2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点34 与圆的有关计算（Word版附解析）

这是一份2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点34 与圆的有关计算（Word版附解析），共19页。
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
【答案】A
山西省
1.【2025•山西】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若BC＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π﹣4B．4π﹣4C．8π﹣8D．4π﹣8
【答案】D
【解析】∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵BC＝4，∴AB=AC=22BC=22，
∴S阴影BC=2(S扇形BCD-S△ABC)=2(45π×42360-12×22×22)=4π-8．
山东省
1.【2025•临沂、枣庄、聊城、菏泽、济宁】在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【答案】D
【解析】如图：连接AB、DC相交于O，
∵正方形的内切圆的半径是2，
∴AC＝BC＝4，OA＝OB，
∴AB=AC2+BC2=42+42=22，OA=OB=12AB=2，
∴图中阴影部分的面积是π⋅(22)2-π⋅22=4π．
湖南省
1.【2025•湖南10题】如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（ ）
A．572πR（千米）B．112πR（千米）
C．536πR（千米）D．29πR（千米）
【答案】C
【解析】AC=40360×2πR=80360πR（千米），BC=15360×2πR=30360πR（千米），
AB=AC-BC=80360πR-30360πR=536πR（千米），∴点A和点B之间的劣弧长约为536πR千米．
四川省
1.【2025•广安】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．54B．53C．52D．5
【答案】A
云南省
1.【2025•云南】若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40cm，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．9cmB．10cmC．11cmD．12cm
【答案】B
二、填空题
吉林省
1.【2025•吉林11题】如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y=3x的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留π）
【答案】π3
【解析】当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，∴AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∵半径为1，∴AC＝BD＝1，∴A点的纵坐标为1，
把y＝1代入y=3x，求得x=3，∴A（3，1），∴OC=3，AC＝1，
∴tan∠OAC=OCAC=3，∴∠OAC＝60°，
∴第一象限中阴影的面积S1=60π×12360=π6，
同理，第一象限中阴影的面积S2=π6，∴S阴影=π3．
2．【2025•长春】扇形的面积是它所在圆的面积的23，这个扇形的圆心角的大小是 °．
【答案】240
黑龙江省
1.【2025•齐齐哈尔】已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为 度．
【答案】160
2．【2025•龙东地区】若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为 ．
【答案】15π
河南省
1.【2025•河南】我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE＝15°，连接OE交AB于点F．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】4π3-23
【解析】∵边CD与⊙O相切于点E，∴OE⊥CD，
∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，
∴OE⊥AB，∴AF＝FB=12AB=12×4＝2，
由圆周角定理得：∠AOE＝2∠ABE＝30°，∴OA＝2AF＝4，
由勾股定理得：OF=OA2-AF2=42-22=23，
则S阴影部分＝S扇形AOE﹣S△AOF=30π×42360-12×2×23=4π3-23．
山东省
1.【2025•烟台】如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】16π3-83．
【解析】连接OA、OE、OF，过点O作OM⊥AF于点M，如图所示：
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴OA＝OE＝OF，∠AOF=∠EOF=360°6=60°，∠BAF＝120°，
∴△OAF和△OEF为等边三角形，∠AOE＝60°+60°＝120°，
∴∠OEF＝∠OAF＝60°，
∵OM⊥AF，∴AM＝FM=12AF＝2，
∴OM=42-22=23，∴S△OAF=12AF×OM=12×4×23=43，
∵∠BAF＝120°，∴∠OAG＝120°﹣60°＝60°，
∴∠OAG＝∠OEH，
∴∠GOA+∠AOH＝∠AOH+∠EOH＝120°，
∴∠GOA＝∠EOH，∴△GOA≌△HOE，
∴S△GOA＝S△HOE，
∴S△GOA+S四边形AOHF＝S△HOE+S四边形AOHF，
∴S五边形AGOHF＝S四边形AOEF=2S△AOF=83，
∴S阴影＝S扇形﹣S五边形AGOHF=120π×42360-83 =16π3-83，
答案为：16π3-83．
2．【2025•烟台】如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线AC＝6cm．点M从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以3cm/s的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN，DM交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为 cm．
【答案】23π3．
