中墙的厚度均忽略不计．
计算
…
交流展示
…
问题
月球与地球之间的距离约为多少？
工具
天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图

说明
为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP．
数据
AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43′′，∠BAP＝89°22'38.09′′．
位置信息
码头A在灯塔B北偏西14°方向
14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处
15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气预警
受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范．