【解析】如图，∵在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线AC＝6cm，连接BD交AC于J，
∴∠DAC＝30°＝∠DCA，AJ＝CJ＝3，
DJ＝BJ＝AJ•tan30°=3AD=AB=BD=23=CD，
设运动时间为t，则AM＝t，CN=3t，t23=3t6，即AMAD=CNCA，
∴△ADM∽△CAN，
∴∠ADM＝∠CAN，
∴∠APM＝∠DAP+∠ADM＝∠DAP+∠CAN＝30°，
∴∠APD＝180°﹣30°＝150°，
作等边三角形ADO，以O为圆心，OD为半径作圆，取点K，连接AK，DK，
∴OA=OD=AD=23，∠AOD＝60°，∠AKD=12×60°=30°，
∴∠AKD+∠APD＝180°，
∴P在⊙O上，且在弧AD上，
∴在此过程中，点P的运动路径长为60π×23180=23π3，
故答案为：23π3．
江苏省
1.【2025•连云港】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°．若⊙O的半径为2，则劣弧BC的长为 ．
【答案】π．
【解析】如图，连接OB、OC，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
∴劣弧BC的长为：90π×2180=π，
故答案为：π．
2．【2025•苏州】“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即AB）长度为 m．（结果保留π）
【答案】40π
3．【2025•扬州】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝43，点E是BC边上的动点，将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，过点P作PF⊥AD，垂足为F，点Q是线段AP上一点，且AQ=12PF．当点E从点B运动到点C时，点Q运动的路径长是 ．
【答案】4π3
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，∴AP＝AB＝4，
当点P在矩形内部时，作 HQ⊥AP，交AB于点H，则：∠AQH＝90°＝∠BAD，
∠AHQ＝∠PAF＝90°﹣∠HAQ，
∵PF⊥AD，∴∠PFA＝90°＝∠AQH，
∴△AQH∽△PFA，∴AHAP=AQPF，
∵AQ=12PF，∴AHAP=AQPF=12，∴AH=12AP=2，
∴点Q在以AH为直径的圆上运动，
∴当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH，
∴点Q的运动路径长为：12×2π=π，
当点P在矩形ABCD的外部时，作KQ⊥AP，交AB的延长线于点K，
同法可得：△AKQ∽△PAF，AK=12AP=2，
∴∠AKQ＝∠PAF，点Q在以AK为直径的⊙O上运动，
连接OQ，
当点E运动到点C时，如图：
∵AB＝4，BC=43，∠B＝90°，∴tan∠BAC=BCAB=3，∴∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝30°，
∵将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，∴∠PAC＝∠BAC＝60°，
∴∠PAF＝∠PAC﹣∠CAD＝30°，
∴∠AKQ＝∠PAF＝30°，∴∠AOQ＝2∠AKQ＝60°，
∴点Q的运动轨迹为圆心角为60°的AQ路径长为60π180×1=π3，
∴点Q的运动路径总长为：π+π3=4π3．
四川省
1.【2025•成都】如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】34．
【解析】如图，连接OB．
∵四边形OABC为平行四边形，∴AB＝OC，
∵OA＝OC，∴OA＝AB，
∴▱OABC是菱形，∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，
∴AC＝2OA•sin∠AOB＝2×1×32=3，
∴S菱形OABC=12AC•OB=12×3×1=32，
∴S阴影=12S菱形OABC=12×32=34．
2．【2025•遂宁】综合与实践﹣硬币滚动中的数学
将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为 ．
【答案】109
【解析】依题意，AE＝EF＝AF＝2r，
则△AEF是等边三角形；则∠AEF＝∠AFE＝60°，
同理得△CEF、△BFG、△DFG是等边三角形，
则∠BFG＝∠BGF＝∠FGD＝∠GFD＝∠CEF＝∠EFC＝60°，
∴∠AFB＝180°﹣60°﹣60°＝∠CFD，
∴AC=(360°-60°-60°)×π×2r180°=8πr3，BD=(360°-60°-60°)×π×2r180°=8πr3，
∴AB=(180°-60°-60°)×π×2r180°=2πr3，CD=(180°-60°-60°)×π×2r180°=2πr3，
∴2πr3×2+8πr3×2=4πr3+16πr3=20πr3；
依题意，AE＝EF＝AF＝2r，∴△AEF是等边三角形；
则∠AEF＝∠AFE＝∠FAE＝60°，
同理得△CAB、△AEB、△DEB是等边三角形，
则FD=(360°-60°-60°-60°)×π×2r180°=2πr，
CD=(360°-60°-60°-60°)×π×2r180°=2πr，
CF=(360°-60°-60°-60°)×π×2r180°=2πr，
则2πr×3＝6πr，则20πr3÷6πr=20πr36πr=109．
3．【2025•凉山州】如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°，若BC＝22，则BC的长为 ．
【答案】π
【解析】如图，连接OB、OC，
∵∠ABC＝65°，∠ACB＝70°，∴∠A＝180°﹣65°﹣70°＝45°，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°，∴OC＝OB=22BC=22×22=2，
∴BC的长为：90π×2180=π．
4．【2025·达州】如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是 ．
【答案】4π
5．【2025•德阳】等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果AB＝1，那么这个等宽曲线的周长是 ．
【答案】π
【解析】∵△ABC是等边三角形，且AB＝1，∴AB＝BC＝AC＝1，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
依题意得：弧BC的圆心为A，半径为AB＝1，∴弧BC的长为：60π×1180=π3，
同理：弧AB的长为π3，弧AC的长为π3，∴这个等宽曲线的周长是：π3+π3+π3=π．
三、解答题
青海省
1．【2025•青海】如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，AD为⊙O的弦，连接BD，∠A＝∠B＝30°．
（1）求证：直线BD是⊙O的切线；
（2）已知BC＝2，求DC的长（结果保留π）．
解：（1）证明：连接OD，
∵∠A＝∠B＝30°，∴∠BOD＝2∠A＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠B﹣∠BOD＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且BD⊥OD，∴直线BD是⊙O的切线．
（2）∠ODB＝90°，∠B＝30°，OD＝OC，∴OB＝2OD＝2OC，
∵BC＝OB﹣OC＝2OC﹣OC＝OC，且BC＝2，∴OC＝2，
∵∠COD＝60°，∴lDC=60π×2180=2π3，
∴DC的长是2π3．
2．【2025•青海】活动与探究
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？
蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间．这是数学中的密铺（或镶嵌）问题．平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．
探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？
（1）请补全上述表格① ；② ；③ ；④ ．
探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？
数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小．
观察图1，发现⊙O是正三角形ABC的内切圆，与AC切于点D，OD⊥AD，∠OAD＝30°，OD＝1，在Rt△ADO中，AD=3，则△ABC的周长为63．
（2）如图2，正方形ABCD的周长为 ；
（3）如图3，求出正六边形的周长（写出求解过程）．
探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？
数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小．
（4）若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为 ；正方形的面积为 ；正六边形的面积为 ．
【得出结论】
综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案．
解：（1）∵正方形每个内角为90°，
∴360°÷90°＝4，∴能密铺，
∵正八边形的每个内角为135°，
∴360°÷135°=83，∴不能密铺，
故答案为①90°；②360°÷90°＝4；③360°÷135°=83；④不能；
（2）设AB切⊙O于点E，连接OE，AC，BD，
则AC，BD交于点O，AC⊥BD，OE⊥AB，
∵OA＝OB，∴AE＝BE＝OE＝1，∴AB＝2，
∵正方形ABCD的周长为8；
故答案为：8；
（3）设AB切⊙O于点G，连接OG，OA，OB，
则OG⊥AB，OA＝OB，∴AG=BG=12AB，
∵∠AOB=360°6=60°，∴∠AOG=12∠AOB=30°，∴OA＝2AG，
∵AG2+OG2＝OA2，∴AG=33OG=33，∴AB=233，
正六边形周长为43；
（4）三角形：
∵AC=123=4，∴AD=12AC=2，
∵∠OAD=12∠BAC=30°，∴OA＝2OD，
∵AD2+OD2＝OA2，∴OD=33AD=233，
∴S△ABC=3×12AC⋅OD=43，
正方形：
∵AB=124=3，∴S正方形ABCD=AB2=9，
正六边：
∵AB=126=2，∴AG=12AB=1，
∴OA＝2AG＝2，∴OG=OA2-AG2=3，
∴S正六边形ABCDEF=6×12AB⋅OG=63．
广西
1.【2025•广西18题】绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O′（5，5）为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）求叶瓣①的周长；（结果保留π）
（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
解：（1）∵以原点O，O'（5，5）为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，
∴OA＝OB＝O'A＝O'B＝5，∴OAO'B是正方形，
∴∠AOB＝∠OBO'＝∠BO'A＝∠O'AO＝90°，
∴A（0，5），B（5，0）；
（2）∵原点O，O'（5，5）为圆心、以5为半径作圆，∴两个圆是等圆，
∵∠AOB＝∠AO'B＝90°，
∴叶瓣①的周长为：2π×OA×90°360°×2=5π；
（3）叶瓣②还可以由叶瓣①绕点B逆时针旋转90°得到．
江西省
1.【2025•江西17题】如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，以BA，BC为边作▱ABCD．
（1）当BC经过圆心O时（如图1），求∠D的度数；
（2）当AD与⊙O相切时（如图2），若⊙O的半径为6，求AC的长．
解：（1）∵BC经过圆心O，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，
∵∠ACB＝35°，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝90°﹣∠ACB＝55°，∴∠D的度数是55°．
（2）连接OA、OC，
∵AD与⊙O相切于点A，⊙O的半径为6，∴AD⊥OA，OA＝OC＝6，∴∠OAD＝90°，
∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB＝35°，∴∠OCA＝∠OAC＝∠OAD﹣∠CAD＝55°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OCA﹣∠OAC＝70°，∴lAC=70π×6180=7π3，∴AC的长为7π3．
平面图形
每个内角度数
能否整除
能否密铺
正三角形
60°
360°÷60°＝6
能
正方形
①
②
能
正五边形
108°
360°÷108°=103
不能
正六边形
120°
360°÷120°＝3
能
正七边形
900°7
360°÷900°7=145
不能
正八边形
135°
③
④
…
…
…
…